Sequências e Séries Numéricas

2.1 Dê exemplo de uma seqüência fan g ; não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(a) limitada e estritamente crescente;
(b) limitada e estritamente decrescente;
(c) limitada e não monótona;
(d) não limitada e não crescente;
(e) não limitada e não monótona.
n
e veri…que quantos pontos da
n+1
forma (n; an ) estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas y = 4=5 e y = 6=5:
2.2 Esboce o grá…co da seqüência de termo geral an =
2.3 Dê exemplo de uma seqüência limitada e não monótona que possui uma subseqüência
estritamente crescente.
2.4 Expresse pelo seu termo geral cada seqüência dada abaixo.
(a) 1; 1=2; 1=3; 1=4;
(b) 1=2; 1=4; 1=8; 1=16;
(c) 1; 0; 1; 0; 1;
(d) 0; 2; 0; 2; 0; 2; 0;
(e) 1; 9; 25; 49; 81;
(f) 1; 3=2; 2; 5=2; 3;
(g) 2; 1; 3=2; 1; 4=3; 1;
(h) 0; 3=2; 2=3; 5=4; 4=5;
(i) 0; 3; 2; 5; 4;
(j) 1; 10; 2; 102 ; 3; 103 ;
2.5 Classi…que as seqüências do Exercício 2.4 quanto a limitação e monotonia e selecione de
cada uma delas uma subseqüência monótona. Qual daquelas seqüências possui um subseqüência
constante?
2.6 Determine o sup e o inf das seguintes seqüências:
n2 + n ;
2n
n!
;
2
3n
4
;
1
1
n
; fln ng ;
3n2
3n2 n
; f( 2)n g :
2.7 Para que uma seqüência possua uma subseqüência constante é necessário e su…ciente que
algum termo da seqüência se repita uma in…nidade de vezes.
20
ANÁLISE NA RETA
MARIVALDO P MATOS
Nos Exercícios 2.8 a 2.13 use o Método de Indução Finita para demonstrar as sentenças.
2.8 Se n1 < n2 < n3 <
2.9 Mostre que
são números naturais, mostre que nj
1
; 8n 2 N.
2n
1 3 5 : : : (2n 1)
2 4 6 : : : (2n)
2.10 Uma seqüência fbn g é de…nida por: b1 =
bn =
j, 8j 2 N:
n
1 e bn =
1
n2
bn
1;
n
2: Mostre que
( 1)n
:
n!n
2.11 Considere a seqüência de Fibonacci : a1 = 1; a2 = 1 e an = an
Mostre que
an =
2.12 Mostre que (1 + x)n
p
1 h
p
1+ 5
2n 5
1 + nx +
n
1) x2
n (n
2
1
; x
p
5
ni
1
+ an
2;
para n
2.
:
0; 8n 2 N.
2.13 Se a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an são números reais, demonstre que as seguintes relações são válidas:
ja1 + a2 + a3 +
+ an j
ja1 j + ja2 j + ja3 j +
ja1 + a2 + a3 +
+ an j
ja1 j
ja2 j
ja3 j
+ jan j
jan j
2.14 Verdadeiro (V) ou Falso (F). Justi…car as a…rmações falsas com um contra-exemplo.
( ) toda seqüência convergente é limitada;
( ) toda seqüência limitada é convergente;
( ) toda seqüência limitada é monótona;
( ) toda seqüência monótona é convergente;
( ) a soma de duas seqüências divergentes é divergente;
( ) toda seqüência divergente é não monótona;
( ) se uma seqüência convergente possui uma in…nidade de termos nulos, seu limite é zero;
( ) toda seqüência divergente é não limitada;
( ) se uma seqüência possui uma subseqüência convergente, ela própria converge;
( ) toda seqüência alternada é divergente;
( ) toda seqüência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero;
SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
VERÃO 2009
21
( ) se uma seqüência fan g diverge, então fjan jg também diverge;
( ) se jan+1
an j ! 0; então a seqüência fan g converge;
( ) se a seqüência fjan jg converge então fan g também converge;
( ) se a seqüência fjan jg converge para zero, então fan g também converge para zero;
( ) se an
bn ; 8n; fan g crescente e fbn g convergente, então fan g converge;
( ) se fan g é convergente, então f( 1)n an g também converge;
( ) a seqüência fan g de…nida por a1 = 1 e an+1 =
nan
é convergente;
n+1
( ) a seqüência fan g de…nida por a1 = 1 e an+1 = 1
( ) se an 6= 0; 8n; e lim
n!1
an é convergente;
an+1
= l < 1, então lim an = 0;
n!1
an
( ) a seqüência an = ( 1)n + 12 cos n2 + n possui uma subseqüência convergente;
( ) se a série
P
( ) se as séries
( ) se a série
( ) se a série
an é convergente, então as séries
P
P
P
a2n e
P
P
a2n e
b2n são convergentes, então
a2n é convergente, então
P
P
a2n
1
também convergem;
an bn também converge;
an =n também converge;
an é convergente e an > 0; 8n; então
( ) se fxn g e fyn g são convergentes e xn
P
P
a2n e
P
an = (1 + an ) convergem;
yn ; a partir de um certo índice, então lim xn
lim yn:
2.15 Em cada caso, e quando possível, construa seqüências fan g ; fbn g e fcn g em R tais que
an ! 1; bn !
1; cn ! 0 e que veri…quem:
(a) an + bn ! 1
(b) an + bn !
1
(c) an + cn ! 1
(c) an cn ! 0
2.16 Usando a de…nição de limite, prove que:
1
n!1 2n
1
2
5+n
1
(d) lim
=
n!1 2 + 3n
3
(a) lim
n
=
sen n5 + n
=0
n!1
n
5
(e) lim
=0
n!1 2 + 3n
(b) lim
3n2 + 1
=3
n!1
n2
1
(f) lim 2 +
= 2:
n!1
n
(c) lim
2.17 Calcule o limite de cada seqüência dada abaixo pelo seu termo geral.
(d)
an
! 1:
cn
22
ANÁLISE NA RETA
(a)
(e)
MARIVALDO P MATOS
n 1
n+1
n2
(b) n sen
n2
n+1 n+2
p
3n n + 1
p
(i)
7 2n n
p
p
n
(m) n + 1
n
(f)
1
1+
3n
(j)
1+
(n)
n
p
2
n
(c)
ln n
en
(g)
n
en
n
n
1
(k) n n
n2 + n
(o)
2n
en
4n2 3n
n2 + 5n 6
p
n! + e2n
(h) p
5 n! en
(d)
(l)
1
+
3
4
n 3
3n+1
p
(p) n a; a > 0
2.18 Em cada caso abaixo veri…que se a seqüência dada pelo seu termo geral é convergente
ou divergente.
p
(a) n2 + 1
(d)
p
n
2n
(b) p
1
2
n +1
p
n
n2
2n 1 2n + 1
1 3 5 ::: (2n 1)
(h)
n!2n
n!
(k)
1 3 5 ::: (2n 1)
p
p
(n) 8 n2 + 1 4 n + 1
(e)
1 + 2n
n
( 1)n
(g) n +
2
n
n
(j) n
2
(m) sen (n )
n2
(c)
2n
n!
( 1)n
n
n
n
(i)
n!
n2
(l)
ln (n + 1)
(f)
(o) 1 + ( 1)n
2.19 Prove que lim (3n + 4n )1=n = 4. Generalização: lim (an + bn )1=n = max fa; bg :
n!1
n!1
2.20 Se jrj < 1, mostre que lim nrn = 0: Se r > 1, mostre que lim rn = 1: E se r <
n!1
n!1
1?
p
2a < 2. Usando este fato prove que a seqüência
r q
q
p
p
p
2; 2 2; 2 2 2; :::
2.21 Se 0 < a < 2, mostre que a <
é monótona limitada e portanto convergente. Calcule seu limite.
2.22 Seja fbn g é uma seqüência convergente, com bn 6= 0; 8n; e lim bn 6= 0: A partir da
n!1
de…nição de limite, mostre que a seqüência f1=bn g é limitada.
h
2.23 Mostre que lim sen(
n!1
i
)
sen(
)
sen(
)
:
:
:
sen(
)
= 0:
22
32
42
n2
2.24 Considere a seqüência cujos termos são de…nidos pela recorrência: a1 = 5 e an+1 =
p
an :
Estes termos podem ser gerados em uma calculadora, introduzindo-se o número 5 e pressionando-se
p
a tecla x .
SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
VERÃO 2009
23
(a) descreva o comportamento de fan g quando n aumenta;
n
(b) se convença que an = 51=2 e calcule lim an :
n!1
2.25 Em uma calculadora uma seqüência é gerada introduzindo-se um número e pressionandose a tecla 1=x . Em que condições a seqüência tem limite?
2.26 Seja fxn g uma seqüência com a seguinte propriedade: existe um número natural p tal
que xn+p = xn ; 8n: Construa uma sequência divergente com esta propriedade e mostre que a única
seqüência convergente com esta propriedade é a seqüência constante. (sug. xn+kp = xn ; 8k 2 N)
2.27 Recorde-se que um número real x é valor de aderência de uma seqüência (xn ) quando
alguma subseqüência de (xn ) convergir para x: Determine uma seqüência cujo conjunto de valores
de aderência é:
(a) A = f1; 2; 3; 4g
(b) A = N
(c) A = [0; 1] :
2.28 Sejam an : 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; : : : e bn : 1; 2; 1; 2; 3; 1; 2; 3; 4; 1; 2; 3; 4; 5; : : :. Determine:
(a) Todas as subsequências de (an ) e (bn ) convergentes;
(b) Todos os valores de aderência de (an ) e (bn ) :
2.29 Se lim xn = a e lim yn = b; com a < b; prove que existe um n0 2 N a partir do qual
xn < yn :
2.30 Suponha que um número real a não é limite de uma seqüência limitada fxn g. Mostre
que a seqüência fxn g possui uma subseqüência convergente com limite 6= a:
2.30 De…na a seqüência fxn g por: x2n = 1=n e x2n
1
=
p
n: Quantos valores de aderência a
seqüência fxn g possui? Ela é convergente?
2.32 Se lim xn = a; prove que: limn!1
2.33 Se X
x1 + x2 +
n
+ xn
= a:
R é um subconjunto não vazio, mostre que a 2 X 0 se, e somente se, existe em
Xn fag uma seqüência com limite a:
24
ANÁLISE NA RETA
MARIVALDO P MATOS
2.34 Considere duas seqüências fxn g e fyn g, sendo fxn g convergente. Se para cada " > 0
existir uma número N tal que jxn
yn j < "; 8n
N; o que se pode dizer sobre a convergência da
seqüência fyn g?
2.35 De…na por recorrência uma seqüência fxn g da seguinte maneira: …xe x1 > 1 e para n
de…na xn+1 = 2
1=xn : Mostre que a seqüência fxn g é convergente e calcule o seu limite.
2.36 Repita o exercício precedente com a seqüência: y1 = 1 e yn+1 =
2.1
1
p
2 + yn ; para n
1:
Limite superior & Limite inferior
2.37 Seja fxn g uma seqüência limitada e para cada n 2 N sejam Sn = sup fxk ; k
inf fxk ; k
ng e sn =
ng : Veri…que que as seqüências fSn g e fsn g são convergentes e que fxn g converge se, e
somente se, lim Sn = lim sn: O número real lim Sn é denominado limite superior da seqüência fxn g
e anota-se lim sup xn ou limxn : O número real lim sn é denominado limite inferior da seqüência
fxn g e anota-se lim inf xn ou limxn : Da de…nição segue diretamente que:
lim sup xn = inf sup fxk g
n k n
e
lim inf xn = sup inf fxk g :
n k n
2.38 Estabeleça as seguintes propriedades para o lim sup e lim inf.
(a) lim inf xn
lim sup xn ;
(b) se c
0, então lim sup (c xn ) = c lim sup xn e lim inf (c xn ) = c lim inf xn ;
(c) se c
0, então lim inf (c xn ) = c lim sup xn e lim sup (c xn ) = c lim inf xn ;
(d) lim inf xn + lim inf yn
(e) lim sup (xn + yn )
(f) se xn
lim inf (xn + yn ) ;
lim sup xn + lim sup yn ;
yn ; 8n; então lim inf xn
lim inf yn e lim sup xn
lim sup yn :
2.39 Com relação a uma seqüência limitada fxn g ; mostre que as seguintes a…rmações são
equivalentes:
(a) x = lim sup xn ;
(b) se " > 0; existe apenas uma quantidade …nita de números naturais n tais que x + " < xn ;
mas existe uma quantidade in…nita de índices n tais que x
" < xn ;
SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
VERÃO 2009
(c) x = inf X; onde X é o conjunto dos números reais
tais que
25
< xn ; para no máximo uma
quantidade …nita de termos xn .
2.40 Estabeleça um resultado análogo ao exercício precedente para o lim inf :
2.41 As seqüências abaixo são divergentes. Por quê? Em cada caso, calcule o lim sup e o
lim inf :
(a) an = ( 1)n
(b) bn = 1 + ( 1)n
(c) cn = ( 1)n + 1=n:
2.42 Se fxn g é uma seqüência limitada, prove que alguma subseqüência de fxn g converge para
lim sup xn . Idem para lim inf xn : Isso estabelece o seguinte resultado devido a Bolzano-Weierstrass:
Toda seqüência limitada de números reais possui uma subseqüência convergente.
2.43 Mostre que toda seqüência de Cauchy em Z permanece constante a partir de certo índice
n0 :
2.44 Se 0 < r < 1 e uma seqüência fxn g satisfaz à relação jxn+1
xn j < rn ; 8n 2 N, mostre
que fxn g é de Cauchy.
2.45 Usando a de…nição, mostre que as seqüências xn = (n + 1) =n e yn = 1 + 1=2! + 1=3!
+
1=n! são de Cauchy.
2.46 Dizemos que fxn g tende para +1; e escrevemos xn ! +1 ou lim xn = +1; se para
cada
2 R existir um número natural N ( ) tal que xn
Dizemos que fyn g tende para
1; e escrevemos yn !
existir um número natural N ( ) tal que yn
; para qualquer índice n
1 ou lim yn =
; para qualquer índice n
1; se para cada
N ( ).
2R
N ( ). Sejam fxn g e
fyn g seqüências em R+ tais que lim (xn =yn ) = L > 0: Mostre que: lim xn = +1 , lim yn = +1:
2.47 Sejam fxn g e fyn g seqüências em R+ tais que lim (xn =yn ) = 0: Mostre que:
(a) se xn ! +1, então yn ! +1
(b) se fyn g é limitada, então lim xn = 0:
2.48 Sejam t0 ; t1 ; : : : ; tp números reais tais que t0 + t1 + : : : + tp = 0. Mostre que a seqüência
p
P
(an ) de…nida por an = pk=0 tk n + k converge para zero.
26
ANÁLISE NA RETA
MARIVALDO P MATOS
2.49 Mostre que o conjunto constituído por uma seqüência convergente juntamente com o seu
limite é compacto.
2.50 Se uma seqüência monótona possui uma subseqüência convergente, prove que a seqüência
é, ela própria, convergente. O mesmo ocorre com uma seqüência de Cauchy.
2.51 Mostre que a seqüência an =
1
1
1
+
+
+
n n+1 n+2
2.52 Se an > 0; 8n, mostre que a série
o for.
1
P
+
1
é convergente.
2n
an é convergente se, e somente se, a série
n=1
2.53 Seqüências de quadrado somável. Seja l2 = fx = fxn g;
(a) Dados x; y 2 l2 e
2 R, mostre que x + y 2 l2 ;
(b) Mostre que a função ' : l2 ! R+ de…nida por: ' (x) =
goza das seguintes propriedades:
(i) ' (x)
0; 8~x e que ' (x) = 0 , x = 0;
(ii) ' ( x) = j j ' (x) ; 8 ( ; x) 2 R
(iii) ' (x + y)
l2 ;
' (y) + ' (y) ; 8x; y 2 l2 :
P1
2
n=1 xn
P1
P
an
1 + an
< 1g:
2 1=2 ;
n=1 xn
x = fxn g 2 l2 ;