Trigonometria - Walter Tadeu

VESTIBULAR: RESUMOS
PROFESSOR: WALTER TADEU
MATEMÁTICA II
TRIGONOMETRIA
Triângulo Retângulo: Diversas aplicações trigonométricas relacionam-se os comprimentos dos lados de
um triângulo recorrendo a determinadas relações dependentes de ângulos internos. Assim, apresentam-se de
seguida algumas relações trigonométricas com esse fim.
a) Seno de : É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo 
pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
sen( ) 
cateto oposto y
 .
hipotenusa
h
b) Cosseno de : É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao
ângulo  pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
cos( ) 
cateto adjacente x
 .
hipotenusa
h
c) Tangente de : É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo
cateto adjacente, ou seja,
tan( ) 
cateto oposto
y/h y h y

   .
cateto adjacente x / h h x x
Relação fundamental da trigonometria:
Ângulos notáveis: Podemos determinar
seno, cosseno e tangente de alguns
ângulos. Esses ângulos chamados de
notáveis são: 30°, 45° e 60°. A partir das
definições de seno, cosseno e tangente,
vamos determinar esses valores para os
ângulos notáveis. Considere um triângulo
equilátero de lado l e um quadrado de
lado l.
x 2  y 2  h2 
x2 y2

 1.
h2 h2
ARCOS NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CÍRCULO
Observe as semelhanças nos triângulos sombreados à esquerda e direita. As razões serão apresentadas
sempre dos lados opostos aos ângulos congruentes partindo do Triângulo OAP.
Tangente
Cotangente
Secante
Cossecante
Resumo das propriedades das principais funções trigonométricas
Seno de x: Função ímpar, positiva no 1º e 2º Quadrantes, negativa no 3º e 4º Quadrantes.




Monotonia: crescente no 1º e 4º Quadrantes, decrescente no 2º e 3º Quadrantes.
Domínio: ] –∞ , +∞ [
Imagem: [–1 ; +1]
Período: 2
Cosseno de x: Função par, positiva no 1º e 4º Quadrantes, negativa no 2º e 3º Quadrantes.




Monotonia: crescente no 3º e 4º Quadrantes, decrescente no 1º e 2º Quadrantes.
Domínio: ] –∞ , +∞ [.
Imagem: [–1 ; +1].
Período: 2
Tangente de x: Função ímpar, estritamente crescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3º
Quadrantes, negativa no 2º e 4º Quadrantes.
 Domínio: IR-{k+/2, k = 0, ±1, ±2,...}.
 Imagem: ]–∞ ,+∞[.
 Período: .
Cotangente de x: Função ímpar, estritamente decrescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3º
Quadrantes, negativa no 2º e 4º Quadrantes.
 Domínio: IR-{k, k = 0, ±1, ±2,...}.
 Imagem:] –∞ , +∞ [.
 Período: .
Secante de x: Função par , positiva no 1º e 4º Quadrantes, negativa no 2º e 3º Quadrantes. Os sinais
seguem os da função f(x) = cos x.
 Monotonia: crescente no 1º e 2º Quadrantes, decrescente no 3º e 4º Quadrantes.
 Domínio: IR-{k+/2, k = 0, ±1, ±2,...}.
 Imagem: ]–∞ , -1] U [1, +∞[ ou IR- ]-1, 1[
 Período: 2.
Cossecante de x: Função ímpar, positiva no 1º e 2º Quadrantes, negativa no 3º e 4º Quadrantes.




Monotonia: crescente no 2º e 3º Quadrantes, decrescente no 1º e 4º Quadrantes.
Domínio: IR-{k, k = 0, ±1, ±2,...}.
Imagem: ]–∞ , -1] U [1, +∞[ ou IR- ]-1, 1[
Período: 2
OBS: Uma função é par se f(-x) = f(x) e ímpar se f(-x) = - f(x).
Fórmulas de adição e subtração
Sejam OA e OB dois vetores com origem no ponto O e
extremidade no ponto A e B, respectivamente, e que fazem ângulos
 e  com o eixo dos X, respectivamente.
Os triângulos assinalados são semelhantes e temos as relações:
DE

sen  OE  DE  OE.sen
i)
 DE  sen. cos 

cos   OE  (OB  1)  OE  cos 

OB
BE

sen 
 (OB  1)  BE  sen

OB
ii) 
 BF  sen. cos 

cos   OD  BF  BF  BE. cos 

OE BE

BC

 (OB  1)  BC  sen(  )
sen(  ) 
 sen(  )  sen. cos   sen. cos 
OB
BC  BF  FC  (FC  DE)  BC  BF  DE
iii) 
Para calcular o seno da diferença, basta utilizar o fato que: sen(  )   sen e cos(   )  cos  .
Temos: sen(  )  sen(  ( ))  sen. cos( )  sen( ). cos   sen. cos   sen(). cos  .
Para calcular a fórmula para o cosseno da soma, observamos na figura que:
OD  OE. cos 
 OD  cos . cos 
OE  OB cos   (OB  1)  OE  cos 
i) 
FE
CD

sen 
 (CD  FE) 
 sen  CD  BE.sen

ii) 
 CD  sen.sen .
BE
BE
BE  sen

OC
cos(  ) 
 (OB  1)  OC  cos(  )
Logo, 
 cos(  )  cos . cos   sen.sen .
OB


OC  OD  CD  (CD  FE)  OC  OD  FE
Temos: cos(  )  cos(  ( ))  cos . cos( )  sen( ).sen  cos . cos   sen.sen .
Para o cálculo de tg(  
 ) dividindo sen (   ) e cos(   ) por (cos  . cos  ) :
sen. cos  sen. cos 

tg   tg  .
sen

.
cos


sen

.
cos

cos
. cos  cos . cos 
i) tg(   ) 


cos . cos   sen.sen cos . cos  sen.sen 1  tg   tg 

cos . cos  cos . cos 
sen. cos  sen. cos 

ii) tg(   )  sen. cos   sen. cos   cos . cos  cos . cos   tg   tg  .
cos . cos   sen.sen cos . cos   sen.sen 1  tg   tg 
cos . cos  cos . cos 
iii)
Se   , tg(   )  tg( 2) 
tg   tg 
2 tg 
sen. cos   sen. cos 


.
cos . cos   sen.sen 1  tg   tg  1  tg 2 
OUTRAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
Fórmulas de duplicação
Fórmulas de bissecção
sen2  2sen.cos 
sen( / 2)  
cos 2  cos 2   sen 2 
cos( / 2)  
tg(2) 
1  cos 
2
1  cos 
2
1  cos 
tg( / 2)  
1  cos 
2  tg 
1  tg 2 
Fórmulas de transformação
  
 
 
  
sen  sen  2  sen
  cos
 sen  sen  2  sen
  cos

 2 
 2 
 2 
 2 
  
 
  
 
cos   cos   2  cos
  cos
 cos   cos   2  sen
  sen

 2 
 2 
 2 
 2 
tan   tan  
sen(  )
cos   cos 
tan   tan  
sen(  )
cos   cos 
Exercícios Resolvidos
1) Simplifique a expressão: cos(x + y).cos y + sen(x + y).sen y
Solução. Desenvolvendo as operações de acordo com as relações fundamentais e simplificando, temos:
cos( x  y ) cos y  sen( x  y )seny  cos x cos y  senxseny . cos y  senx cos y  seny cos x .seny 
 cos x cos 2 y  senxseny cos y  senx cos yseny  sen 2 y cos x  cos x(cos 2 y  sen 2 y )  cos x.
.
 cos( x  y ) cos y  sen( x  y )seny  cos x
2) Calcule o valor: a) cos 105º
b) tg 75º
Solução. Aplicando as fórmulas da soma e diferenças de arcos, temos:
a) cos(105º )  cos(60º 45º )  cos 60º cos 45º sen60º sen45º 
b) tg(75º )  tg(30º 45º )  tg30º  tg45º 
1  tg30º.tg45º
1 2
3 2
.

.

2 2
2 2
2 6
.
4
3
3 3
1
3
3 . 3  3   9  6 3  3  3  2 .

93
 3
3  3  3  3 
.(1)
1  

3
 3 
3) Sendo senx = 4/5 e cosy = 12/13, em 0  x  /2 e 0  y  /2, determine: a) sen (x + y) b) tg (x – y)
Solução. Sabendo que sen2x + cos2x = 1, calculamos as raízes positivas de cosx e seny.
i)
cos x  1  sen 2 x  1 
16

25
9
3

25 5
a) sen ( x  y )  senx cos y  seny cos x 
ii)
seny  1  cos 2 y  1 
4 12 5 3 48  15 63
.  . 

.
5 13 13 5
65
65
33
sen
(
x

y
)
33 65 33 .
b) tg( x  y ) 
 65 
.

cos( x  y ) 56 65 56 56
65
144
25
5

 .
169
169 13