Specmax Vamos fazer um exemplo para mostrar a - MAT-UnB

Specmax
Vamos fazer um exemplo para mostrar a avantagem de ter como anel A
um anel qualquer (e não necessariamente uma k-álgebra finitamente gerada,
com k corpo algebricamente fechado!). O problema com a teoria classica
é que as variedades algébricas não têm propriedades que muitos espaços
topológicos têm, por exemplo Hausdorff. Se trata do preço de usar como
corpo k um corpo algebricamente fechado. Na teoria moderna também
Spec(A) não é Hausdorff, mas muitas vezes tomar os pontos fechados (os
ideais maximais) dá espaços mais conhecidos.
Dado um anel comutativo unitário A seja Specmax(A) (o espectro maximal de A) o subconjunto de Spec(A) que consiste dos ideais maximais de A.
A topologia de Zariski em Spec(A) induz uma topologia sobre Specmax(A)
que chamaremos também de topologia de Zariski. É um problema interessante perguntar quando Specmax(A) é Hausdorff (tem material em literatura que enfrenta esse problema). Por outro lado o fato que Specmax(A)
é quase-compacto é fácil e vale para qualquer anel A, a demonstração é a
mesma do caso de Spec(A).
Lembramos do resultado seguinte.
Teorema (Lema de Urysohn). Seja X um espaço topológico compacto
de Hausdorff (ou mais em geral um espaço normal) e sejam A e B dois
fechados disjuntos de X. Então existe uma função continua f : X → [0, 1]
que vale 0 em todo ponto de A e 1 em todo ponto de B.
Seja X um espaço topológico. Seja C(X) o conjunto das funções continuas X → R com a topologia Euclidiana usual em R. Então C(X) tem
operações de soma e produto por componentes: se f, g ∈ C(X) definamos
f + g e f · g pondo (f + g)(x) := f (x) + g(x) e (f · g)(x) := f (x)g(x). Com
essas operações C(X) é um anel comutativo unitário.
O resultado seguinte mostra que o intervalo fechado [0, 1] em R pode ser
visto como espectro maximal com a topologia de Zariski. A fonte do que
segue é um exercı́cio do livro Atiyah-Macdonald, página 14 (exercı́cio 26 do
capı́tulo 1, “Rings and Ideals”).
Teorema. Seja X o intervalo fechado [0, 1] com a topologia usual de
R. Para todo x ∈ X seja vx : C(X) → R a função que leva f para f (x): se
trata de um homomorfismo de aneis. A função
ψ : X → Specmax(C(X))
x 7→ mx := ker(vx )
é um homeomorfismo (isomorfismo de espaços topológicos).
1
2
Demonstração. ψ é bem definida pois para todo x ∈ X o homomorfismo vx é sobrejetivo (pois as constantes são continuas) logo C(X)/mx ∼
=R
é um corpo, assim mx ∈ Specmax(C(X)).
A injetividade segue do lema de Urysohn: se x 6= y são elementos de X
então {x} e {y} são fechados, logo existe uma função continua f : X → R
tal que f (x) = 0 e f (y) = 1. Segue que f ∈ mx − my , logo mx 6= my .
Mostraremos agora a sobrejetividade. Seja m ∈ Specmax(C(X)), e seja
\
Σ :=
f −1 ({0}).
f ∈m
Se x ∈ Σ então m ⊆ mx , logo m = mx por maximalidade de m. Assim basta
mostrar que Σ 6= ∅ (se trata do analogo do Nullstellensatz versão fraca!).
Como X é compacto e Σ è uma interseção de fechados (preimagem do ponto
fechado {0} por meio de funções contı́nuas), para mostrar que Σ não é vazio
basta mostrar que toda subfamı́lia finita de Σ tem interseção não vazia.
Sejam então f1 , ..., fn ∈ m. Temos que mostrar que existe x ∈ X tal que
f1 (x) = ... = fn (x) = 0. Supomos que isso não seja verdade, e consideramos
f :=
n
X
fi2 ∈ m.
i=1
Dado x ∈ X, temos f (x) = 0 se e somente se f1 (x) = ... = fn (x) = 0 (pois
os fi (x) pertencem a R), e isso não acontece por hipótese. Mas então f ∈ m
é sempre diferente de zero em X, logo é um elemento invertı́vel em C(X)
(cujo inverso é g(x) := 1/f (x), composição da função contı́nua α 7→ 1/α
com f ). Isso significa que m é um ideal maximal que contem um elemento
invertı́vel: absurdo.
Vamos mostrar que Specmax(C(X)) é Hausdorff. Seja S = Spec(C(X))
com a topologia de Zariski, onde se f ∈ C(X) o conjunto seguinte é aberto:
D(f ) := {p ∈ S | f 6∈ p} = S − V (f ). Sejam mx e my dois elementos
distintos de Specmax(C(X)). Para “separar” mx e my com abertos disjuntos
de Specmax(C(X)) encontramos duas funções continuas f, g : X → R tais
que x ∈ D(f ), y ∈ D(g) e D(f ) ∩ D(g) ∩ Specmax(C(X)) = ∅. Em outras
palavras f (x) 6= 0, g(x) 6= 0 e não existem z ∈ X tais que f (z) 6= 0 6=
g(z), ou seja f g = 0. Indicamos com B(a, r) a bola aberta de centro a e
raio r em X. Seja d a distância entre x e y. Escolhendo (pelo lema de
Urysohn) uma função contı́nua f : X → R que vale 1 em B(x, d/5) e 0 em
X − B(x, 2d/5), e uma função contı́nua g : X → R que vale 1 em B(y, d/5)
e 0 em X − B(y, 2d/5), por construção f (x) 6= 0, g(y) 6= 0 e f g = 0.
Para mostrar que ψ é um homeomorfismo basta então mostrar que é
uma função continua, pelo resultado seguinte:
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Lema. Uma função continua e bijetiva com domı́nio compacto e codomı́nio Hausdorff é um homeomorfismo.
Demonstração. Seja f : X → Y uma função continua e bijetiva,
com X compacto e Y Hausdorff. Para mostrar que é homeomorfismo basta
mostrar que f manda fechados em fechados, pois isso é equivalente a dizer
que a preimagem de um fechado por meio da inversa é um fechado. Seja
então F um fechado de X. Como X é compacto e F é fechado, F é compacto,
logo f (F ) é compacto pois f é contı́nua. Um subespaço compacto de um
espaço de Hausdorff é fechado, e isso conclui a demonstração.
Vamos então mostrar que ψ é contı́nua. Seja V (I) ∩ Specmax(C(X))
um fechado, onde I E C(X). A sua preimagem via ψ é
{x ∈ X | mx ∈ V (I)} = {x ∈ X | mx ⊇ I}
= {x ∈ X : f (x) = 0 ∀f ∈ I}
\
=
f −1 ({0}),
f ∈I
que é um fechado pois as f ∈ I são continuas, em R os pontos são fechados
e interseção arbitraria de fechados é um fechado.
Observe que se X é um espaço topológico qualquer faz sentido considerar
a função ψ : X → Specmax(C(X)) que leva x para mx = ker(vx ). ψ é uma
função continua, e Specmax(C(X)) é sempre quase-compacto. Em muitos
casos Specmax(C(X)) é Hausdorff e a imagem de ψ é densa. Nesses casos
Specmax(C(X)) coincide com a compactificação de Stone-Cech βX de X.
A compactificação de Stone-Cech de um espaço topológico X é um
espaço topológico βX quase-compacto e Hausdorff com um morfismo (função
continua) estrutural ψ : X → βX tal que para toda função continua f :
X → K onde K é um espaço compacto e Hausdorff existe uma única função
continua βf : βX → K compatı́vel, ou seja βf ◦ ψ = f .