p ⋀ q - WordPress.com

LÓGICA MATEMÁTICA
EXEMPLOS DE QUESTÕES DE LÓGICA
CONCURSOS PÚBLICOS

(PRF - 2012) Chama-se tautologia a toda
proposição que é sempre verdadeira,
independentemente da verdade dos termos que a
compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) p v ~q
 b) ~p v ~q
 c) ~p -> q
 d) ~p v q
 e) p v (~p)

NOÇÕES DE LÓGICA
O aprendizado da Lógica nos auxilia no raciocínio, na compreensão de conceitos
básicos, na verificação formal de programas e melhor nos prepara para o
entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados.
SÍMBOLOS PARA O CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as
proposições (fórmulas atômicas) .
Exemplos: A bola é redonda: p
A reta tem extremidade : q
• CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e,
para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :
 (e);  (ou);  (se... então ou implicação );
 (se e somente se ou bi - implicação ); ~ (negação)
Exemplos:
1. A bola é redondae a reta tem extremidade.(p  q)
2. A bola é redondaou a reta tem extremidade.(p  q)
3. Se a bola é redondaentão a reta tem extremidade.(p  q)
4. A bola é redondase e somentese a reta tem extremidade.(p  q)
5. A bola não é redonda.
(~ p)
Exercícios
1. Sejam as proposições :
p : Joana é graciosa.
q : Fátima é tímida.
Dar as sentenças verbais para :
a)p  ~ q
Se Joana é graciosa, então Fátima não é tímida.
b)~(~
p  q)
É falso que Joana não é graciosa ou Fátima é tímida.
c)p  ~ q
Joana é graciosa e Fátima não é tímida.
A TABELAS VERDADE
• Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
• Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é
negação da outra), uma delas é falsa.
• Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias,
uma delas é verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica
clássica é bivalente.
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições
compostas, conhecidos os valores das proposições simples que as
compõem usaremos tabelas-verdade :
1.Tabela verdade da "negação" :
•
~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).
p ~
p
V F
F V
2. Tabela verdade da "conjunção" :
•
a conjunção é verdadeira se e somente as proposições são
verdadeiras.
p q p۸q
V V V
V F F
F V F
F F F
3. Tabela verdade da "disjunção" :
•
a disjunção é falsa se, e somente, as proposições são falsas.
p q P۷q
V V V
V F V
F V V
F F F
4. Tabela verdade da "implicação” :
•
a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro
e o conseqüente é falso.
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
A proposição p → q = ~ q → ~ p
5. Tabela verdade da "bi-implicação":
•
a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou
ambos verdadeiros ou ambos falsos.
p q P↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula:
p  q  ~ p
p  q  ~ p  q  p
q  p p  q  ~ p  q  p
p
q
pq
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
~p
2. Admitindo que p e q são verdadeir as e r é falsa, determine
o valor lógico de cada proposição abaixo.
a) p  rF
b) p  q V
d) (p  r)  q V
e) p  (q  r)
g) ~ p  ~ q V
h) ~ p  r V
c) r  p
F
V
f) p  (q  r)
i) r  ~ p   (~ q  ~ r )
3. Sendo a proposição p  r  s falsa e a proposição
q  ~ s  p
verdadeira, classifiqu e em verdadeira ou
falsa as afirmações p, q, r e s.
p = V, q = V, r = F e s = F
F
V
NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE:
Cada proposição simples tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n
proposições distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos
com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de
linhas da tabela verdade é 2n. Assim, para duas proposições são 22 = 4
linhas; para 3 proposições são 23 = 8; etc.
Exemplo:
a tabela - verdade da fórmulap  q r
terá 8 linhas como segue :
p
q
(p ۸ q)
r
p  q r
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
Exemplo
Veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição
composta P(p, q) = ((p ⋁ q) → (~p)) → (p ⋀ q), onde p e q são duas
proposições simples.
Resolução:
Uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 22 = 4 linhas,
logo:
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTIGÊNCIA
Tautologia - A origem do termo vem do grego tautó, que significa "o
mesmo", mais logos, que significa "assunto". Portanto, tautologia é
dizer sempre a mesma coisa em termos diferentes.
É uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro.
Exemplo 1
A proposição p (~p) é uma tautologia, pois o seu valor lógico é
sempre V, conforme a tabela-verdade.
Exemplo 2
A proposição (p q) → (p ↔ q) é uma tautologia, pois a última coluna
da tabela-verdade só possui V.
(p q)
(p ↔ q)
(p  q) → (p ↔
q)
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
q
p
V
Contradição
Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso.
Exemplo 1
A proposição p (~ p) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre
F conforme a tabela-verdade. Que significa que uma proposição não pode
ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o principio da não
contradição.
Exemplo 2
A proposição ~(p  q)  (p  q) é contraválida, pois a última coluna da
tabela-verdade só possui F.
p
q
pq
~ (p q)
p q
~ (p q) (p q )
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
Contingência
Quando uma proposição não é tautológica nem contraválida, a
chamamos de contingência ou proposição contingente ou proposição
indeterminada.
Exercício
1. Verifique, por meio das tabelas verdades, a validade das
equivalênc ias abaixo.
a) p  q   r  p  q  r 