1 Matrizes e Sistemas Lineares

Exercı́cios - Álgebra Linear
1
Matrizes e Sistemas Lineares


1 3 0
1. Seja A =  −1 0 0 . Encontre B 6= 0 tal que AB = 0.
1 1 0


4 4
10
2. Seja A =  −8 11 0 . Calcule AA0 e A0 A onde A0 é a matriz transposta de A.
1 7
3

0
3. Seja A =  0
1

1
0 . Encontre B tal que AB = I3 .
0
0
1
0

x
1
0



0
1
y  e B =  1 . Encontre x e y de modo que AB = B.
1
1

x
1
0



1
z
y  e B =  1 . Encontre valores para x, y e z de modo que AB = B.
1
1

4
1
0



2
1 2 1
3  e B =  1 2 0 . Encontre uma matriz C de modo que −2A + C = 23 B.
1
−3 3 4
1
4. Sejam A =  0
0
1
5. Sejam A =  z
0
1
6. Sejam A =  1
1
7. Considerando a figura abaixo construa uma matriz A = [aij ], onde aij = 1 significa que existe uma seta saindo de
Ai e chegando em Aj , caso contrário escreva aij = 0.
AO 1
~
A3
/ A2
/ A5
> O
/ A4
(/
A6
Agora, considerando C = [cij ] onde C = A2 , calcule o elemento c15 .
8. Considere a média aritmética M (x, y, z) =
subconjuntos de R3 tal que:
x+y+z
3
e a média com pesos Mp (x, y, z) =
a) M (x, y, z) = Mp (x, y, z).
b) M (x, y, z) = 0 e Mp (x, y, z) = 0.
c) M (x, y, z) ≥ 5 e Mp (x, y, z) ≥ 5.
9. Determine os valores de k tal que o seguinte
(i) uma única solução
(ii) nenhuma solução
(iii) infinitas soluções

 x
2x

x
sistema nas incógnitas x, y, z tenha:
+ y
+ 3y
+ ky
− z=
1
+ kz = 3
+ 3z = 2
x+2y+3z
.
6
Descreva os
10. Quais a condições devem ser impostas em a 6=
solução?

 x +
2x +

x −
0, b e c para que o seguinte sistema nas incógnitas x, y, z tenha
− 3z =
− 11z =
+ 7z =
2y
6y
2y
a
b
c
11.Um copo cheio de café pesa 250 gramas. O mesmo copo com a metade de café pesa 200 gramas. Neste caso, qual
é o peso do copo?
12. Um copo cheio de café pesa 250 gramas. O mesmo copo cheio de leite pesa 300 gramas. O mesmo copo com a
metade de café e a metade de leite pesa 275 gramas. Neste caso é possı́vel determinar o peso do copo? Explique!
13. Encontre uma matriz A, 2 × 2 com cada elemento da diagonal principal igual a zero, tal que A2 = I.
14. Encontre uma matriz A, 2 × 2 com cada elemento da diagonal principal igual a zero, tal que A2 = −I.
15. Encontre uma matriz A, 2 × 2 tal que A 6= 0 e A 6= I, mas onde A2 = A.
16. Encontre uma matriz A, 2 × 2 com cada elemento da diagonal principal igual a zero, tal que A2 = I.
17. Seja A =
a
c
b
d
. Mostre que A2 = (a + d)A − (ad − bc)I, onde I é a matriz identidade.
18. Ache a curva de forma y = Ax +
B
que passa pelos pontos (1, 5) e (2, 4).
x
19. Ache a reta y = Ax + B que passa pelos pontos (1, −1) e (2, 4).
20. Ache a curva de forma y = Ax +
B
C
+ 2 que passa pelos pontos (1, 2), (2, 20) e (4, 41).
x
x
21. Resolva os sistemas lineares abaixo:

 x − 2y + 2z = 3
3x + z = −1
a)
.

x − y + 2z = 2

 5x + 2y − 2z = 1
x + 5y − 3z = −2 .
b)

5x − 3y + 4z = 2
3x − y − 5z = 3
c)
.
4x − 4y − 3z = −4

 2x − 5y = −3
4x + 3y = 3 .
d)

−2x + y = 2
2x + 3y − 5z = 1
e)
.
3y + 2z = −1
2
22. Calcule determinante e a matriz inversa de cada uma das matrizes abaixo.


−2
2 −4
0
1 .
a)  3
1 −2
2


−5 −2
2
5 −3 .
b)  1
5 −3
4


3 5
2
c)  −2 3 −4 .
−5 0 −5


−4
1
5
4
5 .
d)  −2
−3 −3 −1


−3 −2
3
3
2 .
e)  0
2
3 −5
23. Considerando a figura abaixo construa uma matriz A = [aij ], onde aij = 1 significa que existe uma seta saindo
de Ai e chegando em Aj , caso contrário escreva aij = 0.
/ A2
AO 1
A3
~
Agora, calcule A3 e A−1 .
24. Considerando a figura abaixo construa uma matriz A = [aij ], onde aij = 1 significa que existe uma seta saindo
de Ai e chegando em Aj , caso contrário escreva aij = 0.
AO 1
A6 o
/ A2
A5 o
/ A3
A4
Agora, calcule A5 e A−1 .
25. Sejam a1 , a2 , . . . , a9 nove termos de uma progressão

a1
A =  a4
a7
aritmética de razão r. Mostre que o determinante da matriz

a2 a3
a5 a6 
a8 a9
é igual a 0.
3