Matemática

ATENÇÃO: Escreva a resolução
COMPLETA de cada questão no espaço
a ela reservado.
Não basta escrever o resultado final: é
necessário mostrar os cálculos ou o
raciocínio utilizado.
Dados: AB = 6m AC = 1,5m CD = 4m.
a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa?
b) Supondo que a altura máxima da água na
caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros de água podem ser armazenados na caixa?
Resposta
a)
Questão 1
Uma pessoa possui a quantia de R$7.560,00
para comprar um terreno, cujo preço é de
R$15,00 por metro quadrado. Considerando
que os custos para obter a documentação do
imóvel oneram o comprador em 5% do preço
do terreno, pergunta-se:
a) Qual é o custo final de cada m2 do terreno?
b) Qual é a área máxima que a pessoa pode
adquirir com o dinheiro que ela possui?
Resposta
a) O custo final de cada m 2 do terreno é
15 ⋅ (1 + 0,05 ) = 15 ⋅ 1,05 = R$ 15,75 .
b) Com R$ 7.560,00 e o custo final do m 2 a
R$ 15,75, a área máxima que a pessoa pode
7 560
adquirir é
= 480 m 2 .
15,75
Questão 2
Uma caixa d’água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje
de uma casa, conforme mostra a figura a seguir.
Para que o volume seja máximo, a caixa d’água
cúbica deve ter a maior aresta x possível. Esse
fato ocorre quando a aresta FG do cubo estiver
contida no plano BCD, com F sobre BC. Pelo
caso AA, o triângulo CAB é semelhante ao triânFH
HB
gulo FHB e, portanto,
=
⇔
CA
AB
x
6 −x
⇔
=
⇔ x = 1,2 m.
1,5
6
b) O volume de água correspondente a uma altura de 85% da altura da caixa é igual a (1,2 m) ⋅
⋅ (1,2 m) ⋅ (0,85 ⋅ 1,2 m) = 1,4688 m 3 = 1 468,8 litros.
Questão 3
Suponha que uma tabela (incompleta) para o
cálculo do imposto de renda fosse a seguinte:
Renda em reais
%
Parcela a deduzir em
reais
≤ 1.000
isento
0
1.000 a 2.000
15
150
2.000 a 3.000
20
≥ 3.000
475
OBS. O imposto é calculado aplicando-se à renda a porcentagem correspondente e subtraindo-se desse resultado a parcela a deduzir.
matemática 2
a) Calcule os valores dos impostos a serem
pagos por dois contribuintes cujas rendas são
de R$1.000,00 e de R$2.000,00.
b) Escreva a tabela acima no caderno de respostas, completando-a com a parcela a deduzir para a faixa de R$2.000,00 a R$3.000,00 e
com a alíquota que corresponde à faixa de
renda superior a R$3.000,00.
Resposta
Admitiremos que o intervalo "m a n" corresponde
aos números pertencentes ao intervalo [m; n].
a) O contribuinte cuja renda é R$ 1.000,00 está
isento do imposto de renda, ou seja, ele não paga
imposto.
O imposto a ser pago pelo outro contribuinte,
de acordo com a segunda linha da tabela, é
15% ⋅ 2 000 − 150 = R$ 150,00.
b) Seja x a parcela a deduzir em reais quando a
renda é maior ou igual a 2 000 reais e menor ou
igual a 3 000 reais.
Como o imposto a ser pago por um contribuinte
cuja renda é R$ 2.000,00 é R$ 150,00, temos
20% ⋅ 2 000 − x = 150 ⇔ x = 250 reais.
Seja y a porcentagem correspondente a rendas
maiores ou iguais a 3 000 reais.
O imposto correspondente a uma renda de
3 000 reais é, segundo a terceira linha da tabela,
20% ⋅ 3 000 − x = 20% ⋅ 3 000 − 250 = R$ 350,00.
Logo y ⋅ 3 000 − 475 = 350 ⇔ y = 27,5%.
Desta forma, podemos completar a tabela.
Renda em reais
%
Parcela a deduzir em
reais
≤ 1.000
1.000 a 2.000
2.000 a 3.000
≥ 3.000
isento
15
20
27,5
0
150
250
475
b) Temos que mdc (a, b) = 5 e mmc (a, b) = 105 =
= 3 ⋅ 5 ⋅ 7.
Logo 5 é um fator primo que aparece em a e b. Já
3 e 7 são fatores primos que aparecem em apenas um desses números. Assim, as possibilidades
para (a, b) são (5, 3 ⋅ 5 ⋅ 7); (3 ⋅ 5 ⋅ 7, 5); (3 ⋅ 5, 5 ⋅ 7);
(5 ⋅ 7, 3 ⋅ 5), isto é, (5, 105); (105, 5); (15, 35) e
(35, 15).
Questão 5
Os pontos A e B estão, ambos, localizados na
superfície terrestre a 60o de latitude norte; o
ponto A está a 15o45’ de longitude leste e o
ponto B a 56o15’ de longitude oeste.
a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede 6.400 km, qual é o
raio do paralelo de 60o?
b) Qual é a menor distância entre os pontos A
e B, medida ao longo do paralelo de 60o? [Use
22/7 como aproximação para π]
Resposta
Questão 4
Sejam a e b dois números inteiros positivos
tais que mdc(a, b) = 5 e o mmc(a, b) = 105.
a) Qual é o valor de b se a = 35?
b) Encontre todos os valores possíveis para
(a, b).
Resposta
a) Como a e b são inteiros positivos,
ab = mdc (a, b) ⋅ mmc (a, b) ⇔ 35b = 5 ⋅ 105 ⇔
⇔ b = 15.
a) Na figura, o raio do paralelo de 60 o é igual a
PC. No triângulo retângulo OPC, de hipotenusa
1
OC, PC = OC ⋅ sen 30 o = 6 400 ⋅ = 3 200 km.
2
matemática 3
b) Temos m(ACB) = m(AC) + m(CB) = 15 o45’ +
+ 56 o15’ = 72 o . Assim, a menor distância entre os
pontos A e B, medida ao longo do paralelo de 60 o ,
é igual ao comprimento do arco ACB, dado por
72
o
o
⋅ 2 π ⋅ 3 200 ≅
1
22
⋅2 ⋅
⋅ 3 200 =
5
7
360
28 160
km ≅ 4 022,9 km.
=
7
Questão 7
Considere o conjunto
S = {n ∈ N : 20 ≤ n ≤ 500}.
a) Quantos elementos de S são múltiplos de 3
e de 7?
b) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S,
qual a probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de 3 ou de 7?
Questão 6
Resposta
As equações ( x + 1)2 + y2 = 1 e ( x − 2)2 + y2 = 4
representam duas circunferências cujos centros
estão sobre o eixo das abscissas.
a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas circunferências.
b) Encontre o valor de a ∈ R, a ≠ 0, de modo
que duas retas que passam pelo ponto (a, 0)
sejam tangentes às duas circunferências.
Resposta
a) Os elementos de S que são múltiplos de 3 e
de 7 são múltiplos de mmc (3, 7) = 21. Como
20 = 0 ⋅ 21 + 20 e 500 = 23 ⋅ 21 + 17, há
23 − 0 = 23 múltiplos positivos de 21 no conjunto S.
b) Sejam A e B os conjuntos dos múltiplos de 3 e
de 7 no conjunto S, respectivamente. O número
de múltiplos de 3 ou de 7 é n(A ∪ B) = n(A) +
+ n(B) − n(A ∩ B).
Como 20 = 6 ⋅ 3 + 2 e 500 = 166 ⋅ 3 + 2 , n(A) =
= 166 − 6 = 160. Da mesma forma, 20 = 2 ⋅ 7 +
+ 6 e 500 = 71 ⋅ 7 + 3 e, assim, n(B) = 71 − 2 =
= 69. E do item a, n(A ∩ B) = 23 . Portanto há
n(A ∪ B) = 160 + 69 − 23 = 206 múltiplos de 3
ou de 7 no conjunto S.
O número de elementos de S é
n(S) = 500 − 20 + 1 = 481.
206
Deste modo, a probabilidade pedida é
.
481
Questão 8
2
2
2
a) A circunferência (x + 1) + (y − 0) = 1 tem
centro B = (−1; 0) e raio igual a 1, enquanto a
circunferência (x − 2) 2 + (y − 0) 2 = 2 2 tem centro C = (2; 0) e raio igual a 2. Como a distância
BC entre os centros é igual a 3, que é a soma
dos raios, as circunferências são tangentes e o
único ponto de intersecção entre as duas é a
origem (0; 0).
b) Sendo AQ e AS o par de retas que passam
por A = (a; 0), a ≠ 0, tangentes às duas circunferências, respectivamente, nos pontos P e Q e nos
pontos R e S, temos ∆APB ~ ∆AQC e ∆ARB ~
~ ∆ASC.
AB
BP
BR
1
−1 − a
Assim:
=
=
⇔
=
⇔
AC
CQ
CS
2 −a
2
⇔ a = −4
Considere dois triângulos retângulos T1 e T2 ,
cada um deles com sua hipotenusa medindo
1cm. Seja α a medida de um dos ângulos
agudos de T1 e 2α a medida de um dos ângulos agudos de T2 .
a) Calcule a área de T2 para α = 22,5o.
b) Para que valores de α a área de T1 é menor
que a área de T2 ?
Resposta
matemática 4
O cateto adjacente ao ângulo de medida α em T1
mede 1 ⋅ cos α = cos α. Logo a área de T1 é, em
1 ⋅ cosα ⋅ senα sen 2 α
.
=
cm 2 ,
4
2
Analogamente, conclui-se que a área de T2 é, em
sen(2 ⋅ 2 α ) sen 4α
.
cm 2 ,
=
4
4
Devemos ter 0 < α < 90 o e 0 < 2 α < 90 o , ou seja,
0 < α < 45 o .
a) A área de T2 para α = 22,5 o é
o
sen(4 ⋅ 22,5 )
=
4
(3 90 β ) 2
α⋅
1
b) T(t) = TA +
−
1
⇔ 3 90
t
=
t
−
2
2
⇔ TA + 54 ⋅ 3 90 = TA +
⇔
3
3
1
34
⇔ −
1
t = −4 ⇔
90
⇔ t = 360 minutos = 6 horas
o
sen 90
1
= cm 2 .
4
4
b) A área de T1 é menor que a área de T2 se, e
sen 2 α sen 4α
somente se,
<
⇔
4
4
⇔ sen 2 α < 2 sen 2 α cos 2 α ⇔
1
⇔ cos 2 α > cos 60 o (∗)
⇔ cos 2 α >
2
Como 0 < 2α < 90 o e a função cos x é decrescente
=
⇔
1
α = 54
= 18
3
⇔
1
2 ⇔
1
β = −
=
3 90 β =
90
18
3
α ⋅ 3 90 β = 18
para 0 < x < 90 o , (∗) ⇔ 0 < 2α < 60 o ⇔ 0 < α < 30 o .
Questão 9
Questão 10
Considere um cubo cuja aresta mede 10cm. O
sólido cujos vértices são os centros das faces
do cubo é um octaedro regular, cujas faces
são triângulos eqüiláteros congruentes.
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular.
b) Calcule o volume do mesmo octaedro.
Resposta
O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = TA + α3βt ,
A figura a seguir representa um octaedro regular
ABCDEF inscrito num cubo, sendo M ponto médio de uma aresta do cubo:
onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus
Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é
a temperatura ambiente, suposta constante,
e α e β são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura
de −18oC. Um termômetro no corpo indicou
que ele atingiu 0oC após 90 minutos e chegou
a −16oC após 270 minutos.
a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β.
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas
 2  oC superior à temperatura ambiente.
 
 3
Resposta
a) A temperatura, em graus Celsius, do ambiente
no qual o corpo foi colocado é TA = −18.
Assim, como T(90) = 0 e T(270) = −16,
0 = −18 + α ⋅ 3 90 β
−16 = −18 + α ⋅ 3 270 β
⇔
α ⋅ 3 90 β = 18
α ⋅ (3 90 β ) 3 = 2
⇔
a) A aresta AB do octaedro regular é também hipotenusa do triângulo retângulo AMB. Logo
(AB) 2 = (AM) 2 + (BM) 2 ⇔ (AB) 2 = 5 2 + 5 2 ⇔
⇔ AB = 5 2 cm.
b) O volume do octaedro pode ser calculado pela
soma dos volumes de duas pirâmides congruentes de base quadrada BCDE e medida da altura
matemática 5
igual à metade da medida da aresta do cubo.
Assim, o volume do octaedro é:
1
500
2 ⋅
⋅ (5 2 ) 2 ⋅ 5 =
cm 3
3
3
⇔ (a + 1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (a + 4) < 0 ⇔
⇔ a 2 − 2a − 15 < 0 ⇔ −3 < a < 5 .
Observação: se 3 é raiz da equação
devemos
ter
x 2 − (a + 1) ⋅ x + a + 4 = 0 ,
3 2 − (a + 1) ⋅ 3 + a + 4 = 0 ⇔ a = 5 . Para este
valor de a, a outra raiz dessa equação é também
igual a 3, ou seja, p(x) tem três raízes reais iguais
a 3.
Questão 11
Seja a um número real e seja:
3 − x
−1
2 


p( x ) = det  0
a− x
−1 
 0
4
1 − x 

a) Para a = 1,
equação p( x ) =
b) Encontre os
equação p( x ) =
encontre todas as raízes da
0.
valores de a para os quais a
0 tem uma única raiz real.
Resposta
Questão 12
Considere a função quadrática f (x) =
= x2 + x cos α + sen α.
3π
.
2
b) Encontre os valores de α para os quais o
1
3
número complexo +
i é raiz da equação
2
2
f(x) + 1 = 0.
a) Resolva a equação f (x) = 0 para α =
Temos:
3 − x
−1
2 


p(x) = det  0
a −x
−1  =
 0
4
1 − x 

= (3 − x) ⋅ [(a − x) ⋅ (1 − x) + 4]
a) Para a = 1, p(x) = 0 ⇔
⇔ (3 − x) ⋅ [(1 − x) 2 + 4] = 0 ⇔ 3 − x = 0 ou
(1 − x) 2 = −4 ⇔ x = 3 ou1 − x = ±2i ⇔
⇔ x = 3 ou x = 1 ± 2i .
Assim, V = {3, 1 − 2i, 1 + 2 i }.
b) p(x) = 0 ⇔
⇔ (3 − x) ⋅ [(a − x) ⋅ (1 − x) + 4] = 0 ⇔
⇔ (3 − x) ⋅ [x 2 − (a + 1) ⋅ x + a + 4] = 0
Para que a equação anterior possua uma única
raiz real, essa raiz deve ser x = 3 e a equação
x 2 − (a + 1) ⋅ x + a + 4 = 0 só pode ter raízes
imaginárias, o que ocorre quando ∆ < 0 ⇔
Resposta
3π
3π
+ sen
=0 ⇔
2
2
2
2
⇔ x + x ⋅ 0 + ( −1) = 0 ⇔ x = 1 ⇔ x = ±1
V = {−1; 1}
b) f(x) + 1 = 0 ⇔ x 2 + x ⋅ cosα + senα + 1 = 0
Como essa equação possui coeficientes reais, se
1
3
1
3
z =
+
−
i é raiz, então z =
i é a
2
2
2
2
outra raiz. Portanto:
cosα
z +z = −
−cosα = 1
1
⇔
⇔
senα + 1
senα + 1 = 1
z ⋅z =
1
cosα = −1
⇔
⇔ α = (2k + 1) π; k ∈ Z
senα = 0
a) f(x) = 0 ⇔ x 2 + x ⋅ cos