Um estudo sobre a matriz de Insumo-Produto

IV Encuentro Internacional de Economia Politica y Derechos Humanos
Centro de Estudios Econômicos y Monitoreo de las Politicas Públicas
Universidad Popular Madres de Plaza de Mayo - Buenos Aires - Argentina
9 al 11 septiembre 2010
Um estudo sobre a matriz de Insumo-Produto
Jefferson Aurélio Schmitz†, Matheus Giacomel Viero‡ & Adriano De Cezaro§
Resumo
Uma ferramenta macro-econômica de mensuração de fluxos de bens e serviços, produzidos
em cada setor da economia, destinados a servir de insumos a outros setores e para atender a
demanda final é denominada matriz de insumo-produto. Esta é proveniente da metodologia
de Wassily Leontief para o sistema de contas nacionais. Neste trabalho mostramos existência
e unicidade de solução positiva para o sistema de insumo - produto para ambos os modelos:
Fechado e aberto de produção. A demonstração é baseada no estudo detalhado da Série de
Neumann associda à matriz de Leontief.
Eixo Temático: Desafios econômicos da América Latina
Forma de apresentação: Pôster
Autorizamos a publicação prévia do trabalho.
Palavras chave: Coeficientes técnicos de produção, Matriz Insumo-Produto, Existência de uma
solução positiva, Série de Neumann.
Observação: Trabalho apresentado na forma de pôster no 1o Colóquio de Matemática da Região
Sul - Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) - 22 a 30 de Abril de 2010.
†
Bacharelado em Matemática Aplicada e em Ciências Econômicas na Universidade Federal do Rio Grande FURG, Brasil, [email protected]
‡
Bacharelado em Matemática Aplicada e em Ciências Econômicas na Universidade Federal do Rio Grande FURG, Brasil, [email protected]
§
Prof. Dr. do Instituto de Matemática, Estatı́stica e Fı́sica da Universidade Federal do Rio Grande - FURG.
Av. Itália Km 8, CEP: 96201-900, Rio Grande - RS, Brasil. Fone:55 53 32935109 [email protected]
1
2
1
Introdução
O interesse humano em compreender os complexos processos que movem o sistema econônico são
seculares. Diversas teses e teorias sobre o assunto já foram elaboradas. Dentre essas, algumas foram
rejeitadas, ao passo que outras receberam aprimoramentos e são utilizadas até os dias atuais.
Em 1758 François Quesnay publicou a obra ”Tableau économique” [4, 7, 8], na qual discutiu
um modelo estatı́stico aplicado aos setores agrı́cola, industrial e de proprietários de terras, permitindo a constatação gráfica da geração e apropriação da riqueza através do produto agrı́cola. Seu
estudo evidenciava as relações de interdependência econômica existentes entre esses três setores,
apresentando os conceitos de ”fluxo circular da economia”e ”interdependência econômica”.
Em 1874 Leon Walras, na obra intitulada ”Elements d’economie politique pure” [4, 7, 8], apresentou um sistema de equações lineares integrado por parâmetros que representam a quantia de
insumos provenientes das diversas empresas que compõe o setor produtivo nescessários à produção
de uma unidade de produto final da empresa em questão. Tais parâmetros receberam a denominação de ”coeficientes de produção”. Tal método permite obter informações simultâneas sobre
os preços e bens produzidos, além de incluir equações que representam a renda, a despesa do
consumidor, os custos setoriais de produção, a oferta e demanda globais de fatores de produção e
mercadorias. Através desse processo, L. Walras pretendia determinar os pontos de equilı́brio geral
de mercado e de produção [4, 8].
As ideias de L. Walras foram amplamente utilizados e aprimorados ao longo do tempo, especialmente após a revolução russa de 1917. Nesta, a implantação do modelo socialista de economia
planificada exigia do governo russo o planejamento estratégico de toda a produção do paı́s, realizado através dos chamados ”Planos Quinquenais”[4, 7, 8]. Por outo lado, no mundo capitalista
ainda vigorava a polı́tica do liberalismo econômico (”lassez-faire”) criada por Adam Smitt que se
caracteriza pela não-intervenção do Estado na regulação dos mercados, a qual vigorou até 1929,
ano em que ocorreu uma crise de dimensões catastróficas na economia americana afetando todas
as economias do mundo, com exceção da URRS. A crise gerou descrença no sistema de capitalismo
liberal, exigindo providências por parte dos governos, especialmente dos EUA, por se tratar do
paı́s mais interessado na adesão global ao sistema capitalista [4, 7]. Para superar os problemas da
teoria de A. Smitt surge o ”New Deal”, fruto da teoria de John Maynard Keynes apresentada em
sua obra ”The general theory of employment, interest and money” [4, 7, 8], baseada em um plano
de ação econômica caracterizado pela intervenção do Estado na vida econômica, visando regular
os mercados e coibir os abusos praticados pelas grandes corporações que dominavam a economia
[7].
A regulação dos mercados exigia o amplo conhecimento dos fluxos reais e monetários de todos
os setores que compunham a economia, bem como o conhecimento do grau de importância de
cada setor dentro do sistema econômico do paı́s por parte dos formuladores de polı́ticas públicas,
gerando considerável investimento estatal em pesquisas para o desenvolvimento de métodos eficazes
de mensuração desses dados.
3
Foi em meio a essa atmosfera de interesses que, na década de 30, o economista Wassilly Leontief
desenvolve a ”Teoria Geral da Produção” [5], método composto por tabelas em formato matricial
que demonstram os graus de dependência direta e indireta de cada setor da econonia em relação
a todos os demais setores. A técnica, utilizada inicialmente de forma bastante agregada, recebeu
originalmente a denominação de ”matriz input-output”, ”matriz de insumo-produto”, ou ”matriz de dupla entrada”[5]. Graças ao desenvolvimento da computação eletrônica foi possı́vel uma
contı́nua desagregação dos setores, permitindo assim o alcance de elevado grau de detalhamento
da estrutura econômica.
Nesse trabalho demonstraremos a existência e unicidade de solução positiva para o sistema de
contas nacionais para ambos os modelos - fechado e aberto - usando conceitos de álgebra linear.
O trabalho está assim dividido: Na Seção (2) revisamos brevemente a construção da matriz de
insumo-produto. Na Seção 3 a existência de solução positiva para o modelo fechado de economia.
No Lema 1 provamos que o modelo fechado equivale a resolver um sistema linear homogêneo.
Na Seção 4 estudamos o modelo aberto de economia. Na Subseção 4.1 provamos a existência
e unicidade de solução para o sistema de Leontief. Na Subseção 4.2 provamos que a solução é
positiva. Na Seção 5 apresentamos algumas conclusões e trabalhos futuros.
2
Matrizes de Insumo - produto
Matrizes de insumo-produto são matrizes compostas por entradas não-negativas que podem ser
utilizadas para determinar as estruturas de preço de equilı́brio e de nı́vel de produção necessários
para satisfazer uma dada demanda [5]. Utilizando-se de parâmetros (coeficientes técnicos de
produção) que descrevem as inter-relações industriais é possı́vel determinar os nı́veis de produção
necessários à satisfação de metas econômicas, permitindo o planejamento e estimulação do crescimento econômico.
Por apresentar um esquema detalhado da estrutura econômica, essa ferramenta permite:
• A identificação dos setores que apresentam potenciais nı́veis de multiplicação de investimentos, gerando aumento da renda e emprego;
• Constatação dos padrões de produção que se fazem necessários em cada setor, para suprir a
demanda intermediária e final de cada setor analizado, otimizando dessa forma, os nı́veis de
produção;
• Projetar impactos sobre o mercado, causados pela implantação de polı́ticas econômicas
(subsı́dios, carga tributária, barreiras alfandegárias, etc);
• Projetar impactos ambientais e previsões de exaustão de recursos oriunda da atividade industrial;
4
• Constatação e comparação, com elevado grau de precisão, das reais condições econômicas dos
diversos paı́ses que se utilizam do método para a demonstração das contas nacionais [4, 8].
Existem diversas variações (ou adaptações) desse método, como o modelo fechado ou InputOutput e o modelo aberto (modelo de produção), que consistem em modelos estáticos [3, 4, 5, 8].
Outras formulações envolvem a teoria de sistemas de insumo-produto dinâmicos [3, 4, 5, 8]. Estas
derivam dos modelos estáticos e permitem a avaliação dos nı́veis de estoques e produção como
função do tempo. Ao longo desse estudo, nos deteremos à abordagem dos modelos estáticos.
2.1
Método de Construção da Matriz de Insumo-Produto
Nesse artigo consideraremos n setores da economia.
Denote por
C = [cij ] ,
i, j ∈ {1, 2, · · · , n}
a matriz que relaciona as quantidades de insumos provenientes do setor i e utilizadas no setor j,
em valor monetário. Seja
x = (x1 , · · · , xj , · · · , xn )T ,
j = 1, · · · , n
o vetor coluna que apresenta toda a produção do setor j, em valor monetário, distribuida entre
os n setores que compõem a economia. Desta forma, xj > 0 para todo j ∈ {1, · · · , n}. Com esta
notação, a matriz dos coeficientes técnicos é definida por
A = [aij ]
onde
aij =
cij
.
xj
(1)
Em notação matricial



A=


a11 a12
a21 a22
..
..
.
.
an1 an2
 
c11
. . . a1n
  cx211
. . . a2n   x1
. =
..
 .
. .. 
  ..
cn1
. . . ann
x1
c12
x2
c22
x2
...
...
..
.
c1n
xn
c2n
xn
cn2
x2
...
cnn
xn
..
.



.. 
.
. 
A matriz A = [aij ] também é conhecida como Matriz de Leontief [5], onde aij é a fração total da jésima indústria (setor produtivo) que é comprada pela i-ésima indústria, denominado coeficiente
técnico de produção.
3
Modelo Fechado ou Input-Output
O modelo fechado é concebido para atender as seguintes condições:
5
• O total de gastos é equivalente ao total dos recebimentos (toda a produção é completamente
consumida dentro do perı́odo analizado);
• 00 n00 setores, produzindo 00 n00 bens indexados por i = 1, 2, . . . , n, onde cada setor produz um
único e exclusivo bem;
• Setores diferentes produzem bens diferentes.
Assim, as caracterı́sticas do modelo fechado implicam que:
i)
ii)
xj > 0, ∀ j = 1, 2, ..., n (todos os preços são positivos);
aij ≥ 0, ∀ i, j = 1, 2, ..., n (todos os coeficientes técnicos são não-negativos);
iii) Não há demanda externa, e assim,
xj :=
n
X
cij
(2)
j=1
iv) Por (iii), temos que,
n
X
aij = 1 ,
j = 1, 2, . . . , n .
(3)
i=1
Logo,
Lema 1. Para o modelo fechado temos que A x = x.
Demonstração : Das equações (1) e (2) temos que:
n
X
aij xj =
j=1
n
X
cij
j=1
xj
xj =
n
X
cij = xj ,
∀j = 1, · · · n
j=1
Ou, em termos de sistema de equações lineares,
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = x1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = x2
..
..
..
.
.
.
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + . . . + ann xn = xn .
De maneira equivalente
Ax = I x
⇒
I x − Ax = 0
⇒
(I − A) x = 0 ,
(4)
6
ou seja, o modelo fechado corresponde a um sistema linear homogêneo.
O primeiro passo em nossa análise para o modelo fechado é mostrar que esse modelo admite
uma solução x não-trivial. Isso equivale a mostrar que det(I − A) = 0. Veja [1, 2].
Lema 2. Para o modelo fechado
det(I − A) = 0
(5)
Demonstração : De (iv), temos que
ai2 = 1 −
n
X
aij
para i = 1, · · · , n
(6)
j=1 j6=2
Isolando a primeira coluna de (I − A) e substituindo em (6), temos:
−(1 − a11 − a13 − · · · − a1n ) − a13 · · · − a1n = −1 + a11
..
.
(7)
−(1 − an1 − an3 − · · · − ann ) − an3 · · · 1 − ann = an1
De (7) vemos que a soma das colunas 2, 3, ..., n é igual a menos a primeira coluna de (I − A).
Portanto os vetores coluna de (I − A) são linearmente dependentes. Logo, det(I − A) = 0. Veja
[1, 2]. 4
Modelo Aberto de Produção de Leontief
O chamado modelo aberto de produção consiste de uma aplicação do modelo fechado, complementada pela inserção do setor demanda externa. Sendo assim, a produção de determinada indústria
não será completamente utilizada como insumo do setor produtivo, ou seja, uma parcela será destinada à demanda externa. Tendo os nı́veis de preços fixados, vamos utilizar a matriz de Leontief
para determinar os nı́veis de produção necessários para satisfazer a demanda externa de todos os
produtos. Usaremos a seguinte notação:
xj = valor monetário da produção do j-ésimo setor produtivo;
yj = valor monetário da demanda externa por produtos oriundos do j-ésimo setor produtivo;
aij = valor monetário da produção da i-èsima indústria necessária à produção de uma unidade de
c
valor monetário do produto da j-èsima indústria, onde aij = xjij .
onde:
i)
xj > 0, ∀ j = 1, 2, ..., n (todos os preços são positivos);
7
aij ≥ 0, ∀ i, j = 1, 2, ..., n (todos os coeficientes técnicos são não-negativos);
ii)
Pn
iii)
i=1
aij < 1
e
Pn
j=1
aij < 1 ;
yj > 0, ∀ j = 1, 2, ..., n (valor monetário da demanda externa por produtos da j-ésima
indústria).
iv)
Para o modelo aberto temos Ax + y = x, ou seja, a soma da parcela da produção da i-ésima
indústria utilizada como insumo por cada um dos ”n” setores produtivos mais a sua demanda final
externa corresponde, obviamente, à produção total desse setor, para i = 1, 2, ..., n [3].
Em outras palavras
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn + y1 = x1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn + y2 = x2
..................
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + . . . + ann xn + yn = xn
Reescrevendo temos
(I − A)x = y .
(8)
Sendo assim, para um vetor produção fornecido, podemos facilmente calcular a parcela destinada à demanda final. Porém, nosso objetivo é encontrar as adaptações necessárias aos setores
produtivos para atender às demandas projetadas pelos planejadores de polı́ticas econômicas.
4.1
Condições de Inversibilidade
A solução do sistema (8) para o modelo aberto levanta alguns questionamentos: Será que existe
uma única solução para (8), ou equivalentemente, I − A é inversı́vel? A solução é sempre positiva
(não é economicamente viável termos produção negativa)?
Nessa seção vamos provar que o sistema (8) possui uma única solução positiva. Para tal faremos
uso de algumas definições e teoremas conhecidos da Álgebra Linear [1, 2].
Definição 1. Dizemos que a sequência An , n ∈ N de matrizes converge para (ou se aproxima de,
ou ainda tem como limite) a matriz A = [aij ] (de mesma ordem) se os elementos das matrizes An
se aproximam dos elementos correspondentes da matriz A, isto é,
(n)
limn→∞ aij = aij para i = 1, 2, ..., r e j = 1, 2, ..., s
Neste caso usaremos a notação
limn→∞ An = A ou An → A
8
Pela definição acima, dizemos que a série de matrizes (soma de infinitas matrizes)
A1 + A2 + ... + An + An+1 + ...
tem como soma uma matriz S e escrevemos S = A1 + A2 + ... se a sequência (Bn ), n ∈ N, onde
Bn = A1 + ... + An tem como limite a matriz S, isto é,
lim Bn = S .
n→∞
Observação 1. Como o limite de uma sequência de matrizes é formado pelos limites dos elementos, certas propriedades de limites de sequências de números também são válidas para sequências
de matrizes. Por, exemplo, constantes multiplicativas podem ser colocadas fora do limite em
sequências numéricas, isto é, limn→∞ K.an = K. limn→∞ an , o mesmo valendo para matrizes. Isto
é, Q1 e Q2 são matrizes constantes, então:
lim (Q1 .An ) = Q1 .( lim An )e lim (An .Q2 ) = ( lim An ).Q2
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
, desde que sejam possı́veis as operações.
Os resultados que vêm a seguir mostram situações em que, sob certos aspectos, as sequências
de matrizes comportam-se como sequências de números. A primeira delas é que, dado um número
real ou complexo a, com |a| < 1, as potências de |a| são números cada vez mais próximos de zero,
isto é, limk→∞ |a|k = 0, e portanto limk→∞ ak = 0. Além disso, se |a| > 1,limk→∞ ak não é zero.
Se tivermos uma sequência de números que é uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e
razão a, com |a| < 1, então a soma dos termos (infinitos) desta progressão é dada por
1 + a + a2 + ... + ak + ... =
1
= (1 − a)−1 .
1−a
Estes resultados também são válidos (com certas modificações) para sequências de matrizes, como
veremos.
Teorema 3. [2, Teorema 13.2.3] Seja A uma matriz quadrada n × n. Então limk→∞ Ak = 0
(matriz nula n × n) se e somente se todos os autovalores de A têm módulo menor que 1.
Demonstração : Suponha que A seja diagonalizável. Existe uma matriz inversı́vel, Q, tal que

λ1


A = Q. 


0
..
.
0
onde os λj são os autovalores de A.

0
.. 
λ2
. 
 .Q−1 ,

...

...
λn
0
...
9
Por indução, temos que


 k
λ1 . . . 0
0
 .
..  −1
..  −1
lim  ..
. ).Q
.  .Q = Q.(k→∞
k
0 . . . λkn
. . . λn
λk1 . . .
 .
lim Ak = lim Q.  ..

k→∞
k→∞
0
Como |λj | < 1 , j = 1, · · · , n temos que limk→∞ λkj = 0. Portanto,
lim Ak = Q.0.Q−1 = 0
k→∞
Vamos mostrar agora que, se limk→∞ Ak = 0, então |λj | < 1 para j = 1, ..., n.
Suponha, por absurdo, que um dos autovalores, por exemplo o λ1 , tem módulo maior ou igual
a 1. Então, limk→∞ λk1 6= 0. Dessa forma
λk1 . . .
 .
lim Ak = Q( lim  ..

k→∞
k→∞
0

0
..  −1
. ).Q 6= 0
. . . λkn
o que contradiz o fato inicial de que limk→∞ Ak = 0. Portanto, todos os autovalores devem ter
módulo menor que 1. Teorema 4. [2, Teorema 13.2.4] Seja A uma matriz quadrada n × n. Então,limk→∞ Ak = 0 se e
somente se I − A é uma matriz inversı́vel e I + A + A2 + ... + Ak + ... = (I − A)−1 , onde I é a
matriz identidade n × n.
Demonstração : Suponha que limk→∞ Ak = 0. Pelo teorema anterior vemos que os autovetores
de A têm módulo menor que 1 e, portanto, o número 1 não é autovalor, o que implica det(A−1.I) 6=
0. Assim, I − A é inversı́vel, cuja inversa denotamos por (I − A)−1 . Note que, vale a identidade
(I + A + A2 + ... + Ak )(I − A) = I − Ak+1 .
Aplicando o limite k → ∞ de ambos os lados e utilizando a hipótese que limk→∞ Ak = 0 temos
que
lim (I + A + A2 + ... + Ak )(I − A) = I .
k→∞
Como as matrizes são quadradas, temos que
lim (I + A + A2 + ... + Ak ) = (I − A)−1 .
k→∞
Reciprocamente, suponha que limk→∞ (I + A + A2 + ... + Ak−1 ) = (I − A)−1 . Multiplicando
esta igualdade de ambos os lados por (I − A) e usando propriedades de limite (veja Observação 1)
10
temos que
lim (I + A + A2 + ... + Ak−1 )(I − A) = I .
k→∞
Portanto,
lim (I + A + A2 + · · · + Ak−1 − A − A2 − · · · − Ak ) = I .
k→∞
Consequentemente,
lim Ak = 0 .
k→∞
Reunindo os resultados dos dois teoremas anteriores obtemos:
Se A é uma matriz quadrada, então os autovalores de A têm todos módulos menor que 1 se, e
somente se, a matriz I − A é inversı́vel e vale
I + A + A2 + ... + Ak + ... = (I − A)−1 .
Teorema 5. [2, Teorema 13.2.5] Se A é uma matriz quadrada tal que ||A|| < 1, então todos os
seus autovalores têm módulo menor que 1.
Demonstração : Temos ||A2 || = ||A.A|| ≤ ||A||.||A|| ≤ ||A||2 e, indutivamente, ||Ak || ≤ ||A||k .
Como ||A|| < 1, temos
0 ≤ lim ||Ak || ≤ lim ||A||k = 0
k→∞
k→∞
ou seja, limk→∞ ||Ak || = 0 e portanto limk→∞ Ak = 0.
Pelo Teorema 4, vemos que os autovalores de A têm módulo menor que 1. O principal resultado na direção de provar que o sistema (8) possui uma única solução é o
Corolário 1. Seja A = [aij ] a matriz dos coeficientes técnicos. Então (I − A) é inversı́vel.
Consequentemente o sistema (8) possui uma única solução. Mais ainda, a inversa de (I − A) pode
ser aproximada pela série de Neumann, isto é
−1
(I − A)
= lim
k→∞
k
X
An .
n=0
Demonstração : Pela construção da matriz A é fácil ver que ||A|| < 1. Segue do Teorema 5
que limk→∞ Ak = 0. Logo, pelo Teorema 4, (I − A)−1 existe. Portanto, a solução do sistema de
Leontief (8) é única. Ainda, como ||A|| < 1, segue do Teorema 4 que (I − A)−1 pode ser calculada
pela série de Neumann. Em especial, a aproximação da inversa de (I − A)−1 pela série de Neumann tem grande importância no esforço computacional. Veja por exemplo [6].
11
4.2
Solução Positiva para o Modelo Aberto
Nessa subseção faremos a demosntração de que o sistema (8) possui solução positiva.
Teorema 6. Seja x ∈ Rn a solução do sistema (8), (que sempre existe e é única de acordo com o
Corolário 1) com aij e yj satisfazendo ii), iii) e iv) acima. Então, xj > 0, j = 1, .., n.
Demonstração: A demonstração é feita usando indução na dimensão de A.
P(1) : Seja A = [a11 ], isto é, A de dimensão 1 × 1. Por construção a11 < 1 e assim, 1 − a11 > 0.
Como por hipótese y > 0, então (1 − a11 )x = y implica x > 0.
Hipótese de Indução P(k) : Suponha que, para qualquer sistema (I − A)k×k x = y, tal que
yj > 0 para todo j = 1, · · · , k, com aij satisfazendo ii) e iii) temos xj > 0.
P(k+1) : Vamos mostrar que, se x é solução do sistema (I−A)(k+1)×(k+1) x = y com A satisfazendo
ii) e iii), então xj > 0, para j = 1, · · · , k + 1.
Suponha xj ≤ 0, para algum j ∈ {1, · · · , k + 1}. Como
yi +
k
X
aij xj = (1 − ajj )xj
(9)
j=1,j6=i
e (1 − ajj ) > 0 temos que (1 − ajj )xj < 0. Assim, da Hipótese de Indução e de iii) aplicados à
equação (9) segue que
0 ≤ yi +
k
X
aij xj = (1 − ajj )xj < 0 .
j=1,j6=i
Uma contradição. Logo xj > 0 para todo j = 1, · · · , k + 1.
5
Conclusões e Trabalhos Futuros
Nossa abordagem permite destacar os seguintes pontos: Provamos existência de soluções não negativas para ambos os modelos: Fechado e aberto. A demonstração de existência de solução é baseada
na adaptação de teoremas bem conhecidos da Álgebra Linear para o sistema de contas nacionais.
Usando indução matemática e a estrutura da matriz A provamos que a solução do sistema
linear associado ao modelo aberto é não negativa. Como subproduto de nossa abordagem (veja
Corolário 1) propomos uma forma iterativa para aproximar a inversa da matriz (I − A) utilizando
a série de Neumann. A importância de tal resultado está em reduzir o esforço computacional
empregado na inversão de matrizes.
Como trabalhos futuros pretendemos estudar de forma detalhada a estabilidade dos sistemas
para o modelo aberto. Com informações sobre a estabilidade, propor formas adequadas de distribuição dos setores econômicos no modelo.
12
Referências
[1] Anthon, H., - Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8a edição, Porto Alegre: Editora
Bookman, 2008, pg. 572.
[2] Boldrini, J. L. Álgebra Linear 3a edição, São Paulo: Editora Harbra Ltda, 1980, pg. 411.
[3] Chiang, A. C. Matemática para Economistas 2a edição, São Paulo: Editora da Universidade
de São Paulo / Makron Books Ltda, 1982, pg. 684.
[4] Filellini, A. Contabilidade Social São Paulo: Editora Atlas S.A., 1988, pg. 166.
[5] Leontief, W. A Economia do Insumo Produto-Coleção Os Economistas Tradução de Maurı́cio
Dias David, São Paulo: Editora nova Cultura, 1983, pg. XVII+226.
[6] Meyer, C., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, (SIAM), Philadelphia, (PA), 2000,
pg. xii+718.
[7] Reis Filho, D. A.-Ferreira,J.-Celeste,Z. História moderna-Século XX, 4a edição, Rio de Janeiro:
Editora Civilização Brasileira, 1989, pg. 117.
[8] Rossetti, J. P. Contabilidade Nacional-Uma Abordagem Introdutória. 3a edição, São Paulo:
Editora Atlas S.A., 1982, pg,307.