LIMITES E CONTINUIDADE

LIMITES E CONTINUIDADE
Marina Vargas R. P. Gonçalvesa
a Departamento
1
de Matemática, Universidade Federal do Paraná, [email protected],
http:// www.estruturas.ufpr.br
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Considere a função f (x) = x2 − 1. Esta função está definida para todo x ∈ IR, isto é, qualquer que
seja o número real x0 , o valor de f (x0 ) está bem definido.
Exemplo 1.1 Seja x0 = 2, então f (x0 ) = f (2) = 22 − 1 = 3. Dizemos que a imagem de x0 = 2 é o
valor f (2) = 3.
Graficamente:
Figure 1
x2 − 1
. Esta função está definida ∀x ∈ IR − {1}. Isto
x−1
significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1.
Considere agora uma outra função g(x) =
12 − 1
0
= ???
1−1
0
Quando dividimos a por b, procuramos um número real c tal que bc resulte em a.
g(1) =
a
= c ⇔ bc = a
b
.
0
Se fizermos = x ⇔ 0 · x = 0, para qualquer valor de x ∈ IR, isto é, infinitos valores de x. Por isso
0
dizemos que há uma indeterminação no valor para o valor de x.
1
Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta
função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte pergunta:
Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos (numa vizinhança
pequena) de 1, porém diferente de 1?
A princípio, o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função em uma vizinhança
de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f , qualquer valor atribuído
a x pode determinar um valor de imagem. Mas na função g, existe o ponto x = 1 que gera a indeterminação.
Assim, vamos estudar a vizinhança de 1 para a função
x2 − 1
.
x−1
Primeiramente precisamos lembrar que podemos nos aproximar de x = 1 pelos dois lados, ou seja:
Aproximar pela Esquerda
Aproximar pela Direita
Figure 2
1.1
Tabelas de Aproximação
As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto.
Atribuindo a x valores cada vez mais próximos de 1 pela esquerda e pela direira, ou seja, menores
que 1 e depois, maiores que 1, obteremos:
x
0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999
Tabela A.
g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999
x
g(x)
2
3
1,5 1,25 1,1
2,5 2,25 2,1
1,01 1,001
2,01 2,001
1,0001
Tabela B.
2,001
Observe que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos
x suficientemente próximo de 1. Desta forma, podemos convencionar:
"O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igaul a 2".
Notação:
x2 − 1
= 2.
x→1 x − 1
lim g(x) = 2 ou lim
x→1
Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamadas de limites laterais.
• Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela
esquerda, e denotamos simbolicamente por x → 1− . Temos então que:
lim− g(x) = 2 ou lim−
x→1
x→1
x2 − 1
= 2.
x−1
• Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita,
e denotamos simbolicamente por x → 1+ . Temos então que:
lim+ g(x) = 2 ou lim+
x→1
1.2
x→1
x2 − 1
= 2.
x−1
Definição intuitiva de limite (para um caso geral)
Seja f uma função definida num intervalo I ⊂ IR contendo a, exceto possivelvente no próprio a.
Dizemos que o limite de f (x) quando x se aproxima de a é L ∈ IR, e escrevemos lim f (x) = L, se, e
x→a
somente se, os limites laterias à esquerda e à direita de a são iguais à L, isto é, lim− f (x) = lim+ f (x) =
x→a
x→a
L. Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em símbolo @ lim f (x).
x→a
Com relação a g(x) =
x2 − 1
, podemos concluir, pela definição, que:
x−1
x2 − 1
lim
=2
x→2 x − 1
porque os limites laterais
lim−
x→2
1.3
x2 − 1
x2 − 1
= lim+
=2
x→2 x − 1
x−1
Cálculo de uma indeterminação do tipo
0
0
x2 − 1
.
x→1
x−1
Observe que substituindo x por 1 na função obtemos uma indeterminação matemática.
Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer a substituição direta.
Exemplo 1.2 Determine lim g(x), onde g(x) =
• g(x) =
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
=
= x − 1, ∀x 6= 1. Então:
x−1
(x − 1)
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
= lim
= lim (x + 1) = 2
x→1 x − 1
x→1
x→1
(x − 1)
• lim g(x) = lim
x→1
Logo, chegamos a mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma
forma bem mais rápida e sistemática.
√
x−1
Exemplo 1.3 Determine lim 2
(Observe que há indeterminação matemática.)
x→1 x − 1
x3 − 8
(Observe que há indeterminação no ponto x = 2).
x→2 3x2 − 12
Exemplo 1.4 Determine lim
2x3 + 3x − 5
. Vamos resolver este limite usando Briot-Ruffini.
x→1 4x2 − 3x − 1
Exemplo 1.5 Determine lim
Teorema 1.1 (Teorema de D’Alembert).
Um polinômio f (x) é divisível por (x − a), a ∈ IR, se e somente se a é uma raiz de f (x), isto é,
f (a) = 0.
f (x) = (x − a)q(x) + r(x)
Assim, f (a) = 0 ⇔ r(a) = 0.
Como o ponto x = 1 anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveis
por (x − 1). Assim
2x3 + 3x − 5
lim 2
= lim
x→1 4x − 3x + 1
x→1
1.4
2x3 +3x−5
(x−1)
4x2 −3x−1
(x−1)
=
2x2 + 2x + 5
9
=
4x + 1
5
Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites
a) Quadrado da soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) Quadrado da diferença: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
c) Produto da soma pela diferença: (a + b)(a − b) = a2 − b2
d) Cubo da soma: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
e) Cubo da diferença: (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
√ √
√
√
f) Conjugado de a − b é a + b
√
√ √
√
√
3
3
g) Conjugado de 3 a − 3 b é a2 + 3 ab + b2
Proposição 1.1 Se lim f (x) = L1 e lim f (x) = L2 , então L1 = l2 . Se o limite de uma função num
x→→a
x→a
ponto existe, então ele é único.
1.5
Principais propriedades dos limites
Se lim f (x) e lim g(x) existem, e k ∈ IR, então:
x→a
x→a
a) lim [f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x)
x→a
x→a
x→a
b) lim kf (x) = k lim f (x)
x→a
x→a
c) lim [f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x)
x→a
x→a
d)lim
x→a
x→a
limx→a f (x)
f (x)
=
g(x)
lim g(x)
x→a
e) limx→a k = k
2
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Aplicando as propriedades, encontre os limites abaixo:
3x2 − 8
(a) lim
=
x→0 x − 2
(b) lim (3x2 − 5x + 2) =
x→2
(c) lim (x5 − 6x4 + 7) =
x→0
(d) lim (x − 1)2 (x + 1) =
x→3
x+3
=
5−x
x+1
=
lim
x→2 x + 2
x2 − 1
lim
=
x→1 x − 1
x2 − x − 6
lim 2
=
x→2 x + 3x + 2
√
x−2
lim
=
x→4 x − 4
x2 − 9
lim
=
x→3 x − 3
x2 + 4x − 5
lim
=
x→1
x2 − 1
√
x−1
lim
=
x→1 x − 1
√
x−2
lim
=
x→4 x − 4
(e) lim
x→5
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)