Apresentação do PowerPoint

E.E. Dona Antônia Valadares
E.E. Dona Antônia Valadares
Matemática
Função Quadrática ou
Função do 2º grau
Prof: Alexsandro de Sousa
Função Quadrática

Há várias situações do dia-a-dia em que a
função quadrática está presente.
Engenharia
Arquitetura
Física
Biologia
Esporte
Indústria/ comércio
Comunicações
Natureza
No esporte
Nas comunicações
Antena de Satélite
Na arquitetura
Forno Solar - França
Murphy Center at Asphalt
Green - EUA
Ponte 25 de Abril
Ponte em betão
armado
Função quadrática
Uma função quadrática é uma função
com uma expressão algébrica do tipo
y  ax  bx  c (a  0)
2



a) y = x² + 3x + 2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y = x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y = x² - 4 ( a=1; b=0; c=-4 )
O gráfico da função quadrática é
uma parábola.
Propriedades da Parábola


É definida por um polinômio de 2º grau;
Pode possuir:




Duas raízes reais e distintas;
Duas raízes reais e iguais;
Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X).
O sinal de a fornece a informação sobre a
concavidade da função:


a < 0  concavidade para baixo;
a > 0  concavidade para cima;
Concavidade da parábola
Quando a > 0, a concavidade da
parábola é voltada para cima.
Quando a < 0, a concavidade da
parábola é voltada para baixo.
Raízes (zeros) da função do 2.º grau
Para determinar as raízes (ou zeros) da função do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c,
basta calcular os valores de x que tem imagem igual a zero.
Ou seja, devemos resolver a equação do 2º grau
E, para isso, usamos a fórmula de báskara.
x
ax2 + bx + c = 0
b  Δ
2a
Podemos estabelecer uma relação entre o discriminante ∆ e a
intersecção da parábola com o eixo x.
• Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e a parábola intercepta o
eixo x em dois pontos.
• Se ∆ = 0, a função tem duas raízes reais iguais e a parábola
intercepta o eixo x em um único ponto.
• Se ∆ < 0, a função não tem raízes reais e a parábola não intercepta o
eixo x.
Vértice da parábola
O vértice V (xv, yv) é um ponto
fundamental da parábola, o
único ponto pertencente ao
eixo de simetria.
Para determinar o vértice da parábola, fazemos o seguinte:
• Calculamos a média aritmética das raízes x’ e x’’, para
obtermos a abscissa (xv) desse vértice.
x'  x''
xv 
2
• Em seguida, substituímos xv, na função e encontramos a
ordenada do vértice yv.
Outra maneira de obter o vértice V (xv, yv) de uma parábola da
equação f(x) = ax2 + bx + c, é:
xv  
b
2a
Δ
yv  
4a
Outro ponto importante da parábola é o ponto de intersecção da
função com o eixo y.
Para determiná-lo, basta substituir x = 0 na função
(0, c )
Construção do gráfico da função do 2.º grau
Exemplo: f(x) = x
X
Y
-2 4
-1 1
0
0
1
1
2
4
2
Exemplo: f(x) = x  2 x  3
2
X
-2
-1
0
1
2
Y
5
0
-3
-4
-3
Outro método para construir o
gráfico da função quadrática
Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 6x + 8, com x e y  IR.
1º passo: determinar as raízes da função
a=1
x2 – 6x + 8 = 0
b = -6
c =8
∆ = (-6)2 – 4.1.8 = 36 -32
∆=4
x
 ( 6)  4 x'  4
2.1
x''  2
2º passo: estudo da concavidade
a = +1  concavidade para cima
3º passo: determinar o vértice da parábola
x'  x''
Vx 
2
42
Vx 
3
2
Vy = 32 – 6 . 3 + 8
Vy = 9 – 18 + 8
Vy = -1
V = (3, -1)
4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y
(quando x=0)
f(x) = x2 - 6x + 8
f(0) = 02 – 6.0 + 8
f(0) = 8
Temos então o ponto (0,8)
5º passo: esboço do gráfico
f(x) = x2 – 6x + 8
Termo
independente
Raízes da função
Vértice
Construção do gráfico da função do 2.º grau
Passo a passo
1º passo: determinar as raízes da função
2º passo: estudo da concavidade
3º passo: determinar o vértice da parábola
4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y
(quando x=0)
5º passo: esboço do gráfico
Valores das constantes
a  0  concavidade para cima
a  0  concavidade para baixo

c  valor que toca no eixo y

  0  não toca no eixo x
  0  toca em dois pontos no eixo x

  0  toca em um ponto no eixo x