1a Lista de Exerc´ıcios de Cálculo Numérico Profa. Vanessa Rolnik

1a Lista de Exercı́cios de Cálculo Numérico
Profa . Vanessa Rolnik
Questão 1. Converta os seguintes números decimais para sua forma binária:
(a) 22
(b) 255
(c) 256
(d) 0.11
(e) 0.8125
(f) 4.609375
Questão 2. Converta os seguintes números binários para sua forma decimal:
(a) 101010
(b) 111111111
(c) 10000
(d) 0.111
(e) 0.0101
(f) 10.00011
Questão 3. Considere o sistema F( 10, 3, -4, 4) de base 10, 3 dı́gitos na mantissa, menor
expoente -4 e maior expoente 4. Represente neste sistema os números a seguir e indique o tipo
de erro quando a representação não for possı́vel.
(a) 1234.56
(b) -0.00054962
(c) 5210065
(d) -0.00000245
Questão 4. Considere o sistema de pontos flutuantes F( 2, 3, -1, 2) de base 2, 3 dı́gitos na
mantissa, menor expoente -1 e maior expoente 2. Para este sistema:
a) Quantos e quais são os exatamente representáveis positivos?
b) Transforme o menor positivo e o próximo para a base decimal. Tome um número real
no intervalo aberto formado pelo menor positivo e o próximo e mostre o que acontece com a
representação desse número no sistema de aritmética de pontos flutuantes considerado.
c) Defina as regiões de overflow e underflow, em números decimais.
Questão 5. O resultado da operação: = wz/t pode ser obtido de várias maneiras, bastando
modificar a ordem em que os cálculos são efetuados. Para determinados valores de w, z e t,
uma sequência de cálculos pode ser melhor que outra. Faça uma análise para o caso em que
w = 100, z = 3500 e t = 7. Use o sistema de representação de números é definido por: β = 10,
t = 4, m = −5 e M = 5.
1 − cos x
.
sen x
a) use o formato decimal com 6 algarismos significativos (aplique arredondamento) para calcuQuestão 6. Considere a função f (x) =
lar, usando calculadora, f (x) para x = 0, 007.
1+cos x
b) multiplique f (x) por 1+
cos x para obter uma forma de f (x) menos propensa a erros de
arredondamento. Com essa nova forma, use o formato decimal com 6 algarismos significativos
(aplique arredondamento) para calcular, usando calculadora, f (x) para x = 0, 007. Compare
com o valor obtido em (a).
Questão 7. Vimos em aula 4 efeitos numéricos: cancelamento, propagação do erro, mau
condicionamento e instabilidade numérica. Explique e dê um exemplo (diferente do da aula)
para cada efeito numérico.
Questão 8. Determinar a parábola mais próxima dos pontos (xi , yi ) para a função y = f (x)
tabelada
x
-3
-1
1
2
3
y
-1
0
1
1
-1
usando o método dos mı́nimos quadrados.
Questão 9. Um osciloscópio, um certo comportamento periódico é observado. Fazendo as
medidas obtemos a tabela:
x
0
f(x) -0.9
π
4
π
2
3π
4
π
1.5
3.1
3.0
1.1
Ajuste esses dados pelo método dos mı́nimos quadrados por uma função G(x) da famı́lia
G(x) = asenx + b cos x
Questão 10. Considere
x
2
y 94.8
5
8
10
14
17
27
31
35
44
98.7
81.3
74.9
68.7
64.0
49.3
44.0
39.1
31.6
(a) Através do teste de alinhamento, escolha umas das seguintes famı́lias de funções que
melhor ajusta estes dados: aebx , 1/(a + bx), x/(a + bx).
(b) Ajuste os dados acima à famı́lia de funções escolhida.
Questão 11. Considere as seguintes tabelas para uma mesma função:
2
Tabela 1:
0 1.1 2.6 3.4
x
f(x) -1
x
0
f(x) -1
10
13
4.5
15
24
Tabela 2:
1.1 2.6 3.4
4.5
5.8
10
24
34
13
15
(a) Deseja-se obter o polinômio interpolador para a tabela (1) e depois para a tabela (2),
de modo a fazer o menor número de operações. Qual o método ideal? Justifique.
(b) Calcule os polinômios interpoladores para as tabelas (1) e (2) usando o método escolhido
no item a).
Questão 12. Uma maneira de se calcular o valor da derivada de uma função em um ponto
x0 , quando não se conhece a expressão analı́tica da mesma, é usar uma tabela para formar
um polinômio que aproxime a função, derivar então esse polinômio e avaliar sua derivada em
x = x0 . Dada a tabela:
x
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
y
-1.52
1.51
1.49
1.47
1.44
1.42
1.39
calcule um valor aproximado para f 0 (0.50) usando polinômio de interpolação de grau 2.
Questão 13. Seja P3 (x) o polinômio interpolador para os dados (0, 0), (0, 5; y), (1, 3) e
(2, 2). Encontre y para o caso em que o coeficiente de x3 em P3 (x) é 6.
Questão 14. Escreva um algoritmo para aproximar f(x) por uma função g(x) =
usando o método dos mı́nimos quadrados. Coloque os dados de entrada e saı́da.
3
√
a + bx