LIMITE DE UMA FUNÇÃO A UMA VARIÁVEL REAL NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Intuitivamente, falar que o limite de uma função f(x), quando x tende a p, é igual a L, o qual escrevemos simbolicamente: significa que quando x se aproxima de p, tanto pela direita, quanto pela esquerda, o valor da função se aproxima de L. Observe: y f f(x) f(p) f(x) x x p x Quando x tende a p, f(x) tende a f(p): Obs: Intuitivamente, espera-se que se a função está definida em p e for continua em p, então y f(x) L f(x) p x x Quando x tende a p, f(x) tende a L: x Por outro lado, se f não é continua em p e deveria ter em p. , então L será o valor que f Veja o exemplo abaixo: Seja a função f(x) = 2x +1. Vamos atribuir valores para x proximos de 1, pela sua direita ( Valores maiores que 1 ) e pela sua esquerda ( Valores menores que 1 ), e em seguida, calcular y. x y = 2x + 1 x y = 2x + 1 1,5 4 0,5 2 1,3 3,6 0,7 2,4 1,1 3,2 0,9 2,8 1,05 3,1 0,95 2,9 1,02 3,04 0,98 2,96 1,01 3,02 0,99 2,98 y y= 2x + 1 3 0 x 1 À medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1 ( x 1 ), y tende a 3 ( y 3 ), então temos a notação: DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE: Seja um intervalo aberto I, contendo p, e seja f(x), uma função definida em I, exceto possivelmente no próprio p. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de p é igual a L, cuja notação é , se para todo > 0 dado, existir um > 0 tal que, para todo x I, temos: Tal número L, que quando existe é único, será indicado por Analise os gráficos abaixo: a) y f L+ L L- p- p P+ x f não está definida em p, mas existe L que satisfaz a propriedade: para todo > 0 dado, existe um > 0 tal que, para todo x I, b) y f(p) f L+ L L- p- p P+ x f está definida em p, mas não é continua em p. No entanto, existe L que satisfaz a propriedade acima c) y f L+ L L- p- p x P+ f é continua em p, desta maneira f(p) = L satisfaz a propriedade acima a) y f p x não existe L que satisfaz a propriedade: Vejamos, abaixo, um exemplo da definição acima: “Usando a definição acima, prove que ” De acordo com a definição acima, precisamos provar que: para todo > 0 dado, existe um > 0 tal que, sempre que Assim: Como então , de modo que existe o Exemplos: 1 )Seja a função , calcule o como x² + x – 2 = ( x – 1 ).( x + 2 ) f(x) ( x 1).( x 2) ; x 1 x 1 Podemos notar que para x 1, f(x) 3, embora para x = 1, f(x) = 2 3 . Ocorre no entanto que procuramos o comportamento da função para ( x 1 ), logo temos Comprovando: Se g : R R e g(x) = x + 2 , g(x) = ( x + 2 ) = 1 + 2 = 3 , embora g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. y f(x) 3 2 0 x 1 2 ) Calcule o Nota-se a impossibilidade de calcularmos Trocamos então x2 4 para x = 2 ( Indeterminação ). x2 x2 4 por x + 2 , possibilitando assim o cálculo quando x tende a 2. x2 3 ) Calcule o PROPRIEDADES DOS LIMITES Proposição. Se então: I) Exemplo : II) Exemplo : exitem, e c é um numero rela qualquer, = III ) Exemplo : [ f(x) . g(x) ] = f(x) . ( -x² . log x ) = g(x) -x² . log x = -10² . log 10 = -100 . 1 = - 100 IV) Exemplo : V) , n N* = Exemplo : , n * f ( x) 0 .( Se f(x) 0, n é ímpar ) VI ) Exemplo : lim x2 x3 x2 1 lim x2 x3 x2 1 2 3 2 2 1 8 4 1 11 VII ) Exemplo : VIII ) Exemplo : 8) Exemplo : Exercícios : 1 ) Calcular : a) b) lim (2 x 2 3x 4) x2 lim x 1 k ) lim t o x 2 5x 4 x 1 l ) lim t 0 25 3t 5 t (4 t ) 2 16 t c ) lim x 1 x 3 3x 2 x2 1 x0 e ) lim x 1 f) x 1 g) h) lim (cos x sen x) x0 i ) lim x2 x0 x4 1 lim o) x5 1 x 1 4 x 1 ( x 2 3x 4) x3 8 x2 4 1 x 1 x x n ) lim x 1 x 1 lim x 1 x4 1 x3 1 3 lim lim m) x3 3 x d ) lim x 2 3x 2 x2 1 lim p) h 1 q ) lim x 1 r ) lim x0 j ) lim h 1 5 h 1 h 1 x 3 3x 2 3x 1 x 1 b 2 at b ;b 0 t h 1 h 1 BIBLIOGRAFIA: FLEMMING, D.M. ; GONÇALVES, M.B. Cálculo A. São Paulo: Pearson Education, 2001 GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo vol 1. São Paulo: LTC, 2001 SIMMONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica vol1. São Paulo: Pearson Education, 1988 STEWART, J. Cálculo vol 1. São Paulo: Cengage Learning, 2009 THOMAS, G.B. Cálculo vol1, São Paulo: Addison Weslwy, 2009