Análise Matemática I Cálculo Integral Exercícios Propostos

Instituto Politécnico de Tomar  Escola Superior de Tecnologia de Abrantes
Área Intradepartamental de Matemática
Análise Matemática I
Cálculo Integral  Exercícios Propostos
1. Calcule os seguintes integrais indefinidos
1.1. (
(
.B
B$
1.2. ( Ð&  #B$ Ñ .B
1.3. ( B$ Ð$  B% Ñ& .B
1.4. (
1.5. ( $=/8)B .B
1.6. (
1.7. (
1.8. ( ?Þ(
1.9. (
B  +<--9=B
.B
È "  B#
1.11. (
"  =/8B
.B
-9=B
"
.>
>$
1.13. ( />1B =/- # B .B
/>
È#  /#>
.>
68B
.B
B
ˆ?# ‰
.?
1.10. (
"
=/8Ð68BÑ .B
B
1.12. (
-9=#B
.B
%  =/8# #B
1.14. (
"
.B
È
B %B#  $
1.15. ' =/8$ BÞ-9=a  Bb .B
1.16. ( È"  $B .B
1.17. (
1.18. (
1.19. (
"
"
-9=
.>
È >$
È> 
"
/C
.C
C#
1.21. ( #B =/82a#B b .B
1.20. (
1.22. (
B
=/8# a"
 B# b
.B
"
.C
$
È
$C 68# C
=/8Ð @# Ñ
.@
$
È
-9=Ð @# Ñ
2. Calcule os seguintes integrais utilizando a fórmula de integração por partes:
2.1. ( $BÈ"  B .B
2.2. ( +<-=/8B .B
2.3. ( C# 68C .C
2.4. ( B# /B .B
2.5. ( /B =/8B .B
Análise Matemática I
2004/2005
2.6. ( aB68Bb# .B
Cálculo Integral /1
2.7. (
B
.B
-9=# B
2.8. ( >$ /Ð> Ñ .>
2.9. (
68B
.B
ÈB
2.10. (
2.11. (
#
"
68a68Bb .B
B
B#
.B
ÐB#  "Ñ#
+<-=/8È?
.?
È"  ?
2.12. (
3. Calcule os seguintes integrais de funções trigonométricas:
3.1. ( -9=# $B .B
3.2. ( -9=& ? .?
3.3. ( =/8% C .C
3.4. ( =/8# B-9=# B .B
3.5. (
3.6. ( =/8& > -9=% > .>
"
.B
=/8% B
3.7. ( >1& B .B
3.8. ( =/8Ð  $BÑ-9=(B .B
3.9. ( =/8"! B-9=$ B .B
3.10. ( -9>1% C .C
3.11. ( =/8Ð#BÑ =/8Ð$BÑ .B
3.12. ( =/8$ B .B
4. Calcule o integral indefinido das seguintes fracções racionais
4.1. (
"
.B
$
B B
4.2. (
#B#  B  #
.B
ÐB#  "Ñ#
4.3. (
C$  "
.C
C#  "
4.4. (
B
.B
Ð$B  "Ñ#
4.5. (
B$
.B
#
B B#
4.6. (
>'  >%  $>#  #>  $
.>
>%  $
4.7. (
?#  "
.?
?#  ?
4.8. (
B%  #B$  "
.B
ÐB#  "ÑB
4.9. (
B%  B$  "#B#  B  "
.B
B#  B  "#
4.10. (
4.11. (
B$  #B#  B  "
BaB#  "b#
Análise Matemática I
2004/2005
.B
4.12. (
B#  #B  "
aB  "b# aB#  "b
.B
?#  #?
.?
?$  $?#  %
Cálculo Integral /2
5. Calcule os seguintes integrais por substituição:
5.1. (
5.3. (
5.5. (
5.7. (
.C
5.2. (
/#%B
.B
/"#B  "
"
.B
"  =/8B
5.4. (
B# È %
ÈC#  *
"
$
È B$  # È
B%
"
a?#
"
 "b
$
.B
.?
5.9. ( BÈ*  B# .B
5.11. (
#$B
.B
%#B  "
5.6. (
5.8. (
5.10. (
"
ÈC
C"
 B#
.B
.C
"
.B
=/8B -9=B
È#?  "
$
È
#?  "  "
5.12. ( Ê
.?
B
.B
#B
6. Calcule os seguintes integrais indefinidos
6.1. (
#C  $
.C
%C$  C
6.2. (
"
.B
$
%
ÈBÐÈ
BÈ
BÑ
6.3. ( $=/8B -9=B .B
6.4. ( =/- ' ? .?
6.5. ( B 68
6.6. (
"B
.B
"B
BÈ B  "
"
.B
6.7. ( >1% B.B
6.8. (
6.9. (
6.10. ( B=/8B-9=B .B
6.11. (
>#  "
.>
>$ a>  #b
#&$C
.C
&#C  $
-9= #B
.B
=/8& #B
6.12. ( #@ -9=@ .@
6.13. (
"
.B
B=/8# Ð68BÑ
6.14. ( =/8$ ? -9=$ ? .?
6.15. (
B$
.B
B)  *
6.16. ( .B
6.17. ( -9=> 68a=/8>b .>
6.18. (
B$  &B
.B
B#  #B  $
7. Determine a primitiva J ÐBÑ da função 0 ÐBÑ œ 68#B que satisfaz a condição suplementar
/
J Š ‹ œ $Þ
#
Análise Matemática I
2004/2005
Cálculo Integral /3
8. Um foguete de ensaios atmosféricos é lançado verticalmente a partir do solo. O foguete
tem combustível no motor de tal modo que este funcione, exactamente, durante 2 minutos.
Na sua trajectória o foguete é acelarado a %7Î=# Þ
8.1. A que altura está o foguete um minuto depois de ser lançado? Nesse instante, a
que velocidade está a subir?
8.2. Quando o motor parar, a que altura se encontrará o foguete?
8.3. Qual a velocidade máxima atingida pelo foguete?
9. A acelaração, no instante >, de uma partícula em movimento rectilíneo é =/8# > -9=> 7Î=# Þ
No instante inicial Ð> œ !Ñ a partícula encontra-se na origem e a sua velocidade é "!7Î=Þ
Determine a sua posição no instante >.
10. Determine a função real de variável real, 0 ÐBÑ, tal que
B
1
w
0 w ÐBÑ œ
ß 0 w ÐÈ$Ñ œ % e 0 Ð#Ñ œ Þ
#
Éa%  B# b$
2ª Frequência  22Jan/2002
11. Determine a função 2ÐBÑ que verifica as seguintes condições
"
3Ñ 2w ÐBÑ œ %B/%B
33Ñ 2Ð!Ñ œ
%
2º mini-teste  8/Jan/2003
12. Considere a função 0 ÐBÑ œ /B Þ
Determine a função 2ÐBÑ tal que 2w ÐBÑ œ
0 ÐBÑ
%  0 Ð#BÑ
e
2Ð68#Ñ œ
$
1Þ
)
Exame  24/Fev/2003
13. Calcule os seguintes integrais
B
13.1. ( -9=$ Š ‹ .B
#
13.2. (
#  ÈB
.B
ÈB$ ˆ"  ÈB‰
Exame de Recurso  12/Set/2003
Análise Matemática I
2004/2005
Cálculo Integral /4
14. Calcule os seguintes integrais definidos
$
14.1. ( ÐÈ#B  È
B Ñ .B
14.2. (
B *
14.3. (
.B
$
" *B  B
14.4. ( -9=# ! .!
14.5. (
"
.B
B68B
14.6. (
B=/8B .B
14.8. (
)
!
&
14.7. (
/
/
1
#
 1#
!
"
.D
"D
1
%
%
#
"
!
#  #C  C#
14.9. (
.C
#
# aC  "ba%  C b
%
"
!
"
.B
/B  /#B
"
#
"
.B
B$
14.10. ( -9>1$ B .B
1
#
1
'
68ÈB .B
14.11. ( -9=# B =/8$ B .B
14.12. (
14.13. (
14.14. ( BÐB#  $Ñ% .B
1
1
#
14.15. (
'
$
1
#
!
B#
ÈB  #
/#
"
#
.B
"
14.16. ( B/#B .B
"
"
.>
#  -9=>
!
15. Uma particula move-se sobre uma recta coordenada com uma acelaração, no instante >,
>
de / # -7Î=# Þ No instante inicial Ð> œ !Ñ a sua velocidade é de ' -7Î=Þ Calcule a distância
percorrida pela partícula nos primeiros % segundos.
17. Calcule os seguintes integrais
17.1. (
B$
aB#  "b#
17.2. (
.B
18. Sabendo que 1w ÐBÑ œ
È# È
"
#  B#
.B
B#
Exame de Recurso  10/Set/2002
#B  "
, determine o valor de 1Ð"Ñ  1Ð!ÑÞ
È %  B#
2ª Frequência  27/Jan/2003
19. Calcule a medida da área da região plana limitada
19.1. pelas parábolas C œ 'B  B# e C œ B#  #BÞ
19.2. pelas rectas C œ $Bß C œ B e B  C œ %Þ
Análise Matemática I
2004/2005
Cálculo Integral /5
19.3. pelo gráfico de BC œ " e pelas rectas C œ
"
e #C  B œ "Þ
#
19.4. pelos gráficos das equações C œ B#  % e C œ #  l Bl.
19.5. pelos gráficos das equações C œ /B ß C œ ÈBß B œ ! e B œ "Þ
19.6. pelos gráficos das equações C œ =/8Bß C œ -9=Bß B œ 
1
1
eBœ Þ
#
'
19.7. pelos gráficos das equações C œ B$ e B œ C# .
19.8. pelo eixo das abcissas e pelos gráficos de C œ 691# B e C œ  B  $Þ
19.9. pelos gráficos de C œ 68Bß B œ / e C œ !Þ
19.10. pela parábola C# œ %B e pela recta C œ #B  %Þ
20. Determine a medida da área da superfície comum aos círculos B#  C# œ % e
B#  C# œ %BÞ
21. Calcule a medida da área da região plana situada no primeiro quadrante e limitada pelo
eixo das abcissas e pelos gráficos das equações B œ C# e B  #C œ )Þ
2ª Frequência  22/Jan/2002
22. Determine a medida da área do triângulo com vértices nos pontos S œ a!ß !bß E œ a$ß $b
e F œ a%ß #b.
2ª Frequência  27/Jan/2003
23. Calcule a medida da área da região limitada pelos gráficos das equações C œ
"
ß
B
C œ B# ß B œ ! e C œ #Þ
Exame  24/Fev/2003
24. Calcule e interprete geometricamente o valor (
/
"
"
a"  68Bb# .BÞ
B
Exame de Recurso  12/Set/2003
25. A região plana limitada pelos gráficos das equações B œ %ß C œ ÈB e C œ !, roda em
torno do eixo dos BB. Determine a medida do volume do sólido gerado.
Análise Matemática I
2004/2005
Cálculo Integral /6
26. Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos CC da região
"
plana do 1º quadrante limitada pelos gráficos de B œ $  C# ß C œ B e C œ !Þ
#
27. A região plana limitada pelos gráficos das equações C œ Bß C œ #B e C œ # roda em torno
do eixo dos BB. Determine a medida do volume do sólido gerado.
28. Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos BB da região
sob o gráfico de C œ =/8Bß B œ ! e B œ 1Þ
29. A região plana limitada pelos gráficos de C œ /B ß C œ !ß B œ ! e B œ " gira em torno do
eixo dos CC. Determine o volume do sólido gerado.
30. A figura delimitada pela curva C œ B/B e pelas rectas C œ !ß B œ " roda em torno do eixo
das abcissas. Determine o volume do sólido de revolução gerado.
31. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da figura limitada pela curva
C œ "  B$ e pelas rectas B œ !ß B œ " e C œ !ß em torno do eixo
31.1. dos BB
31.2. dos CC
32. Determine o volume do toro gerado pela rotação do círculo B#  aC  #b# œ " em torno
do eixo
32.1. das ordenadas
32.2. das abcissas
33. Utilizando diferenciais, mostre que o volume
33.1. de uma esfera de raio < é igual a Z œ
% $
1< Þ
$
33.2. de um cilindro circular recto de raio < e altura 2 é igual a Z œ 1<# 2Þ
33.3. de um cone de raio < e altura 2 é igual a Z œ
Análise Matemática I
2004/2005
" #
1< 2Þ
$
Cálculo Integral /7
34. Um depósito de vinho tem a forma de um tronco de cone. As suas dimensões interiores
são %7 de diâmetro de fundo, #7 de diâmetro em cima e $7 de altura.
Calcule a capacidade do depósito.
2ª Frequência  22/Jan/2002
35. A região do primeiro quadrante limitada por C œ #B# ß C œ B  " e B œ ! roda em torno do
eixo dos CC. Determine o volume do sólido gerado.
Exame  18/Fev/2002
36. Calcule a medida do volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos CC, da
região plana limitada pelo gráfico da equação C œ +<--9=B e pelas rectas B œ !ß C œ 1 e
C œ !Þ
2º Frequência  27/Jan/2003
37. Calcule o comprimento das linhas dadas pelas equações
#
ÉaB  #b$ à B − Ò  #ß " Ó
$
37.2. C œ +<-=/-B à B − Ò"ß È&Ó
1
37.3. C œ 68a-9=Bb à B − Ò !ß Ó
'
37.1. C œ
38. Estude a natureza dos seguintes integrais e, no caso de serem convergentes, calcule o
seu valor.
38.1. (
38.3. (
38.5. (
38.7. (
_
"
#
"
38.2. ( 68B .B
"
"
.?
?$
!
38.4. (
>$  &
.>
>#  #>  "
_
#
B# È B#  %
"
&
.B
#
.B
$
! ÐB  &Ñ
#
$?#  "
38.9. (
.?
# #
_ ? a?  "b
38.11. (
1
'
!
-9=B
.B
È=/8B
Análise Matemática I
2004/2005
_
/
"
.B
Ba"  68# Bb
38.6. (
38.8. (
_
$
B# /B .B
_
!
>/> .>
_
'
38.10. (
38.12. (
!
B#
_
"
.B
%
/C =/8C .C
!
Cálculo Integral /8
"
e o eixo
 /B
das abcissas é ilimitada. No entanto, é possível atribuir um valor à medida da sua área.
39. A região plana compreendida entre o gráfico da função contínua C œ
/B
Calcule esse valor.
Exame  18/Fev/2002
40. Mostre que, apesar de B œ ! não pertencer ao domínio da função 0 ÐBÑ œ
possível calcular o valor de ( 0 ÐBÑ.B. Interprete-o geometricamente.
"
/B
È /B  "
, é
!
Exame de Recurso  10/Set/2002
41. Indique, justificando, o valor lógico da proposição: (
/#
/
ÈB# 68B
"
.B  (
#
"
ÈB  "
"
.BÞ
2ª Frequência  27/Jan/2003
42. Calcule, se possível, o valor de (
_
"
68B
.BÞ
B#
Exame  24/Fev/2003
43. O sólido de revolução conhecido como Trombeta de Gabriel é gerado pela rotação, em
"
torno do eixo dos BB, da região situada à direita de B œ ", limitada por C œ e C œ !. Mostre
B
que, apesar da região ser ilimitada, a Trombeta de Gabriel tem um volume finito de 1
unidades cúbicas.
Exame de Recurso  12/Set/2003
Análise Matemática I
2004/2005
Cálculo Integral /9