26/6/03

UNIVERSIDADE MODERNA
Matemática I
26/6/03 - EXAME
x  y   z  1
1) Considere o sistema de equações lineares   1x  z  0
.
 x  y    1z  

[1.5] a) Discuta o sistema, em função dos parâmetros reais  e  .
[1.0] b) Resolva o sistema, no caso de ser   3 e   1 .
c) Designe por A a matriz simples do sistema dado, com     0 , e considere
 1  1 0
 0 1 2
.
a matriz B  
 2  1 1


 1 0 1 
[1.5] c1) Use a regra de Cramer para obter o valor de y.
[2.0] c3) Resolva a equação matricial XAT  B  X .
[2.0] c4) Calcule o determinante da matriz BB T .


log x 3  3x 2  1
x0
x2  x
[2.0] 2) Calcule: lim
[2.0] 3) Faça o estudo e esboce o gráfico da função real de variável real definida por
x3  4
.
f x  
x2
4) Determine primitivas das seguintes funções:
[1.5] a)
x2  2x  8
x  2x  22
[1.5] b)
1 x  3
1 x  3
5) Calcule:

1
1
[1.5] a)  x log 2 dx
x
1
2
e
[1.5] b)
e x
0 1  e  x dx
[2.0] 6) Calcule a área da região do primeiro quadrante limitada pelas linhas de
2
equações y   x  1 , y  0 e x  2 y  2 .
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Matemática I
26/6/03 - FREQUÊNCIA
1) Calcule:
[2.0] a)


log x  3x  1
x0
x2  x
lim
3
2
[2.0] b) lim
x0

2x
0
t5  3
dt
t7  4
x3
2) Determine primitivas das seguintes funções:
[2.0] a)
x2  2x  8
x  2x  22
[2.0] c)
[2.0] b)
1 x  3
1 x  3
x2
4  x2
[2.0] 3) Determine uma função real de variável real f x  tal que f 0  2 , f 0  3 e
f x   2  4 x  x 2 e x .


4) Calcule:
1
1
[2.0] a)  x log 2 dx
x
1
2
e

e x
[2.0] b) 
dx
1  ex
0
[2.0] 5) Calcule a área da região do primeiro quadrante limitada pelas linhas de
2
equações y   x  1 , y  0 e x  2 y  2 .
[2.0]
6) Considere a função real de variável real
F x  , definida por
x t
1

F x      4
dz dt . Usando as propriedades dos integrais a o Teorema
0
0 z 1


fundamental da Análise (acerca de integrais indefinidos), justifique que a função F x  é
crescente no intervalo 0, .
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26/6/03 – EXAME
RESOLUÇÃO
 1
 1
1 
1
1

1




1
0  
  0   1
1
0  

1) a)   1 0
C2 C1
L3  L1
  1  1   1  
 1  1   1  
 1
 1 
1

1 
1
1 




  0  1 1
0  
  0 1   1
0  

C2 C3
L3  L2
 0
 0 1  2   1
 2 1   1
 1 
1
1 


  0 1  1
0 
 0 0  3     1
Se   3 e   1 , o sistema é possível indeterminado (de grau 1).
Se   3 e   1 , o sistema é impossível.
Se   3 , o sistema é possível determinado, qualquer que seja  .
b) Substituindo na matriz condensada:
 1  3 1 1
 1 0  5 1
1 0 5





1  2 0 
  0 1  2 0 
L1 3 L2
 L1
0
0 1  2
 0
 0 0 0 0
0 0 0
0
0 0
 1

0
0 
Atendendo às trocas de colunas efectuadas em a), as incógnitas ficaram pela ordem
 y, x, z 
 y, z, x
seguinte: x, y, z 
C2 C1
C2 C3
 y  5 x  1  y  1  5 x
Assim, o sistema fica: 
(x qualquer)

z  2x  0 z  2x
1
1
1
c) c1) y 
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0 1 0  0 1 0
2


0 0 1 0  0 11
3
1
1
c2) XAT  B  X  XAT  X  B  X AT  I 3   B  X  BAT  I 3  , desde que a
1
matriz AT  I 3 seja invertível.
 1  1 0 1 0 0  0
AT  I 3   1 0 1  0 1 0   1
 1  1 1 0 0 1  1
 0  1 0 1 0 0
 1 1



  0  1
L1  L2
 1  1 1 0 1 0 
 1  1 0 0 0 1
 1  1
 1 0
 1 1
 1 0
1 0 1 0

0 1 0 0 

L3  L1
0 0 0 1
1 0 1  1 1 0
0



0 
 0  1 0 1 0 0 

L1  L2
L1  L3
L3  2 L2
 L2
0 0 1  2 1 1
1
 1

0
1 
1  1 1 0 1

 0  1 0 1 0
0  2 1 0 1
1 0 0 1 0

 0 1 0  1 0
0 0 1  2 1
 1  1 0
2
 0 1 2  1 0  1  5
  1 0 0   
X 
 1
 2  1 1 

 

2
1
1


 1 0 1 
 3
0  1
2 2 
1  1

1 2
2
 1  1 0
1
0
2

1


 0 1 2
  1 1  1 0    1
c3) BB T  

 2  1 1 
3

  0 2 1 1 
1
 1 0 1 
2 1 3 1
3 3
3 3 7 0
1 4

  1 1 1 2
1 2 3 0
3 0
3 0 5 0
 30  27  0  42  15  0  0

1
5
1
3
1
6
1
2

1
2
1
2
7
3
5

0
log x 3  3x 2  1
: há uma indeterminação do tipo
2
x0
0
x x
Usando a regra de Cauchy:
3x 2  6 x

3
2
log x 3  3x 2  1
3x 2  6 x
lim
 lim x  3x  1  lim
0

x0
x0
x0 2 x  1 x 3  3 x 2  1
2
2
x

1
x x
2) lim
 





log x 3  3x 2  1
0
x0
x2  x
Logo lim
3) f x  
x3  4
x2
Domínio: R \ 0


x3  4
 0  x3  4  0  x3  4  x  3 4
2
x
3x 2 x 2  2 x x 3  4
x 4  8x
f x  

x4
x4
x 4  8x
f x  
 0  x 4  8 x  0  x x 3  8  0  x  0 ou x  2
x4



x
f
f
f x  
4 x
3

2
0
max.
+






 8 x 4  4 x 3 x 4  8 x  24 x 4
24

 4 0
8
8
x
x
x
x
f 
f


0
///////
///////
x3  4
4

lim f x   lim
 lim  x  2   
2
x
x
x


x
x 

3
x 4
4

lim f x   lim
 lim  x  2   
2
x0
x0
x0
x
x 

4) a)
x2  2x  8
A
B
C



2
x  2x  2 x  2 x  2 x  22
x2  2x  8 
x  2:
x  2 :
x  0:
0
///////
///////
Ax  2  Bx  2x  2  C x  2
16  16 A  A  1
8  4C  C  2
8  4 A  4B  2C  4  4B  4  B  0
2


+

 1
x2  2x  8
0
2 
1
2
 x  2x  22    x  2  x  2  x  22    x  2  2 x  2 
 log x  2  2
x  21  C  log x  2 
1
b) Tomando x  3  t : x  3  t 2 , x  2t
2
C
x2
2
1 x  3
1 t
t  t2
2 


2
t

2
 1 x  3  1 t
 1  t  2   t  2  1  t  
 t2

 2   2t  2 log 1  t   C   x  3  4 x  3  4 log 1  x  3  C 
 2





  x  4 x  3  4 log 1  x  3  C1
5) a)
x
3
2
log
3
1
x
1
x
 log 2  
2
x
3
x
3
2
3
3
x 3  x log 1  2 x 2  x  2  log 1 
1
3
x2 3 
3 3
x2 
x2

1
 x3  2
1
1 
12
 1 2
2
x
log
dx

  log 2     log 1  3   log e  

2
1
x
x  1
33
 3e  3

 3 3
e
e
1
2
12
 1
   0  3
33
 3e

1 8 2
4
2
 2
  2    3  1  3 
3
 9 3e 3 9  e 

 
 lim  log 1  e   log 2  log 2
e x
e x
b) 
dx  lim 
dx  lim  log 1  e  x
x
x
z


x
1 e
1 e
0
0
z

z
0
z
z 
6) y   x  1 , x  2 y  2  x  2x  1  2  x  2 x 2  4 x  2  2 
2
2
 2 x 2  3x  0  x2 x  3  0  x  0 ou x  3
2
3
3
2
2
 1

1
 1

3
A   x  1 dx     x  1dx    x  1    x 2  x  
2

3
1
 4
 32
3 
1
2
2
2
2
11
1
5
  15  1
   0   1   


38
  16  24 16 48
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26/6/03 – FREQUÊNCIA
RESOLUÇÃO
(alíneas não comuns ao exame)
1) b) lim

2x
0
x0
t5  3
dt
0
t7  4
: produz-se uma indeterminação do tipo
3
0
x
Usando a regra de Cauchy:

 2x t 5  3 
32 x 5  3
 

dt
2
0
7
t 7  4 
lim 
 lim 128 x2  4  
x 0
x 0
3x
x 3 
Logo, lim

2x
0
x0
t5  3
dt
t 7  4  
x3
sen t 
2) c)
x
 x  2sen t  x  2 cos t
2
4  x2
cos t 
 4  x 2  2 cos t
2

x2
4  x2

4sen 2t
2 cos t  4 sen 2t
2 cos t
Ora
1
1
 sen t  2 t  2 sen t cos t
2
(feito na aula teórica como exemplo do método de
primitivação por partes)
Logo,
x
x 4  x2
2

2
2
2
x 1
 2arc sen  x 4  x 2
2 2
x2

 4 sen 2t  2t  2sen t cos t  2arc sen
4  x2
3) f x   2  4 x  x 2 e x  f x    2  4 x  x 2 e x 


 2  4 x  x e  4  2 x  e   2e 
 2  4 x  x e  4  2 x  e  2e  C
 2 x  x e  C
 2  4 x  x 2 e x   4  2 x  e x 
2
2
x
x
2
x
x
x
x
x
f 0  0  0 e 0  C  3  C  3
f x   2 x  x 2 e x  3




 

 2 x  x e  2  2 x  e   2e  3x 
 2 x  x e  2  2 x  e  2e  3x  C
f x    2 x  x 2 e x  3  2 x  x 2 e x   2  2 x  e x  3x 
2
x
x
2
x
x
x
x
1

 x e  3x  C1
f 0  0e  0  C1  2  C1  2
f  x   x 2 e x  3x  2
2
x
0
x
6) Pelo Teorema fundamental da Análise, F x   
0
Por sua vez, F x  
0
como F 0  
0
1
dt .
z 1
4
1
 0 , pelo que a função F x  é crescente em 0, e,
x 1
4
1
dt  0 , segue-se que a função F x  é sempre positiva em
z 1
4
0, . Consequentemente, F x  é crescente no intervalo 0, .