83 – MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO

83 – MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO
CRITÉRIOS DE CORRECÇÃO e algumas indicações de resolução
EXAME de 30 de Maio de 2006
Obs. Serão dadas algumas respostas e, em alguns casos, mais algumas indicações sobre
o processo de realização do problema. Não serão apresentados esboços de gráficos.
1. Cada questão está cotada para 1,5 valores.
 1x

a) lim x  e  1 =1
x  


 1
1
  =-1
c) lim x 
2
x 0 
 x 1 x 
b) lim ln 4 x  3  ln 3x  4 = ln
x 
4
3
2. 4 valores
Df=  ; f ( x)  0  x  0  x  2 2
Mostra-se que f não tem assímptotas sendo lim f ( x)   .
x  
Estudo da monotonia e extremos:
Mostra-se que:
8 x2  2
f x    1 / 3  0  x   2
3 x
Como f  0 para x   ; 2  0; 2


, então f é decrescente nesses intervalos e
em  2 f tem um mínimo.
Como f  0 para x   2 ;0 

, então f é crescente nesses intervalos e em

 
 
2 ;
2 f tem um mínimo.
f 0 não existe.
Estudo da concavidade e pontos de inflexão:
Mostra-se que:
8 5x 2  2
f x  
 0 . Então f tem a concavidade virada para cima e não tem pontos de
9 x4/3
inflexão.
GRÁFICO
1
3. 1,5 valores
f ( x)  1  x   e 2 x .
Pretende-se usar uma aproximação linear para achar um valor aproximado de e . A
expressão f x  f a  x  a  f a .
Escolhe-se para a um valor cujo f(a) seja conhecido. Assim, faz-se a=0, pois f(0)=1.
Atendendo a que se pretende calcular um valor aproximado de e recorrendo a f, então
é necessário calcular o valor de x, tal que f(x)= e . Donde, atendendo a que e = e 1 / 2 ,
1
1
7
1 
vem e1 / 2  e 2 x  x  . Mas f     3    e1 / 2   e1 / 2 . Donde,
4
2
2
4 
2
1
e1 / 2 =  f   .
7
4
f x   3  2 x e 2 x ; f 0  3 .
1
7
1
f    1 3 
4
4
4
Vem então, e 1 / 2 
2 7 1
  .
7 4 2
4. 1,5 valores


n2

 2n1 =  1    1  n . Trata-se de uma série geométrica convergente, pois
 
2 n2  2 
64 n / 3
1 1
1
1
1
 1 . A soma da série dada é s=   

1
2
2 4
12
1
2
5.
a) 2 valores
P
P
1 2  x
4  x2
1
4 x
2
=
P
2 x
2 x 2 x
P
1
 x2 
41  
4 

P
1
2 x

1
 2P
2
1/ 2
 x
1  
2
 P2  x 
1 / 2
2
 x
= arcsen    2 2  x  C
2
b) 1,5 valores
1
Px 2 arctg
x
Utilizar o método de primitivação por partes: Pu v   u v  Pu v , em que
2
1
2
1
1
u  arctg ; u   x  
1
x
1 x2
1 2
x
3
x
v  x 2 ; v 
3

Executando os cálculos necessários, a resposta é:


x3
1 1
1
arctg  x 2  log x 2  1  C
3
x 6
6
c) 2 valores

1
 x1  log x  dx
2
1
Este integral é impróprio de 1ª espécie. Donde,

a
1
1
dx .
2
1 x1  log 2 x  dx = alim

  1 x 1  log x 
A primitiva da função integranda é obtida através de:
1
1
x
P
P
 arctg log x 
2
2
x 1  log x 
1  log x 
Assim,
a
1


a
lim 
dx = lim artg log x 1  lim arctg log a   arctg log 1   0  .
2
2
2
a  
a  
a   1 x 1  log x 


6. 3 valores
Para calcular a área da região do plano limitada pelas funções dadas é necessário
começar por representar essas funções no plano. A primeira é uma parábola virada para
1
1
cima com zeros em  2 . A outra função corresponde à recta y  x  para x  e à
2
2
1
1
recta y   x  para x  . Em seguida é necessário determinar os pontos de
2
2
intersecção da parábola com cada uma das semi-rectas. Os valores de x correspondentes
à intersecção são x  3 e x  1 2 .
A área é dada por:
1 2
1 1 2 
1 1 2 


3   x  2  2 x  1 dx  1/ 2  x  2  2 x  1 dx
Fica ao cuidado dos alunos o cálculo destes integrais.
1/ 2
3