Christian Q. Pinedo

Grupo de Ensino e Pesquisa em Educação Matemática
Notas de Aula No 10
5
.5
Christian Q. Pinedo
ii
Cálculo Vetorial e Séries
A meus pais
Noemi e Em memória: Christian .
iii
iv
Cálculo Vetorial e Séries
Título do original
Cálculo Vetorial e Séries
Dezembro de 2009
Direitos exclusivos para língua portuguesa:
UFT - CAMPUS DE PALMAS
Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica
Pinedo. Christian Quintana, 1954 512.8
Cálculo Vetorial e Séries / Christian José Quintana Pinedo : Universidade
Federal do Tocantins. Campus de Palmas, Curso de Engenharia Civil/Elétrica,
2009.
250 p. il.
297mm
I. Cálculo Vetorial e Séries. Christian Q. Pinedo. II. Série. III. Título
CDD 512.8 ed.
CDU
SUMÁRIO
PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA
ix
1
1.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Principais propriedades da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Regras de cálculo das integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Exercícios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Exercícios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 INTEGRAL DE LINHA
9
2.1
Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.1
Gradiente. Divergente. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3.1
Integral de linha de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3.2
Propriedades Fundamentais da integral de linha . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.3
Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha . . . . . . . . . .
25
2.3.4
Aplicações da integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Exercícios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.3
2.4
3 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE
3.1
35
Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.1.1
Plano tangente. Vetor normal a uma superfície . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.1.2
Existência da integral de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2
Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.3
Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4 SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS
47
4.1
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.2
SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
v
vi
Cálculo Vetorial e Séries
4.3
4.4
4.2.1
Classificação: Limitação e Monotonia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.2.2
Subseqüências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
LIMITE DE SEQÜENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.3.1
Limite de uma seqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.3.2
Propriedades do limite de seqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.3.3
Seqüência de Cauchy.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.3.4
Espaço métrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
SEQÜENCIAS CONVERGENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.4.1
Propriedades Fundamentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.4.2
Critérios de Convergência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.4.3
Conseqüência da Propriedade (4.18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.4.4
Teorema de Bolzano - Weirstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Miscelânea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5 SÉRIES
93
5.1
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
5.2
SOMATÓRIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3
SÉRIES DE NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.1
Série geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.2
Série harmônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.3
Série p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.4
Critério do n-ésimo termo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.5
Condição de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3.6
Propriedade de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4
SÉRIE DE TERMOS POSITIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.1
Critério de comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.2
Critério de integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4.3
Critério de comparação no limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.4.4
Critério de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Exercícios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5
SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.1
Condicionalmente convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5.2
Critério de comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5.3
Critério D’Alembert’s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.5.4
Critério de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.6
SÉRIES ALTERNADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
vii
Christian José Quintana Pinedo
5.6.1
Critério de Leibnitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.6.2
Sumário dos Critérios para Séries de Números. . . . . . . . . . . . . . . . 144
Exercícios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
APÊNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
História do cálculo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
. . . . . . . . . . . . . . . . 147
viii
Cálculo Vetorial e Séries
PREFÁCIO
O propósito de um primeiro curso de cálculo é ensinar ao estudante as noções básicas da
derivada assim como as técnicas e aplicações básicas que acompanham tais conceitos; Integração
e Funções de Várias Variáveis é a continuação e abordagem de conceitos e teorias novas, tais
como "Integração e o cálculo diferencial e integral com funções de varias variáveis"com aplicações
aos diferentes ramos das ciências exatas úteis no estudo das equações diferenciais.
Esta obra representa o esforço de sínteses na seleção de um conjunto de problemas e temas que,
com freqüência se apresenta quando um estudante continúa com o estudo do cálculo diferencial.
Estas notas de aula estão divididas em cinco capítulos.
No primeiro capítulo, apresenta-se os métodos para o cálculo de integrais, faz-se uma abordagem prática com grande variedade de exemplos e técnicas para a solução das mesmas.
No segundo capítulo, apresenta-se os conceitos de integral definida, ao estilo dos conceitos
de Integral de Riemann; inicia-se os estudos com os conceito de somatório como interpretação
geométrica da integral.
O terceiro capítulo, está reservado para múltiplas aplicações em diferentes ramos do conhecimento científico.
O penúltimo capítulo apresenta as funções de várias variáveis, limites e continuidade das
mesmas.
O último capítulo está aborda o tema do calculo diferencial em funções de várias variáveis.
O objetivo deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e
construir um modelo matemático e logo resolvê-lo.
Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar; os exercícios apresentados
ix
x
Cálculo Vetorial e Séries
em quantidade suficiente, estão classificados de menor a maior dificuldade.
A variedade dos problemas e exercícios propostos pretende transmitir minha experiência
profissional durante mais de vinte e cinco anos de exercício como Consultor em Matemáticas
Puras e Aplicadas, assim como professor de ensino superior, com atuação na graduação da
docência universitária.
Fico profundamente grato pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e sugestões dos
leitores.
Christian Quintana Pinedo.
Pato Branco - PR, dezembro de 2009
“A Matemática é a honra do espírito humano”
Leibniz
Capítulo 1
INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA
Johann Carl Friedrich Gauss , (1777 − 1855), nasceu em
Brunswick (Alemanha) em 30 de abril de 1777 e começou a freqüentar
a escola de sua cidade natal aos sete anos, onde seus professores notaram seu potencial. Isso ocorreu porque certo dia, seu professor pediu
que os alunos somassem os números inteiros de um a cem, pensando
que os alunos ficariam ocupados por um bom tempo e que ele poderia
descansar. Mas, logo que deu a tarefa, um menino lhe mostrou o resultado: 5050. Imediatamente o professor lhe repreendeu, pois pensava
que o menino estivesse brincando, porque ele próprio ainda não havia
feito o cálculo e não sabia a resposta.
Buttner, o professor que presenciara o cálculo da soma dos
primeiros cem números inteiros, deu-lhe seu primeiro livro sobre
matemática. Aos dez anos, Gauss já o havia lido e assimilado por
completo. Lia tudo o que chegava às suas mãos. Alguns colegas lhe emprestavam livros inacessíveis ao
seu bolso. Bartels, assistente de Buttner.
F. Gauss
Em março 1796, um mês antes de completar dezenove anos, Gauss descobriu como construir um
polígono regular de dezessete lados, usando para tanto apenas régua e compasso. Havia mais de 2000
anos que se sabia construir, com régua e compasso, o triângulo eqüilátero e o pentágono regular (assim
como outros polígonos regulares com número de lados múltiplo de dois, três e cinco), mas nenhum outro
polígono com número de lados primo. Gauss mostrou que também o polígono regular de dezessete lados
pode ser construído com régua e compasso.
Em 1809, o matemático dedicava a maior parte do seu tempo ao novo observatório, finalizado em
1816, porém ainda encontrava tempo para trabalhar em outros assuntos. Algumas das publicações realizadas por ele nesse período foram: "Indagações gerais a cerca das séries infinitas", um estudo rigoroso
de série e uma introdução da função hipergeomética. Também escreveu “Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen”, uma discussão
sobre estatísticas estimadas, e “Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova tractata”. Seu trabalho posterior foi inspirado por problemas geodésicos e estava
principalmente preocupado com a teoria potencial.
Além de inumeráveis artigos breves em revistas de matemática, física e geodésia, Gauss publicou
cerca de 155 volumes sobre os seus estudos. Portanto, pode-se apenas ressaltar as principais pesquisas e
descobertas de cada período de suas atividades.
Gauss faleceu em uma manhã de 23 fevereiro de 1855 em Gottingen (Alemanha), enquanto ainda
dormia. Quando da sua morte, estava perfeitamente lúcido e consciente .
1
2
Cálculo Vetorial e Séries
1.1
Introdução
1.2
Integrais duplas
Definição 1.1.
Uma função f : D ⊆ R2 −→ R com domínio D dizemos que é limitada (acotada) em D se
existem r, s ∈ R tais que r ≤ f (x, y) ≤ s,
D.
∀ (x, y) ∈ D
Seja f : D ⊆ R2 −→ R uma função limitada no conjunto fechado D, e f (x, y) > 0 ∀ (x, y) ∈
Tracemos retas paralelas aos eixos coordenados como indica a Figura (1.2), e suponhamos
que r1 , r2 , r3 , · · · , rn sejam retângulos que cubram a região D (uma cobertura de D).
Figura 1.1:
Definição 1.2. Partição de um conjunto.
O conjunto P = { r1 , r2 , r3 , · · · , rn } constitui uma partição da região fechada D.
Definição 1.3. norma de uma partição.
A norma da partição P denotada kPk por definição é o comprimento da diagonal maior de
todos os retângulos ri contidos em P.
Seja A(ri ) = 4xi 4yi a área do i-ésimo retângulo ri ∈ P, e seja (xi , yi ) um ponto arbitrário
escolhido noi-ésimo retângulo ri .
A soma de Riemann da função f : D ⊆ R2 −→ R associada à partição P é
m
X
i=1
f (xi , yi )A(ri ) =
m
X
i=1
f (xi , yi )4xi 4yi
onde f (xi , yi ) é a imagem da função para o ponto (xi , yi ) ∈ ri ,
i = 1, 2, 3, · · · , n.
Geometricamente, a soma de Riemann representa o volume do sólido embaixo da superfície
z = f (x, y).
3
Christian José Quintana Pinedo
1.3
Principais propriedades da integral dupla
Se a função f (x, y) é continua na região fechada D, o limite da soma integral existe e não
depende do procedimento da divisão da região D em regiões elementares e da seleção dos pontos
em P .
RR
Nas coordenadas cartesianas a integral dupla escreve-se na forma
f (x, y)dA.
D
RR
Se f (x, y) > 0 na região D, então a integral dupla
f (x, y)dA é igual ao volume do corpo
D
cilíndrico limitado na parte superior pela superfície z = f (x, y), nas laterais pela superfície
cilíndrica cujas geratrizes são paralelas ao eixo oz e na parte inferior pelo plano x0y.
Z Z
1.
[f (x, y) + g(x, y)]dA =
D
Z Z
2.
3.
C · f (x, y)dA = C ·
f (x, y)dA +
Z Z
Z Z
g(x, y)dA.
D
f (x, y)dA, onde C é uma constate..
D
f (x, y)dA =
D
1.4
⇓
D
D
Z Z
Z Z
Z Z
f (x, y)dA +
D1
Z Z
f (x, y)dA, onde D = D1 ∪ D2 e D1 ∩ D2 = ∅.
D2
Regras de cálculo das integrais duplas
No plano x0y distinguem-se dois tipos principais de regiões da integração.
1. A região de integração D está limitada pelo lado esquerdo e direito pelas retas x = a e x = b
respectivamente, na parte superior pela curva y = f (x), e na parte inferior pela curva
y = g(x) e cada uma de elas se intercepta com a reta vertical somente num ponto (Figura
(1.2).
Para uma região assim defina integral dupla é calculada pela fórmula:
Z Z
D
Zb fZ(x)
F (x, y)dydx
F (x, y)dA =
a g(x)
onde primeiramente calcula-se a integral
fZ(x)
F (x, y)dy e na qual x é considerada con-
g(x)
stante.
Figura 1.2:
2. Para o caso a região integração D estivesse limitada na parte superior e inferior pelas retas
y =d e y =c,
c < d e pelas linhas curvas x = g(y) e x = f (y) onde (g(y) < f (y)) cada
uma das quais se intercepta pela reta horizontal num ponto (Figura (1.3)), então
4
Cálculo Vetorial e Séries
Z Z
D
Zd fZ(y)
F (x, y)dxdy
F (x, y)dA =
c g(y)
onde primeiramente calcula-se a integral
fZ(y)
F (x, y)dx e na qual y é considerada
g(y)
constante.
Figura 1.3:
Exemplo 1.1.
Z Z
Calcular
xLnydxdy onde D é o retângulo 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e.
Solução.
D
Observe que
Z Z
xLnydxdy =
D
Exemplo 1.2.
Definição 1.4.
Exemplo 1.3.
Definição 1.5.
Definição 1.6.
Definição 1.7.
Exemplo 1.4.
1.
2.
3.
Exemplo 1.5.
Exemplo 1.6.
Exemplo 1.7.
Exemplo 1.8.
Exemplo 1.9.
Exemplo 1.10.
Exemplo 1.11.
Definição 1.8.
Z4 Ze
0
1
xLnydxdy =
Z4
0
4
e
x2
(e − e + 1) = 8
x(yLny − y) dx =
2
0
1
Christian José Quintana Pinedo
Exemplo 1.12.
1.
2.
3.
Exemplo 1.13.
Exemplo 1.14.
Definição 1.9.
5
6
Cálculo Vetorial e Séries
Exercícios 6-1
1. Calcular as seguintes integrais:
1.
2.
Z2π Za
0
0
y · cos2 xdydx
Z3
Zx
(x − y)dydx
1
3.
x2
Z2π Za
0
XXXXXXXXXXXXXXXXdydx
0
2. Mudar a ordem de integração das seguintes integrais:
1.
Z1
1−x
Z 2
f (x, y)dydx
√
−1 − 1−x2
2.
2−x
Z2 Z
−6
3.
4.
1
0
Z1
1+ Z 1−y 2
0
√
(1−x)2
2
0
XXXXXXXXXXXXXf (x, y)dydx
Z2π Za
XXXXXXXXXXf (x, y)dydx
0
3.
f (x, y)dydx
Z2π Za
0
9.
2−y
Zπ senx
Z
f (x, y)dydx
0
8.
f (x, y)dxdy
Z1 Z1−x2
f (x, y)dydx
0
7.
√
Z1 Zx
0
6.
x2
−1
4
Lnx
Ze Z
f (x, y)dydx
0
5.
f (x, y)dydx
0
0
Christian José Quintana Pinedo
4.
5.
6.
7
8
Cálculo Vetorial e Séries
Exercícios 6-1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Capítulo 2
INTEGRAL DE LINHA
Neste capítulo, aplicaremos conceitos e métodos de resolução de problemas a novas teorias,
para obter resultados que têm muitas aplicações nas ciências.
Abordaremos os conceitos de "campos vetoriais", sendo que as principais aplicações estão
orientadas para o estudo de campos de velocidade e campos de força, assim chamados porque
a cada partícula de uma substância seja sólida, líquida ou gaseosa esta associada um vetor
velocidade ou um vetor força.
A integral de linha, permitem achar o trabalho realizado quando uma partícula se movimenta
em uma campo de força.
O teorema fundamental do cálculo diz que:
Se f é contínua em qualquer intervalo fechado [a, b], e F é qualquer função primZb
f (x)dx = F (b) − F (a).
itiva de f então
a
Agora, queremos generalizar o conceito de integral simples
Zb
f (t)dt de uma função f definida
a
em um intervalo [a, b], a uma integral de uma função definida sobre uma curva L. Esta integral se
chama “integral de linha de f sobre a curva L", observe que, esta curva pode estar determinada
pela imagem de outra função definida em R.
2.1
Curvas regulares
Denotemos com • o operador para o produto escalar de vetores; isto é, se ~u = (u 1 , u2 , u3 ) e
~v = (v1 , v2 , v3 ) são vetores, o produto escalar é definido por
~u • ~v = (u1 , u2 , u3 ) • (v1 , v2 , v3 ) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 ∈ R
Definição 2.1. Funções coordenadas.
Seja ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 uma função definida por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) onde as coordenadas
x, y, z : [a, b] −→ R, são funções reais (denominadas “funções coordenadas").
9
10
Cálculo Vetorial e Séries
Definição 2.2. Função diferenciável.
Dizemos que a função ~r(t) da Definição (2.1) é diferenciável de classe C 1 , se cada uma de
suas funções coordenadas x(t), y(t), z(t) for também diferenciável de classe C 1 .
Exemplo 2.1.
Seja ~r : R → R2 definida por ~r(t) = (t, t3 ). Suas funções coordenadas x(t) = t e y(t) = t2
são contínuas em R, e suas derivadas também são contínuas, então ~r(t) é diferenciável de classe
C 1.
Definição 2.3. Curva parametrizada.
Dizemos que uma curva L do espaço R3 é curva parametrizada, se ela é a imagem de uma
função ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 diferenciável de classe C 1
Exemplo 2.2.
A circunferência L : x2 + y 2 = 9 completa pode ser escrita pela parametrização ~r(t) =
(3 cos t, 3sent),
t ∈ [0, 2π] de tal modo que o gráfico de ~r encontra-se sobre a circunferência L
percorrendo no sentido positivo (anti-horário).
A mesma curva deste exemplo, pode ser escrita na forma ~r1 (t) = (3 cos 2t, 3sen2t),
t ∈
[0, π]. Ainda mais, a mesma curva pode ser representada como ~r1 (t) = (3 cos(2π − t), 3sen(2π −
t ∈ [0, 2π]. Neste caso, o percorrido é no sentido horário.
t)),
Exemplo 2.3.
Seja L a curva do espaço descrita por ~r : [0, +∞) −→ R3 definida por ~r(t) = a · ~i cos t + a ·
~jsent + bt~k, onde a > 0, b > 0.
Suas funções coordenadas x(t) = a · cos t, y(t) = a · sent e z(t) = bt são diferenciáveis e
contínuas, logo a L é uma curva parametrizada.
Definição 2.4. Curva fechada.
Uma curva L parametrizada definida por ~r : [a, b] −→ R3 , dizemos que é fechada, se ~r(a) =
~r(b).
Exemplo 2.4.
Seja ~r : [0, 2π] → R2 definida por ~r(t) = (4 cos t, 2sent) é fechada, pois ~r(0) = ~r(2π).
Definição 2.5. Vetor velocidade.
Seja L uma curva parametrizada definida por ~r(t) = x(t)~i+y(t)~j+z(t)~k, e um ponto t0 ∈ [a, b]
de modo que ~r(t0 ) = P0 exista.
d~r
(t0 ) = ~r 0 (t0 ) = x0 (t0 )~i + y 0 (t0 )~j + z 0 (t0 )~k é chamado "vetor velocidade da curva L
dt
no ponto P0 ".
O vetor
Exemplo 2.5.
Seja ~r(t) = (a · cos t, a · sent, bt) uma curva parametrizada. O vetor velocidade para esta
curva em qualquer ponto ~r(t0 ) = P0 do seu domínio é ~r 0 (t0 ) = (−a · sent0 , a · cos t0 , b).
11
Christian José Quintana Pinedo
Definição 2.6. Curva regular.
Uma curva parametrizada L definida por ~r : [a, b] −→ R3 é regular (ou suave) se seu vetor
velocidade ~r 0 (t) é diferente do vetor nulo.
Isto é, dizemos que uma curva L do espaço R3 é regular (ou suave) se tiver uma representação
d~r
da forma ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k tal que ~r(t) tem uma derivada ~r 0 (t) = (t) contínua e que
dt
nunca é igual ao vetor nulo.
Exemplo 2.6.
1. Seja ~r : [0, 2π] −→ R2 definida por ~r(t) = (a cos t, asent) é regular, pois
(0, 0),
∀ t ∈ [0, 2π].
d~r
(t) = (−asent, a cos t) 6=
dt
2. Seja ~r : [0, +∞) −→ R3 a curva definida por ~r(t) = (a cos t, asent, bt) onde a > 0, b > 0.
d~r
Tem-se que esta curva é regular, pois (t) = (−asent, a cos t, 0) 6= (0, 0, 0), ∀t ∈ [0, +∞).
dt
Iremos denominar de “caminho de integração” a uma trajetória constituída por uma ou mais
(mas sempre em número finito) curvas regulares.
Definição 2.7. Comprimento de arco de uma curva regular.
Seja ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 uma curva regular, tal que ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k, e seja
t0 < t1 onde t0 , t1 ∈ [a, b].
O comprimento de arco da curva L representada por L(S) desde ~r(t0 ) até ~r(t1 ) é dado por
Zt1 Zt1 p
d~r [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 + [z 0 (t)]2 dt
L(S) = (t) dt =
dt
t0
2.2
t0
Campos vetoriais
Se a cada ponto P de uma região está associado exatamente um vetor que tenha P como sua
origem (ponto inicial), então a coleção de todos esse vetores constitui um campo vetorial.
Um campo de forças é um campo vetorial em que a cada ponto está associado um vetor força,
estes campos são comuns em estudos de mecânica e eletricidade.
Os campos vetoriais independentes do tempo, são chamados de campos vetoriais estacionários.
Sejam {~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1)} a base canônica de R3 .
Definição 2.8. Campo vetorial.
Seja D ⊂ R3 e consideremos uma transformação F~ : D −→ R3 , muitas vezes levando em
conta o significado físico ou geométrico de F~ , será conveniente interpretar F~ (X) com X ∈ D
como um vetor aplicado em X. Sempre que quisermos interpretar F~ (X) desta forma, referir-nos
a F~ como um campo vetorial e usaremos a notação F~ .
Um campo vetorial em três dimensões, é uma função F~ cujo domínio D ⊆ R3 e sua imagem
(contradomínio) é um subconjunto de R3 .
12
Cálculo Vetorial e Séries
Se (x, y, z) está em D ⊆ R3 então
F~ (x, y, z) = F1 (x, y, z)~i + F2 (x, y, z)~j + F3 (x, y, z)~k
onde Fi : R3 −→ Ri = 1, 2, 3,
são funções escalares.
Exemplo 2.7.
Realizar a descrição do campo vetorial F~ dado por F~ (x, y) = −y~i + x~j.
Solução.
A seguinte tabela mostra os vetores F~ (x, y) associados a vários pontos (x, y) assinalados na
Figura (2.1)
y
(x, y)
(1, 3)
(1, −3)
(3, 1)
(3, −1)
(−1, 3)
(−1, −3)
(−3, 1)
(−3, −1)
F~ (x, y)
−3~i + ~j
3~i + ~j
−~i + 3~j
~i + 3~j
−3~i − ~j
3~i − ~j
−~i − 3~j
~i − 3~j
6
4
P
i
3P
)
MBB
2
1
a a
−2
−4 −3
−1
B
B
B
0
a
1
−1
a
2
B
B
B
a a 3 4
x
−2
BNB
1
P
q −3 P
−4
?
Figura 2.1:
Para chegar a uma descrição de um campo vetorial F~ consideramos um ponto arbitrário
(x, y) e definimos o vetor de posição x~i + y~j de (x, y).
2.2.1
Gradiente. Divergente. Rotacional
Consideremos o campo vetorial F~ (x, y, z) = F1 (x, y, z)~i + F2 (x, y, z)~j + F3 (x, y, z)~k definido
no aberto D ⊂ R3 . Suponhamos que F1 , F2 , F3 sejam de de classe C 1 em D.
Definição 2.9. Gradiente.
O gradiente de F~ , que indicamos por ∇F~ , é o campo vetorial definido em D e dado por
∇F~ =
∂F1~ ∂F2 ~ ∂F3 ~
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
(2.1)
Definição 2.10. Divergente.
Seja F~ = (F1 , F2 , F3 ) um campo vetorial definido no aberto D ⊂ R3 e suponhamos que as
componentes F1 , F2 , F3 admitam derivadas parciais em D. O campo escalar div F~ : D −→ R
dado por
div F~ =
denomina-se divergente de F .
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
∂x
∂y
∂z
(2.2)
13
Christian José Quintana Pinedo
Definição 2.11. Rotacional.
O rotacional de F~ , que indicamos por rot F~ , é o campo vetorial definido em D e dado por
rot F~ = ~i
∂
∂x
F1
~j
∂
∂y
F2
Ainda mais, podemos indicar o rotacional como
~k
∂
∂z
F3
(2.3)
rot F~ = ∇ × F~
Exemplo 2.8.
Determinar o gradiente, divergente e rotacional de F~ (x, y, z) = xy 2 z 4~i + (2x2 y + z)~j + y 3 z 2~k.
Solução.
Tem-se: F1 = xy 2 z 4 , F2 = 2x2 y + z, F3 = y 3 z 2 , logo
∂F2
∂F3
∂F1
= y2z4,
= 2x2 ,
= 2y 3 z
∂x
∂y
∂z
∇F~ = y 2 z 4~i + 2x2~j + 2y 3 z~k
div F~ = y 2 z 4 + 2x2 + 2y 3 z
~
~k ~j
i
∂
∂
∂ rot F~ = ∂x ∂y ∂z F1 F2 F3 ∂F
∂F2 ~ ∂F3 ∂F1 ~ ∂F2 ∂F1 ~
3
rot F~ =
i−
j+
k=
−
−
−
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂x
rot F~ = (3y 2 z 2 − 1)~i + 4xy 2 z 3~j + (4xy − y 2 z 4 )~k =
Definição 2.12. Região simplesmente conexa.
Uma região D ⊂ R3 dizemos que é simplesmente conexa, se toda curva simples fechada L em
D pode-se deformar continuamente a um ponto sem sair de D.
São regiões simplesmente conexa, Figuras as (2.5) e (2.7); a Figura (2.6) não é simplesmente
conexa
Figura 2.2:
Figura 2.3:
Figura 2.4:
14
Cálculo Vetorial e Séries
2.3
Integral de linha
Chamamos caminho em Rn a qualquer função contínua ~r : [a, b] → Rn . A imagem de um
caminho chamamos curva ou linha. Dada uma curva Γ ⊂ Rn , se ~r : [a; b] → Rn for um caminho
tal que ~r([a; b]) = Γ, então ~r também se diz uma parametrização de Γ
Exemplo 2.9.
t
• Considere-se o caminho ~h : [0, 2] → R2 definido por h(t) = (t, + 1): A curva ~h([0; 2]) é
2
o segmento de recta que une os pontos (0; 1) e (2; 2).
• Dado o caminho ~s : [0, 2] → R2 definido por ~s(t) = (t; t2 + 2); a correspondente curva
~s([0, 2]) é o pedaço da parábola y = x2 + 2 com 0 ≤ x ≤ 2 :
Exemplo 2.10.
• Para os caminhos ~r : [0, 2] → R2 e ~s : [0, π] → R2 , definidos por
~r(t) = (cos t, sent)
e
~s(t) = (cos 2t, −sen2t)
as respectivas curvas, ~r([0, 2]) e ~s([0, 2]), coincidem com a circunferência de raio um
centrada na origem. O caminho ~s percorre a circunferência com o dobro da velocidade de
~r e no sentido oposto.
• O caminho ~r : [0, 2π] → R2 definido por
~r(t) =
percorre uma vez a elipse
2.3.1
r
cos2 t
2
(cos t, sent)
+ 2sen2 t
x2
+ y 2 = 1 no sentido anti-horário.
2
Integral de linha de uma função
Suponha-se que temos um fio Γ, cuja configuração é dada por uma certa função diferenciável
~r : [a, b] → R3 , com uma densidade de massa ρ.
Qual a massa total do fio?
Para termos um valor aproximado desta quantidade, podemos adoptar o esquema que já deve
ser familiar ao leitor. Ou seja, primeiro decompomos o intervalo [a, b] num núumero finito de
subintervalos
a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b
considerando ti+1 − ti = ∆t, e, de seguida, escrevemos a soma para obter aproximadamente a
massa.
M≈
n−1
X
i=0
ρ(~r(t)) k ~r(ti+1 ) − ~r(ti ) k=
n−1
X
i=0
ρ(~r(t)) k ~r(ti + ∆t) − ~r(ti ) k
15
Christian José Quintana Pinedo
Em princípio, melhores aproximações serãao obtidas se tomarmos para ∆t um valor mais
pequeno prozimo de zero. A massa total M sería então dada pelo limite:
lim
∆t→0
n−1
X
i=0
ρ(~r(t)) k ~r(ti + ∆t) − ~r(ti ) k
(2.4)
Observe que este limite
tem todos os ingredientes do que deve ser um integral e, portanto, é
Z
natural denotá-lo por
ρ.
Γ
No entanto, estas considerações não nos dão ainda uma forma prática de calcular o valor
exacto da massa total. Precisamos de simplificar o limite (2.4). Para isso, comecemos por notar
que
k ~r(ti + ∆t) − ~r(ti ) k
=k ~r0 (t) k
∆t→0
∆t
lim
logo
M=
Z
ρ = lim
∆t→0
Γ
= lim
∆t→0
n−1
X
n−1
X
i=0
ρ(~r(t))
i=0
M=
Zb
a
ρ(~r(t)) k ~r(ti + ∆t) − ~r(ti ) k
k ~r(ti + ∆t) − ~r(ti ) k
· ∆t
∆t
ρ(~r(t)) k ~r0 (t) k dt
supondo para a última igualdade que ρ e ~r são funções ”suficientemente regulares".
1
Por
Z exemplo, se ~r é de classe C e é contínua, essa igualdade é válida. Fazendo ρ = 1, vemos
que 1 dá-nos também o comprimento do fio.
Γ
Definição 2.13.
Seja f : Ω → R uma função, com Ω um aberto de Rn , e consideremos um caminho ~r : [a, b] →
Ω de classe C 1 . Notemos por Γ a respectiva curva, isto é, Γ = ~r([a; b]). Chamamos integral de
linha de f sobre o caminho ~r ao integral
Z
Γ
Quando se define o integral
Z
f=
Zb
a
ρ(~r(t)) k ~r0 (t) k dt
(2.5)
f =, é preciso ter em atenção que a parametrização utilizada
Γ
deve ser previamente estabelecida, uma vez que a fórmula (2.5) depende em geral de ~r. No
entanto, como vamos ver agora, resta-nos alguma liberdade para escolher a parametrização.
Sejam ~r : [a, b] → Rn e ~s : [c, d] → Rn dois caminhos de classe C 1 , para os quais existe
um difeomorfismo1 ϕ : [a, b] → [c, d] de classe C 1 (em particular, ϕ0 = 0 em [a, b]), tal que
1
Função diferenciável de modo que sua função inversa também é diferenciável
16
Cálculo Vetorial e Séries
~s(ϕ(t)) = ~r(t). Intuitivamente, os caminhos ~r e ~s percorrem a mesma curva, com os mesmos
pontos de inflexão, passando em cada ponto igual número de vezes, mas com velocidades e
sentidos eventualmente diferentes. Assim, uma vez que
~s 0 (ϕ(t))ϕ 0 (t) = ~r 0 (t)
temos
Zd
c
0
f (~s(u)) k ~s (u) k du =
Zb
a
0
0
f (~s(ϕ(t))) k ~s (ϕ(t)) kk ϕ (t) k du =
Zb
a
f (~r(t)) k ~r 0 (t) k dt
onde na primeira igualdade utilizámos o Teorema da Mudança de Variável para integrais unidimensionais.
Exemplo 2.11.
Consideremos os caminhos ~r : [0, 2π] → R2 e ~s : [0, π] → R2 , definidos por
~r = (cos t, sent)
~s = (cos 2t, sen2t)
Estes caminhos s ao parametrizações diferentes para uma mesma curva: ~r([0, 2π]) = ~s([0, π]).
~ = ~r(t), sendo ϕ : [0, 2π] → [0; π] o difeomorísmo de classe C 1 definido por
Como ϕ(t)
t
ϕ(t) = π − , temos que o integral de linha de uma função f sobre o caminho ~r é igual ao
2
integral de linha de f sobre o caminho ~s.
Exemplo 2.12.
Calculemos o comprimento L da hélice cilíndrica parametrizada por ~r(t) = (cos 2t, sen2t, t),
[0, 5π]
Figura 2.5:
Tem-se L =
Z5π
0
Figura 2.6:
k ~r (t) k=
Z5π
0
Figura 2.7:
k (−2sen2t, 2 cos 2t, 1) k=
Z5π √
Z5π p
√
5dt = 5 5π
k 4(sen2 2t + cos2 2t) + 1 k=
L=
0
0
t∈
Christian José Quintana Pinedo
Exemplo 2.13.
Exemplo 2.14.
Exemplo 2.15.
17
18
Cálculo Vetorial e Séries
Lembrando que integrais definidas (ou integrais duplas) de funções escalares cujas imagens
são não negativas em todos os pontos do domínio D, são números também não negativos e que
representam a área da região do plano acima de D e abaixo da curva gráfico da função de uma
variável (ou o volume do sólido no espaço acima de D e abaixo da superfície gráfico da função
de duas variáveis).
Existem situações não contempladas nos casos acima descritos. Por exemplo, se quisermos
calcular a área de um "muro"construído sobre uma curva e cuja altura é variável não é possível
fazê-lo através de integral definida nem de integral dupla.
Porém, o cálculo dessa área segue o mesmo princípio, dando origem a um novo tipo de
integrais, as integrais de linha ou integrais curvilíneas.
O conceito de integral de linha constitui uma generalização do conceito de integral definida
Zb
f (x)dx. No caso da integral definida, a integral é efetuada ao longo do segmento de reta ab
a
−
→
pertencente ao eixo dos 0x, sendo f (x) uma função definida em qualquer ponto deste segmento
de reta.
Problema 2.3.1.
Consideremos uma curva L unindo dois pontos no plano x0y e uma função z = F~ (x, y)
contínua em D onde D é uma região do plano contendo a curva L.
Um muro é construído ao longo de L e tem altura igual à F~ (x, y) (supondo que F~ seja não
negativa em D) em cada ponto (x, y)) de L. Qual é a área deste muro?.
Solução.
Para resolver o problema nós tomamos um partição da
curva L obtendo n arcos pela introdução de n − 1 pontos
em L entre os seus extremos.
Seja ~r : [a, b] −→ R3 uma curva regular, tal que
~r([a, b]) = L ⊂ R3 é a imagem de ~r.
Agora consideremos F~ : L ⊂ R3 −→ R uma função
Figura 2.8:
definida sobre a curva L.
Consideremos P = { t0 , t1 , t2 , · · · , tn } uma partição
de [a, b] tal que a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b.
Estes pontos determinam uma partição da curva L pelos pontos ~r(a) = ~r(t 0 ), ~r(t1 ), ~r(t2 ), · · · , ~r(ti ) =
(xi , yi , zi ), · · · , ~r(tn ) = ~r(b).
Traçando retas verticais por esses pontos (inclusive os extremos) dividimos o muro em n
"tiras". Denotando por ∆Ai a área da i-ésima "tira"a área do muro é dada por
Área = ∆A1 + ∆A2 + · · · + ∆An =
Em cada subintervalo [ti−1 , ti ] para i =
1, 2, , · · · , n escolhemos um ponto arbitrário
t̂i tal que ~r(t̂i ) = (x̂i , ŷi , ẑi ) ∈ L.
n
X
i=1
∆Ai
19
Christian José Quintana Pinedo
Vejamos uma aproximação para a área da
i-ésima tira, ∆Ai .
Para isso, tomemos no i-ésimo arco,
~r(ti−1 )~r(ti ), um ponto (x̂i , ŷi , ẑi ) e consideremos a altura F~ (x̂i , ŷi , ẑi ) do muro neste ponto.
O comprimento do arco ~r(ti−1 )~r(ti ) denotaremos por L(Si ). Isto é,
L(Si ) =
Zti p
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 + [z 0 (t)]2 dt
ti−1
é o comprimento de arco da curva compreendida de ~r(ti−1 ) a ~r(ti ).
Como F~ é uma função contínua e a i-ésima tira é estreita podemos aproximar o valor de
F~ para F~ (x̂i , ŷi , ẑi ) em todo (x, y, z) do arco ~r(ti−1 )~r(ti ) . Assim, a área da i-ésima tira é
aproximada por
∆Ai ≈ F~ (x̂i , ŷi , ẑi )L(Si )
enquanto a área do muro tem aproximação
Área do muro ≈
n
X
F~ (x̂i , ŷi , ẑi )L(Si )
i=1
Como podemos intuir, se aumentarmos indefinidamente o número de arcos na partição, em
cada arco o comprimento tende a zero e a função F~ tende a assumir o valor constante F~ (x̂i , ŷi , ẑi )
. Desta forma a área do muro é
Área do muro = lim
n→∞
n
X
F~ (x̂i , ŷi , ẑi )L(Si )
i=1
que sabemos tratar-se de uma integral e que é chamada
integral de linha ou integral curvilínea
Z
da função F~ ao longo da curva L e denotaremos
F~ (x, y, z)dS. Assim,
L
Área do muro =
Z
F~ (x, y, z)dS
L
Definição 2.14.
Se existe um número M ∈ R tal que para todo > 0 existe um δ > 0 tal que
n
X
~
F (x̂i , ŷi , ẑi )L(Si ) − M < i=1
para toda partição P = { t0 , t1 , t2 , · · · , tn } de L, então dizemos que existe a integral curvilínea
20
Cálculo Vetorial e Séries
de F~ com respeito ao comprimento de arco L e se escreve como
Z
F~ (x, y, z)dS = M =
L
lim
kL(Si )k→0
n
X
F~ (x̂i , ŷi , ẑi )L(Si )
(2.6)
i=1
Onde kL(Si )k é o comprimento máximo de arco correspondente à partição considerada.
Observe que F~ (x, y, z) e dS estão em R, porém dS é a imagem do diferencial d~r ∈ R3 e
a função F~ : L ⊂ R3 −→ R, podemos escrever como a função vetorial F~ = (F1 , F2 , F3 ), assim
justifica-se o produto interno F~ • d~r sobre a curva L
Logo, a igualdade (2.6) em notação vetorial esta definida como
Z
F~ (x, y, z)dS =
L
Z
F~ (~r) • d~r =
L
Zb
a
d~r
F~ [~r(t)] • (t)dt
dt
Em coordenadas cartesianas, se conseguirmos representar paramétricamente as coordenadas
(x, y, z) em função de somente um parâmetro t, teríamos que
Z
F~ (~r) • d~r =
Z
(F1 dx + F2 dy + Fz dz) =
[F1
a
L
L
Zb
uma vez que temos x = x(t), y = y(t) e z = z(t) logo, x0 =
dx
dy
dz
+ F2
+ F3 ]dt
dt
dt
dt
(2.7)
dx 0 dy
dz
,y =
e z0 =
, etc.
dt
dt
dt
Observação 2.1.
Podemos calcular a integral de linha de uma função ao longo de uma curva, mesmo que
ela assuma também valores negativos em pontos desta curva. Como nas integrais definidas o
resultado será a diferença entre a área onde a F~ é não negativa e a área onde a F é negativa.
Desta forma, não há restrição para o resultado da integral de linha, podendo ser positivo, negativo
ou nulo.
Propriedade 2.1.
Seja ~r : [a, b] −→ R3 uma curva regular definida por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) tal que ~r(t) =
L ⊂ R3 é a imagem de ~r.
Quando F~ : L ⊂ R3 −→ R seja uma função contínua sobre L, então:
Z
L
F~ (x, y, z)dS =
Zb
F~ (~r(t))|~r (t)|dt =
a
0
Zb
F~ (x(t), y(t), z(t))∇~r(t)dt
a
Um caso típico de problemas em Física e Química que envolvem integrais de linha é o trabalho
efetuado por uma força variável para transportar um corpo de massa m do ponto A até ao ponto
B através de uma trajetória curvilínea L.
Exemplo 2.16.
21
Christian José Quintana Pinedo
De dois modos diferentes, calcular a integral de linha do campo F~ (x, y) = (x2 , y 2 ) sobre a
parábola L : y = x2 , desde A(0, 0) até B(1, 1).
Solução.
1. Parametrizamos a curva L mediante ~r(t) = (t, t2 ), t ∈ [0, 1], logo ~r 0 (t) = (1, 2t) e
F~ (~r(t)) = (t2 , t4 ). Aplicando a igualdade (2.7) segue
Z
F~ (~r) • d~r =
L
Z
2
2
(x dx + y dy) =
dy
dx
+ F2 ]dt =
[F1
dt
dt
√
t t
, ),
2 4
Aplicando a igualdade (2.7) segue
2. Parametrizamos L por ~r(t) = (
F~ (~r) • d~r =
L
Z4
0
Z1
[(t2 )(1) + (t4 )(2t)]dt =
2
3
0
0
L
Z
Z1
1 1
t t2
t ∈ [0, 4], logo ~r 0 (t) = ( √ , ) e F (~r(t)) = ( , ).
4 16
4 t 4
t t2
1 1
( ,
)( √ , )dt =
4 16 4 t 4
Z4 √
t2
2
t
+ )]dt =
[(
16
64
3
0
Exemplo 2.17.
Consideremos uma força ~r(t) = x(t)~i+y(t)~j +z(t)~k que atua sobre uma partícula que descreve
a trajetória ~r(t) = ~i cos t + ~jsent + 3t~k 0 ≤ t ≤ 2π, que corresponde à hélice ilustrada na Figura
(2.10):
Temos portanto, que
x(t) = cos t, y(t) = sent, z(t) = 3t
pelo que o trabalho está representado por
Z
F~ (~r) • d~r =
L
Z2π
(−3tsent + cos2 t + 3sent)dt = 7π
0
uma vez que
F~ (~r) • d~r = (3t~i + cos t~j + sent~k) • (−~isent + ~j cos t + 3~k).
Exemplo 2.18.
Calcular a integral de linha
ponto B(2, 3).
Z
Figura 2.10:
(xy + 3x)ds, sendo L o segmento que une o ponto A(−1, 0) ao
L
Solução.
Primeiro temos de parametrizar a curva L
y−0=
3−0
(x + 1),
2+1
~r(t) = (t, t + 1),
y =x+1
t ∈ [−1, 2]
22
Cálculo Vetorial e Séries
r0 (t) = (1, 1),
Z
(xy + 3x)ds =
Z2
|r 0 (t)| =
√
√
1+1= 2
0
(x(t)y(t) + 3x(t))|r (t)|dt =
√
√
[t(t + 1) + 3t] 2dt = 9 2
−1
−1
L
Z2
Observe que a parametrização usada foi através da equação reduzida de uma reta no plano,
e o intervalo de variação do parâmetro foi dado pelas abcissas dos pontos de extremidade do
segmento de reta, já que foi considerado x = t. O resultado obtido seria o mesmo se tomássemos
~ Ou seja, o vetor
as equações paramétricas da reta para parametrizar o segmento(orientado) AB.
diretor é ~v = B − A = (3, 3) sendo a parametrização dada por
ou
t ∈ [0, 1]
~r(t) = (−1 + 3t, 3t),
Sugerimos que calcule a integral de linha
Z
~r(t) = A − t~v ,
t ∈ [0, 1]
(xy + 3x)ds, usando esta parametrização. Deverá
L
dar o mesmo resultado pois a integral de linha é independente da parametrização.
Claramente se observa mediante a definição a relação que existe entre uma “integral de linha"
e uma “integral definida" sobre o eixo coordenado. No entanto, não é difícil compreender que a
“integral de linha" é mais geral e flexível do que o seu parente mais pobre, a “integral definida".
2.3.2
Propriedades Fundamentais da integral de linha
As integrais de linha satisfazem algumas propriedades de certa forma intuitivas, tendo em
consideração que constituem uma generalização das integrais definidas, Se k ∈ R é uma constante
arbitrária e as curvas L1 e L2 são ilustradas na Figura (2.11), então:
Z
Z
~
1.
k F (~r) • d~r = k F~ (~r) • d~r
L
2.
Z
3.
Z
L
~ r)] • d~r =
[F~ (~r) + G(~
L
L
Z
F~ (~r) • d~r +
L
F~ (~r) • d~r =
Z
F~ (~r) • d~r +
L1
Z
~ r) • d~r
G(~
L
Z
F~ (~r) • d~r
L2
Para a demonstração destas propriedades, basicamente
se utilizam as propriedades dos limites e dos somatórios.
Quando calculamos uma integral de linha através de
uma curva L, estamos trabalhando com uma determinada
orientação desta curva. Se o caminho de integração for
percorrido no sentido inverso, então o valor do integral de
linha fica com sinal contrária.
Figura 2.11:
Z É de observar que a expressão da integral de linha
F~ (~r) • d~r no contexto da mecânica, tem um significado particularmente simples:
L
23
Christian José Quintana Pinedo
Se dividirmos a trajetória L em pequenos segmentos de reta de comprimento |d~r| que rep-
resentaremos por vetores elementares d~r, então a integral de linha não é mais do que a soma,
para todos os segmentos infinitesimais (e no limite em que |d~r| tende para zero) da componente
eficaz de F~ em cada segmento. Claro, a componente eficaz de F~ (pense F~ em como uma força e
o integral como o cálculo de um trabalho) não é mais do que a projeção de F~ segundo a direção
especificada por d~r em cada segmento de reta elementar.
É importante ter em conta que as integrais de linha dependem do caminho de integração
escolhido, mesmo quando os pontos inicial e final são os mesmos. Esta afirmação podemos
confirmar com o seguinte exemplo:
Exemplo 2.19.
Calcular a integral de caminho da função F~ (~r) = 5z~i + xy~j + x2 z~k segundo dois caminhos de
integração distintos, mas com os mesmos pontos iniciais A = (0, 0, 0) e B = (1, 1, 1).
Solução.
1. Suponhamos o caminho L1 do segmento de reta que liga A a B, mediante a função ~r1 (t) =
t~i + t~j + t~k. Fazendo as substituições de ~r(t) em F~ (~r) obtemos:
F~ (r~1 (t)) = 5t~i + t2~j + t3~k
d
~r1 (t) = ~i + ~j + ~k
dt
pelo que as integrais valem
Z
F~ (~r) • d~r =
L1
Z1
(5t~i + t2~j + t3~k)(~i + ~j + ~k)dt =
Z1
(5t + t2 + t3 )dt =
37
12
0
0
2. Por outro lado, suponhamos o caminho L2 que é o arco da curva parabólica ~r2 (t) = t~i+t~j+t2~k.
Fazendo as substituições de ~r2 (t) em F~ (~r) obtemos:
F~ (r~2 (t)) = 5t2~i + t2~j + t4~k
d
~r2 (t) = ~i + ~j + 2t~k
dt
pelo que as integrais valem
Z
F~ (~r) • d~r =
L2
Z1
(5t i + t j + t k)(~i + ~j + 2t~k)dt =
2~
2~
4~
0
Z1
(5t2 + t2 + 2t5 )dt =
7
3
0
−
→
Suponhamos agora a curva não está restrita a ser parte do eixo 0x, mas sim pode ser um
caminho de integração qualquer, inclusive esta curva pode ser do tipo “curva fechada" como se
ilustra na Figura (2.12).
Fica então a questão:
Será que existem funções para as quais os integrais de linha entre dois pontos
específicos não dependa da trajetória que os liga?
24
Cálculo Vetorial e Séries
Figura 2.12:
Neste caso, quando a curva L for fechada teremos que a integral nem sempre é zero sendo a
pergunta natural. Porque?
Como é evidente da expressão acima, a complicação reside na representação paramétrica da
curva, que nem sempre é trivial.
I
Se o caminho de integração é uma curva é fechada, geralmente a integral escreve-se
d~r.
F~ (~r) •
Exemplo 2.20.
Determine o valor da integral
Z
F~ para F~ (x, y) = (x + y, y 2 ),
6y
L
onde L é a curva fechada da Figura (2.13).
(1, 1)
1
Solução.
L3
Temos que L = L1 ∪ L2 ∪ L3 , logo
Z
F~ =
L
a)
Z
F~ +
L1
L2
L1 : x = t, e y = 0,
Z
F~ =
L1
F~ =
L2
Z
L3
F~ =
Z
Z
L3
0
F~
L3
x
L1
1
Figura 2.13:
2
(x + y, y )(dx, dy) =
Z1
(t, 0)(dt, 0) =
1
2
(2.8)
0
t ∈ [0, 1],dx = 0, dy = dt, logo
(x + y, y 2 )(dx, dy) =
(x + y, y )(dx, dy) =
Z1
(1 + t, t)(0, dt) =
0
L2
2
L2
6
t ∈ [0, 1],dx = dt, dy = 0, logo
c) L3 : x = 1 − t, e y = 1 − t,
Z
F~ +
Z
L1
b) L2 : x = 1, e y = t,
Z
Z
Z1
0
Z1
t2 dt =
1
3
(2.9)
0
t ∈ [0, 1],dx = −dt, dy = −dt, logo
2
(2 − 2t, (1 − t) )(−dt, −dt) = −
Das igualdades (2.8), (2.9) e (2.10) segue que
Z
L
Z1
0
(2t − t2 )dt = −
1
1 1 4
F~ = + − = − .
2 3 3
2
4
(2.10)
3
25
Christian José Quintana Pinedo
2.3.3
Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha
Teorema 2.1.
Um integral de linha
Z
F~ (~r) • d~r =
Z
(F1 dx + F2 dy + F3 dz) com F1 , F2 , F3 contínuas
L
L
num domínio D ⊆ R3 , é independente do caminho de integração em D se, e somente se F~ é o
gradiente de uma função f em D.
Como é evidente, se a integral entre os pontos a e b que constituem os extremos do caminho
de integração L é independente do caminho que une estes dois pontos, então ele só pode depender
desses pontos, pelo que podemos escrever
Z
F~ (~r) • d~r = f (a) − f (b)
(2.11)
L
Demonstração.
∂f ~ ∂f ~ ∂f ~
Com efeito, seja F~ = (F1 , F2 , F3 ) = ∇f =
k, então
i+
j+
∂x
∂y
∂z
Z
F~ (~r) • d~r =
Z
(F1 dx + F2 dy + F3 dz) =
=
Zb a
(F1 x0 + F2 y 0 + F3 z 0 )dt
a
C
C
Zb
Zb
∂f dx ∂f dy ∂f dz
df
dt =
+
+
dt = f (a) − f (b)
∂x dt
∂y dt
∂z dt
dt
a
Isso significa que o integral de linha de uma função deste tipo ao longo de uma trajetória
fechada é nula, independente da trajetória.
Como vimos, a independência do caminho de integração relaciona o campo vetorial com o
gradiente de um campo escalar f . Não é de estranhar o seguinte resultado
Propriedade 2.2.
Sejam
contínuas com derivadas parciais contínuas num domínio D ⊂ R3
Z
Z F1 , F2 , F3 funções
F~ (~r) • d~r = (F1 dx + F2 dy + F3 dz). Então:
tal que
L
L
1. Se a integral de linha é independente do caminho de integração em D, tem-se que rot F~ = 0
pelo que, em coordenadas cartesianas, podemos escrever:
∂F1
∂F3
=
,
∂z
∂x
∂F2
∂F1
=
,
∂x
∂y
∂F3
∂F2
=
∂y
∂z
∂F1
∂F3
∂F2
∂F1
∂F3
∂F2
=
,
=
,
=
em D, sendo D é simplesmente
∂z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
Z
conexo, então
F~ (~r) • d~r é independente do caminho em D.
2. Caso aconteça
L
26
Cálculo Vetorial e Séries
2.3.4
Aplicações da integral de linha
Seja ~r : [a, b] −→ R3 a representação de uma curva regular L e seja F~ : L ⊂ R3 −→ R uma
função contínua sobre L.
1. Se L representa a trajetória de um fio de arame em R3 e F~ (x, y, z) = 1,
tem-se que o comprimento L desse fio é dado por
L=
Z
F~ (x, y, z)dS =
L
Z
∀ (x, y, z) ∈ L,
dS
L
2. Se ρ : L ⊂ R3 −→ R é a função de densidade da massa de um fio de arame representada pela
curva L, então a massa do arame é dado por
M=
Z
ρ(x, y, z)dS
L
Portanto, o centro de massa do arame (x̄, ȳ, z̄), onde
x̄ =
Z
xρ(x, y, z)dS
L
M
,
ȳ =
Z
yρ(x, y, z)dS
L
M
,
z̄ =
Z
zρ(x, y, z)dS
L
M
3. Seja F~ = (F1 , F2 , F3 ) a representação de uma força, e seja L uma curva em R3 , suponhamos
que uma partícula se movimenta ao longo de L. O trabalho total realizado pela força F~
ao longo da curva L é dado por
W =
Z
F~ • d~r
L
Exemplo 2.21.
Uma partícula se movimenta no plano XY ao longo da reta A(a, b) ao ponto B(c, d), devido
y
x
à força F~ = (− 2
,− 2
). Determine o trabalho W realizado pela força F~ .
x + y2
x + y2
Solução.
Tem-se que a curva esta representada pela função ~r(t) = (a + t(c − a), b + t(d − b)) sendo
0 ≤ t ≤ 1, logo o trabalho ao longo da curva L é
W =
Z
L
W =−
Z1 0
F~ • d~r =
Z
(−
x
y
,− 2
)(dx, dy)
x2 + y 2
x + y2
L
2
a + b2
[a + t(c − a)]c + [b + t(d − b)]d
1
dt = Ln 2
[a + t(c − a)]2 + [b + t(d − b)]2
2
c + d2
27
Christian José Quintana Pinedo
2.4
Teorema de Green
Existe uma importante relação entre as integrais duplas e as integrais de linha sobre curvas
fechadas simples, que a continuação discutiremos. Vejamos como é possível relacionar integrais
de linha com integrais duplas e vicê versa. Esse é o resultado contido no teorema de Green no
plano.
Se F~ = (F1 , F2 ) é o gradiente de um campo escalar, e se no teorema fundamental do calculo
para integrais de linha os pontos a e b coincidem, então o teorema nos diz que a integral de
linha de F~ ao longo de uma curva fechada (com restrições sobre a região D) é nula. Se F~ não
é gradiente de uma função escalar, a integral de linha pode ser relacionada à variação de F~ na
região fechada. O teorema de Green é para curvas no plano:
Teorema 2.2. De Green.
Seja L uma curva regular simples e fechada orientada positivamente e seja D ⊂ R2 a região
simplesmente conexa que consiste em L e seu interior. Se F1 (x, y) e F2 (x, y) são funções
contínuas com derivadas parciais primeiras contínuas em toda uma região contendo D, então
Z Z D
I
∂F2 ∂F1
−
dxdy = [F1 dx + F2 dy]
∂x
∂y
(2.12)
L
A demonstração deste teorema, implica um argumento de aproximação que não será apresentado. É exercício para o leitor.
Como F~ = F1~i + F2~j é um campo vetorial de classe C 1 no aberto D ⊂ R2 e seja L como no
∂F2
∂F1
Teorema de Green. Como
−
= (rotF~ ) • ~k, a expressão (2.12) pode reescrever-se em
∂x
∂y
notação vetorial da seguinte forma:
Z Z
(rotF~ ) • ~kdxdy =
D
I
F~ • d~r
L
O integrando sobre a região D é visto como algum
tipo de derivada do integrando ao longo do contorno
que determina a região. Nesta forma, o teorema de
Green é, também conhecido como teorema de Stokes
no plano.
∂F1
∂F2
−
= 1 então a área de D é
∂x
∂y
I
Área(D) = F1 dx + F2 dy
Para o caso
dada por
L
O Teorema de Green podemos estender a conjuntos
Figura 2.14:
mais gerais.
Suponhamos D uma região fechada e limitada do plano XY delimitada por uma curva L que
se pode representar como a união disjunta de um número finito de curvas lisas como indica a
Figura (2.14).
28
Cálculo Vetorial e Séries
Isto é, suponhamos que o conjunto D tem como fronteira as curvas fechadas α 1 e α2 que
percorrem no sentido positivo (anti-horário) em relação a D. Isto significa que a região D sempre
fica no lado esquerdo quando uma partícula se movimenta sobre α1 e α2 .
Corolario 2.4.1.
Seja D um conjunto fechado e limitado de R2 tal que a fronteira percorre um número finito
de curvas fechadas simples Lk e suponhamos que cada Lk está orientada positivamente respeito
de D.
Se F1 , F2 : D ⊂ R2 −→ R são funções contínuas em uma vizinhança de D, então
Z Z D
n I
X
∂F2 ∂F1
−
dxdy =
F1 dx + F2 dy
∂x
∂y
(2.13)
k=1L
k
Exemplo 2.22. Transformação de integral de linha em uma de área.
Z
Calcular
x4 dx + xydy , onde L é a curva triangular que une os pontos (0, 0), (0, 1) e
L
(1, 0), orientada positivamente.
Solução.
O gráfico indica la região limitada pela curva L.
y
6
1
Tem-se:
∂F1
= 0 e;
∂y
∂F2
= y, logo
F2 (x, y) = xy ⇒
∂x
Z
Z Z
∂F1 ∂F2
4
x dx + xydy =
(
−
)dxdy =
∂y
∂x
F1 (x, y) = x4
@
@
? @ y =1−x
I
@
@
x
- @
-
0
1
Figura 2.15:
L
⇒
D
1−x
Z1
Z1 Z
1 1
1 2 1−x
1
ydydx =
=
y dx = (1 − x)3 =
2 0
2
6
0
0
0
0
Observe que se hubiesemos resolvido a integral curvilínea deveriamos ter resolvido três integrais com as correspondentes parametrizações.
Exemplo 2.23.
Calcular a integral I =
x2 + y 2 = ax
I
[(xy+x+y)dx+(xy+x−y)dy] onde L é a fronteira da circunferência
L
Solução.
Fazendo F1 = (xy + x + y) e F2 = (xy + x − y) tem-se que
∂F1
= x + 1,
∂y
∂F2
=y+1
∂x
29
Christian José Quintana Pinedo
A mudança de variável x = r cos θ e y = rsenθ para 0 ≤ r ≤ a cos θ e −
descreve a circunferência dada, logo
π
π
≤θ≤
2
2
π
I=
Z Z
(y − x)dxdy =
D
Z2 cos
Z θ
− π2
= (−r cos θ + rsenθ)rdrdθ
0
π
=
a3
3
Z2
− π2
[−cos4 θ + cos3 θsenθ]dθ = −
Portanto, o valor da integral I = −
a2 π
8
a2 π
.
8
Observação 2.2.
Existe uma ambigüidade no sentido em que a curva fechada é percorrida. Como vimos, neste
−π
π
caso, ao integrar entre
e
estamos explicitamente a rodar no sentido anti-horário. Este
2
2
coincide com o sentido de circulação positivo.
O sentido de circulação é positivo quando se circula ao longo da curva fechada de tal modo
que a área que esta delimita se encontra à esquerda como indica a Figura (2.14).
Exemplo 2.24. Limitações na aplicação do Teorema de Green.
Dado F (x, y) = (F1 , F2 ) =
(−y~i + x~j)
(x2 + y 2 )
a) Calcular a integral de linha sobre circunferência x2 + y 2 = 1
Z Z
∂F2 ∂F1
b) Calcular Área =
−
dA, onde D es la região limitada pela curva de a).
∂x
∂y
D
c) Estes resultados estão de acordo o no con el Teorema de Green?
Solução.
a) Parametrizando a circunferência x2 + y 2 = 1
x = cos t
F1 (x, y) =
F2 (x, y) =
⇒
dx = −sentdt,
y = sent
−y
(x2 + y 2 )
⇒
F1 (x(t), y(t)) =
x
+ y2 )
⇒
F2 (x(t), y(t)) =
(x2
⇒
dt = cos tdt,
−sent
(cos t2 + sent2 )
⇒
F1 dx = sen2 tdt
cos t
+ sent2 )
⇒
F2 dy = cos2 tdt
(cos t2
Integrando obtemos:
Z
L
Z2π
[F1 dx + F2 dy] = [sen2 t + cos2 t]dt = 2π
0
0 ≤ t ≤ 2π
30
Cálculo Vetorial e Séries
b) Fazendo os cálculos diretamente en coordenadas cartesianas é:
∂F1
−(x2 + y 2 ) + 2y 2
y 2 − x2
=
=
∂y
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
∂F2
=
∂x
(x2
y2 )
2x2
+
−
2
(x + y 2 )2
x2
x2





⇒

−


= 2

2
2
(x + y )
Área =
Z Z
∂F2 ∂F1
−
=0
∂x
∂y
⇒
∂F2 ∂F1
−
dA = 0
∂x
∂y
D
c) Aparentemente estes resultados contradizem o Teorema de Green. Não obstante, este último
não é aplicável à região en questão, dado que as funções F1 e F2 não têm derivadas parciais
contínuas no ponto (0; 0), que está contido na região.
Exemplo 2.25. Determinação de área mediante uma integral de linha.
Determine a área da região limitada pela hipociclóide que tem como equação vetorial
~r(t) = cos3 t ~i + sen3 t ~j,
0 ≤ t ≤ 2π
Solução.
Da parametrização da curva temos:
x = cos3 t
⇒
x2/3 = cos2 t e
y = sen3 t
Somando membro a membro temos:
x2/3 + y 2/3
⇒
y 2/3 = sen2 t.
p
= cos2 t + sen2 t = 1 então y = ± 3 (1 − x2/3 )2 e; Área =
Este cálculo, utilizando a integral de área, é bas-
Z1
−1 −
√
3
√
3
2/3 )2
(1−x
Z
dydx.
(1−x2/3 )2
tante complicado.
O teorema de Green permite transformar esta integral em uma outra integral curvilínea, usando como
trajetoria a hipociclóide do enunciado e definindo uma
função apropriada para a integração. Lembre
Z Z que a
área de uma região D é dada por Área =
dA.
D
Assim, para aplicar Green deberíamos achar funções
∂F2 ∂F1
−
= 1.
F1 e F2 tais que
∂x
∂y
Um par de funções simples que cumprem esta
Figura 2.16:
condição são: F1 = 0 e F2 = x.
do a parametrização, podemos escrever:
d
x(t) = cos3 t ⇒
x(t) = −3 cos2 tsent e y(t) = sen3 t
dt
⇒
d
y(t) = 3sen2 t cos t
dt
31
Christian José Quintana Pinedo
Logo, Área =
Z Z
dA =
D
=3
Z2π
Z
[F1 dx + F2 dy] =
3
cos t sen tdt =
4
2
0
3
Área =
8
cos3 t3sen2 t cos tdt =
0
L
4
Z2π
Z2π
3
cos t sen 2tdt =
8
2
2
0
Z2π
(1 + cos 2t)sen2 2tdt =
0
Z2π
Z2π
3
2
2
(sen 2t + sen 2t cos 2t)dt =
(1 − cos 4t) + 2sen2 2t cos 2t)dt =
16
0
0
3
1
2
3
2π
3
Área =
t − sen4t + sen 2t = π
16
4
3
8
0
Deste modo como podemos observar, aplicamos uma ferramenta para obter a área de uma
região limitada por uma curva fechada, que podemos adicionar ao método das coordenadas
polares.
Exemplo 2.26. Aplicação do teorema de Green a un problema físico sobre uma região não
conexa.
Determinar o momento de inércia de uma arandela homogênea de radio interno a, radio
externo b e massa M , respecto a um de seus diâmetros.
Solução.
Determinemos o momento de inércia respeito ao
diâmetro colinear con o eixo x. Da Física sabemos que:
Ix =
Z Z
ρy 2 dA
Onde ρ é a densidade superficial da arandela,
supondo constante dado que é homogênea.
Esta região não é simplesmente conexa porém,
como
vimos
puedemos
estender
o
teorema
de
Green a este tipo de região com buracos, conFigura 2.17:
siderando:
Z Z Z
Z
∂F2 ∂F1 dA = F1 dx + F2 dy − F1 dx + F2 dy
−
∂x
∂y
D
L1
L2
Assim, podemos calcular a integral dupla do momento de inércia como duas integrais.
Para isto debemos achar funções F1 , F2 tais que:
1
Consideremos por exemplo F2 = 0 e F1 = − y 3
3
∂F2 ∂F1
−
= y2
∂x
∂y
32
Cálculo Vetorial e Séries
Aplicando Green con esta função tenemos:
Ix =
Z Z
ρy 2 dA = −
D
Z
1
ρ y 3 dx +
3
L1
Z
1
ρ y 3 dx
3
L2
Parametrizando estas curvas tenemos:
(
x = b cos t ⇒ dx = −bsent dt
L1 =
y = bsent ⇒ dy = b cos t dt
L2 =
(
x = a cos t
y = asent
⇒
⇒
(2.14)
0 ≤ t ≤ 2π
dx = −asent dt
0 ≤ t ≤ 2π
dy = a cos t dt
Substituindo em (2.14)
Ix =
Z Z
D
2
ρy dA =
Z2π
0
1
Ix = ρ (b4 − a4 )
3
1
ρ b3 sen4 t dt −
3
Z2π
0
Z2π
0
1
1
ρ a4 sen4 t dt = ρ (b4 − a4 )
3
3
1
sen t(1 − cos t)dt = ρ (b4 − a4 )
3
1
Ix = ρ (b4 − a4 )
3
2
Z2π 0
2
Z2π
sen4 t dt =
0
Z2π
sen2 2t
)dt
(sen2 t −
4
0
1
1 − cos 2t 1 − cos 4t
dt = ρ(b4 − a4 )π
−
2
8
4
Como a massa M = b2 − a2 segue que
1
1
Ix == ρπ(b4 − a4 ) = ρπM (b2 − a2 )
4
4
Isto é o modo de expressar o momento de inércia: como o produto de um comprimento ou
soma de comprimentos ao quadrado pela massa da arandela.
33
Christian José Quintana Pinedo
Exercícios 3-1
1. Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado.
1. f (x, y, z) = x2 03y 2 + 4z 2
2. f (x, y, z) = sen(x2 + y 2 + z 2 )
3. f (x, y, z) = arctan(xy)
4. f (x, y, z) = y 2 e−3x
2. Para cada um dos seguintes exercícios, determine a integral de linha.
Z h
i
x2
2y
1
p
1.
dx + 2
dy
onde L é o arco y = x2 de (0, 0) até (2, 2).
2
2
2
4x + y
2
x −y
L
Z
1
5
2.
[(x2 − 2y)dx + (2x + y 2 )dy] onde L é o arco y 2 = 4x − 1 de ( , 0) até ( , 2).
4
4
L
Z
3.
[(x + y)dx + (x − y)dy]
L
4.
−→ −−→
1. Através da curva L que é o segmento OA e AB onde A(2, 0), B(2, 1 e O(0, 0).
−−→
2. Através da curva L que é o segmento OB.
Z
√
[ydx + (x2 + y 2 )dy] onde L é o arco da circunferência y = 4 − x2 de (−2, 0) até
L
5.
(0, 2).
Z h
i
−y
1
p
dx + p
dy onde L é o arco da curva x2 − y 2 = 9 de (3, 0) até
x x2 − y 2
x2 − y 2
L
6.
7.
(5, 4).
Z
p
π
y 2 sen2 x 1 + cos2 xds onde L é o arco da curva y− = senx de (0, 0) até ( , 1).
2
L
Z
y 2 dx − xdy onde L é a curva y 2 = 4x de (0, 0) até (1, 2).
L
8.
Z
x2 dy onde L é a curva y = x3 − 3x2 + 2x desde (0, 0) até (2, 0).
9.
Z
[(y − x)dx + x2 ydy] onde L é a curva y 2 = x3 desde (1, −1) até (1, 1).
L
L
10.
Z
xy 2
dy onde L é o círculo x2 + y 2 = a2 no sentido anti-horário.
x2 + y 2
11.
Z
xdy onde L é o segmento de reta
L
x y
+ = 1 desde o ponto de intersecção com o
a
b
L
eixo das abscissas até o ponto de intersecção com o eixo das ordenadas.
Z
at
12.
[yzdx + zxdy + xydz] onde L é um arco da hélice x = R cos t, y = Rsent, z =
2π
L
desde o ponto de intersecção da hélice com o ponto z = 0, até o ponto de intersecção
com o plano z = a.
34
Cálculo Vetorial e Séries
13.
Z
[y 2 dx + z 2 dy + x2 dz] onde L é a curva de intersecção da esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 e
L
o cilindro x2 + y 2 = Rx,
(R > 0, /z ≥ 0, sendo percorrido no processo de integração
no sentido anti-horário.
Z
3. Determine
f (x, y)ds se L é a curva no sentido anti-horário do conjunto de pontos S,
onde
L
1.
f (x, y) = xy onde S é o triângulo formado pelo eixos coordenados e a reta x+2y = 1.
2.
f (x, y) = x2 + y 2 onde S é a semi-circunferência formada pelo eixo 0x e a metade
superior da circunferência x2 + y 2 = 4.
3.
f (x, y) = xy − y 2 onde S = { (x, y) ∈ R2 /. |x| + |y| = 1 }
4.
f (x, y) = (x − y)2 onde S é um quarto da circunferência x2 + y 2 = 4 do primeiro
quadrante e os eixos de coordenadas.
f (x, y) = xy onde S é determinado por α(t) = (4sent, 4 cos t),
5.
0 ≤ t ≤ π.
Fórmula de Green
4. Para os seguintes exercícios, transformar as integrais curvilineas consideradas ao longo dos
contornos fechados L, no sentido mpositivo, em integrais duplas sobre os domínios limitados
por estes mesmos contornos.
Z
1.
(1 − x2 )ydx + x(1 + y 2 )dy
L
2.
Z
(exy + 2x cos y)ydx + (exy − x2 seny)dy
L
5. Calcular a integral do Exercício anterior (1.) de dois modos considerando a circunferência
x2 + y 2 = R2 como contorno de Integração L.
1. Diretamente.
2. Aplicando a fórmula de Green.
Capítulo 3
INTEGRAL DE SUPERFÍCIE
Para contornos que não pertencem ao plano, o Teorema de Green é generalizado pelo Teorema
de Stokes.
As integrais de superfície estão para as integrais duplas como as integrais de linha estão para
as integrais definidas.
Com efeito, as integrais definidas correspondiam a uma integral de linha muito particular,
→ e a função correspondia
em que a trajetória é um segmento de reta coincidente com o eixo dos −
ox
apenas à componente segundo x da função vetorial. Ao generalizar o conceito de integral para
uma linha curva qualquer, tivemos de recorrer à notação vetorial, bem como vimos a conveniência
de representar paramétricamente a curva.
Do mesmo modo, as integrais duplas correspondem a integrais de superfícies no plano XY , ou
seja, superfícies planas, representáveis por funções escalares de duas variáveis. Como é evidente,
muitas superfícies de grande interesse - e mesmo até de elevada simetria, como é o caso das
superficies cilíndricas e esféricas - não são planas, pelo que, uma vez mais, vamos generalizar o
conceito de integral dupla, recorrendo a funções vetoriais.
Tal como no caso dos integrais de linha, será muito útil representar paramétricamente as superfícies, pois desta forma conseguiremos transformar integrais de superfície em integrais duplas.
Comecemos portanto, por estabelecer a notação e ver alguns exemplos de superfícies curvas e
sua representação paramétrica.
3.1
Superfície
As representações de superfícies no espaço cartesiano XY Z podem escrever-se nas formas
z = x2 + y 2 ou explicitamente como g(x, y, z) = 0.
p
Por exemplo, z = + a2 − x2 − y 2 ou x2 +y 2 = a2 com a > 0 representam um semi-hemisfério
de raio a centrado na origem.
Como vimos, para as curvas C nas integrais de linha, a representação paramétrica ~r = ~r(t)
onde a ≤ t ≤ b , permitia estabelecer um mapeamento do intervalo a ≤ t ≤ b , pertencente ao
eixo t na curva C no espaço XY Z - ver Figura (3.1) seguinte.
Do mesmo modo, na representação paramétrica de uma superfície far-se-á um mapeamento
semelhante. Uma vez que as superfícies são bidimensionais, serão necessários dois parâmetros
35
36
Cálculo Vetorial e Séries
Figura 3.1:
Figura 3.2:
para as representar. O processo de representação paramétrica é ilustrado na Figura (3.2).
Definição 3.1. Função diferenciável.
Seja r : D ⊂ R2 −→ R3 , dizemos que r é diferenciável de classe C k , k ∈ N, se, suas funções
coordenadas r1 , r2 , r3 : D ⊂ R2 −→ R3 possuem derivadas parciais contínuas até a ordem k.
Definição 3.2. Parametrização própria.
Seja D ⊂ R2 um aberto, dizemos que a função r : D ⊂ R2 −→ R3 é uma parametrização
própria de R3 se
1.
r é injetora.
2.
r é diferenciável ao menos de classe C 2 e tal que a matriz

seja de rango dois.
∂r1 (P )

∂u

 ∂r (P )
1
∂v
∂r2 (P )
∂u
∂r2 (P )
∂v

∂r3 (P )

∂u

∂r3 (P ) 
∂v
Exemplo 3.1.
Sejam D = { (u, v) ∈ R2 /. u2 + v 2 < 1 } e r : D ⊂ R2 −→ R3 definido por r(u, v) =
√
(u, v, 1 − u2 − v 2 . Tem-se que r é uma parametrização própria de R3 .
Definição 3.3. Parametrização própria para subconjuntos.
Seja S ⊂ R3 um subconjunto, dizemos que R3 , r : D −→ R3 é uma parametrização própria
de S, se r(D) ⊂ S, neste caso escrevemos r : D −→ S.
Definição 3.4. Superfície regular.
Dizemos que S ⊂ R3 é uma superfície regular em R3 se, para cada ponto P ∈ M existe uma
parametrização própria de S.
37
Christian José Quintana Pinedo
Isto é r : D ⊂ R2 −→ S é tal que r(D) contém uma vizinhança de P ∈ S.
Deste modo, a representação paramétrica de uma superfície S tem a forma
~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k
onde , (u, v) ∈ D sendo D uma dada região no plano-uv . Assim, todo o ponto (u, v) ∈ D é
mapeado num ponto S de cujo vetor posição é dado por r(u, v).
Exemplo 3.2.
Consideremos a representação paramétrica de um cilindro.
A equação que representa uma superfície cilíndrica de raio a e altura 2 pode escrever-se, em
coordenadas cartesianas, na forma.
S = { (x, y, z) ∈ R3 /.
x2 + y 2 = 2
onde
−1≤x≤1}
Uma possível representação paramétrica é dada por ~r(u, v) = a~i cos u + a~jsenv + v~k onde
−1 ≤ v ≤ 1 (recordar coordenadas polares).
0 ≤ u ≤ 2π,
Qual a representação paramétrica de uma superfície esférica ?
Quantas representações paramétricas são possíveis para uma dada superfície ?
Exemplo 3.3.
Z Z
Calcular
g(x, y, z)dσ , onde g(x, y, z) = x2 z,
E=
E
Solução.
p
1 − x2 − y 2 .
Temos
Z Z
E
g(x, y, z)dσ =
Z Z
D
p
x2 1 − x 2 − y 2
s
1+
y2
x2
+
dxdy
1 − x2 − y 2 1 − x2 − y 2
onde D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + y 2 ≤ 4 } então
I=
Z Z
D
3.1.1
x2 dydx =
Z1
√
1+Z 1−x2
x2 dydx =
√
−1 − 1−x2
π
4
Plano tangente. Vetor normal a uma superfície
Seja S ⊂ R3 uma superfície regular e P ∈ S, sabemos que existe uma parametrização própria
r : D −→ S tal que r(u, v) = (r1 (u, v), r2 (u, v), r3 (u, v))
Seja (u0 , v0 ) ∈ D tal que r(u0 , v0 ) = P e seja C1 = { r(u0 , v0 ) ∈ S /. (u0 , v0 ) ∈ D } uma
curva que resulta de interceptar a superfície S com o plano u = u0 , conseqüentemente
C1 = ~r(u0 , v) = (r1 (u0 , v), r2 (u0 , v), r3 (u0 , v))
38
Cálculo Vetorial e Séries
é uma curva regular em S, assim o vetor velocidade à curva C1 no ponto P é dado por
~rv (u0 , v0 ) =
∂r1 (u0 , v0 )~ ∂r2 (u0 , v0 )~ ∂r3 (u0 , v0 ) ~
∂~r(u0 , v0 )
i+
j+
=
k
∂v
∂v
∂v
∂v
Analogamente, se consideramos C2 = { r(u0 , v0 ) ∈ S /. (u0 , v0 ) ∈ D } uma curva regular
em S que resulta de interceptar a superfície S com o plano v = v0 , isto é
C2 = ~r(u, v0 ) = (r1 (u, v0 ), r2 (u, v0 ), r3 (u, v0 ))
seu vetor velocidade no ponto P é
~ru (u0 , v0 ) =
∂~r(u0 , v0 )
∂r1 (u0 , v0 )~ ∂r2 (u0 , v0 )~ ∂r3 (u0 , v0 ) ~
k
=
i+
j+
∂u
∂u
∂u
∂u
Definição 3.5. Plano tangente.
O plano gerado pelos vetores ~ru e ~rv é o plano tangente a S no ponto P cuja normal é
~
N = ~ru × ~rv .
Por ser r uma parametrização própria cumpre que o vetor ~ru × ~rv 6= 0.
Logo, dada uma superfície curva S, define-se o vetor normal ~n a essa superfície num ponto
P como o vetor que é normal ao plano tangente à superfície nesse ponto como mostra a Figura
(3.3).
Para encontrar o vetor normal unitário a essa su∇g
perfície no ponto P basta considerar ~n =
onde
|∇g|
g(u, v, r(u, v)) = 0.
Que forma tem ~n quando se representa paramétricamente a superfície ?
Uma vez que u e v são coordenadas no plano-uv,
se calcularmos a derivada direcional de ~r(u, v) segundo
∂r ∂r u e v, ou seja, ~ru =
e ~rv =
, e se estes
∂u P
∂v P
~ =
vetores forem linearmente independentes (isto é, se N
Figura 3.3:
~ru ×~rv 6= 0), podemos utilizar a propriedade do produto
vetorial para gerar um versor normal a S em P :
~n =
~
~ru × ~rv
N
=
~|
|~ru × ~rv |
|N
Quando ~ru e ~rv satisfazem ~ru × ~rv 6= 0, sendo contínuos em todos os pontos P em S, então
S tem uma tangente bem definida em todos os seus pontos, bem como uma única normal que
é gerada pelos vetores ~ru e ~rv , cuja direção depende continuamente dos pontos P de S. Diz-se
então que é uma superfície regular.
Existe sempre uma ambigüidade na definição do vetor normal unitário a uma superfície. Essa ambigüidade
refere-se ao seu “sentido", e essa vai constituir, na maior
39
Christian José Quintana Pinedo
parte dos casos, uma escolha nossa. No entanto, e tal
como no caso das integrais de linha, em que estabelecemos um “sentido" de circulação positivo, também
no caso das integrais de superfície se torna necessário
orientar as superfícies. Essa orientação será feita relativamente ao sentido de circulação ao longo da fronteira
(curva) que as delimita.
Definição 3.6.
Superfície orientável.
Consideremos então uma superfície regular. Esta diz-se orientável se um vetor unitário,
especificado num qualquer ponto de pode ser continuado de uma forma única e contínua por toda
a superfície .
Claro que uma porção suficientemente pequena de qualquer superfície regular é orientável.
No entanto, esta propriedade não se verifica necessariamente em superfícies finitas (é como nas
rotações dos corpos - rotações infinitesimais comutam, mas rotações finitas não - recordar as
aulas de mecânica, por exemplo). Um exemplo claro é a banda de Möbius (Figura (3.4)).
Consideremos então uma superfície S que se pode representar como um conjunto finito de
superfícies regulares. Esta diz-se orientável se conseguirmos orientar cada uma das superfícies
regulares de tal modo que ao longo de cada curva C ∗ que constitui uma fronteira comum entre
2 superfícies regulares S1 e S2 , a direção positiva de C ∗ relativamente a S1 é oposta à direção
positiva de C ∗ relativamente a S2 - ver Figura (3.5):
Figura 3.5:
Desta forma também temos um modo de definir um sentido para o vetor normal unitário a
cada superfície regular, da forma como se ilustra na Figura (3.5) acima - é o sentido de avanço
de um saca rolhas posicionado perpendicularmente à superfície no ponto em causa, fazendo-o
rodar no sentido de circulação positivo ao longo da curva C (à esquerda) ou C ∗ (à direita).
3.1.2
Existência da integral de superfície
Seja S ⊂ R2 uma superfície regular e g : S −→ R uma função definida sobre S, e seja
f : D ⊂ R2 → S uma parametrização própria de S, onde D é a região fechada em R2 como
mostra a Figura (3.6).
Seja P = { R1 , R2 , R3 , · · · , Rn } uma partição da região fechada D ⊂ R2 (cada Ri é um
retângulo), esta partição induz uma partição P ∗ = { σ1 , σ2 , σ3 , · · · , σn } onde σi = r(Ri ) para
40
Cálculo Vetorial e Séries
Figura 3.6:
i = 1, 2, 3, · · · , n.
Seja (u0i , vi0 ) ∈ Ri um ponto arbitrário tal que r(u0i , vi0 ) = (x0i , yi0 , zi0 ), a soma de Riemann de
g correspondente à partição P ∗ é
n
X
g(x0i , yi0 , zi0 )A(σi ),
onde A(σi ) = Área de σi
i=1
Caso exista o limite
σi na partição P ∗ .
lim
kA(σi )k→0
n
X
i=1
g(x0i , yi0 , zi0 )A(σi ) onde kA(σi )k é a área máxima da superfície
O valor deste limite é a integral de superfície g sobre S e denotamos
I=
Z Z
g(x, y, z)dσ =
S
lim
kA(σi )k→0
n
X
g(x0i , yi0 , zi0 )A(σi )
i=1
Observação 3.1.
1. Quando kA(σi )k → 0, explicitamente n → ∞
2. A integral de superfície representa a área da superfície, é por isso que sua grandeza é medida
em unidades quadradas.
3. Se S = r(D), então a integral de superfície está dada por
I=
Z Z
g(r(u, v))k~ru × ~rv kdudv =
S
Teorema 3.1. Fundamental de integral de superfície.
Seja S uma superfície regular de R3 , r : D ⊂ R2 −→ S uma parametrização tal que ~r(u, v) =
(r1 (u, v), r2 (u, v), r3 (u, v)). Se g : S −→ R é uma função contínua, então:
Z Z
1. Existe
g(x, y, z)dσ
S
41
Christian José Quintana Pinedo
2.
Z Z
g(x, y, z)dσ =
S
Z Z
g(r1 (u, v), r2 (u, v), r3 (u, v))kru × rv kdudv
D
Observação 3.2.
Seja D ⊂ R2 uma região fechada, e f : D −→ R uma função diferenciável de classe C 2 , e seu
gráfico é a superfície S = { (x, y, z) /.
de S é r : D −→ S ⊂
R3
z = f (x, y),
∀ (x, y) ∈ D } a parametrização própria
definida por r(x, y) = (x, y, f (x, y)).
Seja g : S −→ R uma função contínua, então
Z Z
g(x, y, z)dσ =
S
g(x, y, f (x, y))
S
Exemplo 3.4.
Calcular a integral I =
z = 0 e z = 3.
Z Z
Z Z
s
df
1+
dx
2
df
+
dy
2
dA
(x2 + y 2 )dσ sendo S a superfície do cone z 2 = 3(x2 + y 2 ) entre
S
Solução.
p
Temos que z = 3(x2 + y 2 ),
I=
Z Z
S
√
dz
3x
=p
,
2
dx
x + y2
√
dz
3y
=p
, logo
2
dy
x + y2
v
" √
#2 " √
#2
u
Z Z
u
3x
3y
2
2 t
+ p
=2
(x2 + y 2 )dxdy
(x + y ) 1 + p
2
2
2
2
x +y
x +y
S
√ √
Z 3 Z3−x2
(x2 + y 2 )dydx = 8π
I=8
0
0
Portanto, o valor da integral I = 8π
Para um tratamento vetorial, consideremos então uma superfície S, representada paramétri-
camente através da equação genérica
~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k
Sendo uma superfície regular ou então a soma de um número finito de superfícies regulares,
~ = ~ru × ~rv e um vetor normal unitário ~n = ~ru × ~rv
de tal forma que tem um vetor normal N
|~ru × ~rv |
em todos os pontos de S (exceto, eventualmente em alguns pontos angulosos, como os vértices
de um cubo ou o vértice de um cone) define-se integral de superfície de uma função vetorial F
em S como
Z Z
S
F~ • ~ndA =
Z Z
~ (u, v)dudv
F~ (u, v) • N
(3.1)
D
Note-se que F~ • ~n é a componente de F~ normal à superfície S em cada ponto, pelo que a
integral de superfície vai corresponder ao cálculo do fluxo do campo vetorial F através de S .
42
Cálculo Vetorial e Séries
• Recordando a definição de ~ru e ~rv como derivadas direcionais segundo u e v.
→
−
• Tendo em conta que, pela definição de produto vetorial, k N k = |~ru × ~rv | é igual à área do
paralelogramo definido por ~ru e ~rv
~ kdudv , pelo que ~ndA = ~nkN
~ kdudv = N
~ dudv.
temos que dA = kN
3.2
Teorema de Stokes
O teorema de Stokes permite-nos relacionar integrais de linha em integrais de superfície e
vicê-versa.
Teorema 3.2.
Seja S ⊂ R3 uma superfície regular ou que se decompõe num número finito de superfícies
orientadas regulares, consideremos C a fronteira de S, constituindo uma curva suave ou que se
decompõe num número finito de curvas suaves. Então, se F~ (u, v, z) é uma função vetorial
contínua com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém S. Nestas
condições, temos que
Z Z
(∇ × F~ ) • ~ndA =
S
I
F~ • d~r
(3.2)
C
~ - ver Figura
onde ~n é o vetor normal unitário a S de acordo com o sentido de circulação em C
(3.7).
É importante não esquecer que o teorema de Stokes
se aplica a superfícies abertas, pois só neste caso se
estabelece inequívocamente uma curva delimitadora.
De reparar que, pelo teorema de Stokes, se torna
evidente que, se uma função vetorial se pode escrever
como o gradiente de uma função escalar, então o integral ao longo de qualquer circuito fechado é zero. Voltamos a encontrar funções cujo integral de linha não depende da trajetória que liga os pontos inicial e final são as denominadas funções conservativas.
Aqui como no Teorema de Green, a curva fechada
C é a fronteira da superfície S, e novamente, se F~ é
Figura 3.7:
olhado como uma “anti-derivada"de (rotF ), então a integral sobre a região é igual a anti-derivada
avaliada sobre a fronteira da região. Existem muitas superfícies que tem a mesma fronteira, e
Teorema de Stokes diz que a integral sobre qualquer superfície apropriada dà o mesmo valor da
integral sobre o contorno.
Exemplo 3.5.
Seja S a parte do parabolóide z = 9 − x2 − y 2 com z ≥ 0 e seja C o traço de S o plano-xy.
Verifique o teorema de Stokes.
Solução.
43
Christian José Quintana Pinedo
Devemos mostrar que as duas integrais de (3.2) tem o mesmo valor.
2x~i + 2y~j + ~k
A superfície é um parabolóide elíptico, obtém-se que n = p
o rotacional
4x2 + 4y 2 + 1
rotF = Conseqüentemente
Z Z
~i
∂
∂x
3z
~k
∂
∂z
2y
~j
∂
∂y
4x
(∇ × F~ ) • ~ndA =
S
= 2~i + 3~j + 4~k
Z Z
4x + 6y + 4
p
dS
4x2 + 4y 2 + 1
S
aplicando propriedades para resolver esta integral de superfície temos
Z Z
(∇ × F~ ) • ~ndA =
S
Z Z
(4x + 6y + 4)dA
R
onde R é a região do plano-xy limitada pelo círculo de raio 3 e centro na origem. Passando para
coordenadas polares, obtemos
Z Z
(∇ × F~ ) • ~ndA =
S
Z2π Z3
(4r cos θ + 6rsenθ)rdrdθ =
0
0
Z2π
= (36 cos θ + 54senθ + 18)dθ = 36π
0
Por outro lado, para o calculo da integral curvilínea, podemos escrever na forma
I
F~ • d~r =
I
(3zdx + 4xdy + 2ydz)
C
C
onde C é o círculo x2 + y 2 = 9 no plano-xy. Como z = 0 em C esta integral curvilínea se reduz a
I
F~ • d~r =
C
Como
I
I
C
4xdy = 4
I
xdy
C
xdy é a áres da região (um círculo de raio 3) delimitada por C e, assim
C
Z Z
S
(∇ × F~ ) • ~ndA == 36π
44
Cálculo Vetorial e Séries
3.3
Teorema de Gauss
O teorema de Gauss permite-nos relacionar integrais de superfície com os integrais triplas já
estudados anteriormente.
Teorema 3.3.
Seja T uma região fechada e limitada no espaço R3 , cuja fronteira é uma superfície S orien-
tável ou então se pode decompor num conjunto finito de superfícies orientáveis. Seja uma função
vetorial contínua com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém T .
Nestas condições, temos que
Z Z
S
F~ • ~ndA =
Z Z Z
div F~ dV
(3.3)
T
onde ~n é o vetor unitário normal que aponta para fora da superfície S. Em coordenadas
cartesianas, podemos escrever
Z Z Z T
Z Z
∂Fz
∂Fx ∂Fy
dxdydz =
(F1 dydz + F2 dzdx + F3 dxdy)
+
+
∂x
∂y
∂z
S
Se uma superfície para a qual o Teorema de Stokes é
aplicado fosse deformada de tal maneira para criar uma
superfície fechada , ou duas superfícies que compartilham a mesma fronteira, a superfície resultante não teria
fronteira e assim o teorema de Stokes diz que a integral da componente normal do rotacional (circulação)
de uma função vetorial sobre uma superfície fechada
é nula. Se o integrando não é rotacional de alguma
função, então a integral de superfície está relacionada
à variação do integrando no interior da região fechada.
Aqui olhando F~ como a anti-derivada de div F~ , a
integral sobre a região T é igual a anti-derivada do in-
tegrando avaliado na fronteira de T .
Figura 3.8:
45
Christian José Quintana Pinedo
Exercícios 4-1
1. Calcular as seguintes integrais:
Z Z
4
x y z
1.
(z + 2x + )dq onde S é uma parte do plano + + = 1, situada no primeiro
3
2 3 4
S
2.
otante.
Z Z
xyzdq onde S é uma parte do plano x + y + z = 1, situada no primeiro otante.
3.
Z Z
xdq onde S é uma parte da esfera x2 + y 2 + z 2 = r2 , situada no primeiro otante.
4.
Z Z
ydq onde S é parte da semi-esfera z =
5.
Z Z p
S
S
S
p
r 2 − x2 − y 2
r2 − x2 − y 2 dq onde S é a semi-esfera z =
S
p
r 2 − x2 − y 2
6.
Z Z
x2 y 2 dq onde S é a semi-esfera z =
7.
Z Z
dq
onde S é o cilíndro x2 + y 2 = r2 , limitado pelos planos z = 0 e z = H; r é a
r2
S
p
r 2 − x2 − y 2
S
8.
distância entre entre a superfície e a origem de coordenadas.
Z Z
dq
onde S é a esfera x2 + y 2 + z 2 = r2 e r é a distância entre entre a superfície
r2
S
e o ponto fixo P (0, 0, c),
c > 0.
2. Calcular as integrais de superfície.
Z Z
1.
xdydz + ydxdz + zdxdy onde S é o lado positivo do cubo formado pelos planos
S
2.
x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1.
Z Z
x2 y 2 zdxdy onde S é o lado positivo da metade inferior da esfera x2 +y 2 +z 2 = r2 .
3.
Z Z
xdxdy onde S é a fase exterior do elipsoide
4.
Z Z
z 2 dxdy onde S é a fase exterior do elipsoide
5.
Z Z
xzdxdy + xydydz + yzdxdz onde S é a parte exterior da piramide formada pelos
S
S
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
S
S
6.
planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.
Z Z
yzdxdy + xzdydz + xydxdz onde S é a fase exterior da superfície situada no
S
primeiro otante e formada pelo cilíndro x2 + y 2 = r2 e os planos x = 0,
0,
z = H.
y = 0,
z=
46
Cálculo Vetorial e Séries
7.
Z Z
y 2 zdxdy + xzdydz + x2 ydxdz onde S é a fase exterior da superfície situada no
S
primeiro otante e formada pelo paraboloide de revolução z = x2 + y 2 , pelo cilíndro
x2 + y 2 = 1 e os planos x = 0,
y = 0,
z = 0.
Z
3. Aplicando a fórmula de Stokes transformar a integral (y 2 +z 2 )dx+(x2 +z 2 )dy+(x2 +y 2 )dz
L
considerada ap longo de certo caminho fechado, na integral de superfície estendida sobre
essa curva.
4. Calcular a integral
r2 ,
z = 0:
Z
x2 y 3 dx + dy + zdz, onde o contorno Lé a circunferência x2 + y 2 =
L
1. Diretamente.
2. Aplicando a fórmula de Stokes e considerando a semiesfera z =
p
r2 − x2 − y 2 como
superficie. A integração ao longo da circunferência no plano xOy, debe efetuarse no
sentido positivo.
Definição 3.7.
Exemplo 3.6.
Definição 3.8.
Definição 3.9.
Definição 3.10.
Exemplo 3.7.
1.
2.
3.
Exemplo 3.8.
Exemplo 3.9.
Exemplo 3.10.
Exemplo 3.11.
Exemplo 3.12.
Exemplo 3.13.
Exemplo 3.14.
Definição 3.11.
Capítulo 4
SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS
Leonhard EulerNasceu em 15 de abril de 1707 Basiléia na Suíça
e Faleceu em 18 de setembro de 1783 em São Petersburgo na Rússia.
Euler ampliou as fronteiras da geometria analítica e da trigonometria
modernas deu contribuições decisivas para a geometria, o cálculo e a
análise numérica.
Euler conseguiu de seu pai o consentimento para mudar seus estudos para a Matemática ajudado pela persuasão de Johann Bernoulli,
que intercedeu junto a seu pai. Johann Bernoulli tornou-se então seu
professor.
Euler ingressou na Academia de Ciências de São Petersburgo em
1727, dois anos após a sua fundação por Catarina I. Em São Petersburgo ele viveu com Daniel Bernoulli e tornou-se professor de Física na academia em 1730, e professor
de Matemática em 1733. Neste mesmo ano ele casou-se e deixou a casa de Johann Bernoulli. Deste
casamento Euler teve 13 filhos, dos quais apenas cinco sobreviveram à primeira infância. Ele costumava
dizer que algumas de suas maiores descobertas foram feitas enquanto segurava um bebê nos braços, tendo
os outros filhos brincando em suas pernas.
L. Euler
A publicação de diversos artigos e de seu livro “Mechanica”(1736 − 37) - no qual apresentava pela
primeira vez a dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática - iniciaram Euler nos caminhos de
um trabalho matemático mais incisivo.
Em 1741, por convite de Frederico o Grande, Euler associou-se à Academia de Ciência de Berlim,
onde ele permaneceu por vinte e cinco anos. Neste período em Berlim ele escreveu cerca de 200 artigos,
três livros de análise matemática, e uma publicação científica popular, “Cartas para uma princesa da
Alemanha” (3 volumes, 1768 − 72).
Em 1766 Euler voltou à Rússia e perdeu a visão do olho direito aos 31 anos e logo após retornar a
São Petersburgo ficou quase inteiramente cego após uma operação de catarata. Graças à sua formidável
memória ele foi capaz de continuar seus trabalhos em Ótica, Álgebra e movimentos lunares. Surpreendentemente após 1765 (quando tinha 58 anos) ele produziu quase metade de seu trabalho, a despeito de
estar totalmente cego.
Depois de sua morte, em 1783, a Academia de São Petersburgo continuou a publicar todos os seus
trabalhos ainda não publicados durante quase cinqüenta anos.
47
48
Cálculo Vetorial e Séries
4.1
INTRODUÇÃO
Ao definir uma função f sobre um conjunto A com imagem no conjunto B, denotada por
f : A −→ B, estamos associando a cada a ∈ A um único elemento b ∈ B, para todos os elementos
de A.
O que caracteriza o nome da função é o contradomínio B da mesma. Se B é um conjunto de:
• números reais, temos uma função real.
• vetores, temos uma função vetorial.
• matrizes, temos uma função matricial.
• números complexos, a função é complexa.
No decorrer de estudos de matemática, seja no ensino médio ou preparatório para a graduação,
você deve ter encontrado por exemplo expressões da forma: 6; 8; 10; 12; 14; 16 coleções deste
tipo definem uma “seqüência”. Dizemos que esta seqüência é finita pelo fato ter um número finito
de elementos. Existem expressões por exemplo fa forma:
6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; · · ·
ou
· · · ; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18
estas seqüências representam a idéia de seqüências infinitas. Esses três pontos indicam que na
escrita, temos a continuar indefinidamente.
Este capítulo trata principalmente de seqüências em números reais, porém as propriedades
fundamentais sobre convergência explicam-se com a mesma facilidade para casos mais gerais. A
menos que se faça referência, estaremos considerando seqüências com elementos no conjunto de
números reais R.
Representamos por N+ o conjunto dos números naturais positivos, isto é:
N+ = { 1, 2, 3, 4, · · · , n, · · · }
Observe que N+ é um subconjunto próprio do conjunto N; logo N+ ⊂ N.
4.2
SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS
Definição 4.1. Seqüência.
Uma seqüência ou sucessão de números reais é uma função a : N+ −→ R que associa a cada
número natural n um número real a(n) o qual denotamos an .
O valor da seqüência a no número natural n é denominado “n-ésimo termo” ou “termo geral
da seqüência a”; assim an representa o termo da posição n-ésima de uma seqüência.
Do modo como definimos a seqüência, o domínio da função a é um conjunto infinito, mas
o contradomínio poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma seqüência é indicado por
D(a) = N+ e a imagem de uma seqüência por Im(a) = { a1 , a2 , a3 , · · · }.
Denotamos o conjunto de todos os termos de uma determinada seqüência por {a n }n∈N+ .
49
Christian José Quintana Pinedo
Deve-se escrever uma seqüência {an }n∈N+ na ordem dos valores que ela representa, assim por
exemplo:
a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · ·
Os números a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · · são chamados “elementos da seqüência”, sendo an seu
termo geral.
A função a : N+ −→ R não é necessariamente injetiva, pode-se ter am = an com m 6= n,
quando a seqüência {an }n∈N+ for injetiva, isto é, quando m 6= n implicar am 6= an
diremos que ela é uma seqüência de termos “dois a dois distintos”.
∀m, n ∈ N+ ,
Exemplo 4.1.
Seqüência identidade : É a função a : N0 −→ R definida pelo termo geral an = n.
Seqüência de números pares : É definida pelo termo geral an = 2n.
Seqüência de números ímpares : É definida pelo termo geral an = 2n − 1.
Seqüência dos recíprocos : Seu termo geral an =
1
.
n
Seqüência constante : Seu termo geral an = C, onde C é qualquer número real fixo.Para o caso
C = 0 é chamada seqüência nula.
Seqüência alternada : Uma seqüência alternada {an } pode ser definida por an = (−1)n n. Esta
seqüência de números fica alternando o sinal de cada termo, sendo um negativo e o seguinte
positivo, e assim por diante.
Seqüência aritmética : A seqüência aritmética é definida por an = a1 + (n − 1)r onde a1 , r ∈ R
são constantes, r é chamado razão. Esta seqüência também é chamada de progressão
aritmética P.A.
Seqüência geométrica : Uma seqüência geométrica é definida por an = a1 q n−1 onde a1 , q ∈ R
são constantes, r é chamado razão. Esta seqüência também é chamada de progressão
aritmética P.A.
Seqüência recursiva : Uma seqüência é recursiva se, o termo de ordem n é obtido em função dos
termos das posições anteriores.
A importante seqüência de Fibonacci, definida por a1 = 1, a2 = 1 e an+2 = an+1 + an .
A seqüência de Fibonacci aparece de uma forma natural em estudos de Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de beleza 1 .
Exemplo 4.2.
Seja a seqüência de termo geral an = (−1)n , observe que a2 = 1 e a4 = 1, isto não implica
que 2 = 4.
Portanto, a função que determina a seqüência {(−1)n }n∈N+ não é injetiva.
1
O livro "A divina proporção", Huntley, Editora Universidade de Brasília, trata do assunto.
50
Cálculo Vetorial e Séries
Em particular o conjunto {an }n∈N+ = {a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · · } pode ser finito, ou até mesmo
reduzir-se a um único elemento, como é o caso de uma seqüência constante, em que a n = α ∈ R
para todo n ∈ N+ .
Uma seqüência pode ser representada pelo seu termo geral, ou explicitando-se seus primeiros
termos, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 4.3.
(a)
2 2 2
; ; ; · · · seu termo geral é
1 2 3
(b)
12 ; 22 ; 32 ; · · · seu termo geral é
(c)
−1; 1; −1; 1; · · · seu termo geral é
(d)
1;
(e)
1 2 3
; ; ; · · · seu termo geral é
2 3 4
(f )
2;
(g)
c; c; c; c · · · seu termo geral é
(h)
a; a2 ; a3 ; a4 · · · seu termo geral é
an =
2
n
a n = n2
an = (−1)n
√ √ √
2; 3; 4; · · · seu termo geral é
an =
5 8 11
; ;
; · · · seu termo geral é
2 3 4
√
an =
n
n
n+1
1
n
an = 3 −
an = c
an = an , onde a ∈ R
Em cada um destes exemplos exibimos o termo n-ésimo ( termo geral), para assim ter uma
forma compacta do modo geral na formação dos elementos da seqüência.
4
n
Na seqüência (e) o quarto termo é , e o n-ésimo termo é an =
5
n+1
Uma representação gráfica bastante conveniente de uma seqüência é obtida assinalando os
pontos a1 ; a2 ; a3 ; · · · ; an ; · · · num segmento da reta numérica real como se indica no seguinte
desenho.
{cn }n∈N+ =
n n o
n + 1 n∈N+
{bn }n∈N+ = {(−1)n }n∈N+
{an }n∈N+ =
4.2.1
n2o
n
n∈N+
1/2
2/3
r
r
r
r
0
c1
c2
c3
−1
···
1
r
r
b1 = b3 = · · ·
0
r
b2 = b4 = · · ·
1/2
2/3
1
2
r
r
r
r
r
0
a4
a3
a2
a1
Classificação: Limitação e Monotonia.
Definição 4.2. Limitada superiormente.
3/4
51
Christian José Quintana Pinedo
Uma seqüência {an }n∈N+ é dita limitada superiormente, quando existe um número real N ,
denominado cota superior da seqüência, que atende à seguinte condição:
an ≤ N
∀ n ∈ N+
(4.1)
Isto significa que todos os termos an pertencem à semi-reta (−∞, N ]. Logo, qualquer número
real maior do que N também será uma cota superior da seqüência {an }n∈N+ .
A menor dessas cotas é denominada supremo da seqüência {an }n∈N+ e denotada sup .{an }.
Definição 4.3. Limitada inferiormente.
Uma seqüência {an }n∈N+ é dita limitada inferiormente, quando existe um número real M ,
denominado cota inferior da seqüência, que atende à seguinte condição:
M ≤ an
∀ n ∈ N+
(4.2)
Isto significa que todos os termos an pertencem à semi-reta [M, +∞). Logo, qualquer número
real menor do que M também será uma cota inferior da seqüência {an }n∈N+ .
A maior dessas cotas é denominada ínfimo da seqüência {an }n∈N+ e denotada inf .{an }.
Exemplo 4.4.
• A seqüência {−2n}n∈N+ é limitada superiormente; observe que existe N ≥ −2 tal que
−2n ≤ N
∀ n ∈ N+ . Neste caso sup .{−2n} = −2
• A seqüência {2n}n∈N+ é limitada inferiormente; observe que existe M ≤ 2 tal que M ≤
2n
∀ n ∈ N+ . Neste caso inf .{2n} = 2
Observação 4.1.
Lembre os seguintes fatos fundamentais:
1. Toda seqüência limitada superiormente tem supremo finito, e toda seqüência limitada inferiormente tem ínfimo finito.
2. Para todo ε > 0, o número real α = sup .{an }−ε por ser menor do que o supremo da seqüência,
não pode ser cota superior de {an }n∈N+ . Logo pode existir um elemento an1 ∈ {an }n∈N+
tal que:
α = sup .{an } − ε < an1
(4.3)
3. Sendo β = inf .{an } + ε um número real maior do que o ínfimo da seqüência, não pode ser
cota inferior de {an }n∈N+ . Logo pode existir um elemento an2 ∈ {an }n∈N+ tal que:
an2 < β = inf .{an } + ε
(4.4)
Definição 4.4. Seqüência limitada.
Uma seqüência {an }n∈N+ é dita limitada, quando o for limitada superior e inferiormente;
isto é, quando existir uma constante C > 0 tal que atende à seguinte condição:
|an | ≤ C
∀ n ∈ N+
(4.5)
52
Cálculo Vetorial e Séries
A conclusão desta definição é que, uma seqüência {an }n∈N+ é limitada quando o conjunto de
todos os termos da seqüência pertencem ao intervalo [M, N ].
Observemos que todo intervalo [M, N ] está contido num intervalo da forma [−C, C], sendo
C > 0. Para isto é suficiente considerar C = max{|M |, |N |}.
Como a condição an ∈ [M, N ] ⊆ [−C, C] é equivalente a |an | ≤ C, então justifica-se (4.5);
isto é, uma seqüência {an }n∈N+ é limitada se, e somente se, existe um número real C > 0 tal
que |an | ≤ C para todo n ∈ N+ .
Daí resulta que {an }n∈N+ é limitada se, e somente se, {|an |}n∈N+ é limitada.
Quando uma seqüência {an }n∈N+ não é limitada, diz-se que ela é “ilimitada”.
Evidentemente, uma seqüência é limitada se, e somente se, é limitada superior e inferiormente.
Exemplo 4.5.
Mostre que a seqüência {n}n∈N+ não é limitada.
Demonstração.
Suponhamos que esta seqüência seja limitada. Então existe um C ∈ R tal que n ≤ C,
N+ .
Pelo Axioma de Arquimedes2 , sempre existe um q ∈ N tal que C + 1 ≤ q.
Comparando estas duas últimas desigualdades tem-se que n ≤ C e C + 1 ≤ q
⇒
∀n ∈
n≤
C ≤ C + 1 ≤ q. Sem perda de generalidade, podemos considerar n = q ∈ N, assim q ≤ C <
C +1≤q
⇒
q < q. Contradição!
Portanto {n}n∈N+ não é limitada.
Exemplo 4.6.
1. A seqüência de termo geral an = n é limitada inferiormente, mas não superiormente. Observe
que inf .{an } = 1
2. A seqüência de termo geral an = 1 − n2 é limitada superiormente, mas não inferiormente.
Tem-se que sup .{an } = 0
1
é limitada, tem-se que sup .{an } = 1 e inf .{an } = 0;
n2
note que o ínfimo não é termo da seqüência.
3. A seqüência de termo geral an =
4. A seqüência de termo geral an = (−1)n é limitada , sendo que sup .{an } = 1 e inf .{an } = −1.
5. A seqüência de termo geral an = (−1)n n não é limitada nem superiormente, nem inferiormente.
1
n
é limitada , tem-se que sup .{an } = 1 e inf .{an } = ;
n+1
2
note que o supremo não é termo da seqüência.
6. A seqüência de termo geral an =
Definição 4.5. Seqüência crescente.
Dizemos que uma seqüência {an }n∈N+ é estritamente crescente ou simplesmente crescente,
quando a1 < a2 < a3 < · · · isto é, quando an < an+1 para todo n ∈ N+ .
2
Axioma de Arquimedes: Para todo x ∈ R, existe n ∈ N tal que x ≤ n.
53
Christian José Quintana Pinedo
Se temos que an ≤ an+1 para todo n ∈ N+ , diz-se que a seqüência é “não–decrescente”.
Definição 4.6. Seqüência decrescente.
Dizemos que uma seqüência {an }n∈N+ é estritamente decrescente ou simplesmente decres-
cente, quando a1 > a2 > a3 > · · · , isto é, quando an > an+1 para todo n ∈ N+ .
Se temos que an+1 ≤ an para todo n ∈ N+ , diz-se que a seqüência é “não–crescente”.
Definição 4.7. Seqüência monótona.
As seqüências crescentes, não–decrescentes, decrescentes e não–crescentes são chamadas “seqüências monótonas”.
Uma conseqüência destas definições é a seguinte:
1o Toda seqüência monótona crescente é limitada inferiormente pelo seu primeiro termo.
2o Toda seqüência monótona decrescente é limitada superiormente pelo seu primeiro termo.
3o A única seqüência monótona simultaneamente crescente e decrescente, é a seqüência constante.
Exemplo 4.7.
1
é decrescente.
n
1
2. As seqüências de termos gerais an = − e bn = n2 são crescentes.
n
1. A seqüência de termo geral an =
3. A seqüência de termo geral an = 0n é monótona crescente.
4. A seqüência de termo geral an =
(−1)n+1
não é crescente nem decrescente.
n
Exemplo 4.8.
1. As seqüências de termos gerais an = n2 e bn = Ln n são crescentes.
2. As seqüências de termos gerais an =
1
e bn = −n3 são decrescentes.
n2
3. A seqüência de termo geral an = (−1)n é não monótona, isto pelo fato não ser crescente nem
decrescente.
Note que seus termos são alternados, positivos e negativos; por essa razão recebe o nome
de seqüência alternada.
Exemplo 4.9.
Mostre que a seqüência de termo geral an =
n
é crescente.
n+1
Demonstração.
Tem-se que an =
n
n+1
e an+1 =
, logo
n+1
n+2
n+1 n+1
n2 + 2n + 1
an+1
=
·
=
> 1 ∀ n ∈ N+
an
n+2
n
n2 + 2n
isso implica que, an < an+1
∀ n ∈ N+ .
54
Cálculo Vetorial e Séries
Para descobrir se uma determinada seqüência em monótona, um recurso é a investigação do
sinal da derivada da função extensão.
Para o Exemplo (4.9) podemos considerar a função extensão a R de an . Por exemplo, para
x
1
todo número real x ≥ 1, seja f (x) =
⇒ f 0 (x) =
.
x+1
(x + 1)2
Sendo esta derivada positiva, implica que a função f (x) é crescente para todo x ≥ 1; isto é
f (x) ≤ f (x + 1).
Logo em particular {an }n∈N+ é crescente para todo n ∈ N+ .
Exemplo 4.10.
Determine se a seqüência
Solução.
n
1 o
é crescente ou decrescente.
n2 + 1 n∈N+
2x
1
⇒ f 0 (x) = − 2
< 0,
n2 + 1
x +2
que f (x) é decrescente para todo x > 0.
n 1 o
Portanto, a seqüência
é decrescente.
n2 + 1 n∈N+
Considere a função f (x) =
∀ x > 0, isto quer indicar
Esta técnica embora eficiente, não podemos aplicar a todas as seqüências como mostra o
seguinte exemplo.
Exemplo 4.11.
Mostre que a seqüência de termo geral an =
n!
é decrescente.
(2n − 1)!
Demonstração.
x!
, isto pelo fato que
(2x − 1)!
o fatorial somente é definido para números inteiros não negativos. Por outro lado
Observe que aqui não podemos definir a função extensão f (x) =
an+1
(n + 1)! (2n − 1)!
n+1
=
·
=
<1
an
(2n + 1)!
n!
2n + 1
n ∈ N+
de onde resulta que an+1 < an , ∀ n ∈ N+ .
o
n
n!
é decrescente.
Portanto, a seqüência
(2n − 1)! n∈N+
Exemplo 4.12.
A seqüência cujo termo geral é:
an = 1 + 1 +
1
1
1
1
+ + + ··· +
2! 3! 4!
n!
é crescente.
Ela também é limitada, pois como n! ≥ 2n−1
2 ≤ an ≤ 1 + 1 +
∀n ∈ N+
1
1
1
1
+ 2 + 3 + · · · + n−1 < 3
2 2
2
2
Christian José Quintana Pinedo
4.2.2
55
Subseqüências.
Consideremos o subconjunto infinito N0 = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } de N+ lembre que,
se existe alguma função f : N+ −→ R, também existem funções g : N0 −→ R, chamadas “função
restrição de f ” e denotadas f |N0 = g.
Em principio poderíamos denominar seqüência qualquer função a : N 0 −→ R. A esta restrição
daremos o nome de subseqüência ou subsucessão.
Definição 4.8. Subseqüência.
Dada uma seqüência a : N+ −→ R de números reais, as restrições de a a subconjuntos
infinitos de N+ serão denominadas subseqüências de {an }n∈N+ .
Representando a seqüência pelo conjunto ordenado {an }n∈N+ podemos dizer que suas subse-
qüências são da forma {ank }nk ∈N0 , sendo N0 um subconjunto infinito de N+ .
Lembre que N0 ⊂ N+ é subconjunto infinito se, e somente se, é ilimitado; isto é, para todo
n0 ∈ N+ existe nk ∈ N0 com nk > n0 .
Naturalmente, uma toda seqüência é subseqüência dela própria.
Exemplo 4.13.
• Tem-se que
n 1 o
n1o
é
subseqüência
de
.
2n n∈N+
n n∈N+
• Tem-se que {3n}n∈N+ é subseqüência de {n}n∈N+ .
n n o
n 2n o
é
subseqüência
de
.
• Tem-se que
2n + 1 n∈N+
n + 1 n∈N+
Observação 4.2.
n 1 o
n1o
Observe que
podemos
escrever
na
forma
, onde N0 = 2N+ .
2n n∈N+
m m∈N0
n1o
n 1 o
seja
subseqüência
de
.
Isso justifica que
2n n∈N+
n n∈N+
Exemplo 4.14.
n n2 + 1 o
Demonstre que a seqüência
é limitada.
n2 + 2 n∈N+
Demonstração.
x2 + 1
, calculando a primeira
Considere a função de variável real definida por: f (x) = 2
x +2
2x
derivada respeito de x tem-se que f 0 (x) = 2
> 0, ∀ x ≥ 1.
(x + 2)2
n n2 + 1 o
Logo a seqüência
é crescente.
n2 + 2 n∈N+
n2 + 1
1
2
5
10
Podemos escrever an = 2
= 1− 2
. Observe que a1 = , a2 = , a3 =
, ···
n +2
n +2
3
6
11
quando n cresce indefinidamente para +∞, tem-se que an decresce para o valor 1.
2
Portanto, 1 ≤ an ≤ , ∀ n ∈ N+ .
3
Dentre as subseqüências de uma seqüência dada {an }n∈N+ , destacamos duas particularmente
importantes: a subseqüência par {a2k }k∈N+ e a subseqüência ímpar {a2k−1 }k∈N+ .
Toda subseqüência de uma seqüência limitada é limitada (respectivamente limitada superior
ou inferiormente)
56
Cálculo Vetorial e Séries
Propriedade 4.1.
Toda seqüência monótona é limitada se ela possui uma subseqüência limitada.
Demonstração.
Seja, por exemplo, an1 ≤ an2 ≤ · · · ≤ ank ≤ · · · ≤ N uma subseqüência limitada, da seqüência
não-decrescente {an }n∈N+ . Então, para qualquer n ∈ N+ , existe um nk > n e, portanto, an ≤
a nk ≤ N .
Logo an ≤ N para todo n ∈ N+ ; isto é {an }n∈N+ é limitada.
Exemplo 4.15.
Seja a seqüência de termo geral an =
1
é monótona e limitada, 0 ≤ an ≤ 1.
n!
Em virtude da Propriedade (4.1), ela possui uma subseqüência limitada {a2n }n∈N+ , observe
1
, também é limitada e é uma subseqüência de {an }n∈N+ .
que a2n =
(2n)!
Exemplo 4.16.

 1,
n
Seja a seqüência de termo geral an =
 n,
se,
n-ímpar
se,
n-par
Tem-se que a seqüência {an }n∈N+ possui uma subseqüência limitada {a2n−1 }n∈N+ , observe
que |a2n−1 | ≤ 1, porém a Propriedade (4.1) não se aplica.
Pois, {an }n∈N+ não é monótona.
57
Christian José Quintana Pinedo
Exercícios 1-1
1. Obter a razão da P.A. em que o primeiro termo é −8 e a vigésimo termo é 30.
2. Obter o primeiro termo da PA de razão 4 cujo 230 termo é 24 e a razão é 2?
3. Qual é o primeiro termo negativo da PA ( 60, 53, 46, · · · )
4. Quantos números inteiros positivos formados por 3 algarismos são múltiplos de 13.
5. Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele
percorre um total de 35200 metros. Quantos metros ele correu no último dia.
6. Qual a quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre −m e 20m, a fim de
se obter uma PA de razão 7?
7. Qual é a soma dos números inteiros de 1 a 350?
7
3
8. Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( , 1, , · · · ) , a partir do
5
5
primeiro termo, para que a soma seja negativa?
9. Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá
, de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
10. Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo
com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
11. Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma
de seus quadrados vale 80.
12. Um operador de máquina chegou 30 minutos atrasado no seu posto de trabalho, mas como
a máquina que ele monitora é automática, começou a trabalhar na hora programada. a)
Sabendo-se que a máquina produz 10n peças por minuto, em que n é o números de minutos,
quantas peças a máquina produziu até a chegada do operador? b) Sabendo-se que depois
de 1 hora, a máquina produz a mesma quantidade de peças, quantas peças terá feito a
máquina ao final do expediente de 4 horas?
13. Dar exemplo de uma seqüência não constante, para ilustrar cada situação abaixo indicada:
1. limitada e crescente.
2. limitada e decrescente.
3. limitada e não monótona
4. não limitada e não decrescente.
5. não limitada e não monótona.
14. Determine os quatro primeiros termos das seqüências indicadas:
n 1 o
√
√
2. { n + 1 − n}n∈N+
3. {(−1)n n}n∈N+
1.
+
2n − 1 n∈N
n
e verifique quantos pontos da
15. Esboce o gráfico da seqüência de termo geral an =
n+1
forma (n, an ) estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas 5y = 4 e 5y = 6.
58
Cálculo Vetorial e Séries
16. Escreva a forma mais simples para o termo n-ésimo de cada uma das seguintes seqüências.
Determine se ela é limitada.
17.
1 1 1
, , , ···
2 3 4
4. 0, 2, 0, 2, 0, 2, · · ·
4
3
7. 2, 1, , 1, , 1, · · ·
2
3
1 1 1 1
, , ,
, ···
2 4 8 16
5. 1, 9, 25, 49, 81, · · ·
3
2 5
4
8. 0, , − , , − , · · ·
2
3 4
5
1. 1,
3. 1, 0, 1, 0, 1, · · ·
2.
6. 0, 3, 2, 5, 4, · · ·
3
5
9. 1, , 2, , 3 · · ·
2
2
18. Expresse pelo seu termo geral cada seqüência dada.
1 2 3 4
, , , , ···
2 3 4 5
Ln2 Ln3 Ln4
3. 0,
,
,
, , ···
2
3
4
1 2 3
5. 0, 2 , 2 , 2 , · · ·
2 3 4
3
7
15
31
, 2, , 2,
, 2,
, ···
2
4
8
16
2
3
4
4. 1, 2
, 2
, 2
, ···
2
2
2 − 1 3 − 2 4 − 32
sen2o sen3o
6. sen1o ,
,
, ···
2
3
2. 2, 1, 2,
1. 1,
19. Dê um exemplo de uma seqüência limitada e não monótona que possui uma subseqüência
crescente.
20. Classifique as seqüências do Exercício 1-1 (??) quanto à limitação e monotonia, e selecione
de cada uma delas uma subseqüência monótona. Qual de aquelas seqüências possui uma
subseqüência constante?.
21. Determine o sup . e o inf . das seguintes seqüências.
1.
4.
n
n
− n2 + n
1−
1o
n
o
2.
n∈N+
n 2n o
n!
n∈N+
5. {Lnn}n∈N+
n∈N+
n
2 o
3n − 4 n∈N+
n 3n2 o
6.
n2 + n n∈N+
3.
7. {(−2)n }n∈N+
22. Dê um exemplo de uma seqüência {an }n∈N+ não constante, crescente e limitada superiormente.
23. Dê exemplo de uma seqüência {an }n∈N+ cuja distância entre quaisquer de seus termos
consecutivos seja sempre 4.
24. Determine para cada caso, se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não monótona:
1.
n (2n − 1)! o
2n · n! n∈N+
n 2n o
4.
1 + 2n n∈N+
n nn o
7.
n! n∈N+
5n o
1 + 52n n∈N+
n n! o
5.
3n n∈N+
n
o
n!
8.
(2n − 1)! n∈N+
2.
n
o
5n
(30 − k0 ) + 52n n∈N+
n
o
1
6.
n + sen(n2 ) n∈N+
n
o
n!
9.
1.3.5...(2n − 1) n∈N+
3.
n
59
Christian José Quintana Pinedo
4.3
LIMITE DE SEQÜENCIA
4.3.1
Limite de uma seqüência.
O conceito de limite de uma seqüência, está estreitamente ligado a os conceitos de limites
ao infinito estudados numa primeira disciplina de Cálculo I3 . Consideremos a restrição de uma
função de R em R restrita ao conjunto de partida N+ ; logo temos a seguinte definição de limite
ao infinito.
Definição 4.9. Limite ao infinito.
Seja f : R −→ R , uma função e L ∈ R, diz-se que L é o limite de f (x) quando x tende para
+∞ e escreve-se lim f (x) = L se e somente se dado ε > 0, existe N > 0 tal que | f (x)−L |< ε
x→+∞
sempre que x > N .
Definição 4.10. Limite de uma seqüência.
Seja {an }n∈N+ uma seqüência de números reais, dizemos que o número real L é o limite de
{an }n∈N+ , ou que a seqüência {an }n∈N+ converge para L, quando para todo numero real ε > 0,
for possível obter n0 ∈ N+ tal que |an − L| < ε, sempre que n > n0 .
Em linguagem simbólica temos:
lim an = L
n→+∞
⇔
∀ ε > 0,
∃ n 0 ∈ N+ ;
n > n0
⇒
|an − L| < ε
Outra notação para indicar que uma seqüência {an }n∈N+ converge para L é:
an → L;
n → +∞
Se {an }n∈N+ é uma seqüência de números reais, então as seguintes expressões:
1.
{an }n∈N+ é convergente para L em R.
2.
{an }n∈N+ converge a L em R.
3.
{an }n∈N+ tem um limite L em R.
4.
{an }n∈N+ tende a um limite L em R.
5. O limite de {an }n∈N+ existe em R, é o valor L.
são equivalentes; sempre que an → L ∈ R, quando n → +∞.
É importante ressaltar que em nossa definição de “seqüência convergente” o valor L depende
não somente de {an }n∈N+ ; também depende do espaço (conjunto) em que estamos trabalhando.
Exemplo 4.17.
Utilizar a definição de limite de uma seqüência, para demonstrar que
limite
3
1
.
2
n
n o
tem o
2n + 1 n∈N+
Christian Q. Pinedo.- Elementos de Cálculo I - Volume I (Notas de aula no 10). − 2003.
60
Cálculo Vetorial e Séries
Demonstração.
Devemos mostrar que para qualquer ε > 0, existe um número n0 > 0 tal que:
n
1 2n + 1 − 2 < ε
para todo
n > n0
n
1 2n − (2n + 1) −1 1
Com efeito, − =
=
=
2n + 1 2
2(2n + 1)
4n + 2
4n + 2
Logo, devemos determinar um número n0 > 0 tal que:
1
<ε
4n + 2
para todo
n > n0
1
1 − 2ε
1
< ε é equivalente a 2n + 1 >
⇒ n>
.
4n + 2
2ε
4ε
n
o
1
1 − 2ε
n
tem o limite .
Portanto, se n0 =
, a definição é válida; e
+
4ε
2n + 1 n∈N
2
Tem-se que
Exemplo 4.18.
Mostre que a seqüência {n}n∈N+ não é convergente.
Demonstração.
Suponhamos que a seqüência {n}n∈N+ seja convergente para algum L ∈ R. Dado ε =
existe n0 ∈ N+ tal que |an − L| = |n − L| < ε sempre que n > n0 .
1
1
1
1
Como |an − L| < , |an+1 − L| < , logo |n − L| < , |n + 1 − L| < .
3
3
3
3
Sendo n < n + 1, deduzimos que:
1 = |(n + 1) − n| ≤ |n + 1 − L| + |n − L| <
1
>0
3
1 1
2
+ =
3 3
3
2
, isto é contradição !
3
Portanto, supor que {n}n∈N+ converge é falso!
então 1 <
Observação 4.3.
Para o Exemplo (4.11), a seqüência cujo termo geral é:
an = 1 + 1 +
1
1
1
1
+ + + ··· +
2! 2! 4!
n!
provamos que é limitada e crescente.
Escrevemos e = lim an
n→∞
O número e é uma das constantes mais importantes em diversos ramos do estudo da matemática,
como observamos 2 < e < 3; na verdade e = 2, 7182 · · · .
Exemplo 4.19.
Mostre que a seqüência cujo termo geral é :
que −1 < r < 1 converge para zero.
Demonstração.
an = rn onde r ∈ R é um número fixado tal
61
Christian José Quintana Pinedo
Se r = 0
⇒
an = 0,
∀ n ∈ N+ , logo an → 0 quando n → +∞.
Suponhamos que r 6= 0. Dado ε > 0, como 0 < |r| < 1, então Ln|r| é bem definido, além
disso como a função logaritmo é crescente, e Ln|r| < 0:
|rn − 0| = |r n | < ε
⇔
⇔
nLn|r| < Lnε
n>
Lnε
Ln|r|
Lnε
, e teremos que an → 0 quando
Ln|r|
n → +∞. Por exemplo, isso acontece quando ε = |r|k onde k ∈ N+ .
É suficiente escolher qualquer número natural n0 =
Exemplo 4.20.
1o
converge no conjunto de números reais negativos para 0; porém
n n∈N+
não converge no conjunto dos números reais positivos.
A seqüência:
n
−
Exemplo 4.21.
n n o
converge para o número L = 1.
n + 1 n∈N+
Mostre usando a definição, que a seqüência:
Demonstração.
A mostrar que, dado qualquer ε > 0, existe um n0 ∈ N+ tal que |an − 1| < ε sempre que
n > n0 .
Com efeito, dado qualquer ε > 0 :
|an − 1| = |
1
n
− 1| =
<ε
n+1
n+1
Isto quer dizer que, dado qualquer ε > 0, existe n0 =
n > n0
⇒
⇔
n>
1
− 1.
ε
1−ε
tal que
ε
|an − 1| < ε.
Exemplo 4.22.
Mostre que a seqüência de termo geral an =
Demonstração.
3n
converge.
n + sen2n
Observa-se que seu limite deve ser 3, é suficiente dividir numerador e denominador por n e
sen2n
→ 0.
lembrar que
n
Observe que:
|an − 3| =
3|sen2n|
3
3
3
≤
≤
≤
|n + sen2n|
|n + sen2n|
n − |sen2n|
n−1
as duas últimas desigualdades havendo sido obtidas graças às desigualdades |n + sen2n| ≥ n −
|sen2n| ≥ n − 1. Fazendo agora intervir o número ε, obtemos uma desigualdade imediata de
resolver em n:
|an − 3| ≤
3
<ε
n−1
⇔
n>1+
3
ε
62
Cálculo Vetorial e Séries
Isto quer dizer que, dado qualquer ε > 0, existe n0 =
n > n0
⇒
Portanto, a seqüência de termo geral an =
3+ε
tal que
ε
|an − 3| < ε.
3n
converge para 3.
n + sen2n
Exemplo 4.23.
Determine o limite das seguintes seqüências:
a)
b)
c)
1
(−1)n−1
1 1
; ···
1; − ; ; − ; · · · ;
2 3
4
n
4 6 8
2n
; ; ; ;···
; ···
3 5 7
2n − 1
q p
√ p √
√
2; 2 2; 2 2 2 ; · · ·
2;
Solução.
a) O termo geral da seqüência está dado por an =
(−1)n−1
resulta lim
n
n→+∞
0.
(−1)n−1
,
n
∀ n ∈ N+ ,
n > 1, logo se n par
1
(−1)n−1
−1
= 0; para o caso n ímpar lim
= lim
=
n→+∞ n
n→+∞
n→+∞ n
n
= lim
(−1)n−1
=0
n→+∞
n
Portanto, lim
b) Observe que o termo geral da seqüência é: an =
2
n→+∞ 2 −
lim
1
n
2n
, calculando o limite temos:
2n − 1
2n
=1
n→+∞ 2n − 1
= 1. Portanto lim
2n
=
n→+∞ 2n − 1
lim
c) Observe que:
√
1
a1 = 2 = 2 2
p √
1
1
1 1
a2 = 2 2 = 2 2 2 4 = 2 2 + 4
q p
√
1
1
1
1 1 1
a3 = 2 2 2 = 2 2 2 4 2 8 = 2 2 + 4 + 8
..
.
an =
q p
√
1
1
1
1
1
1
2 2 2 · · · = 2 2 + 22 + 23 + 24 + 25 +··· 2n
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 3 + 4 + 5 + ··· n =
2 2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · n−1 = 2(1 − n ).
2
2 2
2
2
2
2
2
1
(1 − n )
lim .f (x)
2 , aplicando propriedade seguinte lim K f (x) = K x→a
, resulta
Assim, an = 2
Porém
lim 2
n→+∞
(1− 21n )
=2
lim (1− 21n )
n→+∞
Portanto lim an = 2.
n→+∞
x→a
1
= 2 = 2.
63
Christian José Quintana Pinedo
Propriedade 4.2.
Seja {an }n∈N+ uma seqüência, e L ∈ R, então as seguintes afirmações são equivalentes:
1. A seqüência {an }n∈N+ converge para L.
2. A seqüência {an − L}n∈N+ converge para zero.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
4.3.2
Propriedades do limite de seqüência.
Da definição de limite para uma seqüência, é necessário compreender o seguinte:
1. O número real n0 da Definição (4.10) em geral depende do número ε.
2. A desigualdade |an − L| < ε implica L − ε < an < L + ε, então an ∈ (L − ε, L + ε), isto
significa que fora do intervalo real (L − ε, L + ε) existe no máximo uma quantidade finita
de termos da seqüência.
Lembre a seguinte propriedade de números reais:
Propriedade 4.3.
i) Seja x ∈ R e x ≥ 0, se x < ε para todo ε > 0, então x = 0.
ii) Quando | x |< ε,
∀ε>0
⇒
x = 0.
Demonstração.
i) Como x ≥ 0, então x = 0 ou x > 0. A possibilidade x > 0 não pode acontecer, pois se x > 0
então do fato x < ε e como ε > 0 em particular podemos escolher ε = x de onde ε = x < x
o que é contraditório.
Por tanto x = 0.
ii) Exercício para o leitor.
Observação 4.4.
a) Se os termos de uma dada seqüência permanecem, a partir de uma certa ordem, constante,
então a seqüência é convergente e seu limite é esse valor constante.
b) Existem seqüências (não limitadas) cujos termos crescem indefinidamente à medida que o
índice n aumenta, neste caso dizemos que a seqüência tem limite infinito e denotamos
lim an = ∞
n→+∞
c) Dizer que uma seqüência {an }n∈N+ diverge equivale a admitir que lim an = ∞ ou que não
existe lim an .
n→+∞
n→+∞
64
Cálculo Vetorial e Séries
d) Ao invés de escrever lim an = L , simplesmente escreveremos lim an = L .
n→∞
n→+∞
e) Ao invés de escrever uma seqüência na forma {an }n∈N+ , simplesmente escreveremos {an },
entendendo que o índice n percorre o conjunto N+ .
Propriedade 4.4. Unicidade do limite.
Se lim an = L1 e
n→∞
lim an = L2 então L1 = L2 ; isto é, quando exista o limite de uma
n→∞
seqüência, este limite é único.
Demonstração.
Seja ε > 0 qualquer número real; e suponha que lim an = L1 e lim an = L2 sendo L1 6= L2 .
n→∞
Será suficiente mostrar que | L1 − L2 |< ε para todo ε > 0.
n→∞
Do fato lim an = L1 da definição de limite temos que, dado qualquer ε > 0, existe um
n→∞
ε
n1 > 0 tal que | an − L1 |< sempre que n > n1 ; de modo análogo dado lim an = L2 da
n→∞
2
ε
definição de limite temos que, dado qualquer ε > 0, existe um n2 > 0 tal que | an − L2 |<
2
sempre que n > n2 .
ε
Considere n0 = max .{ n1 , n2 } e n > n0 então cumprem-se as desigualdades | an − L1 |<
2
ε
e | an − L2 |< .
2
Das propriedades de números reais, temos que:
| L1 − L2 |=| L1 − an + an − L2 |≤
≤| an − L1 | + | an − L2 |<
ε ε
+ =ε
2 2
para n > n0
Assim mostramos que para todo ε > 0, sendo n > n0 verifica-se pela Propriedade (4.3)
| L1 − L2 |< ε o que implica L1 = L2 .
Exemplo 4.24.
Demonstre que a seqüência
Demonstração.
n
1
n o
converge para .
3n − 1
3
Dado qualquer ε > 0, temos a encontrar um n0 > 0 tal que:
n
1
3n − 1 − 3 < ε,
∀ n > n0
n
1
1
1
Com efeito, tem-se que − =
< ε ⇔ 6n − 3 >
3n − 1 3
6n − 3
ε
n
1 + 3ε
1
Considerando n0 =
tem-se que para todo n > n0 , então − < ε.
6ε
3n − 1 3
n n o
1
Portanto, a seqüência
converge a .
3n − 1
3
Exemplo 4.25.
Mostre que a seqüência {(−1)n } não é convergente.
Demonstração.
65
Christian José Quintana Pinedo
Suponhamos que lim (−1)n = L e consideremos ε = 1, então existe n0 > 0 tal que para
n→∞
todo n > n0 tem-se |(−1)n − L| < 1.
Suponha n1 seja par, logo tem-se que se n1 > n0
⇒
tal que n2 > n0 tem-se | − 1 − L| < 1.
Assim, resulta que | − 1 − 1| < | − 1 − L| + |1 − L| < 2
Portanto, a seqüência
{(−1)n }
Exemplo 4.26.
Determine se a seqüência
Solução.
Tem-se que lim n · sen
n→∞
n
é divergente.
n · sen
2 < 2 contradição !.
sen π
sen π
π
= lim 1 n = π · lim π n .
n→∞
n n→∞ n
n
logo no limite:
lim n · sen
n→∞
4.3.3
⇔
πo
é convergente.
n
Podemos considerar a mudança de variável m =
Portanto, a seqüência
|1 − L| < 1; para o caso n2 ímpar
n
π
, assim quando n → ∞ tem-se que m → 0;
n
sen π
π
senm
= π · lim π n = π · lim
= π. · 1 = π
n→∞
m→0 m
n
n
n · sen
πo
é convergente para π.
n
Seqüência de Cauchy.
Definição 4.11. Seqüência de Cauchy.
Uma seqüência {an } é dita de Cauchy, quando para todos os ε > 0 dado, existe n0 ∈ N+ tal
que |am − an | < ε sempre que m, n > n0 .
Exemplo 4.27.
Mostre que a seqüência
Demonstração.
n1o
n
é de Cauchy.
Com efeito, para todo ε > 0, tem-se que:
1
1 |am − an | = − m n
1o Se m = n, em (4.6) seque que |am − an | = 0 < ε,
(4.6)
∀ n o ∈ N+ .
1
1
1
−
< .
n m
n
1
Como deve cumprir que |am − an | < ε ⇒
<ε ⇒
n
1
Logo como m > n > n0 , é suficiente considerar n0 = .
ε
2o Se m > n, em (4.6) seque que |am − an | <
3o Se m < n, em (4.6) seque que |am − an | <
Como deve cumprir que |am − an | < ε
1
1
1
−
< .
n m
m
1
⇒
<ε ⇒
m
n>
1
= n0 .
ε
m>
1
= n0 .
ε
66
Cálculo Vetorial e Séries
1
Logo como n > m > n0 , é suficiente considerar n0 = .
ε
n1o
Portanto, a seqüência
é de Cauchy.
n
Propriedade 4.5.
Toda seqüência convergente é de Cauchy.
Demonstração.
Suponhamos que a seqüência {an } seja convergente para L.
Podemos adaptar a definição de convergência para afirmar que, dado ε > 0 existe um inteiro
n0 > 0 tal que:
|an − L| <
ε
2
sempre que
(4.7)
n > n0
Tanto faz m ou n, desde que sejam maiores que n0 , podemos adaptar nossa definição de
convergência para obter:
|am − L| <
ε
2
sempre que
(4.8)
m > n0
Das desigualdades (4.7) e (4.8) seque que:
|am − an | = |(am − L) − (an − L)| <
ε ε
+ +ε
2 2
sempre que
m, n > n0
Portanto, {an } é de Cauchy.
A diferencia entre a definição de convergência e de seqüência de Cauchy, é que o limite está
incluído explicitamente na primeira definição e não na segunda.
Posteriormente estudaremos o caso de que se uma seqüência é de Cauchy, então ela é convergente. Isto permitira determinar se uma determinada seqüência converge ou não, sem ter que
calcular seu limite.
4.3.4
Espaço métrico.
Definição 4.12. Espaço métrico.
Um conjunto E cujos elementos chamaremos de pontos, dizemos que é um espaço métrico,
se para cada dois pontos p, q ∈ E podemos associar um número real d(p, q) chamado distância
de p a q, tal que:
•
d(p, q) > 0, se p 6= q; e d(p, p) = 0.
•
d(p, q) = d(q, p).
•
d(p, r) ≤ d(p, q) + d(q, r) para todo r ∈ E.
Considerando d(p, q) = |p − q| em R, resulta que R é um espaço métrico.
Definição 4.13. Espaço métrico completo.
Um espaço métrico C dizemos que é completo se, nele toda seqüência de Cauchy converge.
67
Christian José Quintana Pinedo
Exemplo 4.28.
O conjunto dos números racionais Q com a métrica d(p, q) = |p − q| não é completo. Observe
a seqüência:
1, 4; 1, 41; 1, 414; 1, 4142; 1, 41421; 1, 414213; 1, 4142135; 1, 41421356; · · ·
Esta seqüência é de Cauchy, converge para
√
2∈
/ Q.
Propriedade 4.6.
Se f : R −→ R é contínua então:
lim f (x) = f ( lim x)
x→∞
x→∞
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
Exemplo 4.29.
Determine se a seqüência de termo geral an = en é convergente.
Solução.
Como a função exponencial f (x) = ex é contínua em R ⊃ N+ , temos que lim f (n) =
n→∞
lim en = exp( lim n) = f ( lim n) = ∞.
n→∞
n→∞
n→∞
Portanto, a seqüência {en } é divergente.
Exemplo 4.30.
Calcular o limite de an =
Solução.
q
p
√
n n
n.
1
1
√
1 1
Lnn
n
n = (n n ) n = n n2 = exp(Ln(n n2 )) = exp( 2 ), então aplicando
n
L’Hospital
e
a
Propriedade
(4.6)
temos:
q
1
Lnn
n √
n
lim
n = lim exp( 2 ) = exp( lim
) = exp(0) = 1
n→∞
n→∞ 2n2
n→∞
n
Propriedade 4.7. Da média aritmética.
a1 + a 2 + a 3 + · · · + a n
Seja a seqüência {an } que converge para L, então lim
= L.
n→∞
n
Demonstração.
Como
an =
n
Como lim an = L
n→∞
⇒
an = L + δn onde lim δn = 0.
n→∞
Logo a soma expressamos na forma:
(L + δ1 ) + (L + δ2 ) + (L + δ3 ) + · · · + (L + δn )
a1 + a 2 + a 3 + · · · + a n
=
n
n
=L+
Sendo lim δn = 0
n→∞
⇒
δ1 + δ 2 + δ 3 + · · · + δ n
n
|δn | < ε sempre que n > n0 , logo a soma δ1 + δ2 + δ3 + · · · + δp = k
(constante) para algum p ∈ N+ , e |δk | < ε,
∀ k > p.
Então |δp+1 + δp+2 + δp+3 + · · · + δn | < |δp+1 | + |δp+2 | + |δp+3 | + · · · + |δn | < (n − p)ε.
k
a1 + a 2 + a 3 + · · · + a n
(n − p)ε
− L ≤ lim + lim
< ε.
Logo, 0 ≤ lim
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
n
a1 + a 2 + a 3 + · · · + a n
= L, em virtude da Propriedade (4.3) ii).
n→∞
n
Portanto, lim
68
Cálculo Vetorial e Séries
Exemplo 4.31.
1
Calcular o lim √
n→∞
16n2 + 3
Solução.
"r
3
+
4
r
4
+
5
r
5
+ ··· +
6
r
n+2
n+3
#
Este limite podemos
"r escrever
#
r narforma:
r
3
4
5
n+2
1
+
+
+ ··· +
lim √
=
n→∞
4
5
6
n+3
16n2 + 3
"r
#
r
r
r
n
1
3
4
5
n+2
= lim √
· lim
.
+
+
+ ··· +
n→∞
4
5
6
n+3
16n2 + 3 n→∞ n
r
n+2
n
1
Sabe-se que lim √
e lim
= 1, assim pela propriedade da média
=
n→∞
n→∞
4
n+3
16n2 + 3
"r
#
r
r
r
1
3
4
5
n+2
= 1.
aritmética tem-se: lim
+
+
+ ··· +
n→∞ n
4
5
6
n+3
#
"r
r
r
r
1
1
3
4
5
n+2
= .
Portanto, lim √
+
+
+ ··· +
2
n→∞
4
5
6
n
+
3
4
16n + 3
Propriedade 4.8. Da média geométrica.
Suponhamos {an } seja convergente, tal que lim an = L, então:
n→∞
lim
n→∞
√
n
a1 · a2 · a3 · · · an = L
Demonstração.
Como lim an = L, tem-se aplicando a Propriedade (4.6) à função f (x) = Lnx x > 0 , que
n→∞
Ln( lim an ) = LnL, de onde lim (Lnan ) = LnL.
n→∞
n→∞
Seja un =
√
n a · a · a ···a
1
2
3
n
⇒
Lnun =
1
(Lna1 + Lna2 + Lna3 + · · · + Lnan ).
n
Calculando o limite quando n → ∞ e aplicando a Propriedade (4.6) segue que:
lim un = lim
n→∞
n→∞
√
n
a1 · a2 · a3 · · · an
⇒
⇒
1
(Lna1 + Lna2 + Lna3 + · · · + Lnan ) = LnL.
n→∞ n
Ln( lim un ) = lim
n→∞
Sendo a função exponencial g(x) = exp(x),
tem-se: exp(Ln( lim un )) = exp(LnL)
n→∞
Portanto, lim
n→∞
Exemplo 4.32.
Calcular lim
Solução.
n→∞
√
n
r
n
⇒
a1 · a2 · a3 · · · an = L.
3 5 7
2n + 1
· ·
···
5 8 11
3n + 2
x ∈ R contínua e inversa da função logaritmo,
lim un = L.
n→∞
69
Christian José Quintana Pinedo
2n + 1
5
7
2n + 1
2
3
de onde lim
= .
Observe que a1 = , a2 = , a3 = , · · · , an =
n→∞ 3n + 2
5
8
11
3n + 2
3
Logo pela propriedade da média geométrica segue que:
lim
n→∞
r
n
2n + 1
2
3 5 7
· ·
···
=
5 8 11
3n + 2
3
Propriedade 4.9.
Se uma seqüência {an } converge para um limite L, e se M < L < N , então, a partir de um
certo índice n tem-se que M < an < N .
Demonstração.
Dado qualquer ε > 0, existe n0 ∈ N+ tal que a partir desse índice L − ε < an < L + ε.
Assim, podemos reescrever ε como o menor dos números L − A e B − L, para obter L − ε >
L − (L − A) = A e L + ε < L + (B − L) = B sempre que n0 > n.
De onde para n < n0 tem-se que A < an < B.
Definição 4.14. Seqüência contrativa.
Uma seqüência an é dita contrativa se existe a constante c com, 0 < c < 1 tal que |an+2 −
an+1 | ≤ c|an+1 − an |
∀n ∈ N+ .
Exemplo 4.33.
São seqüências contrativas:
•
•
n1o
n
n (−1)n o
n
Propriedade 4.10.
Toda seqüência contrativa é limitada.
Demonstração.
Observe que |an+2 − an+1 | ≤ c|an+1 − an | ≤ c2 |an − an−1 | ≤ · · · ≤ cn |a2 − a1 | ∀n ∈ N+ .
Seja sn = (an − an−1 ) + (an−1 − an−2 ) + · · · + (a3 − a2 ) + (a2 − a1 ), então sn = an − a1 .
Logo, |an − a1 | = |sn | ≤ |an − an−1 | + |an−1 − an−2 | + · · · + |a3 − a2 | + |a2 − a1 | ≤ [cn−1 +
cn−2 + · · · c2 + c + 1]|a2 − a1 |.
Como 0 < c < 1
1
|a2 − a1 |
1−c
⇒
0 < 1 − cn < 1,
M = a1 −
∀ n ∈ N+ , assim |an − a1 | ≤
|a2 − a1 |
|a2 − a1 |
≤ an ≤ a1 +
=N
1−c
1−c
1 − cn
|a2 − a1 | <
1−c
Considere o max .{|M |, |N |} = P e teremos que existe P ∈ R tal que |an | ≤ P,
Portanto, toda seqüência contrativa é limitada.
Propriedade 4.11. Critério de Stolz - Cesaro.
∀n ∈ N+ .
70
Cálculo Vetorial e Séries
Sejam {an } e {bn } duas seqüências tais que: lim bn = +∞ e {bn } monótona. Então:
n→∞
lim
n→∞
an+1 − an
an
= lim
=λ∈R
n→∞ bn+1 − bn
bn
A demonstração é exercício para o leitor.
Exemplo 4.34.
Determine se a seqüência de termo geral cn =
Solução.
Ln(n!)
converge.
Ln(nn )
Suponhamos as seqüências de termo geral an = Ln(n!) e bn = Ln(nn ), como {bn} é monótona
crescente, segue que:
Ln(n + 1)! − Ln(n!)
Ln(n + 1)
Ln(n!)
= lim
= lim
=
n
n+1
n
n→∞ Ln(n )
n→∞ Ln(n + 1)
− Ln(n ) n→∞ (n + 1)Ln(n + 1) − nLnn
lim
1
+ 1)
Ln(n + 1)
n Ln(n
1
n+1 n+1
= lim
n→∞ nLn
+ Ln(n + 1) n→∞ Ln n + n Ln(n + 1)
n
√
Lne
1
Ln n n + 1
√
=
= =1
= lim
n→∞ Ln 1 + 1 + Ln n n + 1
Ln1 + Lne
1
n
= lim
Conseqüentemente, lim cn = 1; portanto a seqüência {cn } converge.
n→∞
71
Christian José Quintana Pinedo
Exercícios 1-2
1. Mostre que a seqüência {an }n∈N+ , onde a1 = 0,
an+1 =
e limitada.
3an + 1
4
∀ n ∈ N+ é crescente
2. Quais das seguintes seqüências são monótonas. Quais são limitadas ?
n1o
n2 n∈N+
n 1 o
5.
m2 m∈N+
1. {n2 }n∈N+
4.
nn + 1o
n
2.
n∈N+
3. Mostre que a seqüência de termo geral :
3.
n 1 o
√
n n∈N+
6. {2n }n∈N+
an =
seqüência de números naturais.
√ n
1+ 5
2
n k o
k + 1 k∈N+
n r o
8
r2 + 1 r∈N+
7.
√ n
− 1−2 5
√
5
∀ n ∈ N é uma
1 1 1
4. Considere as seqüências an : 1, , , , · · · e bn : 5, 3; 5, 33; 5, 333; · · · .
2 3 4
1. Os termos de {an } aproximam-se de 0, e os de {bn } de 5, 3334. Em qual dos casos a
aproximação é mais rapidamente?
1
? E, quantos
2. Quantos elementos de {an } estão fora do intervalo de centro 0 e raio
10
1
?
elementos de {bn } estão fora do intervalo de centro 5, 3334 e raio
10
3. Com a informação da parte 2., você tem algum argumento que permita decidir em quais
dos casos a aproximação é mais rapidamente?
5. Pense na seqüência 1, 0, 1, 0, 1, · · · obviamente é limitada. Mostre que não existe nenhum
número real que seja limite dessa seqüência.
6. Você deve ter estudado seqüências limitadas que não possuem l,imite. Pense na propriedade
recíproca. Existem seqüências com limite que não sejam limitadas?
7. Mostre que, se lim an = L e lim an = M então L = M .
n→∞
n→+∞
8. Construa uma seqüência que tenha subseqüências convergindo, cada uma para cada um
dos números inteiros positivos.
9. Construa uma seqüência que tenha uma subseqüência convergindo para −3 e outra convergindo para 8.
10. Se lim an = L então lim |an | = |L|. Dar um contra-exemplo mostrando que a recíproca
n→∞
n→∞
é falsa, salvo quando a = 0.
n1o
converge para zero.
n2
nn + 1o
12. Demonstre que a seqüência
converge para 1.
n
11. Demonstre que a seqüência
72
Cálculo Vetorial e Séries
13. Para os seguintes exercícios, escreva os quatro primeiros termos da seqüência e determine
se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, achar seu limite:
1.
4.
7.
10.
13.
n n+1 o
2n − 1
n en o
n
n n
nπ o
sen
n+1
2
n
o
1
√
2
n +1
o
n
1
√
n2 + 1 − 1
1 no
)
(1 +
3n
n
o
r1/n e r > 0
n
16.
17.
2.
5.
8.
11.
14.
n n2 + 1 o
3.
senhn
6.
n
n
o
n senhn o
senn
n (−1)n+1 (n + 1) o
2n
n√
n+2−
√
n+1
o
n 3 − 2n2 o
n2 − 1
n 2n2 + 1 o
3n2 − n
o
1
√
9.
n2 + 1 − n
n Lnn o
12.
n2
n 1o
15.
n
n
n
Sugestão: use lim (1 + x)1/x = e.
x→0
Sugestão: considere os dois casos: r ≤ 1 e r > 1.
14. Uma seqüência é tal que: a1 = 0, 9, a2 = 0, 99, a3 = 0, 999, · · · , an = 0, 999999 · · ·.
|
{z
}
Determine o lim an .
n-vezes .
n→∞
15. No Exercício anterior, qual o valor de n para que, o valor absoluto da diferença entre a n e
seu limite não seja maior do que 0, 0001?
16. Calcular se existem os seguintes limites:
1.
4.
7.
10.
n3 − 100n2 + 1
lim
n→∞ 100n2 + 15n
n
lim
n→∞ n − 1
(n + 1)4 − (n − 1)4
lim
n→∞ (n + 1)4 + (n − 1)4
√
5
n3 + 2n − 1
lim
n→∞
n+2
2.
5.
8.
11.
√
n
2−1
lim √
n
n→∞
2+1
(2n + 1)2
lim
n→∞
2n2
(n + 1)2
lim
n→∞
2n2
n3
+n
n→∞ n2 + 1
lim
3.
6.
9.
12.
2n − 1
n→∞ 2n + 1
n+1
lim
n→∞
n
n2 − 1
lim
n→∞ 2n2 + 1
lim
n2 + 5
n→∞ n2 − 3
lim
17. Verificar o valor dos seguintes limites:
1.
3.
5.
.7
9.
1
4n3 + 2n2 − 5
=−
n→+∞ n + 2 − 8n3
2
3n2 − 2 n2 − 4n
3
lim
+
=
n→+∞ 2n + 1
n−3
2
s
8n − 4
√ √
lim 3
= −2
n→+∞
(3 − n)( n + 2)
p
5
lim [ n2 − 5n + 6 − 2] = −
x→+∞
2
q
√
lim [ n 2n − 5n + 6 − n] = −∞
lim
n→+∞
2.
4.
6.
8.
10.
5n3 − n2 + n − 1
=0
n→−∞ n4 − n3 − 2n + 1
2n + 3
√ =2
lim
n→+∞ n + 3 n
q
p
√
n+ n+ n+3
√
lim
=1
n→+∞
n+3
p
lim [ n2 − 2n + 4 + n] = 1
n→−∞
√
n2 + 1 + n)2
lim ( √
=2
3
n→∞
n6 + 1
lim
73
Christian José Quintana Pinedo
18. Nos seguintes exercícios, use a Definição (4.10) para provar que a seqüência dada tem o
limite L.
n
4 o
;
2n − 1
n 8n o
;
4.
2n + 3
n 5k n o
0
;
7.
2n + 3
1.
n 1 o
3 o
√ ;
; L=0
3.
L=0
n−1
n
n 5−n o
n 2n2 o
1
2
5.
; L=−
; L= .
6.
2
2 + 3n
3
5n + 1
5
n 3(30 − k ) o
0
; L=0 .
8.
2n − 1
L=0
L=4
L=
5k0
2
19. Mostre que as seqüências
n2 o
é convergente.
n+4
n
2.
n n2 o
n n2 o
n n2
e
divergem; porém, a seqüência
−
n−3
n+4
n−3
20. Calcule o 4to elemento das seqüências
n log
k0
n2 o
n
ou divergem. Caso convergir ache o seu limite.
√
e { k0 n n} e determine se elas convergem
21. Determine quais das seguintes seqüências são convergentes. Caso seja convergente, calcular
seu limite.
n2 + 1 o
1.
n2 − 2n + 3
n 3n + n 4 o
4.
4n − n 5
√
7. { n n}
n√
3
n + 4o
√
3.
n−1
n
o
n
2.
Ln(n + 1)
n 5 + Lnn o
5.
n2 + n
p
n
8. { n2 + n}
n
22. Determine o limite da seqüência:
√
2,
p
√
2 + 2,
q
2+
6. {e−n · senn}
p
2+
√
2, · · ·
23. Determine o limites das seguintes seqüências, sendo seu termo geral:
1 3n+1
1. an = 1 +
3n − 1
1 6n
4. an = 1 +
n+1
2 n
7. an = 1 +
n
2. an = 1 +
5. an = 1 +
8. an = 1 +
24. Determine se a seqüência de termo geral, an =
25. Estude a convergência da seqüência
26. Determine o valor do limite: lim
n→∞
n
s
n
1 n
n+4
1 n 2
n2
3 n
n
1 2
3. an = 1 +
2n
1 n!
6. an = 1 +
n!
(2n + 5)2n+5 nn−3
é convergente.
(4n + 1)n+2 (n + 3)2n
√
1
3n + 1(n + 7)n+ 2 o
√
(3n + n2 + 5)(n + 3)n
Ln4n
n·
Ln10n
n 3 8 13
5n − 2
· ·
···
.
2 5 8
3n − 1
74
Cálculo Vetorial e Séries
27. Determine se a seqüência de termo geral an é convergente, onde:
2
3
n
1
1
1
1
an = 2
+3
+4
+ · · · + (n + 1)
4
4
4
4
28. Estudar a convergência da seqüência de termo geral: an =
2n · n!
= 0.
n→∞ nn
n k3 − 1
Q
.
3
k=2 k + 1
29. Mostre que lim
2an−1 + 3
para n ≥ 2. Mostre que a seqüência {an } converge.
4
an−2 + an−1
31. Sejam a1 = 1, a2 = 2, · · · , an =
para n ≥ 3. Mostre que a seqüência {an }
2
converge.
30. Sejam a1 = 1, an =
32. Determine se a seqüência de termo geral, an =
12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2
converge.
12 + 2 2 + 3 2 + · · · + n 2
75
Christian José Quintana Pinedo
4.4
4.4.1
SEQÜENCIAS CONVERGENTES
Propriedades Fundamentais.
Propriedade 4.12.
Toda seqüência monótona convergente, é necessariamente limitada.
Demonstração.
Seja {an } uma seqüência convergente com limite L.
Der acordo com a definição de limite, para qualquer ε > 0, em particular para ε = 1, existe
n0 a partir do qual se tem |an − L| < 1.
Usando a desigualdade triangular podemos assegurar que:
|an | = |an − L + L| ≤ |an − L| + |L| < 1 + |L|
∀ n ≥ n0
(4.9)
Os únicos termos da seqüência que possivelmente não atendem esta condição (4.9) são:
a1 , a2 , a3 , · · · , an0 −1 .
Considerando o número real c como o maior entre os números 1+|L|, |a 1 |, |a2 |, |a3 |, · · · , |an0 −1 |
teremos |an | ≤ C
∀ n > n0
Observe que a recíproca desta propriedade nem sempre é verdadeira; por exemplo a seqüência
{(−1)n } ela é limitada, porém não é convergente.
Exemplo 4.35.
Mostre que a seqüência
Demonstração.
√
2,
p √ q p √
2 2, 2 2 2, · · · é limitada.
Pelo Exemplo (4.23) sabe-se que esta seqüência é convergente.
√
√
√
√
Seja a1 = 2, a2 = 2a1 , a3 = 2a2 , · · · , an = 2an−1 .
Mostrarei que ela crescente, logo limitada.
Afirmo : Para todo n ∈ N+ tem-se an ≤ an+1 .
p √
√
√
Com efeito, se n = 1 segue que a1 = 2 < 2 além disso a1 = 2 < 2 2 = a2 .
Suponhamos para n = h que ah ≤ ah+1 e além disso que ah < 2.
Para n = h + 1 tem-se:
√
O termo geral é da forma ah+1 = 2ah , aplicando a hipótese de indução seque (ah+1 )2 =
√
2ah ≤ 2ah+1 , logo ah+1 ≤ 2ah+1 = ah+2 .
√
√
= 2, pois 2a ≤ 4 pela hipótese indutiva.
Por outro lado, ah+1 = 2ah ≤ 4q
p √
√ p √
Portanto, a seqüência 2, 2 2, 2 2 2, · · · é limitada.
Propriedade 4.13.
Se f : [β, +∞) −→ R é uma função tal que lim f (x) = L, então a seqüência de termo geral
an = f (n),
x→∞
n > β, é convergente e seu limite é igual a L.
Se lim f (x) = ±∞ então a seqüência é divergente.
x→∞
76
Cálculo Vetorial e Séries
Demonstração.
Pela definição de limite no infinito para funções reais definidas em intervalos, segue que para
cada ε > 0 , existe um número real N > 0, tal que |f (x) − L| < ε,
Considerando que a seqüência de termo geral an = f (n),
∀ x ≥ N.
n > β é uma ‘´função restrição”
de f (x), escolhemos um índice n0 ≥ N e teremos |f (n) − L| < ε,
∀ n ≥ n0 .
A propriedade acima mencionada, resulta importante para o caso em que seja possível utilizala.
O cálculo de limites torna-se relativamente simples, especialmente quando se usam técnicas
de Cálculo, particularmente a Regra de L’Hospital.
Propriedade 4.14.
Se lim an = L, então toda subseqüência de {an }n∈N+ converge para o limite L.
n→∞
Demonstração.
Seja {an1 , an2 , · · · , ani , · · · } uma subseqüência de {an }n∈N+ . Dado ε > 0, existe n0 ∈ N+
tal que n > n0
⇒
|an − L| < ε.
Como os índices da subseqüência formam um subconjunto infinito, existe entre eles um n i0 >
n0 . Então ni > ni0
⇒
⇒
ni > n0
Portanto, lim ani = L
|ani − L| < ε.
ni →∞
Propriedade 4.15.
Uma seqüência {an } converge para L se, e somente se, as subseqüências {a2n } e {a2n−1 }
convergem para L.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
Uma seqüência divergente pode ter uma ou mais subseqüências convergentes, para limites distintos. Pode acontecer também que dada uma seqüência divergente, todas as suas subseqüências
também sejam divergentes, como o caso da seqüência {n}.
Isso não contradiz o resultado da Propriedade (4.15), pois as duas subseqüências citadas na
propriedade, juntas contém todos os termos da seqüência original {a n }.
Exemplo 4.36.
A seqüência {(−1)n } é divergente, pois suas subseqüências par e ímpar convergem a valores
distintos.
De fato a2n = (−1)2n = 1,
−1,
∀ n ∈ N+ converge para −1.
∀ n ∈ N+ converge para 1, enquanto a2n−1 = (−1)2n−1 =
Exemplo 4.37.
A seqüência de termo geral an =
e negativos, ela converge para zero.
(−1)n
embora possua seus termos alternadamente positivos
n
Isto pelo fatos das subseqüências a2n =
(−1)2n+−1
(−1)2n
e an =
convergem para zero.
2n
2n − 1
77
Christian José Quintana Pinedo
Exemplo 4.38.

 n, se, n ímpar
é divergente.
A seqüência de termo geral an =
1
 , se n par
n
De fato, a subseqüência ímpar tem como termo geral a2n−1 = 2n − 1, ∀ n ∈ N+ ela diverge;
1
e a seqüência par a2n =
, ∀ n ∈ N+ , ela converge.
2n
Exemplo 4.39.

 1 , se n par ou primo
n
.
Consideremos a seqüência de termo geral an =
 n, se, n ímpar ou não-primo
Observe que esta seqüência {an } é divergente pelo fato não ser limitada.
Note que pelo menos possui duas subseqüências convergentes.
Propriedade 4.16.
Sejam {an } e {bn } seqüências convergentes com limite L e M respectivamente, então:
1. A seqüência {C · an } converge para C · L.
2. A seqüência {|an |} converge para |L|.
3. A seqüência {an ± bn } converge para L ± M .
4. A seqüência {an · bn } converge para L · M .
na o
L
n
5. A seqüência
, sempre que M 6= 0 e bn 6= 0,
converge para
bn
M
∀ n ∈ N+ .
Demonstração.
Seja ε > 0 dado. Pela definição de limite, existem índices n1 e n2 tais que:
|an − L| < ε,
∀ n > n1
|bn − M | < ε,
∀ n > n2
(4.10)
(4.11)
Considerando n0 = max .{n1 , n2 } de modo que (4.10) e (4.11) ocorram simultaneamente,
temos para n > n0 que:
1. Tem-se que |C · an − C · L| = |C||an − L| < |C|ε
2. Tem-se que ||an | − |L|| ≤ |an − L| < ε;
3. Tem-se que |(an ± bn ) − (L ± M )| ≤ (|an − L| ± |bn − M |) < ε + ε = 2ε;
4. Tem-se que |an · bn − L · M | ≤ (|an bn − bn L + bn L − L · M | ≤ (|bn ||an − L| + |L||bn − M |) ≤
(D + |L|)ε, onde D é uma constante positiva que limita a seqüência {bn };
5. Tem-se que:
an
− L = M · an − L · bn − LM + LM ≤
bn
M M · bn
≤
|L|
|L| 1 |an − L| +
ε
|bn − M | < C 1 +
|bn |
|M |
|M |
78
Cálculo Vetorial e Séries
Onde C é um número positivo tal que
1
≤ C,
|bn |
∀ n ≥ n0 (demonstre !).
Observação 4.5.
De posse das propriedades apresentadas na Propriedade (4.16), fica mais prático o cálculo de
limites. Não é mais necessário utilizar da função extensão f (x), a menos que se faça referencia
às propriedades analíticas como continuidade, derivabilidade, etc.
Exemplo 4.40.
n3 + 4
, procedemos aplicando a Propriedade (4.16)
n→∞ 3n3 − 2n + 3
colocando em evidência o termo de maior grau, resultando:
Por exemplo para calcular lim
n3 (1 + n43 )
1
n3 + 4
=
=
lim
n→∞ n3 (3 − 22 + 33 )
n→∞ 3n3 − 2n + 3
3
n
n
lim
1
= 0, p > 0.
n→∞ np
n3 + 4
1
Portanto, lim
=
n→∞ 3n3 − 2n + 3
3
lembre que lim
Observação 4.6.
Mostra-se que, se {an } é uma seqüência convergente então:
1. Se α ≤ an ,
∀n ∈ N+ , então α ≤ lim an .
2. Se an ≤ β,
∀n ∈ N+ , então lim an ≤ β.
4.4.2
n→∞
n→∞
Critérios de Convergência.
Propriedade 4.17.
Se uma seqüência {an } converge para zero, e {bn } é limitada, então a seqüência {an · bn }
converge para zero.
Demonstração.
Seja ε > 0; como {an } converge para zero, para este ε, corresponde um n0 > 0 tal que
|an | < ε, sempre que n ≥ n0 .
Por outro lado, sendo {bn } uma seqüência limitada, existe uma constante N > 0 tal que
|bn | ≤ N,
∀ n ∈ N+ .
E certamente para qualquer n ≥ n0 teremos:
|an · bn − 0| = |an · bn | = |an | · |bn | < ε N
Isto significa que lim an · bn = 0.
n→∞
Portanto, a seqüência {an · bn } converge para zero.
79
Christian José Quintana Pinedo
Para a propriedade que acabamos de demonstrar, se exige que a seqüência {b n } seja somente
limitada, podendo ser convergente ou não; por essa razão não foi usada na demonstração a propriedade referente au produto de seqüências, a qual exige a existência dos limites das seqüências
envolvidas.
Exemplo 4.41.
Determine se a seqüência de termo geral an =
Solução.
sen(nπ + 2)
é convergente.
n2
Observe que an podemos escrever na forma an = bn · cn onde os termos gerais são: bn =
1
sen(nπ + 2) e cn = 2 .
n
Sabe-se que a seqüência {bn } é limitada, e a seqüência {cn } converge para zero.
Portanto a seqüência de termo geral an converge para zero.
Uma propriedade importante dos números reais, é o fato que eles são completos. Intuitivamente, isto significa que a reta real não tem buracos; isto não ocorre com o conjunto dos números
racionais, não satisfaz esta propriedade.
Axioma 4.1. Axioma de completamento.
Todo conjunto de números reais que tem uma cota superior tem uma mínima cota superior.
Também, todo conjunto de números reais que tem uma cota inferior, tem uma máxima cota
inferior.
nn + 1o
é 1.
n+2
O axioma de completamento, junto com as propriedades algébricas de números reais e o
Por exemplo, o supremo da seqüência
axioma da boa ordem, descrevem o conjunto dos números reais como um sistema completo.
O “axioma do completamento”, será usado na demonstração da seguinte propriedade.
Propriedade 4.18.
Toda seqüência que é ao mesmo tempo limitada e monótona, é convergente. Se {an }n∈N+ é
crescente, então lim an = sup .{an }.
n→∞
Demonstração.
Suponhamos que a seqüência {an }n∈N+ seja monótona crescente e limitada, suponha que
L = sup .{an }.
Para todo ε > 0,
L − ε não é o limite superior, pois L − ε < L e L é o menor dos limites
superiores da seqüência.
Assim, para algum número natural n0 > 0, tem-se que:
(4.12)
L − ε < a n0
r
r
a1
a2
r
···
r
···
r
r
L−ε
r
r
a n0
L
80
Cálculo Vetorial e Séries
Do fato ser L o menor dos limites superiores da seqüência, então:
∀ n ∈ N+
an ≤ L,
(4.13)
Como a seqüência {an }n∈N+ é crescente, então:
an ≤ an+1 ,
∀ n ∈ N+
⇒
a n0 ≤ a n
sempre que n ≥ n0
(4.14)
Das desigualdades (4.12), (4.13) e (4.14) tem-se:
L − ε < a n0 ≤ a n ≤ L < L + ε
Assim, L − ε < an < L + ε
sempre que n ≥ n0
|an − L| < ε sempre que n ≥ n0 .
⇔
Pela definição do limite, isto é equivalente a: lim an = sup .{an }.
n→∞
Observação 4.7.
• Na Propriedade (4.15), se a seqüência for monótona decrescente e limitada, mostra-se que:
lim an = inf .{an }.
n→∞
• Se {an }n∈N+ é crescente e suponhamos que D seja limite superior desta seqüência, então
{an }n∈N+ é convergente, e lim an ≤ D.
n→∞
• Se {an }n∈N+ é decrescente e suponhamos que C seja limite inferior desta seqüência, então
{an }n∈N+ é convergente, e lim an ≥ D.
n→∞
Propriedade 4.19.
Se lim an = L, então para todo k ∈ N+ , lim an+k = L.
n→∞
n→∞
Demonstração.
Com efeito, {a1+k , a2+k , · · · , an+k , · · · } é uma subseqüência de {an }n∈N+ .
Exprime-se esta propriedade acima dizendo que o limite de uma seqüência não se altera
quando dela se omite um número finito de termos.
Pelas Propriedades (4.4) e (4.14) podemos concluir que:
Para mostrar que uma seqüência {an }n∈N+ não converge: basta obter duas subseqüências
com limites diferentes.
Para determinar o limite de uma subseqüência {akn }kn ∈N+ que, a- priori, se sabe que con-
verge: basta determinar o limite de alguma subseqüência. Ele será o limite procurado.
Exemplo 4.42.
Consideremos a seqüência {an }, onde:
a1 = 0,
Então converge para 4.
an+1 =
2an + 4
3
para todo n ∈ N+
81
Christian José Quintana Pinedo
Com efeito, para todo n ∈ N+ tem-se que an ≤ an+1 . Observe, se n = 1 então a1 = 0 de
2a1 + 4
4
onde a2 − a1 =
− a1 = ≥ 0.
3
3
Suponhamos que para n = h, cumpra que ah ≤ ah+1 . Então ah+2 − ah+1 =
2ah + 4
2
= (an+1 − ah ) ≥ 0.
3
3
2ah+1 + 4
−
3
Portanto, {an } é crescente.
Afirmo:
|an | ≤ 5.
Com efeito, |a1 | = 0 ≤ 5. Suponhamos que para n = h compre que |ah | ≤ 5.
2(5) + 4
14
2|ah | + 4
≤
=
≤ 5.
3
3
3
Portanto a seqüência é crescente e limitada.
Para n = h + 1 segue que |ah+1 | ≤
Por último, suponhamos que lim an = L, então aplicando a Propriedade (4.19) L =
n→∞
2an + 4
2L + 4
=
.
n→∞
3
3
lim an+1 = lim
n→∞
De onde 3L = 2L + 4
Portanto, lim an = 4.
⇒
L = 4.
n→∞
Propriedade 4.20.
Sejam: {an } uma seqüência; L ∈ R, e {bn } uma seqüência positiva de números reais tal que
lim bn = 0.
n→∞
Se |L − an | ≤ bn ,
∀ n ∈ N+ , então lim an = L.
n→∞
Demonstração.
Por hipótese {bn } converge para zero, pela Definição (4.10), para todo ε > 0, existe n 0 ∈ N+
tal que bn = |bn − 0| < ε sempre que n > n0 .
Para todo n > n0 tem-se que: |L − an | ≤ bn < ε.
De onde |an − L| < ε sempre que n > n0 .
Portanto, como ε é arbitrário segue-se que {an } converge para L.
Exemplo 4.43.
Determine se a seqüência
Solução.
n n o
converge.
n+1
n
(n + 1) − 1
1
1
1
=
=1−
, além disso sabe-se que
< .
n+1
n+1
n+1
n+1
n
n1o
1
1
n é uma seqüência de números positivos tal que
Logo, 1 −
<
,
como
=
n + 1
n+1
n
n
Observe que
1
n
= 0, então aplicando a Propriedade (4.20) tem-se que: lim
= 1.
n→∞
n
n+1
n n o
converge.
Portanto, a seqüência
n+1
lim
n→∞
82
Cálculo Vetorial e Séries
Propriedade 4.21. Critério de confronto.4
Sejam {an }, {bn } e {cn } três subseqüência tais que an ≤ bn ≤ cn
∀ n ∈ N+ , com {an } e
{cn } convergindo para o mesmo limite L. Então {bn } também converge para L.
Demonstração.
Como lim an = lim an = L, então dado ε > 0, existe n0 > 0 a partir do qual tem-se:
n→∞
n→∞
e
−ε < an − L < ε
Como an ≤ bn ≤ cn
∀ n ∈ N+
(4.15) obtemos que −ε < bn − L < ε,
(4.15)
an − L < bn − L < cn − L, usando a desigualdade
⇒
Portanto, lim bn = L
− ε < cn − L < ε
∀ n ∈ N+ .
n→∞
Exemplo 4.44.
Dada as seqüências de termos gerais an = sen2nπ, cn =
(4.21) verificar que {bn } converge para zero.
1
1
e bn = 2 usando a Propriedade
n
n
Solução.
Tem-se que: 0 = sen2nπ ≤
1
1
≤ ,
2
n
n
∀ n ∈ N+ , então:
1
1
≤ lim
=0
2
n→∞ n
n→∞ n
0 = lim sen2nπ ≤ lim
n→∞
1
= 0.
n→∞ n2
Conseqüentemente, lim
Exemplo 4.45.
Determine se a seqüência
Solução.
Sabe-se que 2n ≥ n,
n1o
converge.
2n
∀ n ∈ N+ , então
1
1
1
≤ ,
=
−
0
n
2n 2n
∀ n ∈ N+
1
Em virtude da Propriedade (4.21) segue que lim n = 0.
n→∞ 2
n1o
converge.
Portanto a seqüência
2n
Propriedade 4.22. Teste da razão para seqüência.
Se una seqüência {an } de termos positivos satisfaz à condição lim
converge para zero.
Demonstração.
n→∞
an+1
= L < 1, então ela
an
an+1 an+1
< L,
= L, então existe n0 > 0 tal que Seja 0 < L < 1, e suponhamos que lim
n→∞ an
an sempre que n0 > 0.
4
Teorema da seqüência intercalada ou Teorema do sanduíche.
83
Christian José Quintana Pinedo
Seja p ∈ N+ maior do que n0 , então:
|ap+2 | < L|ap+1 | < L2 |ap |
|ap+1 | < L|ap |;
Em geral para qualquer k ∈ N+ tem-se:
|ap+k | < Lk |ap |
Como L ∈ (0, 1),
isto é − Lk |ap | < ap+k < Lk |ap |
lim Lk = 0.
k→∞
Portanto, pela Propriedade (4.19), segue que: lim ap+k = 0; isto é lim an = 0.
n→∞
k→∞
Exemplo 4.46.
Determine se a seqüência
Solução.
Tem-se
n 5n o
n!
an+1
lim
= lim
n→∞ an
n→∞
Logo a seqüência converge
Exemplo 4.47.
Determine se a seqüência
Solução.
Tem-se
é convergente.
5n+1
(n+1)!
5n
n!
n 5n o
n!
5
5n+1 n!
= lim
= 0 < 1.
n
n→∞ n + 1
n→∞ 5 (n + 1)!
= lim
para zero.
n 2n + n 4 o
3n − n 7
é convergente.
lim (2/3)n + lim n4 /3n
2n + n 4
(2/3)n + n4 /3n
n→∞
n→∞
lim
= lim
=
.
7
n
n→∞ 3n − n7
n→∞
1 − n /3
1 − lim n7 /3n
n→∞
Aplicando o critério da razão separadamente a cada um dos limites, concluímos que a sen 2n + n 4 o
converge para zero.
qüência
3n − n 7
Propriedade 4.23. Desigualdade de Bernoulli
:
5
Quaisquer que sejam o número x ≥ −1 e o número inteiro n ≥ 1 vale a seguinte desigualdade
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
Demonstração.
Como x ≥ −1
0 ≤ (x + 1),!pela fórmula do binômio
tem-se:
!
n
n
n
(1 + x)n =
x0 (1)n +
x1 (1)n−1 +
x2 (1)n−2 + · · ·
0
1
2
!
n
··· +
x1 (1)n−1 +
n−1
!
!
n
n
n
0
n
Logo, (1 + x) ≥
x (1) +
x1 (1)n−1 = 1 + nx.
0
1
Portanto, (1 + x)n ≥ 1 + nx sempre que x > −1.
⇒
!
Exemplo 4.48.
5
Jaques Jacob Bernoulli (1654 − 1705)
n
n
!
x0 (1)n
84
Cálculo Vetorial e Séries
(a) Mostre que se r > 1, então a seqüência {r n } é limitada inferiormente.
(b) Mostre que se |r| > 1, a seqüência {r n } diverge.
Demonstração. (a)
Como 1 < r
r < r2 < r3
⇒
inferiormente por r.
⇒
r < rn < · · · ,
∀ r ∈ N+ , logo {r n } é limitada
Por outro lado, temos que r = 1 + d, e pela desigualdade de Bernoulli, seque que
rn =
(1 + d)n ≥ 1 + dn.
Assim, dado qualquer c ∈ R, podemos obter r n > c, desde que consideremos 1 + dn > c, isto
c−1
.
én>
d
Demonstração. (b)
|r|n
Como |r| > 1
= (1 +
b)n
|r| = 1 + b para algum b > 0, pela desigualdade de Bernoulli tem-se que
⇒
≥ 1 + nb ∀ n ∈ N+ .
Dado qualquer número positivo L ∈ R, pelo axioma de Arquimedes existe p ∈ N + tal que
1
p ≥ (L − 1).
b
Considerando p = n e como 1 + nb ≥ L ⇒ 1 + (1 + n)b ≥ L de onde |r n+1 | = |r|n+1 ≥
1 + (n + 1)b > L.
Conseqüentemente, não existe L ∈ R tal que L ≥ |r n |,
Portanto, a seqüência {r n } diverge se, |r| > 1.
∀ n ∈ N+ .
Exemplo 4.49.
√
Mostre que se r > 0, então a seqüência { n r} converge para 1.
Demonstração.
Suponhamos bn =
√
n
r − 1; então bn > 0.
√
√
Por outro lado, como n r = bn + 1 pela desigualdade de Bernoulli tem-se que r = ( n r)n =
r−1
.
(bn + 1)n ≥ 1 + nbn , de onde bn ≤
n
r−1
Deste modo 0 < bn ≤
de onde pelo critério do confronto segue que bn → 0; isto é
n
√
n
r→1.
4.4.3
Conseqüência da Propriedade (4.18).
Propriedade 4.24.
Seja {an } uma seqüência crescente que converge para L. Então an ≤ L,
disso se ap ≤ α,
∀ n ∈ N+ então L ≤ α.
∀ n ∈ N+ , além
Demonstração.
De fato, se p ∈ N+ então lim (an − ap ) = L − ap .
n→∞
Como {an } é crescente então an −ap ≥ 0 se n ≥ p. Aplicando a primeira parte da Observação
(4.6) segue que ap ≤ L ∀ p ∈ N+ .
Se ap ≤ α ∀ p ∈ N+ , aplicando a segunda parte da Observação (4.6) segue que lim an =
L ≤ α.
n→∞
85
Christian José Quintana Pinedo
Propriedade 4.25.
Seja {bn } uma seqüência decrescente que converge para M . Então M ≤ bn ,
disso se β ≤ bp ,
∀ n ∈ N+ então β ≤ M .
∀ n ∈ N+ , além
Demonstração.
De fato, se p ∈ N+ então lim (bn − bp ) = M − bp .
n→∞
Como {bn } é decrescente então bn − bp ≤ 0 se n ≥ p. Aplicando a primeira parte da
Observação (4.6) segue que M ≤ bp
M.
Se β ≤ bp
∀ p ∈ N+ .
∀p ∈ N+ , aplicando a segunda parte da Observação (4.6) segue que β ≤ lim bn =
n→∞
Propriedade 4.26.
i Para cada n ∈ N+ seja [an , bn ] um intervalo, suponhamos que:
(4.16)
[a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ [a3 , b3 ] ⊃ · · · ⊃ [an , bn ] ⊇ · · ·
então existe c ∈ R tal que:
c ∈ [an , bn ]
∀ n ∈ N+
(4.17)
ii) Suponhamos que lim (bn − an ) = 0. Então existe um único c ∈ R que satisfaz (4.17). Além
n→∞
disso, se λn ∈ [an , bn ]
Demonstração.
∀ n ∈ N+ , então {λn } converge para c.
i)
Das inclusões (4.16) deduzimos que a seqüência {an } é crescente, e a seqüência {bn } é de-
crescente. Como os termos desta seqüência estão contidos em [a1 , b1 ] logo elas são limitadas;
pela Propriedade (4.18) concluímos que elas convergem.
Selam L = lim an e M = lim bn .
n→∞
n→∞
Pelas propriedades (4.25) e (4.26) temos que an ≤ L e M ≤ bn ,
(4.15) tem-se que ap ≤ bq ,
∀ n ∈ N+ . Da desigualdade
∀ p, q ∈ N+ de onde pela primeira parte da Observação (4.6)
concluímos que L ≤ bq . Sendo para todo p ∈ N+ , novamente usando a primeira parte da
Observação (4.6) concluímos que L ≤ M .
Seja c ∈ R tal que L ≤ c ≤ M
⇒
c ∈ [an , bn ] ∀ n ∈ N+ .
Portanto, então existe c ∈ R tal que: c ∈ [an , bn ] ∀ n ∈ N+ .
Demonstração. ii)
Seja c ∈ [an , bn ] ∀n ∈ N+ , então pela Observação (4.6) L ≤ c ≤ M . Como lim (bn −an ) = 0
n→∞
então:
L = lim an + lim (bn − an ) =
n→∞
n→∞
= lim [an + (bn − an )] = lim bn = M
n→∞
n→∞
Portanto, L = c = M ; se λn ∈ [an , bn ] ∀ n ∈ N+ , então an ≤ λn ≤ bn
pelo critério do confronto segue que {λn } converge para L = c = M .
∀ n ∈ N+ , então
86
Cálculo Vetorial e Séries
4.4.4
Teorema de Bolzano - Weirstrass.
Propriedade 4.27. Bolzano - Weirstrass
Toda seqüência {an } limitada de números reais, possui uma subseqüência convergente.
A condição de seqüência limitada é essencial. por exemplo a conclusão não é válida para a
seqüência {n}.
Por outro lado, seja {an } uma seqüência e A ⊆ R então uma e somente uma das seguintes
situações cumpre:
1. Existe somente um n0 ∈ N+ tal que an ∈
/ A para todo n ≥ n0 .
2. Não há nenhum n0 tal que n0 ∈ N+ .
Para o caso 1. os únicos termos da seqüência {an } que podem pertencer a A são a1 , a2 , a3 , · · · , an0 −1 .
Isto é A contém um número finito de termos da seqüência.
O caso 2. diz que A contem um número infinito de termos da seqüência.
Isto tem a er com a demonstração pelo seguinte:
Seja [a, b] um intervalo, e a < c < b. Suponhamos que [a, b] contenha um número infinito
de termos da seqüência {an }, então ao menos um dos intervalos [a, c], [c, b] também contém um
número infinito de termos da seqüência {an }. Caso contrario, como [a, b] = [a, c] ∪ [c, b] teria
um número finito de termos (contradição!).
Demonstração. do Teorema de Bolzano - Weirstrass.
Seja {an } uma seqüência limitada por L ∈ R
an ∈ [−L, L],
∀ n ∈ N+ .
Seja α1 = −L, β1 = L
⇒
⇒
−L ≤ an ≤ an ,
∀ n ∈ N+ ; isto é
[α1 , β1 ] contém um número infinito de termos da seqüência
{an }. Conseqüentemente um dos dois intervalos
[α1 ,
α1 + β 1
],
2
[
α1 + β 1
, β1 ]
2
(4.18)
contém um número infinito de termos da seqüência {an }. Denotemos um dos intervalos que
contém um número infinito de termos da seqüência {an } por [α2 , β2 ].
Agora consideremos:
[α2 ,
α2 + β 2
],
2
[
α2 + β 2
, β2 ]
2
(4.19)
contém um número infinito de termos da seqüência {an }. Denotemos um dos intervalos que
contém um número infinito de termos da seqüência {an } por [α3 , β3 ].
Continuando com este processo, obtém-se uma seqüência de intervalos:
[α1 , β1 ] ⊇ [α2 , β2 ] ⊇ [α3 , β3 ] ⊇ · · · ⊇ [αn , βn ] ⊇ · · ·
(4.20)
cada um dos quais contém uma quantidade infinita de termos da seqüência {a n } e,
β1 − α1 = 2L, β2 − α2 =
(2L)
(2L)
(2L)
, β3 − α3 = 2 , · · · , βn − αn = n−1 , · · ·
2
2
2
(4.21)
Christian José Quintana Pinedo
87
Pela Propriedade (4.27), existe λn ∈ [an , bn ] ∀ n ∈ N+ , onde {λn } é convergente.
Seja n1 ∈ N+ tal que an1 ∈ [α1 , β1 ], e n2 ∈ N+ tal que an2 ∈ [α2 , β2 ] onde n1 < n2 . Existe
n2 assumindo que [α2 , β2 ] contém um número infinito de termos.
Seguindo este processo, escolhemos n1 , n2 , n3 , · · · , nk , · · · com nk < nk+1 e nk+1 ∈
[αk+1 , βk+1 ] (de fato, [αk+1 , βk+1 ] contém uma quantidade infinita de termos da seqüência
{an }. Deste modo obtemos o conjunto N 0 = { n1 < n2 < n3 < · · · < nk < · · · } tal que
λn = ank+1 ∈ [ak , bk ]
Portanto, existe {ank }nk ∈N0 subseqüência convergente de {an }
Propriedade 4.28.
Seja {an } uma seqüência convergente para L ∈ R, e seja N0 = { n1 < n2 < n3 < · · · < nk <
· · · }, então {ank }nk ∈N0 converge para L.
Demonstração.
Seja ε > 0, como {an } converge a L, então existe n0 ∈ N+ tal que |an − L| < ε sempre que
n > n0 . Se j > n0 ,
⇒
nj > j > n0 e assim |anj − L| < ε.
Conseqüentemente se j > n0 , então |anj − L| < ε. Como ε > 0 é arbitrário, deduzimos que
{ank }nk ∈N0 converge a L.
Propriedade 4.29.
Se L ∈ R, então existe um número natural n ∈ N+ tal que n ≥ L.
Demonstração.
Pelo absurdo.
Suponhamos que, n < L,
sabemos que é crescente.
∀ n ∈ N+ , então a seqüência {n} é limitada por L, além disso
Pela Propriedade (4.18) a seqüência {n} é convergente; isto contradiz o que foi mostrado no
Exemplo (4.18).
Portanto, se L ∈ R, então existe um número natural n ∈ N+ tal que n ≥ L.
88
Cálculo Vetorial e Séries
Exercícios 1-3
1. Calcular se existem os seguintes limites:
1.
3.
5.
7.
(n + 2)! + (n + 1)!
lim
n→∞
(n + 3)!
(2n + 1)4 − (n − 1)4
lim
n→∞ (2n + 1)4 + (n − 1)4
(n + 1)3 − (n − 1)3
n→∞ (n + 1)2 + (n − 1)2
n3 + n
lim 4
n→∞ n − 3n2 + 1
lim
2.
4.
6.
8.
1
lim
+ (1 + 2 + 3 + · · · + n)
n→∞ n2
1 + 2 + 3 + ··· + n n
lim
−
n→∞
n+2
2
√
√
3
n3 − 2n + 1 + n4 + 1
√
lim √
4
n→∞
n6 + 6n5 + 2 − 5 n7 + 3n3 + 1
100n3 + 3n2
lim
n→∞ 0, 001n4 − 100n3 + 1
2. Verificar o valor dos seguintes limites:
r
p
p
a+b
=0
11.
lim a + a2 n2 + b + a2 n2 − 2 a2 n2 −
n→∞
2
√
√
7 7 7
a n + a + a2 − 4
1+a
√
2.
lim √
=
5
4
n→∞
1−a
a − 1 − a5 n5 + a4 − 25a2 + 144
an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
existe se e somente se m ≥ n. Qual é
x→+∞ bm xm + bm−1 xm−1 + · · · b1 x + b0
o valor do limite se m = n?. E quando m < n ?
3. Mostre que lim
4. Calcular os seguintes limites:
1.
2.
3.
x3
x2
−
x→+∞ 2x2 − 1
2x + 1
n
an x + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0
lim
x→+∞ bm xm + bm−1 xm−1 + · · · b1 x + b0
lim
(x + 1) + (x + 2)2 + (x + 3)3 + · · · + (x + n)n
x→+∞
x5 − a 5
lim
n ∈ N.
5. Determine quais das seguintes seqüências são convergentes:
n 3 n o
n
2 n o
1.
n
2.
n(n + 1)
4
3
3.
n n! o
100n
6. É verdade que se {an } é de Cauchy implica que {an } é limitada? justifique sua resposta
n n+4 o
n 7 o
7. Usando a definição de seqüência de Cauchy, mostre que: √
e
são de
n2 + 10
n+7
Cauchy.
8. Mostre que a seqüência {an }, onde a1 = 0,
an+1 =
limitada por C = 1. Qual o limite desta seqüência?
3an + 1
4
∀ n ∈ N+ é crescente e
3bn − 4
5
∀ n ∈ N+ é crescente e
9. Mostre que a seqüência {bn }, onde b1 = −3,
bn+1 =
10. Mostre que a seqüência {an }, onde a1 = 1,
an+1 =
limitada. Qual o limite desta seqüência?
limitada. Qual o limite desta seqüência?
√
2an
∀ n ∈ N+ é crescente e
89
Christian José Quintana Pinedo
11. Sejam {an} e {bn} duas seqüências tais que an ≤ bn ,
lim bn .
∀ n ∈ N+ . Mostre que lim an ≤
n→∞
n→∞
12. Mostre que, se {an } é uma seqüência convergente então:
1. Se α ≤ an ,
2. Se bn ≤ β,
∀ n ∈ N+ , então α ≤ lim an .
n→∞
∀n∈
N+ ,
então lim bn ≤ β.
n→∞
13. Construir um exemplo:
a) De uma seqüência que possui duas subseqüências divergentes mostrando pelo menos
duas delas.
b) De uma seqüência que seja limitada superiormente e não seja de Cauchy.
c) De uma seqüência não monótona e de Cauchy.
14. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras respeito a seguinte seqüência:
an = −4 cos n5 + 7(−1)2n+1
senn
n3
justifique sua resposta?
a) Ela é limitada superiormente;
b) Ela possuí no mínimo uma subseqüência convergente;
c) Ela possuí mais de duas subseqüências convergentes;
d) Ela é de Cauchy;
e) 12 e −12 são limites superior e inferior respectivamente.
15. Usando a definição de seqüência de Cauchy, provar que: an =
√ 7
7n+3
e yn =
2n
n2 +7
.
16. Construir um exemplo:
a) de uma seqüência que possui duas subseqüências (uma divergente e outra convergente)
mostrando-as;
b) de uma seqüência que seja limitada inferior e não seja de Cauchy.
c) De uma seqüência não monótona, limitada e de Cauchy.
a) De uma seqüência que possui duas subseqüências divergentes mostrando elas.
17. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras respeito a seguinte seqüência:
an = −4
cos n2
+ [4(−1)2n+6 ]sen2n
en
justifique sua resposta?
a) Ela é limitada superiormente;
b) Ela possuí no mínimo uma subseqüência convergente;
90
Cálculo Vetorial e Séries
c) Ela possuí mais de duas subseqüências convergentes;
d) Ela é de Cauchy;
e) 102 e −120 são limitantes superior e inferior respectivamente.
18. Idem ao exercício anterior, para respeito a seguinte seqüência:
zn = −4
cos n2
+ [4(−1)n+5 ]sen2n
en
19. Usando
a definição
provar que a seguinte seqüência converge para L:
5k0
5k0 n
; L=
a)
onde k0 é constante.
7n − 3
7
20. Resolva as seguintes questões :
(a) Calcule o 4◦ elemento das seqüências
√
n e determine se ela converge ou diverge.
2n
Caso convergir ache o seu limite.
(b) Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não monótona:
7n
.
31 + 52n
21. Dê um exemplo de uma seqüência que seja limitada e convergente, porém não monótona.
22. Dada a seqüência (an ), onde an < 0 para todo n e an+1 > kan com 0 < k < 1. Prove que
(an ) é convergente.
91
Christian José Quintana Pinedo
Miscelânea 1-1
1. Determine se as seguintes seqüências são convergentes ou divergentes:
a)
c)
e)
2
,
3
3
,
2
4
,
3
3 4 5
, , , ···
5 7 9
9 19 33
,
,
, ···
10 24 44
25 82 193
,
,
, ···
17 55 129
b)
d)
f)
2
,
3
2
,
1
1
,
3
3
,
5
5
,
6
2
,
5
4 5
, , ···
7 9
10 17
,
, ···
15 28
3 4
, , ···
7 9
@
@
2. Um triângulo isósceles cuja base esta dividida em
2n partes (quadrados) tem inscrito uma figura
..
.
escalonada segundo a Figura 1.. Demonstre que
@
@
.. @
.
···
@
a diferença entre a área do triângulo e a figura
@
@
escalonada é infinitesimal quando n cresce infinitamente.
F igura 1.
3. Determine se as seguintes seqüências são convergentes ou divergentes:
a) {
p
n
1 + n + n2 }n≥1
b)
n cos n o
c)
n
n≥1
)
(r
5 7
2n + 1
n 3
· ·
···
5 8 11
3n + 2
n≥1
(
)
(2n+5)
n−3
(2n + 5)
n
n+2
(4n + 1)
(n + 3)2n
e)
g)
d)
f)
h)
n≥1
4. Mostre que a seqüência
(√
)
√
3n3 + 2n − 1 − 3n3 − 2n − 1
√
√
n3 + n2 + 3n − n3 + n2 − 3n n≥1
(
)
]
na + 1 tan π2 [ na+1
na
3−2
na
n≥1
(r
)
Ln6
Ln3n
n Ln3
·
···
Ln5 Ln10
Ln5n
n≥1
)
(r
Ln6
Ln3n
n Ln3
·
···
Ln5 Ln10
Ln5n
n≥1
√
n
{ an + bn }n≥1 converge para b, sempre que 0 < a < b.
5. Consideremos a seqüência {an }n≥1 convergente; mostre que se lim an = a, então
n→∞
lim
n→∞
a1 + a 2 + a 3 + · · · + a n
=a
n
6. Calcular se existem os seguintes limites do termo geral an de uma seqüência:
1.
3.
(n + 2)! + (n + 1)!
n→∞
(n + 3)!
(2n + 1)4 − (n − 1)4
lim
n→∞ (2n + 1)4 + (n − 1)4
lim
2.
4.
1
+ (1 + 2 + 3 + · · · + n)
n→∞ n2
1 + 2 + 3 + ··· + n n
lim
−
n→∞
n+2
2
lim
92
Cálculo Vetorial e Séries
5.
7.
9.
11.
13.
(n + 1)3 − (n − 1)3
lim
n→∞ (n + 1)2 + (n − 1)2
n3 + n
lim 4
n→∞ n − 3n2 + 1
n2 − 2n + 1
lim
n→1
n3 − n
xm − 1
lim n
m, n ∈ Z
x→1 x − 1
100n3 + 3n2
lim
n→∞ 0, 001n4 − 100n3 + 1
6.
8.
10.
12.
14.
√
√
n3 − 2n + 1 + 3 n4 + 1
√
lim √
n→∞ 4 n6 + 6n5 + 2 − 5 n7 + 3n3 + 1
1
1
1
lim
+
+ ···
n→∞ 1 × 3
3×5
(2n − 1)(2n + 1)
x+2
x−4
lim 2
+
2
n→1 x − 5x + 4
3(x − 3x + 2)
2
(2n + 1)(3n2 + n + 2
3n
lim
−
n→∞ 2n + 1
4n2
3
2
5n − n + n − 1
lim
n→−∞ n4 − n3 − 2n + 1
7. Verificar o valor dos seguintes limites:
1.
3.
5.
7.
9.
11.
12.
1
4n3 + 2n2 − 5
=−
3
n→+∞ n + 2 − 8n
2
3n2 − 2 n2 − 4n
3
lim
+
=
n→+∞ 2n + 1
n−3
2
s
8n − 4
√ √
= −2
lim 3
n→+∞
(3 − n)( n + 2)
p
5
lim [ n2 − 5n + 6 − 2] = −
x→+∞
2
q
√
lim [ n 2n − 5n + 6 − n] = −∞
lim
n→+∞
2.
4.
6.
8.
10.
15n3 − n2 + n − 1
=0
n→−∞ n4 − n3 − 2n + 1
2n + 3
√ =2
lim
n→+∞ n + 3 n
q
p
√
n+ n+ n+3
√
lim
=1
n→+∞
n+3
p
lim [ n2 − 2n + 4 + n] = 1
n→−∞
√
n2 + 1 + n)2
lim ( √
=2
3
n→∞
n6 + 1
lim
r
p
p
a+b
2
2
2
2
a + a n + b + a n − 2 a 2 n2 −
lim
=0
n→+∞
2
√
√
7 7 7
a n + a + a2 − 4
1+a
√
lim √
=
n→+∞ 5 a − 1 − a5 n5 + 4 a4 − 25a2 + 144
1−a
8. Consideremos a seqüência {an }n≥1 convergente; mostre que se lim an = a, então
n→∞
lim
n→∞
√
n
a1 · a2 · a3 · · · an = a
9. A seqüência de Fibonacci define-se como segue:
a = 1, √a2= 1, an = an−1 + an−2 para
√ n1
n
1+ 5
− 1−2 5
2
√
.
n ≥ 3. Mostre por indução que: an =
5
r
n
n
n
n 30 + 40 + · · · + 600
10. Determine se a seqüência de termo geral, an =
é convergente.
n
11. Estude a seqüência de termo geral: an =
16 + 2 6 + 3 6 + · · · + n 6
n7
12. Mostre que toda seqüência contrativa é convergente.
Capítulo 5
SÉRIES
5.1
INTRODUÇÃO
Seja {an } uma seqüência de números reais, a partir de ela podemos obter os seguintes ele-
mentos:
s1 = a 1 ;
s2 = a 1 + a 2 ;
s3 = a 1 + a 2 + a 3 ;
..
.
sn−1 = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 ;
sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 + an
Isto é, podemos obter outra seqüência {sn }, chamada série onde seus elementos são somas
parciais de elementos da seqüência {an }.
Quando o índice n seja o maior possível (por exemplo n → +∞), teremos a escrever o termo
geral da seqüência {sn } como uma soma de uma quantidade indeterminada de elementos da
forma ai ,
i ∈ N+ .
A notação que permite exprimir esta soma é:
sn =
n
X
ak .
k=1
Por se tratar {sn } de uma seqüência de números reais, todo o estudado no Capítulo I
podemos aplicar a nossa série {sn }; por exemplo limitação, monotonia, convergência entre
∞outros.
X an ≤
Logo, a série {sn } é limitada, se existe uma constante C ∈ R tal que |sn | ≤ C ou C,
n=1
∀ n ∈ N+ .
A série {sn } é convergente, se lim sn = S ou lim
n→∞
n→∞
único.
"
n
X
i=1
#
ai = S, para algum S ∈ R fixo e
Logo, podemos dizer que existem séries convergentes e séries divergentes. O objetivo deste
capítulo é aprender a distinguir umas das outras.
Antes de continuar com a análise de nossa seqüência {sn }, temos a entender melhor como
X
trabalhar com o símbolo
(sigma) que abrevia nossas somas.
93
94
Cálculo Vetorial e Séries
5.2
SOMATÓRIOS
Considere m e n dois números inteiros tais que m ≤ n e f (x) uma função definida para
n
X
cada i ∈ Z , onde m ≤ i ≤ n. A expressão
f (i) representa uma soma da seguinte forma:
i=m
f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + · · · + f (n − 1) + f (n) ; isto é
n
X
f (i) = f (m) + f (m + 1) +
i=m
f (m + 2) + · · · + f (n − 1) + f (n) .
X
A letra grega “sigma”
é o símbolo do somatório, i é o índice ou variável, m é o limite
inferior e n é o limite superior.
Exemplo 5.1.
a) Seja f (i) = i + 2 , então
5
X
f (i) = (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2) + (5 + 2) = 20.
i=1
b) Seja g(i) = cos(ix) , então
n
X
i=1
g(i) = cos x + cos(2x) + cos(3x) + · · · + cos(nx).
Observação 5.1.
n
X
Na expressão
f (i) existem, (n − m + 1) somandos.
i=m
Propriedade 5.1.
a)
n
X
i=m
b)
n
X
c)
i=m
d)
n
X
n
X
g(i).
· · · distributiva
[f (i) − f (i − 1)] = f (n) − f (m − 1)
· · · telescópica
i=m
n
X
K = (n − m + 1)K.
n
X
i=m
[f (i) ± g(i)] =
i=m
f (i) ±
i=m
[f (i − 1) − f (i − 1)] = f (n + 1) + f (n) − f (m) − f (m − 1)
Demonstração.
A demonstração desta propriedade, é exercício para o leitor.
Exemplo 5.2.
Calcular o valor de S =
Solução.
200
X
√
√
[ i + 1 − i − 10].
i=1
· · · telescópica
95
Christian José Quintana Pinedo
Pela Propriedade (5.1) temos que:
200
200
X
X
√
√
√
√
S=
[ i + 1 − i] −
10 = [ 201 − 1] − 200(10) = −2001
i=1
Portanto S =
i=1
200
X
√
√
√
[ i + 1 − i − 10] = 201 − 2001.
i=1
Exemplo 5.3.
Calcular uma fórmula para S =
n
X
i=m
Solução.
[(i + 1)2 − (i + 1)2 ].
Considere f (i) = i , segundo a Propriedade (5.1) d) segue:
n
X
[(i + 1)2 − (i + 1)2 ] =
S=
i=m
= f (n + 1) + f (n) − f (1) − f (n − 1) + f (n + 1) − f (n) − f (1) − f (0) =
= (n + 1)2 + n2 − 1 − 0 = 2n(n + 1)).
n
X
2
2
De outro modo, observe que [(i + 1) − (i − 1) ] = 4i, assim temos que S =
[(i + 1)2 −
(i + 1)2 ] =
n
X
i=m
4i = 2n(n + 1).
i=m
Portanto, S =
n
X
i=m
[(i + 1)2 − (i + 1)2 ] = 2n(n + 1).
Exemplo 5.4.
Usando as propriedades do somatório, mostre as seguintes igualdades:
1.
S=
n
X
n(n + 1)
i=
2
i=1
3.
U=
n
X
i3 =
i=1
Solução.
n2 (n
+
4
2.
T =
n
X
i2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
i4 =
n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n + 1)
30
i=1
1)2
4.
V =
n
X
i=1
a)
É conseqüência do Exemplo (5.3), observe que
n
P
i=1
n(n + 1)
2
Solução.
4i = 4
n
P
i = 2n(n + 1) então S =
i=1
n
X
i=
i=1
b)
Consideremos f (i) = i3 , pela Propriedade (5.1) d) temos que a soma:
n
X
i=1
[(i + 1)3 − (i + 1)3 ] = (n + 1)3 + n3 − 13 − 03 = 2n3 + 3n2 + 3n
(5.1)
96
Cálculo Vetorial e Séries
Por outro lado:
n
X
i=1
3
3
[(i + 1) − (i + 1) ] =
De (5.1) e (5.2) segue que 6
Portanto,
Solução.
c)
n
X
n
P
n
X
2
[6i + 2] = 6
n
X
[i2 ] + 2n
(5.2)
i=1
i=1
[i2 ] + 2n = 2n3 + 3n2 + 3n.
i=1
i2 =
i=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
Consideremos f (i) = i4 , pela Propriedade (5.1) d) temos que a soma:
n
X
i=1
[(i + 1)4 − (i + 1)4 ] = (n + 1)4 + n4 − 14 − 04 = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n
(5.3)
n
n
n
X
X
X
3
4
4
i =
i +8
[(i + 1) − (i + 1) ] = 8
Por outro lado, da parte a) deste exemplo,
8
n
X
i=1
i=1
i=1
[i3 ] + 4n(n + 1).
i=1
Igualando a (5.3), temos 8
Portanto, U =
Solução.
d)
n
X
[i3 ] =
n
X
[i3 ] + 4n(n + 1) = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n.
i=1
2
n (n +
1)2
4
i=1
Exercício para o leitor.
Exemplo 5.5.
Se a > 0, determine uma fórmula para a progressão geométrica
ak .
k=1
Solução.
Seja S =
n
X
n
X
k=1
ak = a + a2 + a3 + a4 + · · · + an−2 + an−1 + an , se multiplicamos por −a à soma
S obtém-se −aS = −a2 − a3 − a4 − · · · − an−2 − an−1 − an − an+1 ; logo S - aS = a − an+1 onde
S(a − 1) = a(an − 1)
n
X
a(an − 1)
.
Portanto, S =
ak =
a−1
k=1
Exemplo 5.6.
Achar uma fórmula para S =
k=1
Solução.
Temos que S =
1
12(1 − ( )n ].
2
n
X
n
X
k=1
6
2k−1
6
.
2k−1
n
n
X
X
2
1
= 6
= 12
; pelo Exemplo (5.5) concluímos: S =
k
2
2k
k=1
k=1
97
Christian José Quintana Pinedo
Portanto, S =
n
X
k=1
6
1
= 12[1 − )n ].
2k−1
2
Exemplo 5.7.
Determine uma fórmula para
n
X
k
.
3k
k=1
Solução.
n
X
k−1
n
k
[ k − k−1 ] = n − 0.
3
3
3
k=1
n
n
n
n
n
X
X
X
X
k
k−1 X k
k
1
Por outro lado,
−
=
− 3[
−
]=
k
k−1
k
k
3
3
3
3
3k
Aplicando a propriedade telescópica,
k=1
= −2
k=1
k=1
k=1
k=1
n
n
n
n
1 1 n
X
X
X
X
k
1
k
k
1
3
3 [( 3 ) − 1]
+
3
=
−2
+
3
·
=
−2
+ [1 − ( )n ]
1
k
2
3
3k
3k
3k
3
3 −1
k=1
k=1
k=1
k=1
n
n
X
X
k
k
3
1 n
n
3 3 + 2n
+
[1
−
(
)
]
=
−
0
onde
= −
.
n
k
k
3
2
3
3
3
4
4(3)n
k=1
k=1
n
X
3 3 + 2n
k
= −
Portanto,
3k
4
4(3)n
logo −2
k=1
Exemplo 5.8.
Determine a soma S =
k=1
Solução.
n
X
k=1
n
X
k · (k!).
Considere f (k) = (k + 1)!, pela Propriedade (5.1) c) temos:
n
n
X
X
[(k + 1)! − k!] = (n + 1)! − 1 ; isto é
[(k + 1) · k! − k!] =
k · (k!) = (n + 1)! − 1.
k=1
k=1
Portanto S = (n + 1)! − 1
Exemplo 5.9.
Achar uma fórmula para
n
X
sen(kx).
k=1
Solução.
Lembre a identidade cos(a + b) − cos(a − b) = −2sen(a)sen(b).
n
n
n
X
X
X
Logo:
[−2sen x · sen(kx)] =
[cos(k + 1) − cos(k − 1)] então −2senx
sen(kx) =
k=1
k=1
cos(n + 1)x + cos(nx) − cos x − 1.
n
X
cos(n + 1)x + cos(nx) − cos x − 1
Portanto,
sen(kx) = −
2senx
k=1
Exemplo 5.10.
Calcular a soma S =
Solução.
n
X
k=1
sen2n 2x.
k=1
98
Cálculo Vetorial e Séries
Aplicando a propriedade telescópica temos:
n
X
k=1
Por outro lado,
n
X
k=1
[sen2k 2x − sen2(k−1) 2x] = sen2n 2x − 1
[sen2k 2x − sen2(k−1) 2x]
n
X
k=1
sen2k 2x −
n
X
k=1
(5.4)
sen−2 2x · sen2(k−1) 2x = [1 −
n
n
X
−1 X
2k
2
]
sen
2x
=
cot
2x
sen2k 2x .
sen−2 2x]
sen2k 2x = [
sen2 2x
k=1
k=1
k=1
n
X
sen2k 2x = sen2n 2x − 1.
De (5.4) temos cot2 2x
n
X
sen2 2x
k=1
Portanto, S = tan2 2x(sen2n 2x − 1).
Exemplo 5.11.
Determine o valor da seguinte soma T =
n
X
k=1
Solução.
1
loga
(22k ) log
a (2
2k+2 )
1
1
1
1
Temos que:
=
−
loga (22 ) loga (22x ) loga (22x+2)
loga (22k ) loga (22k+2 )
n
X
1
1
1
−
Logo T =
loga (22 ) loga (22k ) loga (22k+2)
k=1
1
1
1
Assim, T =
.
−
loga (22 ) loga 22 log2 (22n+2 )
Exemplo 5.12.
Calcular a soma T =
n
X
tanh(19kx)
k=1
Solução.
Observe que, T =
sech(19kx)
n
X
tanh(19kx)
k=1
sech(19kx)
.
=
n
X
senh(19kx) , análogo ao Exemplo (5.9) temos da
k=1
identidade para funções hiperbólicas cosh(a + b) − cosh(a − b) = − 2senh(a)senh(b).
Logo
n
P
k=1
n
X
[−2senh(19x)senh(19kx)] =
n
X
k=1
k=1
[cosh(19(k+1)x)−cosh(19(k−1))] então −2senh(19x)·
senh(19kx) = cosh(19(n + 1)x) + cosh(19nx) − cosh(19x) − 1,
Portanto,
T =
n
X
tanh(19kx)
k=1
sech(19kx)
=
cosh(19(n + 1)x) + cosh(19nx) − cosh(19x) − 1
2senh(19x)
Exemplo 5.13.
Determine uma fórmula para
Solução.
n
X
k=1
bk · sen(x + ky).
99
Christian José Quintana Pinedo
Considere S =
n
X
k=1
S=
[bk · sen(x + ky) − bk−1 sen(x + (k − 1)y)] , temos pela Propriedade (5.1) d):
n
X
[bk · sen(x + ky) − bk−1 sen(x + (k − 1)y)] = bn sen(x + ny) − senx
(5.5)
k=1
Por outro lado, S =
n
X
[bk · sen(x + ky) − bk−1 sen(x + (k − 1)y)] =
n
X
1X k
b sen(x + ky) −
b sen(x + (k − 1)y) =
b
k=1
k=1
n
X
k=1
logo:
n
k
k=1
n
1X k
b sen(x + ky) −
b [sen(x + ky) · cos y − seny · cos(x + ky)]
b
k
k=1
n
n
k=1
k=1
X
X
1
1
S = (1 − cos y)
bk · sen(x + ky) − seny
bk · cos(x + ky)
b
b
Para determinar U =
n
X
k=1
Seja T =
n
P
k=1
(5.6)
bk · cos(x + ky), pela Propriedade (5.1).
[bk · cos(x + ky) − bk−1 cos(x + (k − 1)y)] = bn cos(x + ny) − cos x , isto é
n
1X k
b cos(x + (k − 1)y) =
T =U−
b
k=1
n
1X k
b [cos(x + ky) · cos y + seny · sen(x + ky)] =
U−
b
k=1
n
(1 −
De onde U =
X
1
1
bk sen(x + ky) = bn cos(x + ny) − cos x
cos y)U − seny
b
b
n
X
k=1
k=1
bk · cos(x + ky) =
n
seny X k
b
[bn · cos(x + ny) − cos x]
b · sen(x + ky) +
b − cos y
b − cos y
k=1
n
n
X
X
1
1
b
Em (5.6) temos S = (1− cos y)
[bn cos(x+
bk sen(x+ky)− seny[
bk sen(x+ky)]+
b
b
b − cos y
k=1
k=1
ny) − cos x]
Logo da identidade (5.5) vem:
n
X
b
sen2 y
b − cos y
bk sen(x + ky) +
−
]
[bn cos(x + ny) − cos x] = bn sen(x +
S=[
b
b(b − cos y)
b − cos y
k=1
100
Cálculo Vetorial e Séries
ny) − senx.
Portanto:
n
X
k=1
bk · sen(x + ky) =
b(b − cos y)
[bn sen(x + ny)−
b2 − cos2 y + sen2 y
bn seny · cos(x + ny) + seny · cos x
−senx −
].
b − cos y
101
Christian José Quintana Pinedo
Exercícios 2-1
1. Escrever os seis primeiros termos das somas dadas.
1.
5.
n
X
k=1
∞
X
k=1
k
k+1
2.
3
( )k
2
6.
20
X
2k + 1
k=0
30
X
3.
3k + 2
sen(kπ)
7.
10
X
k 2 − 2k + 3
k=1
∞
X
k=1
k=1
4.
2k 2 + k + 1
3
Ln( )
k
8.
n
X
(−1)k
k=1
n
X
k=1
ak
k3
k2
k+1
2. Determinar uma fórmula para cada uma dos seguintes somatórios:
1.
n
X
√
√
[ 2i + 1 − 2i − 1]
i=1
n
X
2.
2k
+ k(k + 1)
k+1
2 (k 2 + k)
k=1
√
n √
X
k+1− k
[ √
7.
]
2+k
k
k=1
4.
10.
n
X
16.
n
X
k=1
n
X
k2
[
k=1
19.
22.
n
X
k=1
n
X
k=1
11.
k=1
n
X
k=1
1
−1
14.
6
25
−
]
k
10
100k
17.
3.
k
2
(k + 1)(k + 5k + 6)
6.
n
X
k=1
n
X
20.
1
24 + 10k − 25k 2
23.
n
X
k=1
n
X
ek − [3sena · cos a]k
3k
4. Mostre que a fórmula é evidente:
n
X
n
X
k=1
5. Se X =
1
[
n
k=1
12.
Xk ] , mostre que
n
P
k=1
15.
cot5 kx · sec9 kx
sen2k (2x)
18.
k · xk+1
21.
cos2k
24.
6. Determine o valor de n ∈ N , se:
7. Seja | a | < 1, mostre que : S =
k=1
n(n + 1)
Ln2.
2
(m + n + 1)!
(m + k)!
=
.
k!
(m + 1)n!
2
(2 + k ) =
k=1
n
X
k=1
n
X
n
X
k=1
n
X
ak =
n
X
k=1
n
X
k=1
Ln 2k =
n
P
k=1
n
X
Xk2 − X
n
P
Xk .
k=1
(k + k 2 ).
k=1
1
quando n → ∞.
1−a
Ln[
k
]
k+2
2k + 3 k
6k
n
X
ek + 2
k=1
[Xk − X]2 =
n
X
k=1
n
X
k=1
16 csc5 kx
k=1
n
X
9.
k=1
3. Determine a validade da igualdade:
100
X
k=1
k=1
5k · sen(5k − x)
k=1
k=1
n
X
4
(4k − 3)(4k + 1)
n
X
Ln[(1 + k1 )k (1 + k]
8.
(Lnk k )(Ln(k + 1))k+1
1
2x2 + 6x + 4
k=1
13.
5.
n
X
3k
2k + 1
k 2 (k + 1)2
cos(3kx)
k
5k
k · 2k
√
[ 3 + x]k
102
Cálculo Vetorial e Séries
8. Nos seguintes exercícios expresse as dizimas periódicas dadas como series geométricas e em
seguida expresse as somas destas últimas como o quociente de dois inteiros.
1. 0, 6666
2. 0, 2323
3. 0, 07575
4.
0, 21515
9. Quando um determinado empregado recebe seu pagamento ao final de cada mês, ele deposita P reais em uma conta especial para a aposentadoria. Esses depósitos são feitos
mensalmente, durante t anos e a conta rende juros anuais de r%. Se os juros são capitalizados mensalmente, o saldo A na conta ao final de t anos é:
A = P + P (1 +
r
r
r
r
) + · · · + P (1 + )12t−1 = P ( )[(1 + )12t − 1]
12
12
12
12
r
Se os juros são capitalizados continuamente, o saldo A ao final de t anos é: A = P + P e 12 +
(12t−1)r
2r
P (en − 1)
. Use a fórmula para a n-ésima soma parcial de uma
P e 12 + · · · + P · e 12 =
r
e 12 − 1
série geométrica para provar que cada uma das somas acima está correta.
10. Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, começa a quicar ao atingir o solo, como
indica a Figura (5.1). A altura máxima atingida pela bola após cada batida no solo é
igual a três quartos da altura da queda correspondente. Calcule a distância vertical total
percorrida pela bola.
6y
C
C
4 C
C
C
6
2
0
u
C
C
u
C C
C
u
C
C
C C
u
C
CC
Cu
CCu
C u
u
?
Figura 5.1:
11. Mostre que
n
X
k=1
T empo
Ln(k + 1) = Ln[(n + 1)!].
x
103
Christian José Quintana Pinedo
5.3
SÉRIES DE NÚMEROS REAIS
Dada uma seqüência {an } de números reais, a soma infinita a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 +
∞
X
an + · · · , será representada simbolicamente por
an .
n=1
∞
P
Nosso objetivo agora é estabelecer condições sobre a seqüência {a n } para que a soma infinita
an tenha como resultado um valor de número real. Se este for o caso dizemos que a soma
n=1
infinita converge.
Estas somas infinitas são denominadas ‘´séries infinitas” ou simplesmente séries.
Exemplo 5.14.
Consideremos a série 1 +
∞
X
1
1 1 1
1
+ + +
+ · · · que representaremos por
.
n−1
2 4 8 16
2
n=1
Para cada número natural n temos:
sn = 1 +
1 − ( 12 )n
1 1 1
1
1
1
= 2[1 − ( )n ]
+ + +
+ · · · + n−1 =
1
2 4 8 16
2
2
1− 2
de modo que:
Ora a soma infinita
1
lim sn = lim 2[1 − ( )n ] = 2
n→∞
n→∞
2
∞
X
n=1
1
2n−1
desse modo, segue de (5.7) que
(5.7)
entenda-se como o limite da soma parcial sn quando n → ∞ e,
∞
X
n=1
1
2n−1
= 2.
Exemplo 5.15.
Suponhamos temos a estudar a série 1 +
1 1
+ +
2 3
∞ 1
P
1
+ · · · que representa a série infinita
.
4
n=1 n
A Figura (5.2) representa o gráfico da função
1
f (x) = , definida para x > 0, sobre o qual estão os
x
1
pontos (n, ).
n
Comparando as áreas dos retângulos com a área
sob o gráfico de f (x), observa-se que:
f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (n) ≥
Zn
f (x)dx
Figura 5.2:
1
esta soma pelo fato de que cada área de retângulo de base uma unidade e altura f (n) é o proprio
f (n), assim:
1+
1
1 1 1
+ + + · · · + ≥ Lnn
2 3 4
n
(5.8)
104
Cálculo Vetorial e Séries
Como lim Lnn = +∞, usando a desigualdade (5.8) concluímos que:
n→∞
1
1 1 1
= +∞
lim 1 + + + + · · · +
n→∞
2 3 4
n
Logo é justo afirmar que
∞ 1
P
= +∞
n=1 n
Estes dois exemplos tratados, motivam o conceito de convergência para séries numéricas.
∞
P
an está relacionado com a convergência de sua seqüência de
A convergência de uma série
n=1
somas parciais {sn }. O n-ésimo termo sn é denominado n-ésima soma parcial da série.
Definição 5.1.
Dizemos que a série é convergente, quando a seqüência {sn } de suas somas parciais for
convergente. Neste caso, a soma da série é o limite da seqüência {sn }, isto é:
∞
X
(5.9)
an = lim sn = S
n→∞
n=1
Quando uma série não converge, ela é denominada divergente.
Exemplo 5.16.
Se an = 0 ∀ n ∈ N+ , a série gerada pela seqüência {an } é convergente, sua soma é zero; isto
∞
P
é
an = 0.
n=1
Exemplo 5.17.
Se bn = 1∀n ∈ N+ , a série gerada pela seqüência {bn } é divergente, sua soma é indeterminada;
∞
P
na verdade
bn = +∞
n=1
Exemplo 5.18.
Se an = (−1)n+1 ∀ n ∈ N+ , então a série gerada pela seqüência {an } é divergente, a soma
∞
∞
P
P
(−1)n+1 = −1.
(−1)n+1 = 1 ou
de todos seus termos é indefinida; isto é
n=1
n=1
Pela unicidade do limite lim sn = S, concluímos que essa soma não existe.
n→∞
5.3.1
Série geométrica.
Uma “série geométrica” é da forma S =
série, e a é seu coeficiente.
∞
P
n=1
Exemplo 5.19.
Determine se a série geométrica converge.
Solução.
arn−1 , onde o número r é denominado razão da
105
Christian José Quintana Pinedo
Pela propriedade de somatório podemos escrever S =
∞
P
αrn−1 = α
n=1
do Exemplo (5.5) segue-se que:
sn = α
n
X
ri−1 = α
i=1
∞
P
rn−1 . Pelo resultado
n=1
1 − rn
1−r
(5.10)
Quando |r| < 1, mostramos no Exemplo (4.19) que lim rn = 0, tomando o limite em (5.10)
n→∞
α
1 − rn
=
= S.
quando n → ∞ tem-se: lim sn = α lim
n→∞
n→∞ 1 − r
1−r
∞
P
α
Isto é: S =
arn−1 = lim sn =
converge quando |r| < 1.
n→∞
1−r
n=1
É imediato que para o caso |r| > 1 a série diverge.
Exemplo 5.20.
∞ 4
P
4
4
4
1
= + 2 + 3 + · · · é uma série geométrica com r = < 1, então a série
A série
n
3
3
3
3
3
n=1
converge e sua soma é 2.
5.3.2
Série harmônica.
Uma “série harmônica” é da forma
Exemplo 5.21. Série harmônica.
Determine se série harmônica
Solução.
∞ 1
P
.
n=1 n
∞ 1
P
converge.
n=1 n
Sabe-se que esta série representa o termo n-ésimo de uma seqüência {s n }, onde sn =
Consideremos duas subseqüência de sn :
sn = 1 +
s2n = 1 +
∞ 1
P
.
n=1 n
1 1 1
1
+ + + ··· + + ···
2 3 4
n
1 1 1
1
1
1
+ + + ··· + + ··· +
+
2 3 4
n
2n − 1 2n
Suponha que sn → L quando n → ∞, então pela Propriedade (4.15) tem-se que sn → L
quando n → ∞ e s2n → L quando n → ∞, e pela Propriedade (4.16) (sn − s2n ) → 0 quando
n → ∞.
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ +··· + + ··· +
+
≥
+
+
n+1 n+2 n+3
n
2n − 1
2n
2n 2n
1
1
1
1
+ ··· +
= de onde lim (sn − s2n ) ≥ 6= 0, caso o limite existisse.
n→∞
2n
2n
2
2
∞
P 1
. é divergente.
Portanto, a série harmônica
n=1 n
Porém, sn − s2n =
106
Cálculo Vetorial e Séries
5.3.3
Série p.
∞ 1
P
, onde p ∈ R é uma constante fixa.
p
n=1 n
Na próxima seção mostraremos que a série:
Uma “série p” é da forma
∞
X
1
1
1
1
= 1 + p + p + ··· + p + ···
np
2
3
n
(5.11)
n=1
converge se p > 1, p ∈ R, e que diverge se p ≤ 1, p ∈ R.
Observação 5.2.
∞
X
A série
(bn − bn+1 ) é denominada série de encaixe devido á natureza de seus termos:
n=1
(b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + (b3 − b4 ) + · · · + (bn − bn+1 ) + · · ·
A seqüência de suas somas parciais {sn }, vem dado pela expressão:
sn = (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + (b3 − b4 ) + · · · + (bn − bn+1 ) = b1 − bn+1
(5.12)
Se a seqüência {bn } convergir para um número L, segue que {sn } converge para b1 − L.
Exemplo 5.22.
Mostre que a série
n=1
Demonstração.
Observe que
∞
X
∞
X
n=1
1
converge.
n2 + n
∞ X
1
1
1
1
=1−
=
−
, logo;
2
n +n
n n+1
n+1
n=1
lim
n→∞
Portanto, a série
∞
X
n=1
n2
n
X
i=1
1
1
=1−0=1
= lim 1 −
n2 + n n→∞
n+1
1
converge.
+n
Exemplo 5.23.
Determine se a série
Solução.
∞
P
n=1
Ln
n converge.
n+1
∞
n X
=
[Lnn − Ln(n + 1)].
n+1
n=1
n=1
∞
n n X
∞
P
= Ln1 − Ln(n + 1) ⇒
lim
Ln
= lim [Ln1 − Ln(n +
Logo,
Ln
n→∞
n→∞
n+1
n+1
n=1
n=1
1)] = 1 − ∞ = −∞
n ∞
P
diverge.
Portanto, a série
Ln
n+1
n=1
Observe que, podemos escrever
∞
X
Ln
107
Christian José Quintana Pinedo
5.3.4
Critério do n-ésimo termo.
A propriedade a seguir fornece uma condição necessária, mas não suficiente para que uma
série numérica seja convergente.
Propriedade 5.2. Critério do n-ésimo termo.
∞
X
an convergente, então:
Seja
n=1
i) A seqüência {sn } de somas parciais é limitada.
ii)
lim an = 0.
n→∞
Demonstração. i)
∞
P
Se
an converge, então existe em R o limite L = lim sn logo, sendo {sn } uma seqüência
n→∞
n=1
convergente, ela é limitada.
Demonstração. ii)
Denotando por {sn } a seqüência de somas parciais da série,
∞
P
n=1
an temos que an = sn − sn−1
e admitindo que a série é convergente, resulta que a seqüência de somas parciais {s n } converge
para um certo número L, o mesmo ocorrendo com a subseqüência {sn−1 }, então:
lim an = lim (sn − sn−1 ) = lim sn − lim sn−1 = L − L = 0
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Observação 5.3.
n ∞ 1
∞
P
P
Nos Exemplos (5.21) e (5.23) observamos que as séries
divergem,
e
Ln
n+1
n=1 n
n=1
n
1
= 0 e lim Ln
embora lim
= 0.
n→∞
n→∞ n
n+1
Com isso justificamos que a condição lim an = 0 não é suficiente para garantir a convergênn→∞
cia.
A observação precedente, justifica a seguinte propriedade.
Propriedade 5.3.
Se lim an 6= 0, então a série
n→∞
∞
P
an diverge.
n=1
A demonstração é exercício para o leitor.
Exemplo 5.24.
∞
P
n
e
A séries
n=1 n + 1
∞ √
P
n ambas são divergentes.
n=1
A Propriedade (5.3) constitui-se no primeiro critério de convergência, para séries. Ao analisar
a convergência de uma série, em primeiro lugar observamos a convergência de seu primeiro termo
geral sn , como sugere o seguinte diagrama:
108
Cálculo Vetorial e Séries
- {an } diverge
-
an
an diverge
-
Fim
-
Fim
n=1
∞
P
∞
P
L 6= 0
-
∞
P
an diverge
n=1
-
n=1
-
lim an = L
n→∞
-
-
-
L=0
?
A condição lim an = 0 não dá informação sobre a convergência da série
n→∞
∞
P
an sendo
n=1
necessária uma análise adicional para determinar se a série converge ou diverge.
Exemplo 5.25.
A seguinte tabela ilustra algumas situações:
∞
P
an
lim an
n→∞
n=1
∞ en
P
2
n=1 n
∞
P
n
n=1 3n + 5
∞ Lnn
P
2
n=1 n
situação
∞
divergente
1
3
divergente
0
indefinida
Observação 5.4.
Suponha temos uma série
afirmar que:
∞
X
an convergente; isto é lim sn = S existe. Então é correto
n→∞
n=1
lim (sn − S) existe se, e somente se lim sn = S existe.
n→∞
n→∞
Deduzimos assim, que podemos omitir um número finito de termos (entre os primeiros) de
uma série infinita sem afetar sua convergência.
Como no caso das seqüências numéricas, o acréscimo ou a omissão de um número finito de
termos não altera a convergência de uma série, podendo alterar o valor de sua soma.
109
Christian José Quintana Pinedo
Propriedade 5.4.
∞
∞
X
X
Se as séries
an e
bn diferem apenas em seus primeiros termos em uma quantidade
n=1
n=1
finita, então ambas são convergentes ou ambas são divergentes.
Demonstração.
Por hipótese, existe um índice n0 a partir do qual an = bn e, se {sn } e {tn } são as seqüências
∞
∞
X
X
bn respectivamente, então para n > n0 temos:
an e
de somas parciais de
n=1
n=1
(5.13)
sn = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n
(5.14)
tn = b 1 + b 2 + b 3 + · · · + b n
e sendo an = bn a partir da ordem n0 , resulta das igualdades (5.13) e (5.14) que:
(5.15)
sn = tn + [(a1 − b1 ) + (a2 − b2 ) + (a3 − b3 ) + · · · (an − bn )]
Observando a igualdade (5.15), e considerando que a expressão entre colchetes é constante,
∞
∞
X
X
isto é, não depende do índice n deduzimos que as seqüências
an e
bn são ambas convern=1
gentes ou ambas divergentes.
n=1
Exemplo 5.26.
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
1
1
1
1
As séries
e
ambas são divergentes, entanto as séries
e
2
n
n−8
n
(n − 8)2
n=9
n=9
n=9
n=9
ambas são convergentes.
Procure justificar estas afirmações, identificando a quantidade de termos que elas diferem.
Ainda mais, uma conseqüência da Propriedade (5.4), temos que para cada número k ∈ N + ,
∞
∞
X
X
as séries
an e
an são ambas convergentes ou ambas divergentes.
n=1
n=k
Propriedade 5.5.
∞
∞
X
X
Sejam
an e
bn duas séries numéricas e α ∈ R.
n=1
(a) Se as séries
n=1
∞
X
n=1
an e
∞
X
bn são convergentes, então
convergem, e valem as relações:
(an + bn ) =
∞
X
n=1
(b) Se
n=1
an e convergente e
∞
X
n=1
∞
X
an +
n=1
n=1
∞
X
(an + bn ) e
n=1
n=1
∞
X
∞
X
α · an = α ·
∞
X
n=1
∞
X
∞
X
n=1
bn
(5.16)
an
(5.17)
n=1
bn é divergente, a série
α · an também
∞
X
n=1
(an + bn ) diverge.
110
Cálculo Vetorial e Séries
(c) Se
∞
X
n=1
∞
X
an é divergente e α 6= 0, então a série
n=1
α · an é também divergente.
Demonstração.
Na demonstração utilizaremos a Propriedade (4.16).
Denotando por {sn }, {tn }, {un } e {vn } as seqüencias de somas parciais das séries:
bn ) e
∞
X
n=1
∞
X
n=1
an ,
∞
X
bn ,
n=1
α · an respectivamente, temos un = sn + tn e vn = α · sn , e se as seqüencias {sn } e
{tn } forem convergentes, então as seqüencias {un } e {vn } também serão convergentes e, além
disso
lim un = lim sn + lim tn
n→∞
n→∞
n→∞
e
lim vn = α · lim sn
n→∞
n→∞
Isto mostra a parte (a).
Demonstração. (b)
Pelo absurdo.
Suponhamos que a série
∞
X
n=1
(an + bn ) seja convergente, então a seqüência {un } é convergente
e, por conseguinte, a seqüência {tn } também é convergente, pois tn = un − sn .
∞
X
Logo a série
bn é convergente. Isto é contradição com a hipótese.
n=1
∞
X
Portanto, a série
(an + bn ) diverge.
n=1
Demonstração. (c)
Pelo absurdo.
Suponhamos que a série
∞
X
n=1
α · an seja convergente, então a seqüência {vn } é convergente
e, por conseguinte, a seqüência {sn } também é convergente, pois sn =
Logo a série
∞
X
1
· vn .
α
sn é convergente. Isto é contradição com a hipótese.
n=1
Portanto, a série
∞
X
n=1
α · an diverge.
Observação 5.5.
Quando as séries
∞
X
an e
∞
X
bn são ambas divergentes, a Propriedade (5.5) não dá infor-
n=1
n=1
mação sobre a convergência da série
∞
X
(an + bn ).
n=1
Exemplo 5.27.
∞
X
1
As séries
n
n=1
converge.
e
∞
X
−1
n=1
n
são ambas divergentes, entanto que a serie
∞
X
−1
1
)
( +
n
n
n=1
∞
X
n=1
(an +
111
Christian José Quintana Pinedo
Exemplo 5.28.
Observe, a série
∞ X
n=1
∞
X
n=1
3
3
1
+
n2 + n 4n−1
é convergente, enquanto as séries
∞
X
n=1
1
e
n2 + n
são convergentes.
4n−1
Exemplo 5.29.
∞
X
n+1
é convergente.
A série
n4
n=1
1
1
n+1
= 3 + 4 ∀ n ∈ N+ ; sabemos que a série p converge se p > 1, logo as
4
n
n
n
∞
∞
X
X
1
1
séries
e
são convergentes.
3
n
n4
Observe que
n=1
n=1
Portanto,
∞
X
n=1
5.3.5
n+1
é convergente.
n4
Condição de Cauchy.
Propriedade 5.6. Condição de Cauchy.
Seja {sn } uma seqüência de números reais para a série convergente
quer ε > 0, existe n0 > 0 tal que |sm − sn | < ε sempre que m, n > n0 .
∞
X
an , então para qual-
n=1
Demonstração.
∞
X
an é convergente, seja S sua soma, isto é lim sn = S; pela definição de seqüência
Como
n→∞
n=1
convergente segue que:
∀ ε > 0,
∃ n0 > 0 tal que |sn − S| < ε
sempre que n > n0
ε
Em particular podemos considerar: |sn − S| < , portanto, se m, n > n0 :
2
|sm − sn | = |sm − S + S − sn | ≤ |sn − S| + |sm − S| <
Assim, ∀ ε > 0,
ε ε
+ =ε
2 2
∃ n0 > 0 tal que |sm − sn | < ε sempre que m, n > n0 .
Observe que se m = n − 1
|sn−1 − sn | = |an | < ε sempre que n > n0 ; isto é
∞
X
an , não
lim an = 0. Embora esta seja uma condição necessaria para a convergência da série
⇒
n→∞
n=1
é uma condição suficiente
Exemplo 5.30.
Determine quais das séries convergem ou divergem:
1.
∞
X
(n − 1)!
n=1
n · n!
.
112
Cálculo Vetorial e Séries
∞ √
X
n(n − 1)!
2.
n!
n=1
.
1.
Solução.
Observe que
∞
X
(n − 1)!
n=1
n · n!
∞
X
(n − 1)!
Logo a série
n=1
Solução. 2.
n · n!
=
∞
X
n=1
∞
X 1
(n − 1)!
=
n · n(n − 1)!
n2
onde p = 2 > 1
n=1
é convergente.
Tem-se que
∞ √
X
n(n − 1)!
∞ √
∞
X
X
1
n(n − 1)!
√
=
=
n · (n − 1)!!
n
∞ √
X
n(n − 1)!
é divergente.
n=1
Logo a série
n=1
5.3.6
n!
n!
n=1
n=1
onde p =
1
<1
2
Propriedade de Cauchy.
Existem casos onde a série têm seus termos decrescentes, então podemos utilizar a seguinte
propriedade.
Propriedade 5.7.
Suponhamos temos uma série de termo geral an de modo que an+1 ≤ an para todo n ∈ N+ ;
logo:
A série
∞
X
an converge se, e somente se, a série
n=1
∞
X
n=1
A demonstração é exercício para o leitor.
Exemplo 5.31.
Determine quais das séries convergem ou divergem:
1.
∞
X
1
n
2.
n=1
n=1
3.
∞
X
1
nLnn
∞
X
1
.
n2
n=1
Solução.
1.
1
1
, logo a2n = n .
n
2
∞
∞
X
X
1
n
1 = +∞ diverge.
2 · n =
Assim,
2
Temos que an =
n=1
n=1
2n · a2n também converge.
113
Christian José Quintana Pinedo
Pela Propriedade (5.7) a série
∞
X
1
diverge.
n
n=1
2.
Solução.
Tem-se que an =
Então,
∞
X
n=1
1.
1
, logo
nLnn
2 n · a 2n =
Portanto, a série
∞
X
n=1
Solução.
3.
Tem-se que an =
Logo,
∞
X
n=1
∞
X
n=1
2n ·
1
2n Ln2n
.
∞
∞
n=1
n=1
X 1
1
1 X1
=
=
= +∞ isto último pela parte
2n Ln2n
nLn2
Ln2
n
1
diverge.
nLnn
1
, então
n2
2 n · a 2n =
a 2n =
∞
X
n=1
2n ·
a 2n =
1
=
(2n )2
1
.
(2n )2
∞
X
n=1
2n
22n
=
∞
X
n=1

1 
1
= lim · 
n
n→∞ 2
2
1−
2
1
1−
2
∞
∞
X
X
1
1
Como a série
converge, então a série
também converge.
2n
n2
n=1
n=1
1 n 

 = 1.
114
Cálculo Vetorial e Séries
Exercícios 2-2
1. O que significa uma série
∞
X
an ser divergente?
n=1
2. Expresse cada decimal periódica como uma série e ache a expressão ord inária que ela
representa.
1. 0, 232323 · · ·
2. 5, 146146146 · · ·
3. 3, 2394394 · · ·
3. Verifique se as seguintes séries são divergentes:
1.
4.
7.
10.
∞
X
√
√
( n + n + 1)
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
2.
n
cos n
5.
[sen 4π
n + 4]
4n
8.
n!
3n)!
11.
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
i=1
[(1 + (−1)n ]
3.
1
nsen
n
(
6.
1
1
+
)
3n 5n
9.
(n + 2)!
5n
12.
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n3
n3 + n 2 + 9
n!
2n
1
√
2
n + 4n
n=1
∞
X 1
5
+
7n 8n
i=1
4. Encontre uma série cuja n-ésima soma vem dado por:
1. sn =
2n
3n + 1
2.
n2
n+1
sn =
3.
sn =
1
2n
5. Para cada uma das séries, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série no
caso de ela convergir.
1.
4.
7.
10.
∞ n
X
2
n=1
∞
X
2.
3
n
n+1
n=1
∞ X
1
1
+
2n 3n
n=1
∞
X
(n + 1)2
Ln
n(n + 2)
n=1
∞
X
Ln
5.
8.
11.
13.
ln n
√
n2
n=1
14.
16.
∞
X
n
en 2
n=1
17.
n
∞
X
2
4
5
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
3.
2n + 1
n2 (n + 1)2
6.
1
4n2 − 1
9.
2n+1
32n
12.
1
nn
15.
√
n n+1
(−1)
3n − 2
18.
6. Encontre os valores de x que tornam a série
∞
X
n=1
∞
X
3
9n2 + 3n − 2
n=1
∞ X
1
1
−
2n−2 3n+2
n=1
∞
X
2
(4n − 3)(4n + 1)
n=1
∞ n
X
2 sen(nπ + π2 )
32n−2
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
e−n + en
6
1 − 2 cos n
en
x2n convergente; e calcule o valor da soma.
115
Christian José Quintana Pinedo
7. Idem ao Exercício 6 para a série
∞
X
(x − 3)n
n=1
2n+1
.
8. Sejam ai , bi ∈ R onde i = 1, 2, 3, · · · , n. Mostre a desigualdade de Cauchy - Schwarz:
∞
X
n=1
9. A série
∞
X
an bn
2
≤
∞
X
n=1
a2n
∞
X
n=1
b2n
an converge se, e somente se, para todo ε > 0, existe um n0 > 0 tal que n > n0
n=1
implica:
|an+1 + an+2 + an+3 + · · · + an+p | < ε
10.
11.
12.
para cada
p ∈ N+
116
Cálculo Vetorial e Séries
5.4
SÉRIE DE TERMOS POSITIVOS
Uma série
∞
X
an onde cada termo an é maior ou igual do que zero é denominada série de
n=1
termos positivos.
Propriedade 5.8.
Seja {an } uma seqüência com an ≥ 0 para todo n ∈
N+ .
Então a série
se, e somente se, a seqüência de somas parciais {sn } é limitada.
∞
X
an é convergente
n=1
Demonstração.
Temos pela Propriedade (5.5) que se a série
∞
X
an converge, então sua seqüência de somas
n=1
parciais é limitada.
Inversamente.
Suponhamos que a seqüência de somas parciais {sn } é limitada, como an ≥ 0 para todo
n ∈ N+ então:
sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an ≤ a1 + a2 + a3 + · · · + an + an+1 = sn+1
Logo, a seqüência de somas parciais {sn } é crescente; ainda mais sendo limitada segue pela
∞
X
Propriedade (4.18) que {sn } é convergente, assim
an é convergente .
n=1
Exemplo 5.32.
∞
X
1
A série
é convergente.
n(n + 1)
n=1
Observe que
1
1
1
= −
para todo n ∈ N+ .
n(n + 1)
n n+1
Como sn =
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
, tem-se que sn = 1 −
≤ 1 para todo
1·2 2·3 3·4
n(n + 1)
n+1
n ∈ N+ .
Sendo os termos positivos, e a seqüência de somas parciais {sn } limitada, então série
é convergente.
∞
X
n=1
Definição 5.2.
Dizemos que a série
∞
X
an é dominada pela série
n=1
Nesse caso
∞
X
n=1
Observação 5.6.
an é a série dominada e
∞
X
n=1
∞
X
bn quando an ≤ bn ,
bn é a série dominante.
n=1
Para séries de termos positivos, os seguintes fatos são imediatos:
1. A seqüência sn de somas parciais é monótona crescente.
∀ n ∈ N+ .
1
n(n + 1)
117
Christian José Quintana Pinedo
∞
X
2. Se a série
an é dominada pela série
n=1
e {tn } satisfazem a relação sn ≤ tn ,
∞
X
n=1
bn , as respectivas séries de somas parciais {sn }
∀ n ∈ N+ .
Estes fatos junto com a Propriedade (4.21) estabelecem o seguinte critério de convergência
conhecido como critério de comparação.
5.4.1
Critério de comparação.
Propriedade 5.9. Critério de comparação.
∞
∞
X
X
bn duas séries de termos positivos:
an e
Sejam
n=1
n=1
i) Se a série
∞
X
n=1
ii) Se a série
bn converge e an ≤ bn , ∀ n ∈ N+ , então a série
∞
X
an diverge e an ≤ bn , ∀ n ∈ N+ , então a série
n=1
∞
X
an também converge.
n=1
∞
X
an também diverge.
n=1
Sendo as afirmações i) e ii) equivalentes, é suficiente mostra apenas uma delas.
Demonstração. i)
Sejam {sn } e {tn } as seqüências de somas parciais das séries
∞
X
an e
n=1
∞
X
bn respectivamente.
n=1
Como {tn } é uma seqüência convergente, ela é limitada e; sendo 0 ≤ sn ≤ tn , ∀ n ∈ N+ então
{sn }, além do monótona também é limitada e, portanto convergente.
∞
X
Logo a série
an correspondente é convergente.
n=1
Observação 5.7.
Embora os resultados que envolvem uma série dominada por outra sejam, em geral, enunciados e demonstrados, admitindo-se que esse domínio ocorra para todos os termos das séries, eles
continuam sendo válidos quando uma das séries é dominada pela outra a partir de uma certa
ordem.
Exemplo 5.33.
Determine a convergência ou divergência da série
∞
X
1+n
1 + n2
n=1
Solução.
Como n ≥ 1, então 1 + n2 ≤ n + n2 ≤ n(n + 1), logo
Sendo a série
também diverge.
Exemplo 5.34.
1+n
1
≥ , ∀ n ∈ N+
1 + n2
n
∞
∞
X
X
1+n
1
é divergente, segue pelo critério de comparação que a série
n
1 + n2
n=1
n=1
118
Cálculo Vetorial e Séries
(a) Da relação Lnn ≥ 1, ∀ n ≥ 3, segue que
∞
X
Lnn
1
1
≥ , n ≥ 3 e, como a série harmônica
n
n
n
n=1
diverge, segue pelo critério de comparação que a série
∞
X
n=1
(b) As séries
∞
∞
X
X
1
1
e
são convergentes, pois elas são dominadas respectivamente, pelas
n!
2n2
n=1
séries
Lnn
também diverge.
n
∞
X
n=1
n=1
1
2n−1
Exemplo 5.35.
e
∞
X
n=1
n2
1
.
+n
Se a série dominada for convergente, então a série dominante pode convergir ou divergir.
∞
∞
X
X
1
1
A série convergente
é
dominada
pela
série
divergente
.
2
n
n
n=1
n=1
Exemplo 5.36.
Mostre que a série
∞
X
1
é divergente se p ∈ R,
np
n=1
Demonstração.
p ≤ 1.
1
1
≤ p ∀ n ∈ N+ . Como a série
Com efeito, se p ≤ 1 ⇒ np ≤ n, ∀ n ∈ N+ , logo
n
n
∞
∞
X
X
1
1
harmônica
é divergente, então a série
p ∈ R, p ≤ 1 também é divergente.
n
np
n=1
5.4.2
n=1
Critério de integral.
Propriedade 5.10. Critério da integral.
Consideremos a função f : [1, +∞) −→ R contínua e suponhamos que f seja não negativa e
monótona decrescente; isto é:
(a)
f (x) ≥ 0, ∀ x ≥ 1.
(b)
f (x) ≥ f (y), sempre que 1 ≤ x ≤ y.
Nessas condições a série
∞
X
f (n) é convergente se, e somente se, a integral
n=1
convergente.
Z∞
f (n) for
n=1
Demonstração.
Seja sn = f (1)+f (2)+f (3)+· · ·+f (n) para n ∈ N+ , e consideremos a função F : [1, +∞) −→
R definida por:
F (t) =
Zt
1
f (x)dx
para
t ∈ [1, +∞)
como f (x) é contínua, pelo Teorema do Valor Médio para Integrais existe α ∈ R tal que
k+1
Z
f (x)dx = [(k + 1) − k]f (α) = f (α) sendo que α ∈ (k, k + 1); isto é k < α < k + 1.
k
119
Christian José Quintana Pinedo
Pelo fato ser f (x) decrescente não negativa, temos:
k+1
Z
0 ≤ f (k + 1) ≤
f (x)dx ≤ f (k)
k
para k ∈ N+ . Assim obtemos:
F (n + 1) =
Z2
f (x)dx +
Z3
f (x)dx +
3
2
1
Z4
f (x)dx + · · · +
n+1
Z
f (x)dx
n
≤ f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (n) = sn
≤ f (1) +
Z2
f (x)dx +
Z3
f (x)dx +
3
2
1
Z4
f (x)dx + · · · +
Zn
f (x)dx = f (1) + F (n)
n−1
De onde:
para
F (n + 1) ≤ sn ≤ f (1) + F (n)
Suponhamos que a integral
Z∞
n ∈ N+
(5.18)
f (x)dx seja convergente. Como F (x) é decrescente, temos em
1
(5.18) que:
sn ≤ f (1) + F (n) ≤ f (1) + lim F (n) ≤ f (1) +
n→∞
Z∞
f (x)dx
1
para todo n ∈ N+ . Assim a seqüência de somas parciais {sn } é limitada e, sendo monótona, pela
∞
X
f (n) é convergente.
Propriedade (5.8) segue que a série
Inversamente.
Suponhamos que a série
todo n ∈ N+ .
n=1
∞
X
n=1
f (n) seja convergente então existe N ∈ R tal que sn ≤ N para
De (5.18) temos que F (n + 1) ≤ N para todo n ∈ N+ .
Como F (t) é decrescente, isto implica que F (t) ≤ N para todo t ∈ [1, +∞). Sendo f (x)
Z∞
f (x)dx converge.
positivo, deduzimos de (5.18) que a integral imprópria
1
Além de dar informação relativa à convergência de uma série, o critério da integral pode ser
usado para calcular a soma da série.
Exemplo 5.37.
1
atende as condições da propriedade no intervalo [1, ∞). De fato, nesse
x3
−3
intervalo a função f (x) é claramente contínua e não negativa e como sua derivada f 0 (x) = 4
x
é negativa para todo x ≥ 1, então f (x) é decrescente.
A função f (x) =
120
Cálculo Vetorial e Séries
A integral imprópria
Z∞
f (x)dx = 1 é convergente, por conseguinte a série
∞
X
1
converge.
n3
n=1
1
Observação 5.8.
Quando utilizamos o critério da integral, o valor da integral imprópria não é necessariamente
igual ao valor da soma da série, no caso de esta convergir.
Propriedade 5.11.
Consideremos a função f : [1, +∞) −→ R contínua e suponhamos que f (x) seja não negativa
Z∞
∞
X
f (n)
e monótona decrescente. Se a integral imprópria
f (x)dx converge, então a série
Z∞
converge, e:
1
f (x)dx ≤
∞
X
n=1
f (n) ≤ f (1) +
Z∞
n=1
1
f (x)dx.
1
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
Exemplo 5.38.
Mostre que a série
∞
X
1
,
np
n=1
p ∈ R converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
Demonstração.
Tem-se f (x) =
1
, e observe que, quando p 6= 1:
xp
+∞
Z
f (x)dx =
1
1
·
1−p
m
1
= 1
−
1
lim
xp−1 1
1 − p m→+∞ mp−1
1
Na igualdade (5.19) quando p > 1 tem-se que
quando p > 1,
Z∞
f (x)dx =
Para o caso p < 1, na igualdade (5.19) tem-se que
diverge quando p < 1,
Se p = 1
⇒
Z∞
1
+∞
=
f (x)dx = Lnx Exemplo 5.39.
∞
X
e−n é convergente.
A série
n=1
Com efeito,
Z∞
1
Z∞
1
p ∈ R.
1
+∞ 1
e−x dx = − e−x =
e
1
f (x)dx = −∞, logo a série
lim Lnm = +∞.
m→+∞
∞
X 1
1
, logo a série
converge
p−1
xp
n=1
1
p ∈ R.
(5.19)
∞
X
1
xp
n=1
121
Christian José Quintana Pinedo
5.4.3
Critério de comparação no limite.
Propriedade 5.12. Critério de comparação no limite.
∞
∞
X
X
an
.
Sejam
an e
bn duas séries de termos positivos e seja L = lim
n→∞ bn
n=1
n=1
i) Se L > 0, então as séries
∞
X
an e
n=1
ii) Se L = 0 e
∞
X
bn converge, então
n=1
iii) Se L = ∞ e
∞
X
∞
X
bn são ambas convergentes ou ambas divergentes.
n=1
∞
X
an também converge.
n=1
bn diverge, então
n=1
∞
X
an também diverge.
n=1
Demonstração.
A demonstração é conseqüência imediata da Propriedade (5.9) observe que em i) e ii) a série
∞
X
bn a partir de um certo momento, passa a dominar a série
an , enquanto em iii) a série
n=1
n=1
∞
X
∞
X
bn passa a ser dominada pela série
∞
X
an .
n=1
n=1
1
Por exemplo, em i), fixando ε = na definição de limite de seqüência encontramos um índice
3
1
4
n0 tal que bn ≤ an ≤ bn , ∀ n ≥ n0 .
3
3
Exemplo 5.40.
Determine se a série
n=1
Solução.
Seja an =
1
(r = < 1).
2
∞
X
1
converge ou diverge.
nn
∞
X
1
1
1
e
consideremos
b
=
;
sabe-se
que
a
série
geométrica
é convergente
n
nn
2n
2n
n=1
1
n
n
2n
an
2
n
= 0.
= lim n = lim
Então, lim
= lim
1
n→∞ n
n→∞ bn
n→∞
n→∞ n
2n
∞
X
1
Pela parte ii) da Propriedade (5.12) segue que a serie
é convergente.
nn
n=1
Exemplo 5.41.
√
√
∞
X
7 n
7 n
Estamos a estudar a convergência da série
, logo an =
.
6n − 3
6n − 3
1
Observe que quando bn = √ , resulta
n
n=1
√
7 n
lim 6n−3
n→∞ √1
n
√
√
7 n
n
7
·
= > 1.
n→∞ 6n − 3
1
6
= lim
122
Cálculo Vetorial e Séries
Como a série
√
∞
∞
X
X
1
7 n
√ diverge, então
também diverge.
6n − 3
n
n=1
n=1
Observação 5.9.
Observemos que a propriedade associativa não é válida para qualquer soma infinita.
Por exemplo, a série
∞
X
(−1)n torna-se convergente quando seus termos são agrupados de
n=1
modo conveniente. De fato:
(−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · + ((−1)n + (−1)n+1 ) + · · · + = 0
Este fenômeno não ocorre para série de termos positivos convergentes como mostra a seguinte
propriedade.
Propriedade 5.13. Do reagrupamento.
O valor da soma de uma série de termos positivos convergente, não é alterado por um reagrupamento de seus termos.
Demonstração.
∞
∞
X
X
Seja
an uma série convergente para S, e seja
bn a série obtida por reagrupamento.
n=1
n=1
Se {sn } e {tn } denotam, respectiva,mente, as somas parciais de
seqüência {sn } converge para S e para cada n temos tn ≤ S.
∞
X
an e
n=1
∞
X
bn , então a
n=1
Ora, a seqüência {tn } é monótona e limitada por S, logo convergente. Se T é seu limite,
∞
∞
X
X
então T ≤ S e, invertendo o raciocínio podemos analisar a série
an como obtida de
bn
n=1
por reagrupamento, e uma repetição do argumento acima descrito implica que S ≤ T .
Por tanto S = T .
5.4.4
Critério de Raabe
Propriedade 5.14.
∞
X
an+1
Seja
an uma série de termos positivos, se k = lim n 1 −
então:
n→∞
an
n=1
1.
k > 1, a série
∞
X
an converge.
n=1
1.
k < 1, a série
∞
X
an diverge
n=1
1.
k = 1 nada a concluir.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
n=1
123
Christian José Quintana Pinedo
Exemplo 5.42.
Determine quais das seguintes séries são convergentes, ou quais são divergentes:
1.
∞
X
1
2
n +1
∞
X
4n2
n=1
3.
n=1
2.
∞
X
n2 − 1
2n2 + 1
n=1
a
−1
Solução. 1.
Tem-se que an =
1
1
e an+1 =
.
n2 + 1
(n + 1)2 + 1
an+1
n2 + 1
=
Logo k = lim n 1 −
= lim n 1 −
n→∞
n→∞
an
(n + 1)2 + 1
= lim
n→∞
De acordo com a Propriedade (5.14) a série
Solução.
∞
X
n=1
2.
n2
2n2 + n
= 2 > 1.
n2 + 2n + 2
1
é convergente.
+1
Observe que para todo n ∈ N+ tem-se:
an =
De onde:
n2 − 1
2n2 + 1
e
an+1 =
(n + 1)2 − 1
n2 + 2n
=
2(n + 1)2 + 1
2n2 + 4n + 3
an+1
=
k = lim n 1 −
n→∞
an
−6n2 − 3n
n2 + 2n
2n2 + 1
= lim n 1 − 2
= lim
· 2
= 0 < 1.
n→∞
n→∞ (n2 − 1)(2n2 + 4n + 3)
2n + 4n + 3 n − 1
De acordo com a Propriedade (5.14) a série
∞
X
n2 − 1
é divergente.
2n2 + 1
n=1
3.
∞
X
Na série
Solução.
a
a
a
tem-se que: an = 2
e an+1 =
.
−1
4n − 1
4(n + 1)2 − 1
n=1
Pelo critério da Propriedade (5.14) tem-se:
4n2
an+1
4n2 − 1
a
=
k = lim n 1 −
·
= lim n 1 −
n→∞
n→∞
an
4(n + 1)2 − 1
a
8n2 + 4n
8n + 4
k = lim n
= lim 1 − 2
=2>1
n→∞
n→∞
4n2 + 3n + 3
4n + 3n + 3
De acordo com a Propriedade (5.14) a série
∞
X
n=1
Exemplo 5.43.
a
é convergente.
−1
4n2
124
Cálculo Vetorial e Séries
A seguinte série
∞
X
cos
n=1
sol
2n + 1 n2 + n
Aplicando a seguinte identidade
· sen
1 é convergente., calcular sua soma.
n2 + n
2senA. · cos B = sen(A + B) + sen(A − B) temos:
−2n 1 1
2n + 2 · sen 2
=
sen 2
+ sen 2
an = cos 2
n +n
n +n
2
n +n
n +n
2n + 1 2 1
2
sen
− sen
an =
2
n
n+1
Assim. sn = a1 + a2 + a3 + · · · ,. então:
sn =
Portanto,
∞
X
n=1
cos
1
2
sen 2 − sen
2
n+1
2n + 1 n2 + n
· sen
⇒
1 sen 2
.
=
n2 + n
2
lim sn =
n→∞
sen 2
2
125
Christian José Quintana Pinedo
Exercícios 2-3
1. Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
1.
4.
7.
10.
13.
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
1
2
n +1
2.
1
Lnn
5.
[| cos( 4π
n
e−n
−
6
+
4n
π
2)
+ 4|]
en
8.
11.
ln n
5n
14.
Lnn
n2
17.
19.
1
√
n2 + 4
n=1
20.
22.
∞
X
1
2n − 1
23.
n+1
n+2
26.
16.
25.
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
∞
X
3.
1
√
n+1
n=1
1
√
n n+1
n=1
6.
1
nLnn
∞
X
1
1
− 5)
(
3n n
∞
X
9.
n=1
∞
X
n!
(5n)!
n=1
∞
X
1
3
n + 4n
n=1
∞
X
1
√
2
n +n
n=1
12.
∞
X
n
en 2
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
n=1
∞
X
15.
Lnn
n
18.
1
(n + 1)(n + 2)
21.
1
(2n + 1)2
24.
arctan n
n2
27.
são convergentes. Sugestão compará-las com as séries
∞
X
n=1
i=1
∞
X
i=1
7
(4n − 3)(4n + 1)
∞
X
i=1
n=1
∞
X
n · e−n
n=1
∞
X
1
n(Lnn)2
n=1
∞
X
1
e
n2
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
senh(2n)
i=1
(−1)
n=1
∞
X
3. Determine quais das séries convergem ou divergem:
∞
X
|[cos 2π
n + 1 ]|
2n
n=1
∞
X
n=1
2. Usando o critério de comparação no limite, determine se as séries
n3
[2 + (−1)2n+3 ]
1
(2n)n
n
√
n+1
3n2 + 2
1
n · 2n
n−1
n
e−n
2
e
∞
X
n=1
1
n4
sen4
1
n
126
Cálculo Vetorial e Séries
4. Use o critério da integral para determinar se a série dada converge ou diverge:
1.
∞
X
i=1
4.
∞
X
i=1
7.
1
4n + 3
∞
X
Lnn
i=1
10.
1
n+2
∞
X
i=1
n
nk e−n , k ∈ N+
2.
∞
X
e−n
3.
i=1
5.
∞
X
i=1
8.
∞
X
i=1
11.
6.
7.
ne−n
i=1
1
n2 + 1
n
n2 + 3
∞
X
1
n3
6.
∞
X
i=1
9.
1
2n + 1
∞
X
nk−1
, k ∈ N+
nk + c
i=1
12.
i=1
5. A função zeta de Riemann para números reais é dada por :
o domínio dessa função.
∞
X
∞
X
1
√
3
n
i=1
ξ(x) =
∞
X
i=1
n−x . Determine
127
Christian José Quintana Pinedo
5.5
SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE
Definição 5.3. Série absolutamente convergente.
∞
∞
X
X
Dizemos que uma série
an é absolutamente convergente, se a série
|an | é convergente.
n=1
Observe, se an ≥ 0,
∀n ∈
n=1
N+
⇒
|an | = an , assim, a série é
∞
X
an se e somente se é
n=1
absolutamente convergente. Para o caso de alguns termos an positivos e negativos, a convergência
e a convergência absoluta não são as mesma.
Exemplo 5.44.
Toda série convergente, cujos termos não mudam de sinal é absolutamente convergente. Em
∞
X
particular quando −1 < r < 1, a série geométrica
rn é absolutamente convergente, pois
n=1
|rn | = |r|n , com 0 ≤ |r| < 1.
A propriedade seguinte pode ser interpretada assim:
“se tomarmos uma série convergente cujos termos são todos positivos e, de um
modo completamente arbitrário, trocamos as sinais de alguns dos seus termos, obteremos ainda uma série convergente”.
Propriedade 5.15.
Toda série absolutamente convergente, é convergente.
Demonstração.
∞
X
Seja
an uma série absolutamente convergente, para cada n ∈ N+ , seja bn = |an | − an .
n=1
Por hipótese, a série
∞
X
n=1
|an | é convergente, além disso como:
0 ≤ bn = |an | − an ≤ |an | + |an | = 2|an |
para todo n ∈ N+ . Logo deduzimos pelo critério de comparação que a série
Mais, an = |an | − bn e pela Propriedade (5.12) segue que a série
∞
X
∞
X
bn é convergente.
n=1
an é convergente.
n=1
Exemplo 5.45.
∞
X
(−1)n
A série
é absolutamente convergente. Observe que:
n2
n=1
Como
(−1)n 1
n2 = n2 ,
∀ n ∈ N+
∞
∞
X
X
(−1)n
1
é
convergente,
segue-se
que
a
série
é absolutamente convergente.
n2
n2
n=1
n=1
128
Cálculo Vetorial e Séries
Exemplo 5.46.
∞
X
(−1)n
A série
não é absolutamente convergente. Observe que:
n
n=1
(−1)n 1
n = n,
∀ n ∈ N+
∞
∞
X
X
1
(−1)n
é divergente, segue-se que a série
não é absolutamente convergente.
n
n
Como
n=1
n=1
Mais ainda, mostraremos na Seção 5.6 que a série
∞
X
(−1)n
n=1
5.5.1
n
é convergente.
Condicionalmente convergente.
Definição 5.4. Série condicionalmente convergente.
∞
∞
X
X
|an | for diveran é condicionalmente convergente, se a série
Dizemos que uma série
n=1
n=1
gente.
Exemplo 5.47.
X
1
A série
(−1)n 2 é condicionalmente convergente.
n
n→∞
X X 1
1
n
(−1)
=
Com efeito, a série
sabemos que é convergente.
n2
n2
n→∞
n→∞
Propriedade 5.16.
∞
X
an uma série dada de números reais, e definimos:
Seja
n=1
pn =
∞
X
i) Se
|an | + an
,
2
qn =
an é condicionalmente convergente então,
n=1
ii) Se
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
|an | − an
|an | é convergente então,
pn −
∞
X
∞
X
pn e
n=1
∞
X
pn e
n ∈ N+
∞
X
(5.20)
qn são ambas divergentes.
n=1
qn são ambas convergentes, e temos:
n=1
∞
X
an =
n=1
qn .
n=1
Demonstração. i)
Consideremos an = pn − qn , |an | = pn + qn .
∞
∞
X
X
Suponhamos que se
an seja convergente e
|an | seja divergente.
Caso
∞
X
n=1
qn seja convergente então
n=1
modo análogo, se
∞
X
n=1
∞
X
n=1
pn também é convergente, pois pn = an + qn . De
n=1
pn é convergente então
∞
X
n=1
qn também é convergente.
129
Christian José Quintana Pinedo
Por conseguinte, se uma ou outra das séries convergem, ambas devem convergir, e deduzimos
∞
X
|an | converge pelo fato |an | = pn + qn .
que a série
n=1
Esta contradição mostra i).
Demonstração. ii)
Para demonstrar ii) utilizamos as igualdades em (5.20) junto com a Propriedade (5.5)
A Propriedade (5.13) pode ser considerada de forma mais geral para as séries absolutamente
convergentes.
Propriedade 5.17.
∞
∞
∞
X
X
X
an por
bn é obtida de
an é absolutamente convergente com soma S, e
Se a série
n=1
um reagrupamento, então
∞
X
n=1
n=1
bn é absolutamente convergente e tem soma S.
n=1
Demonstração.
É claro que:
0≤
∞
X
n=1
|bn | ≤
de onde segue que as somas parciais da série
∞
X
n=1
|an |,
∞
X
n=1
∀ n ∈ N+
|bn | formam uma seqüência monótona crescente
e limitada, sendo portanto convergente.
∞
X
Assim, a série
bn converge absolutamente, e resta mostrar que ela tem soma S.
n=1
Denotemos, por {sn } e {tn } as somas parciais das séries
e consideremos ε > 0 dado. A convergência absoluta da série
∞
X
an e
n=1
∞
X
∞
X
bn , respectivamente
n=1
an garante a existência de um
n=1
índice n tal que
|sn − S| <
ε
2
e
ε
|an+1 | + |an+2 | + |an+3 | · · · + |an+p | < ,
2
∀ p ∈ N+
Se m é um índice suficientemente grande, então a soma parcial tn contém todos os termos
aj ,
1 ≤ j ≤ n, e certamente outros, e dessa forma podemos escrever:
t m = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n + a k1 + a k2 + · · · + a kr
onde k1 , k2 , k3 , · · · kr são inteiros maiores do que n. Se n+p0 é o maior dos números k1 , k2 , k3 , · · · kr
então:
|tm − sn | ≤ |ak1 | + |ak2 | + |ak3 | · · · + |akr | ≤ |an+1 | + |an+2 | + |an+3 | · · · + |an+p0 | <
ε
2
130
Cálculo Vetorial e Séries
e usando esta desigualdade obtemos:
|tm − S| ≤ |tm − sn | + |sn − S| <
ε ε
+ =
2 2
A seguinte propriedade sobre o produto de Cauchy para séries absolutamente convergentes,
será apresentado sem demonstração, o leitor interessado pode consultar [?].
Propriedade 5.18.
∞
∞
X
X
Sejam
an é
bn séries absolutamente convergentes, então:
n=1
i) A série
n=1
∞
X
an bn é absolutamente convergente.
n=1
ii) O produto de Cauchy
∞
P
cn das séries
n=1
∞
X
an é
n=1
∞
X
cn =
n=1
∞
X
bn é absolutamente convergente, e:
n=1
∞
X
n=1
an
∞
X
an
n=1
O critério de convergência a seguir, embora não conclusivo em alguns casos, constitui-se
no mais importante teste de convergência para séries numéricas, não apenas do ponto de vista
técnico, mais também como nas aplicações às “Séries de Potências” que estudaremos no próximo
capítulo.
5.5.2
Critério de comparação.
Propriedade 5.19. Critério de comparação.
∞
∞
X
X
bn duas séries e |an | ≤ K|bn |, ∀ n ∈ N+ ,
an tais que
Sejam
i) Se a série
∞
X
bn é absolutamente convergente, então a série
n=1
∞
X
∞
X
an também é absolutamente
n=1
convergente.
ii) Se a série
K > 0:
n=1
n=1
an não é absolutamente convergente, então a série
n=1
∞
X
an não é absolutamente
n=1
convergente.
Demonstração. i)
∞
∞
X
X
Se a série
|bn | é convergente, pela Propriedade (5.12) segue-se que
|an | é convergente,
n=1
de onde pela Propriedade (5.15) segue que
∞
X
n=1
an é absolutamente convergente.
n=1
A demonstração de ii) é exercício para o leitor.
131
Christian José Quintana Pinedo
Exemplo 5.48.
∞
X
sen n
A série
é absolutamente convergente.
2n
n=1
∞
sen n X
1
1
+
É imediato que n ≤ n para todo n ∈ N . Como a série
é absolutamente
2
2
2n
n=1
∞
X
sen n
é absolutamente convergente.
convergente, pela Propriedade (5.19), a série
2n
n=1
Exemplo 5.49.
∞
X
n−2
(−1)n 3
A série
é absolutamente convergente.
n +1
n=1
n
−
2
n
≤ n + 2 para todo n ∈ N+ .
Com efeito, (−1) 3
n + 1 n3 + 1
Por outro lado, como n + 2 ≤ 3n e n3 < n3 + 1 então temos que:
Como a série
∞
X
n=1
mente convergente.
(−1)n n − 2 ≤ n + 2 ≤ 3n = 3
3
n + 1 n3 + 1
n3
n2
∞
X
3
n−2
(−1) 2 é convergente, obtemos que a série
é absoluta(−1)n 3
n
n +1
n
n=1
Observação 5.10.
∞
X
Se a série
an é absolutamente convergente, então ela é convergente e:
n=1
∞
∞
X X
|an |
an ≤
n=1
n=1
Propriedade 5.20.
∞
X
Seja
bn una série absolutamente convergente, com bn 6= 0 para todo n ∈ N+ . Se a seqüênn=1
∞
X
na o
n
an será absolutamente
for limitada (em particular se for convergente), então a série
bn
n=1
convergente
cia
Demonstração.
a n
ser limitada, ent çao existe C ∈ R tal que a seqüência ≤
bn
bn
C ⇒ |an | ≤ C|bn | para todo n ∈ N+ .
∞
X
Pela Propriedade (5.19) segue que a série
an é absolutamente convergente.
Pelo fato a seqüência
na o
n
n=1
5.5.3
Critério D’Alembert’s.
Propriedade 5.21. Critério D’Alembert’s1 .
1
Também conhecido como Critério da razão.
132
Cálculo Vetorial e Séries
Seja an 6= 0 para todo n ∈
∞
X
i) Se r < 1, a série
N+
an+1 = r ∈ R.
e suponhamos que lim n→∞
an an é absolutamente convergente.
n=1
ii) Se r > 1, a série
∞
X
an diverge.
n=1
Demonstração. i)
an+1 = r < s, existe p ∈ N+ tal
Seja r < 1, e s ∈ R de modo que r < s < 1. Como lim n→∞
a
n
an+1 < s para n ≥ p.
que an De onde |ap+1 | < s|ap |, também |ap+2 | < s|ap+1 | e assim sucessivamente, obtém-se que
|ap+k | ≤ sk |up | para k ∈ N+ .
Seja K = max .{
|ai |
/.i = 1, 2, 3, · · · p } então:
si
|an | ≤ K · sn
Como 0 < s < 1, e sabemos que
∞
X
para todo
n ∈ N+
sn converge; logo pelo critério de comparação
n=1
∞
X
n=1
também converge.
∞
X
Portanto
an é absolutamente convergente.
|an |
n=1
Demonstração. ii)
Seja r > 1 e consideremos t ∈ R tal que 1 < t < r, logo existe p ∈
para n ≥ p.
de modo análogo mostra-se que:
|ap+k | ≥ tk · |ap |
Temos que:
∞
X
n=1
tk · |ap | ≤
∞
X
n=1
Portanto,
∞
X
an+1 >t
que satisfaz an k ∈ N+
|ap+k |.
Sendo t > 1, e |ak | > 0, a série
diverge.
para
N+
∞
X
k=1
k
t · |ap |diverge quando k → ∞; logo
∞
X
k=1
|ap+k | também
an
n=1
Observação 5.11.
an+1 não existe ou for igual a 1, o critério D’Alembert’s não pode ser
1. Se o limite lim n→∞
an usado, e teríamos que recorrer a outros métodos.
133
Christian José Quintana Pinedo
2. Segue do critério de D’Alembert’s e da Propriedade (5.2) que se {an } é uma seqüência de
números não negativos e se:
an+1 < 1,
lim
n→∞ an ⇒
lim an = 0
n→∞
an+1 = +∞, as séries divergem.
3. Se lim n→∞
an Fica como exercício para o leitor a demonstração da parte 3. desta observação.
Exemplo 5.50.
∞
X
n
A série
é absolutamente convergente.
2n
n=1
n
Com efeito, seja an = n para n ∈ N+ , então:
2
1
(1 + )
an+1 n + 1 2n
n
an = 2n · n =
2
an+1 1
= .
Calculando o limite, r = lim n→∞
an 2
∞
X
n
é absolutamente convergente.
Portanto a série
2n
n=1
Exemplo 5.51.
∞
X
an
A série
é absolutamente convergente, para todo a ∈ R.
n!
n=1
Com efeito, se a = 0 é imediato.
an
Suponhamos que a 6= 0, e seja an =
para n ∈ N+ , então:
n!
an+1 an+1
n! |a|
=
an (n + 1)! · an = n + 1
an+1 = lim |a| = 0.
Calculando o limite, r = lim n→∞
an n→∞ n + 1
∞
n
Xa
Portanto a série
é absolutamente convergente.
n!
n=1
Exemplo 5.52.
∞
X
3n
A série
é divergente.
2n + 3
n=1
3n
Seja an =
para todo n ∈ N+ , logo
2n + 3
3
2+
an+1 3n+1 2n + 3 n
an = 2n + 5 · 3n = 3 ·
5
2+
2n
134
Cálculo Vetorial e Séries
an+1 = 3.
Calculando o limite, r = lim n→∞
an ∞
X
3n
Portanto a série
é divergente.
2n + 3
n=1
5.5.4
Critério de Cauchy.
Propriedade 5.22. Critério de Cauchy2 .
p
Suponhamos que lim n |an | = r ∈ R.
n→∞
∞
X
i) Se r < 1, a série
an é absolutamente convergente.
n=1
ii) Se r > 1, a série
∞
X
an diverge.
n=1
Demonstração. i)
Seja r < 1, e s ∈ R de modo que r < s < 1. Como lim
n→∞
p
que | n |an || < s para n ≥ p.
|ai |
Seja K = max .{ 1, i /.i = 1, 2, 3, · · · p } então:
s
|an | ≤ K · sn
Como 0 < s < 1, e sabemos que
∞
X
para todo
p
n
|an | = r < s, existe p ∈ N+ tal
n ∈ N+
sn converge; logo pelo critério de comparação
∞
X
n=1
n=1
também converge.
∞
X
an é absolutamente convergente.
Portanto
|an |
n=1
Demonstração. ii)
Se r > 1, então existe p ∈ N+ tal que
p
n
|an | ≥ 1 para n ≥ p.
Como |an | ≥ 1 para n ≥ p, seqüência {|an |} não converge para zero, pela Propriedade (5.2)
esta série diverge.
Portanto, lim
n→∞
p
n
|an | diverge se r > 1.
Observação 5.12.
1. Se o limite lim
n→∞
p
n
|an | não existe ou for igual a 1, o critério de Cauchy não pode ser usado,
e teríamos que recorrer a outros métodos.
2. Segue do critério de Cauchy e da Propriedade (5.2) que se {an } é uma seqüência se:
lim
n→∞
3. Se lim
n→∞
2
p
n
|an | < 1,
p
n
|an | = +∞, as séries divergem.
Também conhecido como Critério da Raíz
⇒
lim an = 0
n→∞
135
Christian José Quintana Pinedo
Exemplo 5.53.
Mostre que a série
∞
X
n
é absolutamente convergente.
2n
n=1
Demonstração.
Aplicando o critério de Cauchy e a Propriedade (4.6)tem-se que:
lim
n→∞
r
n
√
1
1
1
n
1
Lnn
= lim n n = · exp( lim
) = · e0 =
n
n→∞ n
2
2 n→∞
2
2
2
∞
X
n
é absolutamente convergente.
Segundo o critério de Cauchy, a série
2n
n=1
Exemplo 5.54.
∞
X
np an é absolutamente convergente se |a| < 1, e é divergente se |a| > 1.
A série
n=1 p
p
√
Com efeito, n |np an | = ( n n)p |a| para n ∈ N+ , de onde lim n |np an | = |a|.
n→∞
Se |a| < 1 pelo critério de Cauchy, a série é absolutamente convergente.
Se |a| > 1 a série diverge.
A propriedade seguinte relaciona os critérios de D’Alembert’s e Cauchy, para determinar a
convergência de seqüências.
Propriedade 5.23.
an+1 = L, então
Seja {an } uma seqüência cujos termos são diferentes de zero. Se lim n→∞
a
n
p
n
|an | = L
lim
n→∞
Demonstração.
Sem perda de generalidade podemos supor que an > 0 para todo n ∈ N+ .
Dado ε > 0, fixemos K, M tais que L − ε < K < L < M < L + ε. Existe p ∈ N+ tal que
an+1
n≥p ⇒ K<
< M.
an
ap+i
< M, i = 1, 2, · · · , (n−
Multiplicando ambos os membros as n−p desigualdades K <
ap+i−1
an
p), obtemos K n−p <
< M n−p para n > p.
ap
ap
ap
Ponhamos α = p e β = p .
K
M
√
√
√
Então K n α < an < M n β. Extraindo raízes, temos que K n α < n an < M n β para todo
n > p.
√
√
Considerando que L − ε < K, M < L + ε, lim n α = 1 e lim n β = 1, concluímos que
n→∞
n→∞
√
√
existe n0 > p tal que L − ε < K n α e M n β < L + ε sempre que n > n0 .
√
Assim, L − ε < n an < L + ε sempre que n > n0 . isto mostra a propriedade quando L > 0.
Para o caso L = 0, é suficiente somente considerar M e não K e M .
Exemplo 5.55.
Por exemplo, dada a seqüência
n n o
√
.
n
n!
n nn o
n!
estamos a determinar a convergência da seqüência
136
Cálculo Vetorial e Séries
Consideremos an =
p
nn
n
, então n |an | = √
.
n
n!
n!
(n + 1)(n + 1)n n!
1 n
an+1
(n + 1)(n+1) n!
· n =
· n = 1+
=
, então, no limite
an
(n + 1)!
n
(n + 1)n!
n
n
1 n
an+1
= e.
= lim 1 +
lim
n→∞
n→∞ an
n
n n o
Portanto, a seqüência √
converge para a constante e.
n
n!
Como
Propriedade 5.24. Riemann.
∞
X
an uma série condicionalmente convergente. Alterando convenientemente ordem dos
Seja
n=1
termos da série dada, podemos fazer que sua soma fique igual a qualquer número pre-fixado.
Demonstração.
∞
X
an a série dada. Fixado o número c, começamos a somas os termos positivos de
Seja
∞
X
n=1
an , na sua ordem natural, um a um, parando quando, ao somar an1 , a soma pela primeira
n=1
vez ultrapasse o número c (isto é possível, pois a soma dos termos positivos de
∞
X
an é +∞).
n=1
Fazemos o mesmo processo com os termos negativos até parar quando somando a n2 que é
negativo fique o mais próximo possível inferior que c (isto é possível, pois a soma dos termos
∞
X
negativos de
an é −∞).
n=1
Prosseguindo analogamente, obtemos uma nova série, cujos termos são os mesmos de
∞
X
an
n=1
numa ordem diferente.
As reduzidas desta nova série oscilam em torno do valor c, de tal modo que (a partir da
ordem n1 ) a diferença entre cada uma delas e c é inferior, em valor absoluto ao termo a nk , onde
houve a última mudança de sinal.
Ora lim ank = 0 porque a série
k→∞
∞
X
n=1
an converge.
Portanto as reduzidas da nova série convergem para c.
Exemplo 5.56.
137
Christian José Quintana Pinedo
Exercícios 2-4
1. Determine quais das seguintes séries são absolutamente convergentes. Quais são convergentes? Quais são divergentes?
1.
4.
7.
10.
13.
16.
19.
22.
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
(−1)n−1
(−1)n
(−1)n
(−1)n
(−1)n
1
2n − 1
2.
1
n+3
5.
n
Lnn
8.
n
n+1
n2
2n
nn
2n n!
∞
X
n=1
∞
X
n=1
11.
14.
17.
(−1)n n!
(2n − 1)!
20.
(2n + 1)!
(3n)!
23.
(−1)n
1
(2n)2
cos n
n2 + 1
(−1)n
n2 − n
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
n3
2n
(−2)n
n!
nn
3n n!
22n
(2n)!
2
2n
n!
∞
X
3.
1
(−1)n √
n
n=1
6.
∞
X
n3 + 2
9.
12.
15.
18.
21.
24.
n=1
∞
X
n4 + 1
(−1)n sen(n−3/2 )
n=1
∞
X
n2 3 n
n=1
∞
X
n!
10n
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
senhn
n2
(n − 3)2
n4
1
(2n + 1)!
n
2. Suponha mostrado que lim √
= e. Usando este resultado, discuta a convergência das
n→∞ n n!
séries:
∞ nn
∞ nn
∞
P
P
P
(2n)!
1.
2.
3.
n
n
n
n=1 2 n!
n=1 3 n!
n=1 (2n) n!
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
138
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Cálculo Vetorial e Séries
139
Christian José Quintana Pinedo
5.6
SÉRIES ALTERNADAS
Para uma série de termos positivos
∞
P
n=1
an a seqüência {sn } de somas parciais é crescente, e sua
convergência passa a ser uma conseqüência de sua limitação. Precisamente, esse foi o argumento
usado na demonstração do critério de comparação e o da integral, os quais são válidos para series
de termos positivos.
Observe que a série
∞
X
n=1
é convergente.
−2n não é convergente, embora seja dominada pela série
∞
X
1
que
n2
n=1
Definição 5.5.
Uma série cujos termos são alternadamente positivos e negativos, é denominada “série alternada”
Séries alternadas encontramos quando estamos a estudar fenômenos ondulatórios, cujos modelos matemáticos tem por solução funções representadas mediante séries trigonométricas (séries
de Fourier) da forma:
u(x, t) =
∞ X
an cos
n=1
nπt
nπt nπt
+ bn sen
sen
L
L
L
(5.21)
onde os coeficientes an e bn que aparecem na série representam a posição e a velocidade inicias,
respectivamente, de um ponto da onda.
As séries alternadas se apresentam em uma das seguintes formas:
∞
X
(−1)n an
ou
n=1
∞
X
(−1)n−1 an
n=1
onde an são termos de números reais positivos.
5.6.1
Critério de Leibnitz.
Propriedade 5.25. Critério de Leibnitz.
Seja {an } uma seqüência de números tais que:
i)
ii)
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ 0 para todo n ∈ N+
lim an = 0
n→∞
Então a série
∞
X
(−1)n−1 an é convergente
n=1
Demonstração.
Seja {sn } uma seqüência de somas parciais de
∞
X
(−1)n−1 an , então:
n=1
s2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + (a5 − a6 ) + · · · + (a2n−1 − a2n )
140
Cálculo Vetorial e Séries
Como (ak − ak+1 ) ≥ 0 então a seqüência {s2n } é crescente.
Por outro lado, temos:
s2n = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − (a6 − a7 ) − · · · − (a2n−2 − a2n−1 ) − a2n
Como (ak − ak+1 ) ≥ 0 então a seqüência {s2n } é limitada por a1 , isto é s2n ≤ a1 para todo
n ∈ N+ .
Sendo {sn } uma seqüência crescente limitada, pela Propriedade (4.18) ela é convergente para
algum S ∈ R, onde S ≤ a1 .
A mostrar que a seqüência {sn } converge para S.
Dado ε > 0 seja n0 > 0 tal que para n > n0
|s2n − S| ≤
ε
2
e
|a2n+1 | ≤
ε
2
Logo, se n > n0 , então:
|s2n+1 − S| = |s2n + a2n+1 − S| ≤ |s2n − S| + |a2n+1 | ≤
ε ε
+ =ε
2 2
Assim toda soma de um número ímpar de termos também depende de ε e S. Como ε é
arbitrário, deduzimos que lim sn = S.
Portanto, a série
∞
X
n→∞
(−1)n−1 an é convergente.
n=1
Observação 5.13.
O critério de Leibnitz pode ser modificado de modo a exigir apenas que 0 < an+1 ≤ an , para
todo n maior ou igual a algum inteiro N .
Exemplo 5.57.
Determine se a série alternada
Temos que an =
Logo,
(−1)n+1
n=1
Solução.
n ∈ N+ ,
∞
X
⇒
1
converge ou diverge.
Lnn
1
1
, então an+1 =
, além disso sendo n < n + 1 para todo
Lnn
Ln(n + 1)
Lnn < Ln(n + 1).
1
1
1
<
para n ≥ 2, e como lim an = lim
= 0.
n→∞
n→∞ Lnn
Ln(n + 1)
Lnn
Segue da Propriedade (5.25) que a série
∞
X
n=1
Exemplo 5.58.
Estude a série
Solução.
∞
X
n=1
(−1)n+1
1
.
2n
(−1)n+1
1
é convergente.
Lnn
141
Christian José Quintana Pinedo
Observe que an =
1
2n+1
<
1
1
e an+1 =
para todo n ∈ N+ . Do fato 2n < 2n+1
2n
n+1
⇒
an+1 =
1
= an para todo n ≥ 1.
2n
∞
X
1
1
=
0.
Segue
da
Propriedade
(5.25)
que
a
série
(−1)n+1 n é convergente.
n
n→∞ 2
2
Como lim
n=1
A Propriedade (5.25) é útil para determinar o ínfimo da n-ésima soma parcial de uma
série convergente. Para o caso de séries alternadas, isto é facilmente determinado; de fato,
nós mostraremos que o erro é não é maior que o primeiro termo.
Propriedade 5.26. Resto de uma série alternada.
Se as hipóteses da Propriedade (5.25) são satisfeitas, e S e sn denotam a soma e a n-ésima
soma parcial respectivamente, então:
|S − sn | ≤ an+1
n ∈ N+
para todo
Demonstração.
Sejam m, n ∈ N+ tais que m ≥ n, então:
sm − sn = an+1 − (an+2 − an+3 ) − (an+4 − an+5 ) − · · · − (am−1 − am ) ≤ an+1
Como lim sm = S, então 0 ≤ S − sn ≤ an+1 .
n→∞
Portanto, |S − sn | ≤ an+1 para todo n ∈ N+ .
Exemplo 5.59.
Aproxime a série
∞
X
(−1)n−1
n=1
Solução.
1
pelos seus seis primeiros termos.
n!
O critério de Leibnitz diz que esta série converge, pois
A soma dos seus seis primeiros termos é:
s6 = 1 −
1
1
≤
e
(n + 1)!
n!
1
= 0.
n→∞ n!
lim
1 1
1
1
+ −
+
≈ 0, 63194
2 6 24 120
Pela Propriedade (5.26) temos:
|S − s6 | = |R6 | ≤ a7 =
1
≈ 0, 0002
5.040
⇒
|S − 0, 63194| ≤ 0, 0002
De onde 0, 63174 ≤ S ≤ 0, 63214.
Portanto, 0, 63174 ≤
∞
X
n=1
(−1)n−1
1
≤ 0, 63214.
n!
Propriedade 5.27.
∞
∞
X
X
an também converge.
|an | converge, então a série alternada
Se a série
n=1
n=1
142
Cálculo Vetorial e Séries
Demonstração.
Por hipótese a série
∞
X
n=1
|an | converge; pela propriedade do valor absoluto −|an | ≤ an ≤ |an |,
então 0 ≤ an ≤ |an | ≤ 2|an |. Logo 0 ≤ an + |an | ≤ 2|an |,
Podemos escrever 0 ≤
∞
X
n=1
(an + |an |) ≤
critério de comparação segue que
Porém
∞
X
an =
n=1
Portanto,
∞
X
∞
X
n=1
X
∞
X
n=1
∀ n ∈ N+ .
2|an |. Como a série
∞
X
n=1
2|an | é convergente, pelo
n = 1∞ (an + |an |) também é convergente.
[(an + |an |) − |an |] é soma de séries convergentes.
an é convergente.
n=1
Exemplo 5.60.
∞
X
(−1)n−1
é convergente se p > 0 e, é divergente se p ≤ 0.
A série
np
n=1
1
Para o caso p > 0, a seqüência { p } é monótona decrescente e tende para zero.
n
1
Se p = 0, então p = 1 para todo n ∈ N+ , e a série diverge. Se p < 0 é imediato que a série
n
diverge.
Exemplo 5.61.
∞
X
(−1)n−1
é convergente.
A série
n
n=1
1
É claro que a seqüência { } é monótona decrescente e tende para zero. Conseqüentemente
n
esta série é convergente (embora não o seja absolutamente convergente).
Exemplo 5.62.
Determine quais das séries convergem ou divergem:
∞
∞
X
X
n
(−1)n n
(a)
(b)
(−2)n−1
Ln2n
n=1
Solução.
n=1
(a)
Para aplicar o teste, note que, para n ≥ 1, tem-se
1
n
≤
.
2
n+1
2n−1
n+1
n
n
de onde
≤
≤ n−1 , então an+1 ≤ an .
n
n
2
n+1
2
2
n
Por outro lado, temos a calcular lim n−1 .
n→∞ 2
Aplicando a regra de L´Hospital , tem-se que:
Isto implica que
lim
x
x→∞ 2x−1
= lim
1
x→∞ 2x−1 Ln2
=0
⇒
lim
n
n→∞ 2n−1
=0
143
Christian José Quintana Pinedo
Portanto, a série
Solução.
∞
X
n=1
(b)
n
converge.
(−2)n−1
Pela regra de L´Hospital temos que:
1
x
= lim 1 = ∞.
n→∞
n→∞ Ln2x
x
lim
Portanto o critério para séries alternadas não se aplica; porém, aplicando o critério do n-ésimo
termo podemos concluir que a série diverge,
Observação 5.14.
∞
∞
X
X
an ≮ +∞ indica que a
an < +∞ significa que a série é convergente; e
A notação
série diverge.
n=1
n=1
Definição 5.6.
Dizemos que a série alternada
∞
X
an é absolutamente convergente, se a série
n=1
n=1
vergente.
∞
X
|an | é con-
Definição 5.7.
Uma a série alternada
∞
X
an que é convergente, porém não absolutamente convergente, dize-
n=1
mos que ela é condicio0nalmente convergente.
Observação 5.15.
A Propriedade (5.27) estabelece que toda série absolutamente convergente é convergente. Não
obstante, uma série convergente pode não ser absolutamente convergente.
Exemplo 5.63.
(a) A série alternada
∞
X
1
, não é convergente.
n
∞
X
(−1
n=1
n+1 1
n
é convergente, não obstante a série
∞ X
(−1n+1 1 =
n
n=1
n=1
(b) A série
∞
X
n=1
3
(−1) n é absolutamente convergente, pois a série
2
n
∞
X
1
3
é uma série geométrica de razão r = <.
2n
3
∞ X
(−1)n 3 =
n
2 n=1
n=1
Portanto, a serie
∞
X
n=1
(−1)n
3
é convergente.
2n
Observação 5.16.
Para determinar a convergência ou divergência de uma série alternada, recomenda-se utilizar
o critério da razão.
144
5.6.2
Cálculo Vetorial e Séries
Sumário dos Critérios para Séries de Números.
Critério
do n-ésimo termo
Série
∞
X
an
Converge
lim an 6= 0
n→∞
n=1
da série geométrica
para séries p
Propriedade (5.5)
Propriedade (5.5)
Propriedade (5.7)
∞
X
arn
teles-
∞
X
1
p
n
n=1
∞
X
an
|r| ≥ 1
p>1
p≤1
n=1
∞
X
n=1
∞
X
∞
X
∞
X
∞
X
∞
X
dos limites da comparação
(an , bn > 0)
an
(bn − bn+1 )
e
an
∞
X
an = f (n) ≥ 0
Z∞
bn < +∞
1
lim
an
n=1
e
∞
X
n=1
de D’Alembert’s ou
da razão
de Cauchy ou da
raíz
de Leibnitz ou para
séries alternadas
∞
X
an
n=1
∞
X
an
=L>0
bn
∞
X
bn < +∞
absolutamente
p
lim n |an | < 1
an
nto∞
n=1
∞
X
n=1
absolutamente
n
(−1) an
2n · a2n < +∞
se, 0 ≤ bn ≤ an
e
∞
X
bn ≮ ∞
Z∞
resto:
f (x)dx ≮ +∞
0 < RN <
1
k>1
an+1 <1
lim nto∞
an an
bn ≮ +∞
n=1
∞
X
n=1
f (x)dx < +∞
n→∞
bn < +∞
soma: S = b1 − L
lim bn = L
n→∞
se, 0 ≤ an ≤ bn
an
n=1
∞
X
n=1
n=1
de Raabe
∞
X
se
se
an < +∞
n=1
n=1
∞
X
(an + bn )
n=1
∞
X
n=1
da integral (f contínua, positiva e
decrescente)
O critério não pode ser
usado para provar convergência
a
soma: S =
1−r
se
(an + bn )
an
n=1
∞
X
Comentário
n=1
n=1
de comparação
(an , bn > 0)
|r| < 1
n=1
n=1
para séries
cópicas
Diverge
0 < an+1 ≤ an
e lim an = 0
nto∞
an
=L>0
bn
lim
∞
X
bn ≮ +∞
n=1
k<1
an+1 >1
lim nto∞
an lim
nto∞
f (x)dx
N
n→∞
e
Z∞
p
n
|an | > 1
∞
X
an < +∞ caso
L=
n=1
0 e
∞
X
bn < +∞
n=1
an+1
k = lim n 1 −
n→∞
an
inconclusivo se:
an+1 =1
lim n→∞
an inconclusivo se:
p
lim n |an | = 1
nto∞
Resto: |RN | ≤ aN +1
145
Christian José Quintana Pinedo
Exercícios 2-5
1. Determine quais das seguintes séries são convergente ou divergentes. Quias delas são absolutamente convergentes?
1.
4.
7.
10.
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
(−1)n−1
(−1)n−1
1
2n + 1
n
Lnn
(−1)n−1 sen
(−1)n−1
1
Lnn
n2
n
∞
X
2.
1
(−1)n−1 √
n
n=1
3.
5.
∞
X
1
(2n − 1)!
6.
1
n2 + n
9.
8.
11.
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
(−1)n−1
(−1)n−1
(−1)n−1
12.
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
(−1)n−1
1
Lnn
(−1)n−1
1
n2n
(−1)n−1
Lnn
n
(−1)n−1
n=1
1 2 1 2 1 2 1 2 1
+ − + − + − + − + · · · tem termos alternados positivos e
2 3 3 4 4 5 5 6 6
negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto é divergente. Porque não contradiz
2. A série 1 −
a Propriedade (5.25)?
3.
146
4.
Cálculo Vetorial e Séries
APÊNDICE
História do Cálculo.
As idéias principais que sustentam o cálculo desenvolveram-se certamente num período de
tempo muito longo [?]. As primeiras etapas foram feitas por matemáticos gregos.
Para os gregos, os números representavam relações inteiras, posteriormente perceberam que
seus estudos de número tinha "furos". Eles deram a volta a esta dificuldade usando comprimentos, áreas e volumes além de números para os gregos, não todas os comprimentos eram
números.
Zeno de Elea (490a.C−430a.C) aproximadamente em 450a.C, apresentou vários problemas de
número que foram baseados no infinito. Por exemplo, ele discutiu que o movimento é impossível:
"Se um corpo se movimenta de A até B então antes que alcance B tem que
passar pelo ponto médio, suponhamos B1 de AB. Para mover-se agora de A até B1
deve primeiramente alcançar o ponto médio B2 de AB1 Continue este argumento
para observar que o corpo a partir de A deve se movimentar um número infinito das
distâncias e assim que não possa mover-se."
Leucippus (480 − 420 a.C), Democritus (460 - 370 a.C) e Antiphon (480 − 411 a.C)
todos fizeram contribuições ao método grego da exaustão que foi posto sobre uma base científica
por Eudoxus (408 − 355a.C) aproximadamente em 370 a.C. O método da exaustão é assim
chamado porque a pessoa calcula a área de uma determinada figura a partir de áreas conhecidas
expandindo estas últimas de forma que cada vez mais se aproximem para a área da figura exigida.
Entretanto Arquimedes (287 − 212 a.C), aproximadamente em 225 a.C, fez uma das mais
significativas contribuições gregas. O primeiro avanço importante devia mostrar que a área de o
4
2
segmento de uma parábola é da área de um triângulo com a mesma base e vértice e da área
3
3
do paralelogramo circunscrito. Arquimedes construiu uma seqüencia infinita dos triângulos que
começam com uma da área A para logo adicionar continuamente área de triângulos semelhantes
entre o existente e a parábola para conseguir a área procurada segundo o seguinte roteiro:
A,
A+
A
,
4
A+
A
A
+ ,
4
16
A+
A
A
A
+
+ ,
4
16 64
...
A,
A+
A
,
4
A+
A
A
+ ,
4
16
A+
A
A
A
+
+ ,
4
16 64
...
147
148
Cálculo Vetorial e Séries
A área do segmento da parábola é conseqüentemente
1
1
1
4
A( +
+
+ . . .) = ( )A.
4 16 64
3
Este é o primeiro exemplo conhecido da adição de uma série infinita.
Arquimedes usou o método da exaustão para achar uma
aproximação à área de um círculo. Este, naturalmente, é um
exemplo cedo da integração e que conduz para a aproximação de
valores para π. Mostra-se diagrama de Arquimedes na Figura
(5.3).
OA = 1, AB = sen( πk )
π
AT = tan( ), onde k = 3 × 2n−1
k
Entre outras “integrações"feitas por Arquimedes estavam o
volume e a área da superfície de uma esfera, o volume e a área
de um cone, a área da superfície de uma elipse, o volume de um
segmento de parabolóide de revolução e de um segmento de um
Figura 5.3:
hiperbolóide de revolução.
Nenhum progresso adicional foi feito até o 16o século em que os mecânicos começaram a
induzir matemáticos para examinar problemas tais como centros de gravidade. Luca Valerio
(1552 − 1618) publicou em Roma em 1606 “De quadratura parabolae” que foi continuação dos
métodos para resolver problemas de áreas feito pelos gregos. Kepler, em seu trabalho de movi-
mento planetário, teve que encontrar a área de setores de uma elipse. Seu método consistiu em
calcular a área como somas de retas, outra forma crua de integração, mas Kepler (1571 − 1630)
dedicou pouco tempo para continuar com o rigor grego e foi bastante afortunado para obter uma
resposta correta depois de fazer dois erros de cancelamento neste trabalho.
Três matemáticos, nascidos num intervalo de três anos um do outro fizeram contribuições
principais. Eles eram Fermat (1601 − 1665), Roberval (1602 − 1675) e Cavalieri (1598 − 1647)
. Este último conduziu um “ método de indivisíveis"pelas tentativas de Kepler , na integração.
Cavalieri não era rigoroso em sua aproximação e é difícil entender como pensou sobre seu método.
Parece que o pensamento de uma área para Cavalieri era como sendo composto das componentes
que eram retas e somado então um número infinito “de indivisíveis”. Mostrou, usando estes
an+1
métodos, que a integral de xn de 0 até a era
mostrando o resultado para vários valores
(n + 1)
de n ∈ N e deduzindo o resultado geral.
Roberval considerou problemas do mesmo tipo mas foi muito mais rigoroso do que Cavalieri.
Roberval observou a área entre uma curva e uma reta como sendo composto de um número
infinito de tiras retangulares infinitamente estreitas. Aplicou isto para ao integrar x m de 0 até 1
que mostrou o valor aproximado
0m + 1m + 2m + · · · + (n − 1)m
nm+1
Roberval afirmou então que todo esta expressão tende para
1
quando n tende infinito,
m+1
149
Christian José Quintana Pinedo
calculando assim a área.
Fermat era também mais rigoroso em sua aproximação, mas não dava nenhuma prova. Generalizou a parábola e a hipérbole.
y
x
y
x
Parábola: = ( )2 para ( )n = ( )m .
a
b
a
b
y
b
y n
b m
Hipérbole: : = para ( ) = ( ) .
a
x
a
x
y
x
No curso de examinar = ( )p , Fermat calculou a soma de r p para r = 1 até r = n. Fermat
a
b
também investigou máximos e mínimos considerando quando a tangente à curva estava paralela
ao eixo − x. Ele escreveu a Descartes (1.596 - 1.650) explicando o método essencialmente como é
usado hoje, a saber, encontrando máximos, mínimos e calculando a derivada da função quando
esta era 0. De fato, por causa deste trabalho, Lagrange (1736 − 1813) declarou que ele considera
que Fermat como o inventor do cálculo.
No ano de 1637, Descartes escreveu um método importante para determinar normais em ”
La Géométrie"baseados na interseção dupla. De Beaune (1601 − 1652) estendeu estes métodos
e aplicou-os as tangentes onde a interseção dupla traduz em raízes duplas. Hudde (1628 − 1704)
descobriu um método mais simples, conhecido como a Regra de Hudde, que envolve basicamente
a derivada. O método de Descartes e a Regra de Hudde influenciaram muito a Newton (1643 −
1727).
Huygens (1629 − 1695) era crítico das provas de Cavalieri e diz que o que se necessita é
uma prova que convencesse ao menos uma prova rigorosa poderia ser construída. Huygens era
uma influência principal em Leibniz (1646 − 1716) e assim que jogou uma parte considerável
produzindo uma aproximação mais satisfatória para o cálculo.
O próximo passo principal foi provido por Torricelli
(1608 − 1647) e por Barrow Barrow (1630 − 1677). Este
último deu um método das tangentes a uma curva tangente
é determinada como o limite de uma corda com um de seus
pontos se aproximando ao outro este método, e conhecido
como o ”triângulo diferencial de Barrow” (Figura (5.4)).
Torricelli e Barrow B. consideraram o problema do movimento com velocidade variável. A derivada da distância é a
velocidade e a operação inversa faz exame da velocidade para
a distância.
Figura 5.4:
Conseqüentemente uma consciência da inversa da diferenciação começou a evoluir naturalmente e a idéia que a integral e a derivada eram inversas uma da
outra, foi familiar a Barrow B. Do fato, embora Barrow B. nunca indicasse explicitamente o teorema fundamental do cálculo, estava trabalhando com esse resultado, e Newton devia continuar
neste sentido para depois indicar explicitamente o Teorema Fundamental do Cálculo.
O trabalho de Torricelli foi continuado na Itália por Mengoli (1626 − 1686) e por Angeli
(1623 − 1697).. Newton escreveu um tratado sobre fluidos em outubro 1666. Este era um
trabalho que não foi publicado naquele tempo, mas visto por muitos matemáticos e teve influência
principal no sentido da direção que o cálculo devia seguir. Newton pensou em uma partícula
movimentando-se para fora de uma curva em um sistema de duas retas que eram as coordenadas.
150
Cálculo Vetorial e Séries
Da velocidade horizontal denotada por x0 , e da velocidade vertical denotada y 0 que, eram os
fluidos de x e y associados com o fluxo de tempo. Os fluentes ou as quantidades fluindo eram x
y0
e y. Esta notação de fluidos 0 era a tangente de f (x, y) = 0.
x
y0
Em seu tratado de 1666 Newton discute o problema inverso, dado a relação entre x e 0
x
y0
determinar y. Daqui a inclinação da tangente foi dada para cada x quando 0 = f (x) então
x
Newton resolve o problema pela antidiferenciação.
Calculou também áreas pela antidiferenciação e estes trabalhos contem a primeira indicação
desobstruída do Teorema Fundamental do Cálculo.
Newton teve problemas para publicar seu tratado matemático. Barrow B. era de algum modo
responsável por esta publicação Barrow B. tinha falido e os editores eram, cautelosos em publicar
trabalhos matemáticos. O tratado de Newton em Análises com Séries Infinitas foi escrito em
1669 e circulou somente no manuscrito.
Só foi publicado em 1711. Similarmente seu ”Métodos de Fluidos e Séries Infinitas” foi escrito
em 1671 e publicado na tradução inglesa em 1736. O original em latim não foi publicado até
muito mais tarde.
Nestes dois trabalhos Newton calculou a expansão da série para o senx e cos x e a expansão
para o que hoje é a função exponencial, embora esta função não fosse estabelecida até que Euler
(1707 − 1783) introduziu a notação atual ex .
As expansões de série para seno e para o cosseno, são chamadas agora de serie de Taylor ou
serie de Maclaurin.
O seguinte tratado matemático de Newton era “Tractatus de Quadratura Curvarum” que
escreveu em 1693 mas não foi publicado até 1704 em que o fez como um apêndice a seu “Optiks”.
Estes trabalhos contem uma outra aproximação que envolve fazer os limites. Newton diz:
no tempo em que x converge para x + o , a quantidade xn converge para (x + o)n
isto é pelo método da série infinita,
xn + n × xn−1 +
nn − n
× xn−2 + · · ·
2
Na extremidade deixa o incremento o desaparecer ”fazendo exame de limites”.
Leibniz aprendeu muito em uma excursão européia que lhe conduzisse se encontrasse com
Huygens em Paris em 1672. Encontrou-se também com Hooke (1635−1703) e Boyle (1627−1691)
em Londres em 1673 onde comprou diversos livros da matemática, incluso os trabalhos de Barrow
B. Leibniz devia ter uma correspondência longa com Barrow B., ao retornar a Paris Leibniz fez
um tratado muito fino de cálculo.
Newton considerou as variáveis que mudam com o tempo; Leibniz pensou sobre as variáveis
de x, y como seqüencias de valores variando infinitamente próximos, introduziu a notação dx e
dy
dy como diferenças entre valores sucessivos destas seqüencias. Leibniz soube que
representa
dx
a tangente, mas não o usou como uma propriedade definida.
Para Newton a integração consistiu em encontrar fluentes para um determinado fluxo, assim
o fato que a integração e a diferenciação eram inversas estava implícito. Leibniz usou a integração
151
Christian José Quintana Pinedo
como uma soma, uma maneira bastante similar á de Cavalieri. Ele também estava feliz em usar
os infinitesimais dx e dy entanto Newton usava x0 e y 0 que representavam velocidades finitas.
Naturalmente nem Leibniz nem Newton pensaram nos termos das funções, entretanto, ambos
pensaram sempre nos termos dos gráficos. Para Newton o cálculo era geométrico entanto Leibniz
levou isto para análise.
Leibniz era muito consciente sobre este achado, já que encontrar uma notação boa era da
importância fundamental e foi pensado muito sobre ela. Newton, na outra mão, escreveu mais
para ele mesmo e, conseqüentemente,
Z suja notação não foi aceita em geral.
A notação de Leibniz de d e
destacava o aspecto dos operadores que provou importante
desenvolvimentos. Já em 1675 Leibniz tinha-se estabelecido como notação
Z
y · dy =
y2
2
escritos exatamente como seria hoje. Seus resultados no cálculo integral foram publicados em
1684 e em 1686 conhecido sob o nome ”Calculus Summatorius” o nome que cálculo integral foi
sugerido por Jacob Bernoulli (1654 − 1705) em 1690.
Depois do Newton e Leibniz o desenvolvimento do cálculo foi continuado por Jacob Bernoulli
e Johann Bernoulli (1667 − 1748). Porém quando Berkeley (1685 − 1753) publicou ”Analyst”
em 1734 claramente notava-se a falta de rigor no cálculo e disputando com a lógica o leitor tinha
que fazer muito esforço para entender-lo. Maclaurin (1698 − 1746) tentou pôr o cálculo em uma
base geométrica rigorosa, mas a base realmente satisfatória para o cálculo teve que esperar pelo
trabalho de Cauchy (1789 − 1857) no 19o século.
Índice
Angeli, 149
Hudde, 149
Antiphon, 147
Huygens, 149
Arquimedes, 147
Axioma
de Arquimedes, 52, 84
Infimo, 51
Kepler, 148
de completamento, 79
Barrow Barrow, 149
Bolzano, 86
Boyle, 150
Cauchy, 88
Cavalieri, 148
L´Hospital, 142
Lagrange, 149
Leibnitz, 139
Leibniz, 149
Leucippus, 147
Limite
ao infinito, 59
Cesaro, 70
de uma seqüência, 59
Condição de Cauchy, 111
Cota
unicidade, 64
inferior, 51
Luca Valerio, 148
superior, 51
Média
Critério de confronto, 82
aritmética, 67
geométrica, 68
D’Alembert’s, 132
De Beaune, 149
Democritus, 147
Descartes, 149
Desigualdade de Bernoulli, 83
Dizimas periódicas, 102
Elementos da seqüência, 49
Espaço métrico, 66
completo, 66
Eudoxus, 147
Euler, 150
Mengoli, 149
Produto de Cauchy, 130
Propriedade de Cauchy, 112
Raabe, 122
Reagrupamento, 122
Regra de L’Hospital, 76
Riemann, 126
Roberval, 148
Série
Exaustão, 147
p, 106
absolutamente convergente, 127
Fermat, 148
alternada, 139
Fluidos, 149
condicionalmente convergente, 128
Hooke, 150
de termos positivos, 116
152
Christian José Quintana Pinedo
geométrica, 104
harmônica, 105
Série infinita, 148
Séries
infinitas, 103
Segmento
da parábola, 148
Seqüência
constante, 50
contrativa, 69
convergente, 59
crescente, 52
de Cauchy, 65
decrescente, 53
limitada, 51
monótona, 53
Serie de
Maclaurin, 150
Taylor, 150
Somatórios, 94
Stolz, 70
Subseqüência, 55
ímpar, 55
par, 55
Sucessão, 48
Supremo, 51
Telescópica, 94
Teorema
de Bolzano - Weirstrass, 86
do sanduíche, 82
Fundamental do Cálculo, 149
Torricelli, 149
Weirstrass, 86
Zeno de Elea, 147
153
154
Cálculo Vetorial e Séries
CHRISTIAN JOSÉ QUINTANA PINEDO
Christian é de nacionalidade brasileira, nasceu em
Lima - Perú, onde graduou-se como Bacharel em
Matemática Pura na Universidade Nacional Mayor de
San Marcos; realizou estudos de Mestrado e Doutorado
em Ciências Matemáticas na Universidade Federal do
Rio de Janeiro.
Atualmente é professor Adjunto IV da Universidade
Federal do Tocantins no Curso Engenharia de AlimenDecada do 80
tos.
Christian, tem trabalhos publicados na área de
equações diferenciais em derivadas parciais, história da matemática e outros; suas linhas de
pesquisa são: História da Matemática, Filosofia da Matemática, Epistemologia da Matemática
e Equações Diferenciais em Derivadas Parciais.
155
Christian José Quintana Pinedo
DO MESMO AUTOR
Livros
Páginas
•
Introdução as Estruturas Algébricas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230
•
Fundamentos da Matemática.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254
•
Cálculo Diferencial em R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312
•
Introdução as Equações Diferenciais Ordinárias (em edição). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
Notas de Aula
No 01
Estruturação para o ensino da Matemática - Pró-Ciências - Vol 1 - 1999. . . . . . . . . 140
No 02
Estruturação para o ensino da Matemática - Pró-Ciências - Vol 2 - 1999. . . . . . . . . 236
No 03
Estruturação para o ensino da Matemática.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
No 04
Matemática Aplicada (à economia). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
No 05
História da Matemática I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
No 06
Epistemologia da Matemática I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
No 07
Epistemologia da Matemática II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
No 08
Tópicos de Cálculo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
No 09
Elementos de Cálculo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
No 10
Integração e Funções de Várias Variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
No 11
Cálculo Vetorial e Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
No 15
Complemento da Matemática I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
No 16
Suplemento de Cálculo I - Vol 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
No 18
Suplemento de Cálculo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
No 19
Elementos de Cálculo III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
No 20
Manual do Estudante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
No 21
Introdução à Análise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
No 22
Suplemento de Análise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
No 23
Cálculo em Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
No 25
Matemática II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
No 26
Transformada de: Fourier, Laplace e de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200