PDF_VA_Aula 3_Trig. em Triâng. Quaisquer

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Técnico de Nível Médio
Subsequente em Geologia
Aula 3
Trigonometria em Triângulos Quaisquer
Professor Luciano Nóbrega
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TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Introdução
Ao longo dos tempos, o homem encontrou várias
aplicações dos conceitos relacionados à trigonometria no seu
cotidiano. A trigonometria é bastante utilizada na Astronomia e
navegação – áreas importantes para a descoberta de novos
territórios.
A trigonometria foi se
aperfeiçoando com as contribuições de
matemáticos de diferentes civilizações.
Babilônios e egípcios deram os
primeiros passos e
proporcionaram algum avanço das
idéias da trigonometria.
Alguns séculos
depois, vários sábios
ficaram conhecidos desta
época, tais como:
Tales de Mileto , Pitágoras de Samos e o
“Pai da Trigonometria”, Hiparco de Nicéia.
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Lembre-se: Vamos provar isso em outras aulas.
TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Seno e cosseno de ângulos obtusos
Precisaremos, em alguns momentos, obter os valores de
senos e cossenos de ângulos obtusos (ângulos maiores que 90º).
Aprenderemos nesse momento apenas como lidar com eles na
prática e deixaremos suas devidas demonstrações para aulas
posteriores.
Inicialmente, é necessário saber que:
sen 90º =
cos 90º =
sen x =
EXEMPLO:
sen 120º =
cos 150º =
sen 135º =
cos 135º =
cos x =
18 – Calcule o valor das expressões:
a) sen 30º – sen 150º =
b) cos 120º – cos 60º =
c) sen 135º + cos 45º – sen 45º + tg 150º =
d) (tg 120º + tg 135º – tg 150º) : (– sen 120º) =
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TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Lei dos Senos
“Em qualquer triângulo, o seno de um ângulo é proporcional
à medida do lado oposto a esse ângulo.”
19 – Determine o lado oposto
ao ângulo B do triângulo no qual se
Assim:
tem o segmento BC = 3 cm e os
ângulos, A = 30º e B= 45º.
C
b
A
a
h
B
H
c
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TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Lei dos Cossenos (Extensão do Teorema de Pitágoras)
“Em qualquer triângulo, o quadrado de um de seus lados, (a), é igual a
soma dos quadrados dos outros dois lados, (b) e (c), menos duas
vezes o produto destes lados, vezes o cosseno do ângulo oposto ao
primeiro lado”. Matematicamente: a² = b² + c² – 2 . b . c . cos Â
C
a
b
A
h
n
m
B
H
c
Portanto, a2 = b2 + c2 –2.c.b.cos A
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TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Lei dos Cossenos (Extensão do Teorema de Pitágoras)
A lei dos cossenos pode ser assim representada:
a² = b² + c² – 2 . b . c . cos Â
b² = a² + c² – 2 . a . c . cos B
c² = a² + b² – 2 . a . b . cos C
20 – Determine o valor de x:
x
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21 – (Mack) Três ilhas A, B, e C aparecem
num mapa, em escala 1 : 10 000, como na
figura. Das alternativas, a que melhor
aproxima a distância entre as ilhas A e B é:
A) 2,3 km B) 23 km C) 1700 km
B
D) 17 km
E) 1,7 km
30º
60º
105º
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A
12 cm
C
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
22 – Uma empresa vai instalar a rede elétrica em uma fazenda. Para
isso, precisa colocar dois postes, “A” e “B” em lados opostos de
um lago. O projeto requer a distância entre esses postes. Um dos
engenheiros obteve as seguintes medidas:
100 m
A
C 23 – Calcule o valor da
120º
x
tg  e das medidas de
comprimento “x” e “y”
para a figura ao lado:
x
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x
45º
y
45º
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B
24 – No triângulo acima, determine o valor de “x” :
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
25 – Determine o perímetro e a área do triângulo dado.
26 – Os lados de um triângulo medem a = √2, b = 2 e
c = 1 + √3. Determine as medidas de seus ângulos.
27 – Um triângulo tem seus vértices nos pontos A, B e C. Sabe-se que AC =
BC = √2. Se AB = 2 e “Θ” é o ângulo oposto ao lado BC, determine Θ.
GABARITO: 26) 30º, 45º e 105º 27) 45º
.
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