Derivada, a linguagem do movimento

A linguagem do movimento
Galileu, ao descrever pela primeira vez uma
função que relacionava o espaço com o tempo
na queda dos corpos, deixou em aberto a
necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo
com derivadas.
A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea
em qualquer fenômeno que envolva funções.
Mas, quando se trata de corpos em
movimento, esta interpretação é
especialmente precisa e interessante.
De fato, historicamente, foi o que
deu origem ao estudo das derivadas.
A lei da queda dos corpos
A tentativa de Galileu de demonstrar que todos
os corpos caem com a mesma aceleração
esbarrou na falta de um instrumento matemático
- as derivadas.
Quem foi capaz de completar a tarefa de
Galileu?...
Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo
tempo, o que originou uma forte disputa entre eles.
Gottfried Wilhelm
von Leibniz
(Leipzig, 1 de julho de
1646 — Hanôver, 14 de
Novembro de 1716)
Sir Isaac Newton
(Woolsthorpe, 4 de
Janeiro de 1643 —
Londres, 31 de
Março de 1727)
A linguagem do movimento
Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial
e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos
físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram
as portas ao espectacular desenvolvimento
científico e tecnológico que transformou o mundo
em 3 séculos tanto ou mais que em toda a
história anterior. Parecia que por fim se tinha
cumprido o sonho pitagórico: explicar o mundo
com a Matemática.
O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em
segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e
Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e este foi capaz de por
si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz
recorreu à British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado
pela opinião dominante, neste caso nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton
gabava-se de ―ter desfeito o coração de Leibniz‖.
()
Introdução
Se uma função é representada graficamente por uma reta (função
afim) facilmente sabemos com que velocidade varia essa função.
Corresponde, é claro, ao declive da reta representativa da função.
y
f(b)
f(b) - f(a)
y

f(a)
b–a
x
tmv = tg =
taxa média
de variação
O
a
b
x
f b  f a 
ba
y
y
x
x
m
E... se o gráfico da função não for uma reta?
Com que velocidade (rapidez) varia essa função?
O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a
curva por uma reta e calcular o declive dessa(s) reta(s) e… o resto é
História e o estudo das Derivadas…
y
f(b)
tmv =
f(b) - f(a)
y
f(a)
O
a
b–a
x
b
x
f b  f a 
ba
y
y
x
x
m
Aplicação das Derivadas
na Geometria Analítica
E… quando tomamos o limite?
ZOOM IN
y
Vamos, então, estudar Derivadas!
f(x)  f(x 0 )
Δy
f ' (x 0 )  lim
 lim
Δx0 Δx
x x 0
x  x0
O
f(x)
y
f(x) - f(x0)
 x
f(x0)
O
x0
x-x0
x
x
f(x)  f(x 0 )  m(x  x 0 )
f ' (x 0 )  tgα  m
f(x)  f(x 0 )  f ' (x).(x  x 0 )
y  f(x 0 )  y '.(x  x 0 )
Outros Exemplos
Exemplo 1 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja
f(x) = x2.
y(ºC)
f(3)=9
y
f(1)=1
x
x0=1 x=3
– Então temos que:
• A partir de x0 = 1h, a variável x aumentou de 2
unidades (horas) e passou para x = 3h.
x = x – x0 = 3 – 1 = 2
• A temperatura y = f(x) também sofre variação:
passou de f(1) = 1ºC para f(3) = 9ºC,
aumentando 8 unidades (ºC).
y = f(x) – f(x0) = 9 – 1 = 8
A razão y/x = 4ºC/h, significa que, entre 1h e
x(h)
3h, a temperatura aumentou 4ºC por hora, em
média.
Temperatura de uma sala
• Noção Intuitiva
– Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num
instante bem próximo de x0 = 1h.
y(ºC)
f(3)=9
x
x
f(x)
x
y
y/ x
1h30min
1,5
2,25
0,5
1,25
2,5
1h12min
1,2
1,44
0,2
0,44
2,2
1h06min
1,1
1,21
0,1
0,21
2,1
1h1seg
1,0002777
1,000555
0,0002777
0,000555
2,0003601
y
f(1)=1
x
x0=1 x=3
x(h)
À medida que x se aproxima de zero, y/x se aproxima de 2.
Temperatura de uma sala
y(ºC)
f ( x)  f ( x0 )
y
f ' ( x0 )  y'  lim
 lim
x 0 x
x  x0
x  x0
f(3)=9
y
x2 1
( x  1)(x  1)
lim
 lim
 lim( x  1)  2º C / h
x 1 x  1
x 1
x 1
x 1
f(1)=1
x
x0=1 x=3
x(h)
O limite da razão y/x, quando x  0, exprime que, quando x aumenta
de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, a temperatura y aumentará de
aproximadamente 2ºC.
(aproximadamente, pois se trata de limites)
Temperatura de uma sala
y(ºC)
f ( x)  f ( x0 )
y
f ' ( x0 )  y'  lim
 lim
x 0 x
x  x0
x  x0
f(3)=9
a) Se x  x0, então x  0.
y
b) Se x = x - x0, então x = x + x0
f(1)=1
x
x0=1 x=3
x(h)
c) f(x) = f(x + x0)
f (x  x0 )  f ( x0 )
f (x  x0 )  f ( x0 )
f ' ( x)  lim
 lim
x 0
x 0
x  x0  x0
x
Exemplos
Exemplo 2 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no
ponto x0 = 3, ou seja, f’(3).
f ( x)  f ( x0 )
y
f ' ( x0 )  y'  lim
 lim
x 0 x
x  x0
x  x0
Temos: x0 = 3
e
f(x0) = f(3) = 2.32 = 18
2 x 2  18
2( x 2  9)
2( x  3)( x  3)
f ' (3)  lim
 lim
 lim
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
f ' (3)  lim 2( x  3)  12
x 3
Exemplos
Exemplo 3 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x
no ponto x0 = 2, ou seja, f’(2).
f ( x)  f ( x0 )
y
f ' ( x0 )  y'  lim
 lim
x 0 x
x  x0
x  x0
Temos: x0 = 2
e
f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8
x2  6x  8
( x  2)(x  4)
f ' (2)  lim
 lim
 lim( x  4)  2
x 2
x 2
x 2
x2
x2
Exemplos
Exemplo 4 – Determinar a derivada da função f(x) = x no
ponto x0 = 0, ou seja, f’(0).
f ( x)  f ( x0 )
y
f ' ( x0 )  y'  lim
 lim
x 0 x
x  x0
x  x0
Temos: x0 = 0
e
f(x0) = f(0) = 0 = 0
x 0
x
1
f ' (0)  lim
 lim
 lim
 
x 0 x  0
x 0 x
x 0
x
Nesse caso, dizemos que f(x) = x não tem derivada
no ponto x0 = 0.
Exemplos
Exemplo 5 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de
motores, sendo o custo mensal de produção dado por:
C(x) = 1500 + 220x (em reais).
a) Determine a derivada no ponto x0 = 100 motores.
b) Interprete o resultado obtido.
a) f(x0) = f(100) = 1500 + 220(100)1/2 = 3700
f ( x)  f ( x0 )
y
f ' ( x0 )  y'  lim
 lim
x 0 x
x  x0
x  x0
1500 220 x  3700
220( x  10)
f ' ( x0 )  lim
 lim
 11
x 100
x

100
x  100
( x  10)( x  10)
b) O resultado f’(x0) = 11, significa que a cada aumento de
unidade de motor, há um aumento de 11 reais no custo mensal,
a partir de 100 motores.
Exemplos
Exemplo 6 - Consideremos a função C(x) = custo da produção
de x sapatos, em reais.
Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos,
tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato.
O que significa isso?
Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e
produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20
reais, aproximadamente.