Problema 03

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ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS
3.1
Problema nº 03
Fig 1 - Esquema de um redutor de fricção
A figura mostra o mecanismo de um redutor de fricção, constituído por 4 corpos de
revolução: -Um corpo 4, fixo, que é uma caixa que serve de guia e suporte a um conjunto de esferas,
de que se representa apenas uma delas, o corpo 2; Um corpo 1, por onde entra o movimento, que
contacta com as esferas ( ponto E) ; Um corpo 3, em contacto com as esferas ( ponto D ), das quais
recebe o movimento que transmite ao exterior.
No contacto das esferas com os corpos 1, 3 e 4, não há, por hipótese, escorregamento.
Sabendo que o corpo 1 tem velocidade angular constante , pretende-se determinar, em
função dessa velocidade,
a)
b)
c)
d)
e)
A velocidade angular de saída ( corpo 3 ) e o vector rotação da esfera
O vector aceleração angular dos corpos 2 e 3
A aceleração do ponto C, no movimento 2/4
A aceleração do ponto A, nesse movimento 2/4, calculada a partir da do ponto C
A aceleração do ponto A, nesse movimento 2/4, calculada a partir da velocidade de
permutação desse ponto, no movimento 2/4
f) As superfícies axóides fixa e móvel, nos movimentos 2/4, 2/3 e 1/2
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3.2
RESOLUÇÃO
a) Velocidade angular de saída ( corpo 3 ) e o vector rotação da esfera
Nos pontos de contacto da esfera com o corpo 4, porque não há escorregamento, a velocidade
no movimento 2/4 é nula. Por eles passa, por conseguinte, o eixo instantâneo de rotação desse
movimento.
Fig 2 - Definição dos eixos instantâneos de rotação
O ponto O de intersecção dos EIR dos movimentos 2/4 e 1/4 tem velocidade nula no
movimento 1/2 . O EIR do movimento 1/2 passa portanto por O e E.
O ponto O de intersecção dos EIR dos movimentos 1/2 e 1/3 tem velocidade nula no
movimento 2/3 . O EIR do movimento 2/3 passa portanto por O e D.
Conhecido o movimento do corpo 1 e atendendo à ausência de escorregamento nos pontos de
contacto com a esfera, podemos escrever
→
r
r
v E 14 = w14 × OE
(1)
→
→
r
r
w 24 × AE = w14 × OE
→
(2)
→
r
r
w 24 × AD = w 34 × OD
(3)
r
r
A equação (2) permite calcular w 24 e a equação (3) dá-nos w 34
Notemos que o centro da esfera ( C ) e o eixo de simetria de revolução dos corpos 1, 3 e 4,
permitem definir um plano meridiano da esfera, que contém sempre os pontos de contacto desta com o
exterior ( pontos A, B, D e E ). Este plano tem movimento de rotação em torno do eixo de simetria de
revolução. Vamos considerar um espaço rígido ligado a este plano, a que atribuiremos a designação de
S5.
Vai ser nesse referencial S5 que iremos projectar todos os vectores anteriormente referidos,
pelo facto de, nesse referencial, os vectores de posição terem componentes independentes do tempo.
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3.3
Fig 3 - Definição geométrica
Projectando em S5, obteremos
sendo
π

R1

w 24 cos 4   − r cos θ   0  


 
 
 
0
0
0


×
=  0 ×
 w sin π  r + r sin θ w  R 2 + r + r sin θ

  14  

 24
4 
(4)
π

R3

w 24 cos 4   + r cos β   0  


 
 
 
0
0
0


×
 =  0 ×
 w sin π  r + r sin β w  R 2 + r + r sin β

  34  

 24
4 
(5)
 R2 − R1
 R 3 − R2 
θ = a cos
 e β = a cos





r
r
w 24 = −
w 34 =
R1
w 14
( r + r sin θ) cos( π / 4) + r cos θ sin( π / 4)
R1 ( r + r sin β) cos( π / 4) − r cos β sin( π / 4)
w 14
R3 ( r + r sin θ) cos( π / 4) + r cos θ sin( π / 4)
(6)
(7)
Fig 4 - Composição de vectores rotação
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3.4
b) Vector aceleração angular dos corpos 2 e 3
Para calcular o vector aceleração angular, basta-nos derivar o vector rotação em ordem ao
tempo, relativamente ao corpo 4 (fixo).
Atendendo a que os vectores são conhecidos pela sua projecção em S5, teremos
r
r•
r
r
α 24 = ( w 24 ) / S + w54 × w 24
(8)
r
r•
r
r
α 34 = ( w 34 ) / S + w 54 × w 34
(9)
5
5
Sendo, por hipótese, constante o valor de w14, teremos
0
0  0  w 24 cos( π / 4) 

r
  
 
 

α 24 = 0 +  0  × 
0
 = w 54 w 24 cos( π / 4)
0 w   w sin( π / 4)  

0
   54   24
 

(10)
0  0   0  0
r
  
 
  
α 34 = 0 +  0  ×  0  = 0
0 w  w  0
   54   34   
(11)
r
em que w 54 resulta do cálculo da velocidade do centro da esfera, ou seja
 0   R2  w 24 cos( π / 4)  0
  
 
 

0
 × 0
 0 × 0  = 
w  R 2 + r   w sin( π / 4)   r 
  
  24
 54  
w 54 = −
r cos( π / 4)
w 24
R2
(12)
(13)
c) Aceleração do ponto C, no movimento 2/4
Como O é um ponto fixo, podemos fazer
→
→ 
r
r
r
r
a C 24 = α 24 × OC+ w 24 ×  w 24 × OC


(14)
0

  R 2  w 24 cos π / 4  w 24 cos π / 4  R2 

 
 
 
 

0
0
w 54 w 24 cos( π / 4)  ×  0  + 
 × 
 ×  0 

 R2 + r   w sin π / 4    w sin π / 4  R 2 + r 
0

 
  24
   24
 

(15)
Como o ponto C também pertence ao referencial S5, será ainda mais fácil calcular a sua
aceleração a partir do movimento 5/4. Teremos, para C, um movimento de rotação uniforme, pelo que
a sua aceleração é imediatamente conhecida e igual a
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r
a C54
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− w 254 R2


=
0



0


3.5
(16)
d) Aceleração do ponto A, no movimento 2/4, calculada a partir de C
→
→ 
r
r
r
r
r
a A 24 = a C 24 + α 24 × CA + w 24 ×  w 24 × CA


2
− w 54

R2 
0

 

r
a A 2a = 
0
 + w 54 w 24 cos( π / 4)  ×

 

0
0

 

(17)
 0 
 
 0 +
− r 
 
(18)
w 24 cos π / 4   w 24 cos π / 4  0 

 
  
0
0
+
 × 
 ×  0 
 w sin π / 4    w sin π / 4  − r 
 24
   24
  
r
a A 24
2
− w 54
R2 − w 54 w 24 r cos π / 4 − w 224 r sin π / 4. cos π / 4


=
0

2
2


w
r
4
cos
π
/
24


2
− w 24 r sin π / 4.cos π / 4 


=
0

2
2


w 24 r cos π / 4


(19)
e) Aceleração do ponto A, nesse movimento 2/4, calculada a partir da velocidade de permutação
desse ponto, no movimento 2/4
→ 
r
r
r
r
r
r
r
a A 24 = VA 24 × w 24 = v A 54 × w 24 =  w 54 × OA × w 24


  0  R 2  w 24 cos π / 4

r
   

a A 24 =   0  ×  0  × 
0
=
 w  R   w sin π / 4 
  54   2   24

(20)
 0  w 24 cos π / 4

 

0
w 54 R2 × 
=
 0   w sin π / 4 

  24

(21)
−
/ 4 cos π / 4


0


 + w 2 r cos2 π / 4 
24


f) As superfícies axóides fixa e móvel, nos movimentos 2/4, 2/3 e 1/2
 + w 54 R 2 w 24 sin π / 4 


=
0
=
− w R w cos π / 4 
54 2 24


w 224 r sin π
Atendendo ao que anteriormente foi dito acerca de o referencial S5 ser definido a partir do
plano meridiano da esfera que passa pelo eixo vertical OF, todos os eixos instantâneos de rotação são
fixos a este referencial.
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3.6
Os movimentos de permutação podem então definir-se a partir do movimento deste
referencial S5.
Assim, no movimento 2/4 , a permutação do EIR ( que contém A e B ) gerará uma superfície
cónica de eixo OE, quando observado a partir de S4 e uma outra superfície cónica de eixo OC, quando
observado de S2.
No movimento 2/3 , a permutação do EIR ( que contém O e D ) gerará uma superfície cónica
de eixo OE, quando observado a partir de S3 e uma outra superfície cónica de eixo OC, quando
observado de S2.
No movimento 1/2 , a permutação do EIR ( que contém O e E ) gerará uma superfície cónica
de eixo OE, quando observado a partir de S1 e uma outra superfície cónica de eixo OC, quando
observado de S2.
A figura 4 mostra estas superfícies axóides\
Fig 4 - Supefícies axóides nos movimentos 2/4, 2/3 e 1/2
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