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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
COORDENAÇÃO DO CURSO DE FÍSICA
Eletromagnetismo Clássico
3a Avaliação - Equação de Laplace e Método das Imagens
Prof. Dr. Marcelo Ricardo Souza Siqueira
Aluno:
Matrı́cula:
INTRUÇÕES:
a) Esta avaliação deverá ser entregue em uma semana.
b) Cada questão valerá 1,0 ponto.
c) Ao entregar esta avaliação individual, o faça imprimindo esta folha e grampeando as respostas das questões.
d) Entregue de forma organizada e com letra legı́vel. Enumere suas páginas e equações.
e) Erros como esquecer a seta do vetor, igualar vetor com escalar, divisão por vetor, entre outros, sofrerão penalizações entre
0,5 a 1,0 ponto.
Questão 1: Considere a equação de Laplace em coordenadas cartesianas
∇2 Φ(~r) =
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ
+
+
= 0.
∂x2
∂y 2
∂z 2
Usando as relações de transformação entre as coordenadas cartesianas e cilı́ndricas, x2 + y 2 = ρ2 , z = z e φ = arctg
aplique as devidas operações de derivação e demonstre que a equação de Laplace em coordenadas cilı́ndricas é
1 ∂
∂Φ
1 ∂2Φ ∂2Φ
∇2 Φ(~r) =
ρ
+ 2
+
= 0.
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂φ2
∂z 2
y
x
,
Questão 2: Partindo da definição de diferencial total, dV = ∇V · d~r, demonstre:
a) o gradiente de uma função em coordenadas esféricas, dado por
∇V (~r) =
1 ∂V
1 ∂V
∂V
r̂ +
θ̂ +
φ̂.
∂r
r ∂θ
rsenθ ∂φ
b) Aplicando o divergente do gradiente, demonstre que o Laplaciano de V (~r) em coordenadas esféricas é dado por:
1 ∂
1
∂
∂V
1
∂2V
2
2 ∂V
∇ V (~r) = 2
r
+ 2
senθ
+ 2 2
.
r ∂r
∂r
r senθ ∂θ
∂θ
r sen θ ∂φ2
Cuidado, pois em coordenadas esféricas os versores são funções de θ e φ.
Questão 3: Considere uma região do espaço com simetria retangular, em que o potencial é função apenas de uma
coordenada espacial. (a) Encontre a solução geral da equação de Laplace. (b) suponha que nesta região, digamos de 0 a L,
1
o potencial atenda as condições de contorno V (L) = 5V e V (0) = −5V. Qual é a expressão para o potencial dentro desta
região?
Questão 4: Considere uma região do espaço com simetria cilı́ndrica, em que o potencial é função apenas da coordenada
radial. (a) Encontre a solução geral da equação de Laplace. (b) suponha que nesta região V (a) = 0V e V (10a) = 1V, onde
a é o raio do cilindro. Qual é a diferença de potencial entre estes dois pontos? Qual é o trabalho para mover uma carga q
entre estes pontos?
Questão 5: Considere a equação de Laplace em coordenadas esféricas, em uma situação fı́sica em que o potencial não
depende do ângulo azimutal. Demonstre que As suas soluções possı́veis são os harmônicos zonais, dados por:
ϕn = rn Pn (θ)
ou ϕn = r−(n+1) Pn (θ).
Questão 6: Considere uma esfera condutora, de raio a, não carregada e submersa num campo elétrico inicialmente
~ 0 , que se mantém assim em regiões do espaço longe da esfera e se distorce perto desta, incidindo perpendicularmente
uniforme E
à sua superfı́cie. Considerando que o potencial na superfı́cie do condutor é dado por ϕ(a, θ) = ϕ0 : (a) Encontre a expressão
para o potencial eletrostático fora da esfera. (b) Aplique o gradiente e encontre o campo elétrico. (c) Calcule a densidade
de carga na superfı́cie da esfera. (d) Calcule a carga total da esfera. DICA: utilize os resultados da questão anterior.
Questão 7: Suponha que um dipolo puntual esteja localizado no centro de uma casca esférica condutora conectada à
terra. Determine o potencial no interior da casca. (Sugestão: Use harmônicos zonais que sejam regulares na origem para
satisfazer as condições de contorno na casca.)
Questão 8: Uma carga puntual q se localiza a uma distância d de um plano condutor de extensão infinita, conectado à
terra. Obtenha a carga total induzida no plano por integração direta da densidade superficial de carga.
Questão 9: Um dipolo p~ está orientado perpendicularmente a um plano condutor infinito e a uma distância d deste. O
plano está conectado à terra (isto é, com potencial zero). Calcule a força exercida pelo dipolo sobre o plano.
Questão 10: Considere a expansão multipolar, para aproximação de potenciais a grandes distâncias. Sendo p~ = q~l o
momento de dipolo, ~r a posição do ponto onde se observa o campo e r~0 a variável da fonte, faça a aproximação binomial
p
(1 + x) = 1 + px +
para o termo
1
|~
r −r~0 |
p(p − 1) 2 p(p − 1)(p − 2) 3
x +
x + ...
2!
3!
em
1
ϕ(~r) =
4π0
Z
V
ρ(r~0 )dv 0
,
|~r − r~0 |
mostrando que a expressão final assume a forma


Z
Z
Z
3 X
3


X
1
r̂
1 xi xj
1
0 0
02
0 )dv 0
~
ϕ(~r) =
ρ(r~0 )dv 0 + 2 ·
r~0 ρ(r~0 )dv 0 +
3x
x
−
δ
r
ρ(
r
.
ij
i j

4π0  r V
r
2 r5 V
V
i=1 j=1
Identifique as contribuições de monopolo, dipolo e quadrupolo elétrico.
O anti-intelectualismo tem sido uma ameaça constante
se insinuando na nossa vida polı́tica e cultural, alimentado pela falsa noção de que a democracia
significa que “a minha ignorância é tão boa quanto o seu conhecimento”. - ISAAC ASIMOV.
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