∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

Integração Múltipla
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio
Exemplo 4
1)INTEGRAIS DUPLAS: RESUMO
4 2
Exemplo 1
Calcule

 2x  6x 2 y dydx


1 1
Exemplo 2
Calcule
2
 
Exemplo 3
b)
3
c)
Calcule as integrais abaixo:
 
1
R
Exemplo 6
Determine o volume do sólido limitado acima
pelo plano z  4  x  y e abaixo pelo retângulo
R  0,2x0,2.
Exemplo 7
Calcule
x 2 ydydx

4.2
2 y cos x dxdy
4.2.1
6
f ( x, y)dA 

a c
f ( x, y)dydx 

ysen( xy)dA , onde R  1,2x0, 
R
4.1 Teorema:
Seja R o retângulo definido pelas desigualdades
a  x  b , c  y  d . Se f(x,y) for contínua
neste retângulo, então:
b d
d b

Obs:
Freqüentemente
o
retângulo
R  x, y : a  x  b, c  y  d é expresso como
a, bxc, d por simplificação.
1
y2

y 2 xdA , no retângulo
R
R  x, y : 3  x  2,0  y  1.
 
2 2x
xy 3dydx
1  0
0
R
consiste de todos os pontos ( x,y) tais que
1 x  2 e 1 y  3.
Calcule a integral
Entretanto, uma boa escolha da ordem pode
simplificar os cálculos. Em alguns casos, pode
não ser possível calcular a integral dupla para
uma escolha e ser possível para outra. Veremos
isso mais tarde com exemplos.
a)
 2x 2  3y dA  , sendo R a região que


Exemplo 5
O fato das integrais resolvidas nos exemplos 1 e
2 serem iguais Não é acidental. Se f é contínua,
então as duas integrais iteradas são sempre
iguais. Dizemos que a ordem é irrelevante.
2
Calcule integral dupla
4
 2x  6x 2 y dxdy

1 1 
3

1

c a
f ( x, y)dxdy
Integrais
genéricas
duplas
sobre
regiões
Definição 1
a) Uma região do tipo I é limitada à esquerda e à
direita por retas verticais x=a e x = b e é
limitada abaixo e acima por curvas contínuas
y=g1(x) e y = g2(x) , onde g1(x)  g2(x) para
a  x b .
b) Uma região do tipo II é limitada abaixo e
acima por retas horizontais y =c e y = d e é
limitada à esquerda e à direita por curvas
contínuas x=h1(y)
e
x = h2(t) , onde
h1(y)  h2(x) para c  x d
Veja Fig 1 e Fig. 2.
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2
Representamos na Fig. 3 a região R (base deste
sólido):
Figura 1
Tipo I
Figura 3
Região R
1
1
x  , logo a
4
2
região é do Tipo I e podemos integrar deste
modo:
e
2
1
1
x
4
2
V
Figura 2
0 y
Assim, 0  x  2
0
0 4  x  ydydx
Tipo II
Resultado: V 
15
u.v
4
Exemplo 9
4.2.2
Teorema
a) Se R é uma região do tipo I então:
b
g 2 (x)
R f (x, y)dA   a  g 1 (x)
f ( x, y)dydx
h 2 ( y)
R f (x, y)dA   c  h 1 (y)
( x  y)dA , onde R é a
f ( x, y)dxdy
região limitada por y  x 2 y  2x
1
2
Solução
A região R está representada na Fig. 4.
Exemplo 8
Calcular o volume do sólido delimitado
superiormente pelo gráfico de z  4  x  y ,
inferiormente pela região delimitada por x=0 ,
1
1
x= 2 , y =0 e y  x  e lateralmente pelo
4
2
cilindro vertical cuja base é o contorno de R.
Resolução:

R
b) Se R é uma região do Tipo II, então:
d
Calcule a integral I 
Figura 4
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Podemos ver que a região R pode ser enquadrada
nos dois tipos:
y

0  x  2
 x x
ou R :  2
R:
2

0  y  4
x  y  2 x
R
2
2x
 0  x2
x  y dydx
I
I
ou

( x  y)dA 
4
 
0
R
x
x  y dxdy
y
2
Calcular I 
 2  0
ysen( xy )dA onde R é o
R


π  π
2  2
retângulo de vértices  0, , 1,  ,
0, π  .
ysen( xy )dxdy
I

1
 

1
y.  cos xy  dy
  y
0
2


1
 cos xy   dy
 0
 
2

 2 - cosy  1 dy
I  seny  y

1
Agora, integrando em relação à y, obtemos:
52
Resposta: I 
15
Exemplo 10

Integramos primeiramente em relação à x, e
obtemos:
Logo, podemos resolver a integral I pelos dois
tipos:
( x  y)dA 
Daí I 
3
1, π  ,


2
 

I   sen      sen  
2 2


I   1
2

I 1
2
Também poderíamos escolher a mesma região
porém integrar de forma invertida:
Solução
Região R representada graficamente na Fig. 5
I
y


1
 0  2
ysen( xy ) dy dx . Porém esta
escolha necessitaria de integração por partes.

2
Exemplo 11
I
Calcular
1

0
0
Figura 5
0  x  1

Podemos ter R1   
 2  y  
1
4 
2
 e y

4x 
a
Integral

dy dx .


Resolução:
Verificamos que não seria possível resolver a
primeira integral

4 
2
 e y

4x 

dy


pois a
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4
2
função f ( y)  e  y
não possui primitiva
elementar. Assim, é necessário mudar os limites
de integração.
A região está representada graficamente na Fig.
6, onde vemos que a região R1 é dada por:
0  x  1
R1  
4 x  y  4
Figura 6
Assim,
I
temos:
4
 
0
y
2
4  e  y

0 

dx dy


A qual é possível resolver.
Assim temos:
I
4
 
0
I
I
y
2
4  e  y

0 


4 
2
 1 y.e  y

0 4
1
I
4

4
2
 y.e  y

0
Calcule

 2x  y 2 dA , na região triangular


R
R compreendida entre as retas
y  x 1 e y  3 .
1
2
y  x  1 ,
Resolução:

dx dy


y
 4

dy

 0
4 
2
 x.e  y

0 
Exemplo 12

dy


Consideramos R como uma região do Tipo II. A
região R e a reta horizontal correspondente ao
ponto fixo y são mostradas na Fig. 7.
Para integrar numa região do tipo II, os limites
esquerdo e direito devem ser expressos sob a
forma x=h1(y) e x = h2(y). Por isso, devemos
reescrever as equações dos limites y = x+1 e
y = x+1 como x = 1 y e
x = y  1
respectivamente.

dy


Esta integral podemos resolver por substituição
de variáveis. Assim temos:
2
1
I  e y
8
4
0
1
1
I   e 16  e 0
8
8
1
I  1  e 16 

8 
Figura 7
A reta intercepta a região R na fronteira à
esquerda x = 1 y e na fronteira à direita
x = y  1. Esses são os limites de integração de
x. Agora, movendo a reta primeiro para baixo e
depois para cima ela gera os limites de y, sendo
y = 1 e y = 3. Assim,
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R  2x  y 2 dA 

R
3


O resultado desta integração é o mesmo
mostrado anteriormente.
1 
 2x  y 2 dA 


5
y 1
 2x  y 2 dx dy

1 y 

y 1
x 2  y 2 x 
dy

1 y
1 
3
3
Inversão da ordem de integração
Às vezes, o cálculo da integral iterada pode ser
simplificado invertendo-se a ordem de
integração. Este próximo exemplo ilustra esta
situação.
Exemplo 13
Calcule
1
1 - 2y  2y 2  y 3   1  2 y  y 3  dy 2
2




e x dx dy





y
1
0
2
3
2
3
 2 y  2 y dy

Como não existe antiderivada elementar de

1 
x 2 , a integral não pode ser resolvida
e
3
 2y3 y 4 
integrando-se primeiro em relação a x. Para
68
 


solucionar este problema devemos calcular essa
2 
3
 3
integral expressando-a com a ordem inversa de
1

 
integração.
Neste exemplo poderíamos ter tratado R como
uma região do Tipo I, entretanto neste caso a
fronteira superior R é a reta y = 3 ( Veja Fig 8) e
a fronteira inferior consiste em duas partes, a reta
y = -x + 1 à esquerda e a reta y = x +1 à direita
da origem. Para fazer esta integração devemos
separar a região R em duas partes conforme
mostra a Fig. 8.
Assim, a solução da integral deveria ser:

 2x  y 2 dA 


R


 2x  y 2 dA 


R1
0
Invertendo a ordem de integração devemos
definir os limites.
Observando a Fig. 9, podemos ver que fixando x
de 0 à 1, y irá variar de zero à 2x.
0  y  2

Ry
 x 1

2
 2x  y 2 dA


0  x  1
ou R  
0  y  2 x
R2
2 3
 2x  y 2 dy dx 
 2x  y 2 dy dx


 2  x 1
0 x 1
 
3

Na integração interna, x está variando entre as
retas y/2 e x = 1. Veja Fig 9.

Figura 9
Assim, essa integral deve ser escrita como se
segue:
Figura 8
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2
0 
1
ex
y
2
R (x  y)dA 
dx dy 
2



1
2x
0 0
ex
2


1
2xe
dx
0
2 1
x
e 
 0
 0  2y
x
 x 3  4 y dxdy


e utilizando a região R2, temos:
2
2x
R (x  y)dA   0  x 2  x 3  4y dydx
Exemplo 15
Exemplo 14
Seja R a região do plano x-y delimitada pelos
gráficos de y1  x 2 e y2 = 2x. Calcule

4
Verificamos que ambas as integrais possuem o
32
mesmo resultado, isto é, I 
3
 e -1
I

dy dx
1  2  2x
x
e y  dx
 0
0 
x2
6
( x 3  4 y)dA .
4
Dada I =
 
0
2
y cos x 5 dx dy ,
y
inverta a ordem de integração e calcule a integral
resultante.
Solução:
R
Solução: A Fig 10 apresenta o gráfico desta
região R.
Observamos que da maneira como está definida
esta integral, fica difícil a sua resolução. Assim,
uma mudança na ordem de integração poderá nos
facilitar o trabalho.
Observamos pela Fig.11 que a região R está
definida com as fronteiras esquerda e direita
pelos gráficos de
x  y e x = 2,
respectivamente com 0  y  4
x y
Figura 10
Verificamos que a região R pode ser escrita das
duas formas, sendo:
0  y  4

R1   y
x y

2

0  x  2
ou R 2  
2

x  y  2 x
Utilizando a região R1, temos:
Figura 11
Notamos que R também pode ser definida pelas
fronteiras inferior e superior dadas por
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respectivamente,
com
y  0 e y  x2
0  x  2 . Assim, a integral pode ser calculada
como sendo:
4
 
I=
2
0
y cos x 5dx dy
0 0
I=
y cos x 5dy dx
I=

2 2

y

cos x 5 

0  2
0

2
b)f (x, y)  yexy ,
e) f ( x , y ) 
x2
I=
dx
I = 0.055
E.4
E.5
Calcule as integrais duplas abaixo:
3
 
 

2
E.6
onde

plano xy limitada pela reta y = 2x e pela
parábola y = x2.
Calcule
a
integral
1
1
0
x
 
EXERCÍCIOS DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS
 

 
x  2 y dA ,
D
2
D : y  2x
e y 1 x2
Determine o volume do sólido que está
contido
abaixo
do
parabolóide
z  x 2  y 2 e acima da região D do
Assim, temos que:
5
 
Calcule

x4
cos x 5dx
0 2
3
1  x  2
R é o retângulo 
1  y  2
1
,
xy
E.3
Esta integral pode ser resolvida com uma simples
substituição de variáveis. (u).
E.1
1  x  3
R é o retângulo 
0  y  1
0  x  3
R é o retângulo 
0  y  1
a )f ( x, y)  xe xy ,
0  x  2

c)f (x, y)  x cos(xy) , R é retângulo 

0  y  2
2  x  3
d)f (x, y)  y ln x , R é o retângulo 
1  y  2
y
x2
2
7
Calcular
sen (y 2 ) dy dx
 
x  4dx dy , onde R é o
(2 x 2  3y)dxdy
1 2
1 1
R
1 2
2 4
retângulo 0  x  2 , 0  y  6 .
c)
( x  y)dydx d )
( x 2  2 y 2  1)dxdy
0 0
1
0
8  x  y dx dy , onde R é
E.7 Calcular
1
2
1 2y
R
e)
dydx
f)
(1  2 x 2  2 y 2 )dxdy
a
região
delimitada
por
0 0
0 y
2
y  x e y  4.
2
2y  y 2
2
x
g)
3ydxdy
h)
dydx
x sen y x dx dy , onde
E.8 Calcular
0
3y 2  6 y
0
0
3y
R
2
1
1
R
é
a
região delimitada por
i)
dydx
j)
dxdy
x
2

0
0
y
y0 , x
e y x .
2
2
a)
xydydx
 
Calcule

 
 
E.2
b)



 

R
E.9
f ( x , y)dxdy onde:
Calcular

senx sen y dx dy
R
R é o retângulo 0  x 
, onde


, 0 y
2
2
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E.10 Calcular

y ln x
dy dx , onde R é o
x

 x 2  y 2 dx dy , onde R


R
retângulo 1  x  2 , - 1  y  1
E.11 Calcular
E.12 Calcular
por
 
2x  y dx dy , onde R é
R
região
a
a )f ( x, y, z)  12xy 2 z 3  , com - 1  x  2


0 y3 e 0z2
Resp: 648
b)f ( x, y, z)  xyz2 , com 0  x  1 ,
-1 y  2 e 0  z  3
27
4
Resp:
R
é
a
região
delimitada
y0 , x4 e y x .
delimitada
c)f (x, y, z)  xyz2 , com T : 0,1x0,2x1,3
26
Resp:
3
b)f ( x, y, z)  ( y  x 2 ) z , com 1  x  2 ,
0  y 1 e - 3  z  5
por
x  y2 -1 , x  5 , y  -1 e y  2 .
Respostas
68
3
EXERCÍCIOS
E.13 Calcule as seguintes integrais triplas:
Resp:
1 y
1
E.1.
a) 42
b) –24 c) 3 d)20/3 e)2
f)13/6 g) 16 h)2
i)1
j)5/12
E2.
1
4
a )e 3  e  2
b) e 3  4 c)

3 

3
d) 3 ln 3  2 ln 2  1 e)10 ln 2  6 ln 3
2
32
216
1
E3.
E4.
E5. 1  cos1
35
15
2
a)
b)
  
  
E6. 60
E10. 0
1
e)
2) INTEGRAIS TRIPLAS
0
2 x  y
0
x2
x2
0
4
2
0
2
y
2x
1
x

Exemplo 16

Calcule

G
nos seguintes itens, sendo:
f ( x, y, z)dV ,
y
2
g)
 
0
3
h ))
y dzdydx
y
x2
  
1
Teorema
Se f
é contínua em uma caixa retangular
B  a, bxc, dxr, s , então:
s d b
f ( x, y, z)dV 
f ( x, y, z)dxdydz
r c a
B
x. dzdydx
0 0 0
  
  
2
f)
dzdxdy
0
x
2
c)
xy
0
1
d)

E8.  1 E9.
2
1728
1533
E11.
E12.
20
35
896
E7.
15
8
y dzdxdy
0
xy
z dzdydx
0
1
x
x 2 y 2 z dz dy dx
0
0
1
4 x 2
2

0
9 y2
x 2  4y 2
dz dy dx
0
3x 2  3y 2
 3   9 y2  4x 2  4y2 9 dz dx dy
Respostas:
1
a)
b)
6
95
e)
f)
8
31
120
127
42
c)
128
21
g) 
128
21
81
h)
2
d)