Aula 1 - Limites - 1 slide por folha

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Limites
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Limites
1.O limite de uma função
2.Propriedades dos limites
3.Técnicas para o cálculo de limites
4.Limites unilaterais
5.Comportamento não-limitado
6.Expressões indeterminadas
7.Limites no infinito
8.Limites infinitos
1. O limite de uma função
Na linguagem cotidiana, referimo-nos ao
limite de uma velocidade, ao limite do peso de um
lutador, ao limite da resistência humana, ou ao
limite de uma mola. Todas essas expressões
sugerem que o limite é uma cota, que em certas
ocasiões pode não ser atingida ou mesmo
ultrapassada.
3
1. O limite de uma função
Consideremos uma mola que se romperá se
lhe for apenso um peso de 10 kg ou mais. Para
determinar o quanto a mola se distenderá sem se
romper, poderemos anexar-lhe pesos cada vez
maiores, medindo o comprimento da mola para cada
peso w, conforme a figura acima.
4
1. O limite de uma função
Se o comprimento da mola tende para um
valor L, então dizemos que “o limite de x quando w
tende para 10 é L.” Um limite matemático é
bastante semelhante ao limite de uma mola.
5
1. O limite de uma função
A notação para limite é
lim f ( x ) = L
x →c
que se lê “o limite de f(x) quando x tende para c é L.”
6
1. O limite de uma função
Exemplo 1: Ache o limite de: lim ( x 2 + 1)
x →1
Seja f(x) = x2 + 1. Pelo gráfico de f
na figura ao lado, tudo indica que
f(x) se aproxima de 2 quando x se
aproxima de 1 pela direita ou pela
esquerda. Podemos, assim, escrever
(
)
lim x 2 + 1 = 2
x →1
7
1. O limite de uma função
x 2 + 1)
Exemplo 1: Ache o limite de: lim
(
x →1
A tabela abaixo chega à mesma
conclusão. Note que quando x fica
cada vez mais próximo de 1, f(x)
fica cada vez mais próxima de 2.
x tende para 1
x tende para 1
x
0,900
0,990
0,999
1,000
1,001
1,010
1,100
f(x)
1,810
1,980
1,998
2,000
2,002
2,020
2,200
8
f(x) tende para 2
f(x) tende para 2
1. O limite de uma função
x2 − 1
Exemplo 2: Ache o limite de: lim
x →1 x − 1
O gráfico de f, na figura ao lado,
sugere que f(x) se aproxima de 2
quando x se aproxima de 1 por
qualquer dos dois lados.
x2 − 1
lim
=2
x →1 x − 1
9
1. O limite de uma função
x2 − 1
Exemplo 2: Ache o limite de: lim
x →1 x − 1
A tabela abaixo reforça esta
conclusão. Certifique-se de que não
importa se f(x) não é definida para
x = 1. O limite depende somente dos
valores de f(x) na vizinhança de 1, e
não em 1.
x tende para 1
x tende para 1
x
0,900
0,990
0,999
1,000
1,001
1,010
1,100
f(x)
1,900
1,990
1,999
?
2,001
2,010
2,100
10
f(x) tende para 2
f(x) tende para 2
1. O limite de uma função
Exemplo 3: Ache o limite de: lim
x →1
x −1
x −1
Podemos ver que f(x) = -1 para
todos os valores à esquerda de
x = 1, e f(x) = 1 para todos os
valores à direita de x = 1. Em tais
situações, dizemos que o limite não
existe.
x −1
lim
= ∃
x →1 x − 1
11
1. O limite de uma função
Exemplo 3: Ache o limite de: lim
x →1
A tabela
conclusão.
x −1
x −1
abaixo
reforça
x tende para 1
esta
x tende para 1
x
0,900
0,990
0,999
1,000
1,001
1,010
1,100
f(x)
-1,00
-1,00
-1,00
?
1,00
1,00
1,00
f(x) tende para -1
f(x) tende para 1
12
1. O limite de uma função
 x, x ≠ 1
0, x = 1
Exemplo 4: Ache o limite de: f ( x ) = 
Pelo gráfico de f, parece que f(x)
tende para 1 quando x tende para 1
por qualquer dos dois lados.
13
1. O limite de uma função
 x, x ≠ 1
Exemplo 4: Ache o limite de: f ( x ) = 
0, x = 1
A tabela abaixo reforça esta
conclusão. Não importa que f(1) = 0.
O limite depende somente dos
valores de f(x) na vizinhança de 1,
não em 1.
x tende para 1
x tende para 1
x
0,900
0,990
0,999
1,000
1,001
1,010
1,100
f(x)
0,900
0,990
0,999
0,000
1,001
1,010
1,100
f(x) tende para 1
f(x) tende para 1
14
1. O limite de uma função
Há três idéias importantes que podemos
extrair dos exemplos anteriores:
1. Dizer que o limite de f(x) é L quando x tende
para c significa que o valor de f(x) pode tornarse arbitrariamente próximo do número L
escolhendo-se x cada vez mais próximo de c.
2. Para que um limite exista, devemos fazer x
tender para c por ambos os lados de c. Se f(x)
tende para números diferentes quando x tende
para c pela esquerda ou pela direita, então o
limite não existe.
15
1. O limite de uma função
3. O valor de f(x) para x = c não tem qualquer
influência na existência ou não-existência do
limite de f(x) quando x tende para c. Por
exemplo, no Exemplo 2, o limite de f(x) existe
quando x tende para 1, mesmo que a função não
seja definida em x = 1.
16
1. O limite de uma função
Definição de Limite de uma Função
Se f(x) se torna arbitrariamente próxima de um
número (único) L quando x tende para c de
qualquer lado, então
lim f ( x ) = L
x →c
que se lê “o limite de f(x), quando x tende para c é
L.”
17
2. Propriedades dos limites
Muitas vezes o limite de f(x), quando x
tende para c, é simplesmente f(c), conforme
ilustrado no Exemplo 1. Sempre que o limite de f(x)
quando x tende para c é
lim f ( x ) = f (c ), Substituição direta
x →c
dizemos que o limite pode ser calculado por
substituição direta. É importante que saibamos
reconhecer os tipos de funções que apresentam
esta propriedade.
18
2. Propriedades dos limites
Propriedades dos Limites
Sejam b e c números reais, e n um inteiro positivo.
1. lim b = b
2. lim x = c
3. lim x n = c n
4. lim n x = n c
x →c
x →c
x →c
x →c
Na propriedade 4, se n é par, c deve ser positivo.
Combinando as propriedades de limites com
as seguintes regras para operar com eles, podemos
determinar os limites de uma ampla diversidade de
19
funções.
2. Propriedades dos limites
Operações com Limites
Sejam b e c números reais e n um inteiro
positivo. Se os limites de f(x) e g(x) existem
quando x tende para c, então valem as seguintes
operações.
1. Múltiplo constante
2. Adição
3. Multiplicação
lim [ bf ( x )] = b  lim f ( x )
x →c
 x →c

lim [f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x )
x →c
x →c
x →c
lim [f ( x ) ⋅ g ( x )] =  lim f ( x ) ⋅  lim g ( x )
x →c
 x →c
  x →c

20
2. Propriedades dos limites
Operações com Limites
Sejam b e c números reais e n um inteiro
positivo. Se os limites de f(x) e g(x) existem
quando x tende para c, então valem as seguintes
operações.
4. Divisão
f (x)
f ( x ) lim
x →c
lim
,
=
x →c g ( x )
lim g ( x )
lim g ( x ) ≠ 0
x →c
x →c
5. Potência
lim [f ( x )]
6. Radical
lim n f ( x ) = n lim f ( x )
n
x →c
x →c
=  lim f ( x )
 x →c

n
x →c
Na propriedade 6, se n é par e
então L deve ser positivo.
lim f ( x ) = L ,
x →c
21
2. Propriedades dos limites
x 2 + 2x − 3 )
Exemplo 5: Calcule lim
(
x →2
(
)
lim x 2 + 2 x − 3 = lim x 2 + lim 2 x − lim 3
x →2
x →2
x →2
= 22 + 2(2) − 3
= 4+4−3
=5
x →2
Propriedade aditiva
Substituição direta
Simplificar
22
2. Propriedades dos limites
Limite de uma Função Polinomial
Se p é uma função polinomial e c é um
número real arbitrário, então
lim p( x ) = p(c )
x →c
23
3. Técnicas para o cálculo de
limites
Muitas técnicas para o cálculo de limites se
baseiam no teorema da substituição. Basicamente,
o teorema afirma que se duas funções coincidem
em todos os pontos exceto no ponto (único) c,
então elas têm comportamento limite idêntico em
x = c.
24
3. Técnicas para o cálculo de
limites
O Teorema da Substituição
Seja c um número real e seja f(x) = g(x) para
todo x ≠ c. Se o limite de g(x) existe quando x → c,
então o limite de f(x) também existe e
lim f ( x ) = lim g ( x )
x →c
x →c
Para aplicar o Teorema da Substituição,
podemos utilizar um resultado da álgebra, que
afirma que, para uma função polinomial p, p(c) = 0 se
e somente se (x – c) é fator de p(x).
25
3. Técnicas para o cálculo de
limites
x3 − 1
Exemplo 6: Calcule lim
x →1 x − 1
Note que tanto o numerador como o
denominador se anulam para x = 1. Isto implica que
(x – 1) é fator de ambos, podendo, pois, ser
cancelado.
x 3 − 1 ( x − 1)( x 2 + x + 1)
=
x −1
x −1
( x − 1 )( x 2 + x + 1)
=
x −1
= x 2 + x + 1,
x ≠1
Fatoração do numerador
Cancelamento do fator comum
Simplificar
26
3. Técnicas para o cálculo de
limites
Assim, a função racional (x3 – 1)/(x – 1) e a
função polinomial x2 + x + 1 concordam para todos
os valores de x tais que x ≠ 1. Podemos, pois,
aplicar o Teorema da Substituição.
x3 − 1
lim
= lim x 2 + x + 1 = 12 + 1 + 1 = 3
x →1 x − 1
x →1
(
)
27
3. Técnicas para o cálculo de
limites
A figura acima ilustra este resultado
graficamente. Note que os dois gráficos são
idênticos, com a única diferença que o gráfico de g
contém o ponto (1, 3), enquanto este ponto está
ausente do gráfico de f. Na figura à esquerda, o
ponto ausente é representado por um ponto
28
aberto.
3. Técnicas para o cálculo de
limites
x2 + x − 6
Exemplo 7: Calcule xlim
→−3
x +3
A substituição direta falha porque tanto o
numerador como o denominador se anulam quando x
= -3.
x + x −6
lim
x →−3
x +3
2
(
)
← lim x 2 + x − 6 = 0
x →−3
← lim ( x + 3 ) = 0
x →−3
Todavia, como ambos os limites do numerador e do
denominador são zero, sabemos que eles têm um
fator comum (x + 3). Assim, para todo x ≠ -3,
29
podemos cancelar este fator, obtendo:
3. Técnicas para o cálculo de
limites
x2 + x − 6
( x − 2)( x + 3)
lim
= lim
x →−3
x →−3
x +3
x +3
( x − 2)( x + 3 )
= lim
x →−3
x +3
= lim ( x − 2)
x →−3
= −5
Fatoração do numerador
Cancelamento do fator comum
Simplificar
Substituição direta
30
3. Técnicas para o cálculo de
limites
A figura acima mostra o resultado. Note que
o gráfico de f coincide com o gráfico de
g(x) = x – 2, com a diferença que o gráfico de f
tem uma interrupção (buraco) em (-3, -5).
31
3. Técnicas para o cálculo de
limites
x2 + x − 2
Exemplo 8: Calcule xlim
→−2
x −2
Como o limite do denominador não é zero,
podemos utilizar o limite de um quociente.
x2 + x − 2
( −2)2 − 2 − 2
lim
= lim
x →−2
x →−2
x −2
−2 − 2
0
=
−4
=0
Substituição direta
Simplificar
O limite é 0
32
4. Limites unilaterais
No Exemplo 3, vimos que um limite pode não
existir pelo fato de uma função tender para
valores diferentes à esquerda e à direita de c.
Este tipo de comportamento pode ser descrito de
modo mais conciso com o conceito de limite
unilateral.
lim− f ( x ) = L
Limite à esquerda
lim+ f ( x ) = L
Limite à direita
x →c
x →c
O primeiro limite lê-se como “o limite de
f(x) quando x tende para c pela esquerda é L.” O
segundo lê-se: “o limite de f(x) quando x tende
33
para c pela direita é L.”
4. Limites unilaterais
Exemplo 9: Ache o limite, quando x → 0 pela
esquerda, e o limite, quando x → 0 pela direita, da
função
2x
f (x) =
x
Pelo gráfico de f, vemos que
f(x) = -2 para todo x < 0 e que
f(x) = 2 para todo x > 0.
lim
x →0 −
lim+
x →0
2x
x
2x
x
= −2
Limite à esquerda
=2
Limite à direita
34
4. Limites unilaterais
No Exemplo 9, a função tem limites
diferentes à esquerda e à direita. Em tais casos, o
limite de f(x) quando x → c não existe. Para que o
limite de uma função exista quando x → c, ambos
os limites laterais devem existir e ser iguais.
35
4. Limites unilaterais
Existência de um Limite
Se f é uma função e c e L são números reais,
então
lim f ( x ) = L
x →c
se e somente se ambos os limites à esquerda e à
direita são iguais a L.
36
4. Limites unilaterais
Exemplo 10: Ache o limite de f(x), quando x tende
para 1.
4 − x,
f (x) = 
2
4 x − x ,
x <1
x >1
Tenha em mente que o que
nos interessa é o valor de f na
vizinhança de 1, e não em x = 1.
Assim,
podemos
utilizar
a
substituição direta para achar os
limites à esquerda e à direita de 1.
37
4. Limites unilaterais
Exemplo 10: Ache o limite de f(x), quando x tende
para 1.
x <1
4 − x,
f (x) = 
2
4
x
−
x
, x >1

Para x < 1 ⇒ lim− f ( x ) = lim− (4 − x ) = 4 − 1 = 3
x →1
x →1
Para x > 1 ⇒ lim+ f ( x ) = lim+ (4 x − x 2 ) = 4 − 1 = 3
x →1
x →1
Como ambos os limites
laterais existem e são iguais a 3,
decorre que
lim f ( x ) = 3
x →1
38
4. Limites unilaterais
Exemplo 11: Um serviço de entregas noturnas
cobra $ 8 pela primeira lb e $ 2 por cada lb
adicional. Seja x o peso de uma encomenda e f(x) o
custo de entrega. Mostre que o limite de f(x),
quando x → 2, não existe.
8,

f ( x ) = 10,
12,

0 < x ≤1
1< x ≤ 2
2< x≤3
39
4. Limites unilaterais
Exemplo 11: Um serviço de entregas noturnas
cobra $ 8 pela primeira lb e $ 2 por cada lb
adicional. Seja x o peso de uma encomenda e f(x) o
custo de entrega. Mostre que o limite de f(x),
quando x → 2, não existe.
lim− f ( x ) = 10
x →2
lim+ f ( x ) = 12
x →2
Como esses limites unilaterais
são diferentes, o limite de f(x),
quando x → 2, não existe.
40
5. Comportamento não-limitado
O Exemplo 11 mostra um limite que não
existe porque os limites à esquerda e à direita são
diferentes. Outra maneira importante pela qual um
limite pode não existir é quando f(x) aumenta ou
diminui indefinidamente quando x tende para c.
41
5. Comportamento não-limitado
3
Exemplo 12: Calcule o limite (se possível): lim
x →2 x − 2
Pela figura, vemos que
f(x) decresce sem limite
quando x tende para 2 pela
esquerda e cresce sem limite
quando x tende para 2 pela
direita. Simbolicamente, podemos escrever
42
5. Comportamento não-limitado
3
Exemplo 12: Calcule o limite (se possível): lim
x →2 x − 2
3
= −∞
x →2 x − 2
3
lim+
= +∞
x →2 x − 2
lim−
Como f é não-limitada
quando x tende para 2, o limite
não existe
43
5. Comportamento não-limitado
Nota: O sinal de igualdade em
lim+ f ( x ) = +∞
x →c
não significa que o limite exista! Pelo contrário,
diz-nos como o limite deixa de existir denotando o
comportamento não-limitado de f(x) quando x
tende para c.
44
6. Expressões indeterminadas
Costuma-se dizer que as expressões do tipo:
0 ∞
0
0 ∞
, , ∞ − ∞,0 × ∞,0 , ∞ ,1
0 ∞
são indeterminadas.
45
6. Expressões indeterminadas
Vejamos por exemplo, a expressão 0/0.
Sejam f e g funções tais que:
lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0
x →a
x →a
46
6. Expressões indeterminadas
Nada se pode afirmar, a priori, sobre o
limite do quociente f/g. Dependendo das funções f
e g ele pode assumir qualquer valor real ou não
existir.
Exprimimos isso dizendo que 0/0 é um
símbolo de indeterminação.
47
6. Expressões indeterminadas
Para comprovar o que foi dito, vejamos dois
exemplos:
(i) Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2.
Temos,
lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0
x →0
x →0
3
f (x)
x
e lim
= lim 2 = lim x = 0.
x →0 g ( x )
x →0 x
x →0
48
6. Expressões indeterminadas
(ii) Sejam f(x) = x2 e g(x) = 2x2.
Temos,
lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0
x →0
x →0
f (x)
x2
1 1
e lim
= lim 2 = lim = .
x →0 g ( x )
x →0 2 x
x →0 2
2
49
7. Limites no infinito
Se n é um número inteiro positivo, então:
1
lim n = 0
x →±∞ x
50
7. Limites no infinito
Exemplo 13: Determinar o limite da expressão
2x − 5
lim
x →+∞ x + 8
Neste caso, temos uma indeterminação do
tipo ∞/∞.
Vamos dividir o numerador e o denominador
por x e depois aplicar as propriedades de limites,
juntamente com a propriedade vista no slide
51
anterior.
7. Limites no infinito
Temos,
5
5


x2 − 
2− 

2x − 5
x
x


lim
= lim
= lim
=
x →+∞ x + 8
x →+∞
8  x →+∞  8 

x 1+ 
1+ 

x
x


5

lim  2 −  lim 2 − lim 5
x →+∞
2 − 5⋅0
x  x →+∞
x →+∞ x

=
=
=
=2
8 1+ 8 ⋅ 0
8

1 + lim
lim  1 +  xlim
→+∞
x →+∞ x
x →+∞
x

52
7. Limites no infinito
Exemplo 14: Determinar o limite da expressão
2x 3 + 3 x + 5
lim
5
x →+∞
4x + 2
Novamente temos uma indeterminação do
tipo ∞/∞.
Vamos dividir o numerador e o denominador
pela maior potência de x, que neste caso é x5.
53
7. Limites no infinito
Temos,
3
5 
 2
2
3
5
+ 4+ 5
+ 4 + 5 xlim
3

2
2
→+∞
2x + 3 x + 5
x
x
x 

x
x
x
= lim
=
=
lim
5
x →+∞
x →+∞
2
2 
4x + 2

4+ 5
lim  4 + 5 
x →+∞
x
x 

 1 
 1 
 1 
2 lim  2  + 3 lim  4  + 5 lim  5 
x →+∞ x
x →+∞ x
x →+∞ x
2⋅0 + 3⋅0 + 5⋅0






=
=
=0
4 + 2⋅0
 1 
lim 4 + 2 lim  5 
x →+∞
x →+∞ x
 
54
7. Limites no infinito
Exemplo 15: Determinar o limite da expressão
lim
x →+∞
2x + 5
2x 2 − 5
Neste caso dividimos o numerador e o
denominador por x. No denominador tomamos
x = raiz quadrada de x2, já que os valores de x
podem ser considerados positivos (x → +∞).
55
7. Limites no infinito
Temos,
5
5


x 2 + 
x2 + 
2x + 5
x
x


= lim
= lim
=
lim
2
x →+∞
x →+∞
x →+∞
5 
5 
2x − 5

2
x 2 − 2 
x 2 − 2 
x 
x 


5

5
5
lim  2 + 
2+
lim
2
+
lim
x →+∞
x
x →+∞
x →+∞ x

x
= lim
=
=
=
x →+∞
5
5
5 

2− 2
lim 2 − 2
lim
2
−

2 
x →+∞
x →+∞
x
x
x


5
lim 2 + lim
2+0
2
2
2 2 2
x →+∞
x →+∞ x
=
=
=
=
⋅
=
= 2
2
5
2−0
2
2 2
lim 2 − lim 2
56
x →+∞
x →+∞ x
7. Limites no infinito
Exemplo 16: Determinar o limite da expressão
lim
x →−∞
2x + 5
2x 2 − 5
Como no exemplo anterior, dividimos o
numerador e o denominador por x. Como neste caso
x → -∞, os valores de x podem ser considerados
negativos. Então, para o denominador, tomamos
-x como sendo a raiz quadrada de x2.
57
7. Limites no infinito
Temos,
lim
x →−∞
2x + 5
= lim
2x − 5
x →−∞
2
5
5


x2 + 
x 2 + 
x
x


= lim
=
x →−∞
5 
5 

2
x 2 − 2 
−x  2 − 2 
x 
x 


5

lim  2 + 
x →−∞
x

= lim
=
x →−∞

5
5
− 2− 2
lim  − 2 − 2
x →−∞
x
x

5
2+
x
=
5
lim 2 + lim
x →−∞
x →−∞ x
5
x →−∞ x 2
− lim 2 − lim
x →−∞
=
−
(
2+0
2 2
=
=−
⋅
=−
=− 2
2
− 2
2 2
2−0
)
2
5
lim 2 + lim
x →−∞
x →−∞ x
=
=

5 

2
−
 − xlim

2 
→−∞
x



2
2
58
8. Limites infinitos
Se n é um número inteiro positivo, então:
1
lim+ n = +∞
x →0 x
1 +∞, se n é par
lim− n = 
x →0 x
−∞, se n é ímpar
59
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
De certo modo, as propriedades das
operações envolvendo limites permanecem válidas
para limites infinitos.
A tabela seguinte nos dá um resumo dos
fatos principais válidos para os limites infinitos,
onde podemos ter x → a, x → a+, x → a-, x → +∞ ou
x → -∞.
60
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
lim f ( x ) lim g ( x )
±∞
±∞
+∞
+∞
k
+∞
k
−∞
+∞
+∞
+∞
−∞
k>0
+∞
k<0
+∞
0
±∞
k
±∞
±∞
±∞
k>0
0+
0+
+∞
k>0
00+∞
0
0
h( x ) =
f ( x ) + g( x )
f ( x ) − g( x )
f ( x ) + g( x )
f ( x ) + g( x )
f ( x ) ⋅ g( x )
f ( x ) ⋅ g( x )
f ( x ) ⋅ g( x )
f ( x ) ⋅ g( x )
f ( x ) ⋅ g( x )
f ( x ) / g(x )
f ( x ) / g(x )
f ( x ) / g(x )
f ( x ) / g(x )
f ( x ) / g(x )
f ( x ) / g(x )
f ( x ) / g(x )
lim h( x )
simbolicamente
±∞
±∞ ± ∞ = ±∞
(+∞) − (+∞) é indeterminação
?
+∞
+∞ + k = +∞
−∞
−∞ + k = −∞
(+∞) ⋅ (+∞) = +∞
+∞
(+∞) ⋅ (−∞) = −∞
−∞
(+∞) ⋅ k = +∞, k > 0
+∞
(+∞) ⋅ k = −∞, k < 0
−∞
(±∞) ⋅ 0 é indeterminação
?
k / (±∞) = 0
0
±∞ / ±∞ é indeterminação
?
k / 0+ = +∞, k > 0
+∞
+∞ / 0+ = +∞
+∞
k / 0− = −∞, k > 0
−∞
+∞ / 0− = −∞
−∞
0 / 0 é indeterminação
?
61
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Exemplo 17: Determinar o limite da expressão
1 
 3
lim  x + x + 2 
x →0
x 

62
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução:
( )
1 
 3
3
lim  x + x + 2  = lim x + lim
x →0
x →0
x  x →0

( )
 1 
x + lim  2 
x →0 x
 
= 0 + 0 + ∞ = +∞
63
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Exemplo 18: Determinar o limite da expressão
(
)
lim 3 x − 4 x + 1
x →+∞
5
3
Neste caso, temos uma indeterminação do
tipo ∞ - ∞. Para determinarmos o limite usamos um
artifício de cálculo.
64
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução:
(
)
4
1 

lim 3 x − 4 x + 1 = lim x  3 − 2 + 5  =
x →∞
x →∞
x
x 

5
3
5
4
1 

lim x ⋅ lim  3 − 2 + 5  = +∞ ⋅ ( 3 − 0 + 0 ) = +∞
x →∞
x →∞
x
x 

5
65
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Exemplo 19: Determinar o limite das expressões
lim+
x →0
x
x
2
, lim−
x →0
x
x
2
e lim
x →0
x
x
2
66
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução: Para x > 0, temos |x| = x. Assim,
x
x
1
lim+ 2 = lim+ 2 = lim+ = +∞
x →0 x
x →0 x
x →0 x
67
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução: Para x < 0, temos |x| = -x. Portanto,
−x
−1
lim− 2 = lim− 2 = lim−
= +∞
x →0 x
x →0 x
x →0 x
x
68
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução:
lim+
x →0
x
x
2
= lim−
x →0
x
x
2
= +∞
69
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Exemplo 20: Determinar o limite da expressão
5x + 2
lim
x →−1 x + 1
70
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução: Quando x → -1, |x + 1| → 0+. Assim,
5 x + 2 ) −3
(
5 x + 2 xlim
lim
= →−1
= + = −∞
x →−1 x + 1
lim x + 1
0
x →−1
71
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Exemplo 21: Determinar o limite das expressões
x + 3x + 1
x + 3x + 1
x + 3x + 1
lim+ 2
, lim− 2
e lim 2
x →2 x + x − 6
x →2 x + x − 6
x →2 x + x − 6
2
2
2
72
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução:
x 2 + 3x + 1
x 2 + 3x + 1
11
= lim+
= + = +∞
lim+ 2
x →2 x + x − 6
x →2 ( x − 2 )( x + 3 )
0
73
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução:
x 2 + 3x + 1
x 2 + 3x + 1
11
= lim−
= − = −∞
lim− 2
x →2 x + x − 6
x →2 ( x − 2 )( x + 3 )
0
74
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução:
x 2 + 3x + 1
x 2 + 3x + 1
lim+ 2
≠ lim− 2
x →2 x + x − 6
x →2 x + x − 6
Conclusão ????
75
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Exemplo 22: Determinar o limite da expressão
x +3
lim
x →+∞ x + 2
2
76
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução:
3 

3
x
1
+
1+ 2

2
2 
x +3
x 

x =
lim
= lim
= lim
x →+∞ x + 2
x →+∞
2  x →+∞ 1 2
2 1
+ 2
x  + 2
x x
x x 
2
3 

lim  1 + 2 
x →+∞
1
x 

=
= + = +∞
1 2  0
lim  + 2 
x →+∞ x
x 

77
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Exemplo 23: Determinar o limite da expressão
5−x
lim
x →+∞ 8 x + 2
3
78
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução:
 5

x  3 − 1
3
5−x
x

 = lim
= lim
lim
x →+∞ 8 x + 2
x →+∞
2  x →+∞
3 8
x  2+ 3
x 
x
3
 5

lim  3 − 1
x →+∞ x
−1


=
= + = −∞
2  0
 8
lim  2 + 3 
x →+∞ x
x 

5
−1
3
x
=
8
2
+ 3
2
x
x
79
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Exemplo 24: Determinar o limite da expressão
2x + 3 x + 2x + 1
lim
x →+∞
4 − x4
4
2
80
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução:
3
2
1 

x 2 + 2 + 3 + 4 
4
2
2x + 3 x + 2x + 1
x
x
x 

lim
= lim
=
4
x →+∞
x
→+∞
4−x
 4

x 4  4 − 1
x

4
3
2
1 

3
2
1
2 + 2 + 3 + 4 xlim
 2 + x2 + x3 + x 4  2
→+∞

=
x
x
x =
= lim
= −2
x →+∞
4
−1
 4

−
1
lim  4 − 1
4
x
→+∞ x
x


81
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Exemplo 25: Determinar o limite da expressão
x + 3x − 1
lim
x →+∞
x3 − 2
2
82
8.1. Propriedades dos limites
infinitos
Resolução:
3
1 
3 1
1 3
1
x
+
−
+
−
 x x2 x3 
2
3
x 2 + 3x − 1


x
x
x
lim
= lim
= lim
=
3
x →+∞
x →+∞
x →+∞
2
2 
x −2
3
1− 3
x 1 − 3 
x
x 

1 
1 3
lim  + 2 − 3 
x →+∞ x
x
x  0

=
= =0
2 
1

lim  1 − 3 
x →+∞
x 

83