Ficha Sumativa Ib

Data: 03/11/2008
Duração da prova 90 min
Escola Secundária Afonso Lopes Vieira
Nome: .................................................................... Nº: ... 11º Ano Turma A
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1.
Considere x, no universo das amplitudes. Qual das seguintes condições é verdadeira?
E] sen x . cos x > 0 ^ tg x < 0;
F] sen (π+ x) = sen x;
G] sen x + cos x = tg x
H] cos (3π/2 – x) = –sen x;
2.
Relativamente ao triângulo obtusângulo [ABC] representado na figura, qual a resposta certa?
E] α + β = 90º
C
F] sen α = cos β, ∀α, β∈ [0 , π/2]
G] AC sen α = BC sen β
H] AC = BD , quaisquer que sejam α e β
3.
α
A
β
D
B
Qual o valor exacto da expressão sen(630º) – 3cos(480º) + tg (–765º) ?
E]
1
F]
1/2
G] –1/2
H] –1
4.
Na figura, acerca do ângulo de amplitude α do 3º quadrante sabe-se que sen α = –2/3 .
Qual a amplitude – α, aproximada em graus?
E]
222º
F]
138º
G] – 42º
y
α
x
H] –138º
5.
Considere α a amplitude de um ângulo tal que 0 ≤ α ≤ π e cos(π + α) > 0. Qual das seguintes
afirmações é verdadeira?
E] sen α = sen(π + α).
F] O seno de α é negativo e a sua tangente é positiva;
G] O seno e o co-seno de α são ambos positivos;
H] α é um ângulo do 2º Quadrante;
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)
(
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1. Do alto de prédios circundantes, foram feitas algumas
medições, de distancias e amplitudes, com vista a
determinar a altura da torre Eiffel.
45º
60º
20m
Tendo em conta as medições apresentadas na figura,
determine a altura total da torre, incluindo a antena.
471,4m
2. Calcule o valor exacto ou simplifique, se for caso disso, as seguintes expressões:
2.1 cos 5π + sen (π/2) + cos (13π/6) – 2tg (– π/3)
2.2 cos (π – α)+ 2cos (2π – α) + tg (–π + α) + sen(α – π/2)
3. Determine os valores exactos de sen α e tg α sabendo que cos α =
15
e α ∈ 4º Quadrante.
4
4. Resolva cada uma das seguintes equações trigonométricas.
4.1 2 cos x + 4 = 3 (amplitude em graus)
4.2 4 – sen (2x – π/2) = 7/2
5. Na figura encontra-se desenhado num referencial xOy uma
circunferência de centro O e raio 4 cm e o trapézio [ABCD].
À medida que o ponto B se desloca sobre a circunferência,
α toma diferentes valores, no intervalo ]0, π/2], fazendo
variar consequentemente a forma e a área do trapézio [ABCD].
y
C
D
B
O
α
A
x
5.1 Mostre que a área do trapézio é dada, em função de α,
pela expressão:
A(α) = 16 sen α . cos α + 16 sen α
Considere a expressão anterior para resolver as duas questões seguintes.
(v. s. f. f.)
5.2 Calcule a área do trapézio quando α = π/4 aproximada a uma casa decimal.
5.3 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine para que valor de α a área do
trapézio é máxima.
Apresente um esboço do gráfico obtido na calculadora e assinale as coordenadas dos pontos
relevantes para a resolução do problema.
Formulário
Tabela de razões trigonométricas
α
0
π/6
π/4
sen
0
1/2
2
/2
cos
1
3
/2
2
/2
Área do trapézio =
tg
base maior + base menor
× altura
2
0
3
/3
1
COTAÇÕES
Grupo I ....................................................................................................50
Cada resposta certa ............................................................................... 10
Cada resposta errada ............................................................................... 0
Cada questão não respondida ou anulada ............................................... 0
Grupo II .................................................................................................150
1. ............................................................................................................. 20
2. ............................................................................................................. 32
2.1. ........................................................................................... 16
2.2. ........................................................................................... 16
3. ............................................................................................................. 15
4. ............................................................................................................. 33
4.1. ........................................................................................... 15
4.2. ........................................................................................... 18
5. ............................................................................................................. 50
5.1. ........................................................................................... 20
5.2. ........................................................................................... 15
5.3. ........................................................................................... 15
TOTAL .................................................................................................. 200
O Professor:
ESCOLA SECUNDÁRIA AFONSO LOPES VIEIRA
FICHA SUMATIVA MATEMÁTICA – A
Proposta de resolução
Nome: ..................................................................
Escola Secundária Afonso Lopes Vieira
Data: 03/11/2008
Nº: ... 11º Ano Turma A
I
1. H] Por recurso ao circulo trigonométrico conclui-se que cos (3π/2 – α) = –sen α, ∀α ∈
CD
2. G] sen α =
AC
<=> CD = AC sen α e sen β =
CD
BC
{amplitudes}
<=> CD = BC sen β, logo AC sen α= BC sen β
3. G] sen(630º) – 3cos(480º) + tg (–765º) = sen(–90º) – 3(–sen 60º) + tg (–45º) = –1 +3 x 1/2 –1 = –1/2
4. F] α = sin–1(–2/3) <=> α ≅ – 41,8º v α ≅ 221,8º , α ∈ 3º Q. α = 222º <=> – α = –222º ou α = 138º
5. H] Se α ∈ 1º Q, π + α ∈ 3º Q e cos (π + α) > 0. Se α ∈ 2º Q, π + α ∈ 4º Q e cos (π + α) < 0, logo α ∈ 2ºQ.
II
1.
h
x
h = x tg 45
= tg 45
<=>
h
471,4- x
= tg 60
h
<=> 471,4tg 60 – x tg 60 = x tg 45
h = (471,4 − x) tg 60
45º
x
60º
471,4 m
<=> –x tg 45 – x tg 60 = – 471,4tg 60 <=> x (tg 45 + tg 60) = 471,4tg 60
<=> x =
471,4 tg 60
<=> x ≅ 298,856
tg 45 + tg 60
h = x tg 45 <=> h = 298,856 e h + 20 = 318,856
R: A altura da torre, incluindo a antena deverá ser, aproximadamente 318,9 metros
2.1 cos 5π + sen (π/2) + cos(13π/6) – 2tg (–π/3) = cos π + sen (π/2) + cos(π/6) + 2tg (π/3) =
= –1 + 1 +
3
3
4 3
5 3
+2 3 =
+
=
2
2
2
2
π/2
2.2 cos (π – α)+ 2cos (2π – α) + tg (–π + α) + sen(α – π/2)
cos (π – α)+ 2cos (– α) + tg (α) + sen(– π/2 + α)
π–α
π
– cos α + 2cos α + tg α – cos α = tg α
–π+α
α
–α
3π/2
–π/2+α
3.1 sen α2 + cos2 α = 1 <=> sen2 α = 1 – ( 15 /4)2 <=> sen2 α = 1 – 15/16 <=> sen2 α = 1/16
sen α = ±
tg α =
1
16
<=> sen α = – 1/4 ∧ α ∈ 4º Q
− 14
sen α
=
cos α
15
4
=–
1
15
=–
15
15
! "
4.1 2 cos x + 4 = 3 <=> 2 cos x = 3 – 4 <=> cos x = –1/2 <=> x = ± 120º + k380, k ∈
4.2 4 – sen (2x – π/2) = 7/2 <=> – sen (2x – π/2) = 7/2 – 4
<=> – sen (2x – π/2) = –1/2 <=> sen (2x – π/2) = 1/2
<=> 2x – π/2 = π/6 + 2kπ v 2x – π/2 = π – π/6 + 2kπ , k ∈
<=>2x = π/6 + π/2 + 2kπ
v 2x = π + π/2 – π/6 + 2kπ , k ∈
<=>2x = 4π/6 + 2kπ
v 2x = 8π/6 + 2kπ , k ∈
<=>x = 4π/12 + kπ
v x = 8π/12 + kπ , k ∈
<=>x = π/3 + kπ
v x = 2π/3 + kπ , k ∈
5.1 A área do trapézio é dada por
A[ABCD] =
Base maior + base menor
× altura
2
y
AD + BC
× BE
2
C
B
AD = 8 ; BC = 2 x 4 cos α; BC = 4 sen α
A(α) =
8 + 8cos α
× 4sen α = (4 + 4cos α) 4sen α
2
D
α
O
E
A
x
A(α) = 16 sen α + 16 sen α cos α
5.2 A(π/4) = 16 sen (π/4) cos (π/4) + 16 sen (π/4)
A(π/4) = 16 x
2
2
2
x
+ 16 x
= 19,314
2
2
2
R: Quando α = π/4 a área é, aproximadamente, 19,3 cm2
5.3 A área atinge o valor máximo de 20,785 cm2
quando α ≅ 1,047 rad ou seja, α = π/3 = 60º
Nota:
Se Xmin = 0 e Xmáx = 90, com a calculadora
configurada para graus, o minimizante da
função apresentado seria 60.
y
20,785
20
10
x
0
! "
1,047
0,5π