Tautologias, Contradições e Contingências

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Raciocínio Lógico Matemático Cap. 3 ‐ Tautologias, Contradições e Contingências Capítulo3
Professor: Sérgio Destácio Faro
Tautologias, Contradições e Contingências
No capítulo anterior discutimos alguns aspectos da lógica matemática,
destacando a importância dos conectivos lógicos e as suas aplicações nas
operações lógicas para a elaboração de proposições compostas. Vamos dar
continuidade ao estudo da lógica matemática, abordando as tautologias, as
contradições e as contingências. É muito provável que você não esteja familiarizado
com estes nomes! Vamos estudar cada um deles com muita atenção; e para
começar com as tautologias, partiremos de seus significados retirados do dicionário
Aurélio.
1. Tautologia
Observe que temos como primeiro significado destacado para a palavra
tautologia:
1.Vício de linguagem que consiste em dizer, por formas diversas, sempre a
mesma coisa:
“A gramática usual é uma série de círculos viciosos, uma tautologia infinita.”
(João Ribeiro, Cartas Devolvidas, p. 45.)
Quanto
à tautologia (de tautos,
em
grego,
que
exprime
a
idéia
de mesmo, de idêntico), trata-se de outra denominação que recebe o pleonasmo
vicioso e se caracteriza pela seguida repetição, por meio de termos diferentes.
Portanto, tautologia é dizer sempre a mesma coisa em termos diferentes. É na
retórica, um termo ou texto redundante e podemos dizer que em relação à
Estilística, tautologia é um vício de linguagem. Mas cuidado, pois nem sempre o
pleonasmo é um vício de linguagem. Veja o trecho a seguir retirado do admirável
“Soneto da Fidelidade” , de Vinícius de Morais:
"De tudo, ao meu amor serei atento/ Antes, e com tal zelo, e sempre, e tanto/
(...) E em seu louvor hei de espalhar meu canto/ E rir meu riso e derramar meu
Capítulo 3
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pranto (...)". Perceba que neste caso, o pleonasmo é utilizado não como um vício
de linguagem e sim como um recurso de estilo. Tudo é uma questão de
sensibilidade para perceber quando o emprego é feito de tal forma que caracteriza
um vício e quando é utilizado como recurso de estilo.
Falando sobre tautologias, pleonasmos e vícios de linguagem, é importante
que se tenha muito cuidado com as repetições desnecessárias. Preste atenção
como elas têm sido muito utilizadas em nosso cotidiano.
Um dos exemplos mais comuns de pleonasmos viciosos é o “subir para
cima” ou o “descer para baixo”. Mas há outros, como você pode ver na lista a seguir
e que foram utilizados na apresentação (“stand up” ) sobre Tautologia ou
Pleonasmo de Leandro Hassum e Marcius Melhem. Assista, você vai gostar!
http://br.youtube.com/watch?v=fjzW1bNqvik&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=Qbm2w_T4laY&feature=player_embedded#!
**** Outra forma de apresentar a lista.
Exemplos na linguagem

elo de ligação

certeza absoluta

quantia exacta

nos dias 8, 9 e 10, inclusive

juntamente com

expressamente proibido

em duas metades iguais

sintomas indicativos

há anos atrás

outra alternativa

detalhes minuciosos

anexo junto à carta

todos foram unânimes

encarar de frente

criação nova

retornar de novo

retornar de novo
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3

empréstimo temporário

surpresa inesperada

escolha opcional

planejar antecipadamente

a última versão definitiva

possivelmente poderá ocorrer

comparecer em pessoa

propriedade característica

demasiadamente excessivo

a seu critério pessoal

seguindo em frente

pessoa humana

fato real

fato real
Como já foi dito, são repetições desnecessárias, perfeitamente dispensáveis!
Apenas para ilustrar este fato, considere a expressão utilizada “surpresa
inesperada.”... E, por acaso, existe alguma surpresa que seja esperada? É óbvio
que não!
Capítulo 3
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Resumidamente, podemos dizer que tautologia é o termo usado para definir um
dos vícios de linguagem. Consiste na repetição de uma idéia de maneira viciada,
com palavras diferentes, mas com o mesmo sentido.
Feitas estas considerações iniciais, agora vamos entrar de fato no estudo
das tautologias na lógica matemática, que é nosso foco principal.
Tautologias na Lógica Matemática
Vamos partir de um significado dado no dicionário Aurélio, e “entrar” no
conceito da tautologia na Lógica Matemática.
4.Lóg. Função lógica que sempre se converte em uma proposição verdadeira
sejam quais forem os valores assumidos por suas variáveis.
Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, então teremos
uma tautologia. De outra forma, podemos afirmar que numa tautologia, o valor
lógico da proposição composta será sempre verdade (V).
Ex.: A proposição composta “p→p” ( Se p, então p) é tautológica. Como assim?
Vamos exemplificar:
Considere p: O ônibus está lotado.
p→p : Se o ônibus está lotado, então o ônibus está lotado.(V).
Observou que a proposição composta “p→p” é verdadeira?
Você está lembrado que fizemos uso de tabelas-verdade para o estudo das
operações lógicas, tais como: conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
Deste modo, nosso estudo abrangeu os valores lógicos das proposições simples e
das compostas formadas a partir das simples. Vamos, neste capítulo, retomar o
estudo das tabelas-verdade.
Capítulo 3
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Utilizando o conceito de tabela-verdade, temos a seguinte definição para tautologia
Definição:
Chama-se tautologia, ou proposição tautológica, toda a proposição composta
cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V
(verdade); isto é, tautologia é toda proposição composta cujo valor lógico
será sempre V (Verdade) independentemente dos valores lógicos das
proposições simples que a compõem.
Por esta definição fica fácil entender a razão pela qual a tautologia é
denominada, também, de proposição logicamente verdadeira.
Vamos partir de alguns exemplos mais triviais; isto é vamos retomar o
princípio da Identidade e mostrar que as proposições “p→p” e “p↔p” são
tautológicas.
É importante também relembrarmos a Tabela de Conectivos lógicos que
serão utilizados para compreensão desse capítulo.
Tabela dos Conectivos Lógicos
Conectivos
Significados
^
e
v
ou ,
→
se...então...,
↔
se e somente se
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Ex.: Vamos partir, por hipótese, que o valor lógico da proposição simples p a seguir
é a verdade(V).
p: O sonho acabou.(V)
p→p: Se o sonho acabou, então o sonho acabou.(V)
Podemos representar o exemplo dado por meio da seguinte tabela-verdade:
p
p
p→p
V
V
V
Perceba que o valor lógico da proposição condicional
p→p
é a verdade, e
portanto é uma proposição tautológica.
Da mesma forma, temos para a bicondicional:
p↔p: O sonho acabou, se e somente se o sonho acabou.(V)
p
p
p↔p
V
V
V
Observe que, se considerarmos o valor lógico da proposição simples p a
falsidade(F). Veja como fica cada etapa.
p: O sonho acabou.(F)
p→p: Se o sonho acabou, então o sonho acabou.(V)
Capítulo 3
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Podemos representar o exemplo dado por meio da seguinte tabela-verdade:
p
p
p→p
F
F
V
Perceba que o valor lógico da proposição condicional p→p é a verdade, e
portanto é uma proposição tautológica.
Representando na tabela verdade, temos o seguinte:
p
p
p→p
O sonho acabou
O sonho acabou
Se o sonho acabou, então o
sonho acabou
V
V
V
Da mesma forma, temos para a bicondicional:
p↔p: O sonho acabou, se e somente se o sonho acabou.(V)
p
p
p↔p
F
F
V
Novamente temos que a última coluna da tabela-verdade é constituída do
valor lógico V (VERDADE). É importante destacar que o que importa é o valor
lógico da última coluna da tabela-verdade, não importando os valores lógicos das
proposições simples que constituem as proposições compostas.
Representando na tabela verdade, temos o seguinte:
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p
p
p↔p
O sonho acabou
O sonho acabou
O sonho acabou, se e
somente se o sonho acabou
V
V
V
Ficou claro que as proposições compostas “p→p” ( se p, então p) e “p↔p”
( p, se e somente se p) são tautológicas, isto é sempre serão logicamente
verdadeiras?
Vamos ver outros exemplos.
p: 5 x 12 = 60 (V)
~p: 5 x 12 ≠ 60 (F)
p ^ ~p : 5 x 12 = 60 e 5 x 12 ≠ 60 (F)
Se tomarmos a negação desta proposição, obteremos a proposição
~ (p ^ ~p) , cujo valor lógico é a verdade, e portanto esta última é tautológica.
Vamos representar na tabela-verdade e compreender melhor como ficam os
valores lógicos das proposições.
p
~p
p ^ ~p
~ (p ^ ~p)
5 x 12 = 60
5 x 12 ≠ 60
5 x 12 = 60 e 5x12 ≠ 60
V
V
F
F
V
Esta proposição ~(p ^ ~p) que é verdadeira pode ser interpretada da
seguinte maneira:
Dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente
verdadeira e falsa é sempre verdadeiro.
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Isto não te faz lembrar algum princípio da lógica?
Esta é a essência do Princípio da não contradição.
Achou confuso, podemos ver um outro exemplo:
p: 4 x 10 = 60 (F)
~p: 4 x 10 ≠ 60 (V)
p ^ ~p : 4 x 10 = 60 e 4 x 10 ≠ 60 (F)
Se tomarmos a negação desta proposição, obteremos a proposição
~(p ^ ~p) , cujo valor lógico é a verdade, e portanto esta última é tautológica.
Vamos representar na tabela-verdade e compreender melhor como ficam os
valores lógicos das proposições.
p
~p
p ^ ~p
~ (p ^ ~p)
4 x 10 = 60
4 x 10 ≠ 60
4 x 10 = 60 e 4 x 10 ≠ 60
V
F
V
F
V
Esta proposição ~(p ^ ~p) que é verdadeira pode ser interpretada da
seguinte maneira:
Dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente falsa
e verdadeira é sempre verdadeiro.
Já retomamos dois dos três princípios da lógica; falta apenas o Princípio do
terceiro excluído.
A proposição “p v ~p” ( Princípio do terceiro excluído) é tautológica; isto é
sempre será logicamente verdadeira. Vamos verificar isto por meio de um exemplo.
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p: O abacate está podre.(V, por hipótese)
~p: O abacate não está podre.(F)
p v ~p: O abacate está podre ou o abacate não está podre (V)
Colocando os valores lógicos das proposições na tabela-verdade, obtemos:
p
~p
p v ~p
V
F
V
Aqui ficou mais fácil de perceber, pois se declaro que o abacate está podre
ou o abacate não está podre, será sempre uma verdade, pois sendo uma coisa,
obviamente, não poderá ser outra.
Veja mais um exemplo, agora na Matemática:
p: 5 = 6 (F)
~p: 5 ≠ 6 (V)
p v ~p: 5 = 6 ou 5 ≠ 6 (V)
p
~p
p v ~p
F
V
V
Vamos representar na tabela-verdade e compreender melhor como ficam os
valores lógicos das proposições.
p
~p
p v ~p
5=6
5≠6
5 = 6 ou 5 ≠ 6
F
V
V
Capítulo 3
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Ficou claro que, aqui também, na Matemática, a proposição composta obtida
é logicamente verdadeira?
5 = 6 ou 5 ≠ 6 é logicamente verdadeira, pois caso não seja igual, obviamente,
será diferente.
Conclusão: A proposição composta “p v ~p”, também, é tautológica.
Falando ainda sobre tautologia, vamos verificar sua aplicação para a
validade de um argumento. E como ponto de partida, considere que:
“Um argumento em que a conclusão é uma tautologia é sempre válido,
independentemente do que sejam suas premissas.”
Vamos ver um exemplo sobre esta afirmação com o seguinte argumento:
A Universidade está lotada nesta véspera de feriado.
Logo, Zenaide é professora ou Zenaide não é professora.
Há uma tendência de considerar argumentos deste tipo como inválido, pois
nos parece ilógico uma Universidade estar lotada numa véspera de feriado, mas
temos que ter um certo cuidado com estas avaliações precipitadas.
Vamos construir a tabela-verdade e perceber melhor como ficam todos os
possíveis valores lógicos.
Para tanto, vamos considerar:
q: A Universidade está lotada nesta véspera de feriado (premissa).
p: Zenaide é professora.
~p: Zenaide não é professora.
p v ~p: Zenaide é professora ou Zenaide não é professora. (conclusão).
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q
p
~p
p v ~p
Zenaide é professora ou
A Universidade está
lotada nesta véspera de
Zenaide é professora.
Zenaide não é professora
Zenaide não é professora.
(conclusão)
feriado (premissa).
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
Notou que a última coluna é uma proposição composta (a conclusão) que
será sempre verdadeira independente do que sejam suas premissas. Assim sendo,
esse argumento seria válido mesmo que substituíssemos a premissa dada “A
Universidade está lotada nesta véspera de feriado” por qualquer outra. Veja que um
argumento que traz uma conclusão que não se relaciona com as premissas pode
ser válido, mesmo que pareça estranho.
A validade de um argumento depende, somente, do relacionamento lógico
entre as premissas e a conclusão. Isto quer dizer que não é papel da Lógica
ocupar-se de saber se as premissas são verdadeiras. Seu objetivo é verificar a
estruturação do argumento de forma que, independente dos valores lógicos das
proposições envolvidas, a veracidade das premissas implica na veracidade da
conclusão. Em termos lógicos, isso significa dizer que se um argumento é válido,
então a condicional que o representa é sempre verdadeira, independentemente dos
valores lógicos das proposições componentes. Em outras palavras, se um
argumento é válido, a condicional que o representa é uma tautologia (baseado em
Introdução à Lógica Matemática, Prof. Antonio de Almeida Pinho - disponível em:
http://br.oocities.com/EJAABR/logica/Apostila_de_Logica.pdf).
Capítulo 3
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2. Contradições
Vimos que a tautologia ou proposição logicamente verdadeira é uma
proposição composta sempre verdadeira, independente dos valores lógicos das
proposições que a compõe.
Já a contradição ou proposição logicamente falsa é uma proposição
composta, sempre falsa, independente dos valores lógicos das proposições que a
compõe.
Note que a negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja uma
contradição, e vice-versa.
Veja o exemplo:
p: Verduras são saudáveis. (V)
~p: Verduras não são saudáveis(F)
p ^ ~p: Verduras são saudáveis e verduras não são saudáveis (F)
Observe que a proposição “p ^ ~p” é uma contradição. Notou que ela é sempre
falsa? Não tem sentido dizer que as verduras são saudáveis e não saudáveis, ao
mesmo tempo! Como pode? Uma possibilidade exclui a outra!
Representado por uma tabela, temos:
p
~p
p ^ ~p
V
F
F
Resumindo, temos:
Dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa
é sempre falso.
Pense em situações do nosso cotidiano em que utilizamos contradições deste tipo.
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Vamos para um exemplo na matemática.
p: 2 é um número ímpar (F)
~p: 2 não é um número ímpar(V)
p ^ ~p: 2 é um número ímpar e 2 não é um número ímpar (F)
Percebeu melhor que a proposição “p ^ ~p” é uma contradição.
Representando na tabela-verdade, temos:
p
~p
p ^ ~p
F
V
F
Vamos representar na tabela-verdade e compreender como ficam os valores
lógicos das proposições.
p
~p
p ^ ~p
2 é um número
2 não é um
2 é um número ímpar e 2 não é um
ímpar
número ímpar
número ímpar
F
V
F
Veja que, neste caso, 2 não pode, ser e não ser, número ímpar. Ou é ou não é!
Novamente, dizemos que uma possibilidade exclui a outra. Logo, a proposição
composta é logicamente falsa e caracterizada por uma contradição!
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3. Contingências
Contingência é toda proposição composta que não é tautologia nem
contradição. São, também, denominadas proposições contingentes ou proposições
indeterminadas.
Veja os seguintes exemplos:
1º.
p: 5 = 5 (V)
~p: 5 ≠ 5 (F)
p→ ~p: se 5=5, então 5≠ 5 (F)
2º.
p: 5 = 0 (F)
~p: 5 ≠ 0 (V)
p→ ~p: se 5=0, então 5≠ 0 (V)
A proposição “p→ ~p” é uma contingência, conforme pode ser visto pela sua
tabela verdade:
p
~p
p→ ~p
V
F
F
F
V
V
Perceba que para ser tautologia, a última coluna da tabela-verdade é
sempre constituída do valor lógico V e para ser contradição a última coluna da
tabela-verdade é sempre constituída do valor lógico F. Perceba que neste caso não
ocorre uma coisa nem outra, por isso a proposição “p→ ~p” é considerada
contingência ou indeterminada.
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Vamos representar na tabela-verdade e compreender como ficam os valores
lógicos das proposições.
1º
2º
p
~p
p→ ~p
5=5
5≠5
se 5=5, então 5≠ 5
V
F
F
5=0
5≠0
se 5=0, então 5≠ 0
F
V
V
No próximo capítulo trataremos de ver os conceitos de implicação e equivalência
lógicas.
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