AM II_Continuidade 2var

ROSÁRIO LAUREANO
1
Cálculo Diferencial em R — Continuidade
n
[Elaborado por Rosário Laureano] [2012/13]
Este ficheiro contém: 1. Tópicos de teoria - continuidade (p. 1)
2. Exercícios resolvidos (p. 3)
3. Exercício propostos (p. 10)
1
Tópicos de teoria - continuidade
Continuidade num ponto Sejam f : Df ⊆ R2 → R e (a, b) ∈ R2 um
ponto de acumulação de Df . A função f diz-se contínua no ponto (a, b)
se e só se são verificadas as três condições seguintes:
(i) existe a imagem f (a, b), ou seja, (a, b) ∈ Df ;
(ii) existe o limite lim(x,y)→(a,b) f (x, y);
(iii) são iguais os elementos garantidos em (i). e (ii), isto é,
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = f (a, b) .
A função diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seu
domínio.
A continuidade de f no ponto (a, b) traduz-se no essencial por: "sempre
que se tomam objectos (x, y) suficientemente próximos de (a, b) obtêm-se
valores f (x, y) das imagens tão próximos de f (a, b) quanto se queira".
Prolongamento por continuidade num ponto Sejam f : Df ⊆ R2 →
R e (a, b) ∈ R2 um ponto de acumulação de Df . A função f diz-se prolongável por continuidade no ponto (a, b) (ou que f tem no ponto (a, b)
uma descontinuidade removível) se e só se são verificadas as duas condições
seguintes:
(i) (a, b) ∈
/ Df (logo não existe a imagem f (a, b));
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2
(ii) existe com valor finito (como número real) o limite
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) .
Seja l o valor deste limite. Define-se a função f ∗ , designada por prolongamento por continuidade de f ao ponto (a, b), por
f ∗ (x, y) ≡

 f (x, y)

se (x, y) ∈ Df
l se (x, y) = (a, b)
com domínio Df ∗ = Df ∪ {(a, b)}. Note-se que Df ∗ = Df , pois Df ∗ =
Df ∪ {(a, b)} e (a, b) ∈
/ Df .
Descontinuidade num ponto Sejam f : Df ⊆ R2 → R e (a, b) um
ponto de acumulação de Df . A função f diz-se descontínua no ponto (a, b)
se f não é contínua nem prolongável por continuidade nesse ponto. Neste
caso, o ponto (a, b) diz-se um ponto de descontinuidade da função f .
Qualquer função polinomial é uma função contínua, independentemente
do número de variáveis. Tais funções podem ser designadas por funções
elementares.
Operações entre funções Sejam f : Df ⊆ R2 → R, g : Dg ⊆ R2 → R
e (a, b) ∈ Df ∩ Dg . Se f e g são contínuas no ponto (a, b) então são contínuas
f
se
nesse ponto as funções |f |, f + g, f − g, f × g, k · f (para c ∈ R) e
g
g (x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ Dg .
−
→
−
→
− ⊆ Rn → Rm e G : D→
− ⊆ Rm → Rp
Função composta Sejam F : D→
F
G
−
→
−
→ −
→
−
− (portanto a função composta G ◦ F está
funções tais que F D→
⊂ D→
F
G
−
→
− . Se F é contínua no ponto (a1 , . . . , an ) e
bem definida) e (a1 , . . . , an ) ∈ D→
F
−
→
−
→
−
→ −
→
G é contínua em F (a1 , . . . , an ) então a função composta G ◦ F também é
contínua em (a1 , . . . , an ).
CASO PARTICULAR 1: Sejam f : Df ⊆ R2 → R, g, h : D ⊆ R → R
tais que g (D) × h (D) ⊂ Df e (a, b) = (g (c) , h (c)) ∈ g (D) × h (D) ⊂ Df um
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ponto obtido a partir do valor real c ∈ D. Se f é contínua no ponto (a, b) e
g e h são contínuas em c então a função composta F definida por
F (t) = f (g(t), h(t))
também é contínua em c.
CASO PARTICULAR 2: Sejam f : Df ⊆ R2 → R, g, h : D ⊆ R2 → R
tais que g (D)×h (D) ⊂ Df e (a, b) = (g (c, d) , h (c, d)) ∈ g (D)×h (D) ⊂ Df
um ponto obtido a partir do ponto (c, d) ∈ D. Se f é contínua no ponto (a, b)
e g e h são contínuas em (c, d) então a função composta F definida por
F (x, y) = f (g(x, y), h(x, y))
também é contínua em (c, d).
No caso de uma função vetorial, a continuidade num ponto é garantida
pela continuidade de cada uma das suas funções componentes nesse ponto.
2
Exercícios resolvidos
Exercício Estude a continuidade da função f definida por

sin (x2 + y 2 )


se (x, y) = (0, 0)

x2 + y 2
f(x, y) =
.



1
se (x, y) = (0, 0)
RESOLUÇÃO: O domínio de f é todo o plano R2 . A função f é contínua
em qualquer ponto (a, b) = (0, 0) por ser o quociente de funções contínuas
(notemos que w = sin (x2 + y 2 ) é contínua por ser a composta de funções
contínuas, e v = x2 + y 2 é uma função polinomial). A função f também é
contínua em (a, b) = (0, 0) porque
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) =
sin (x2 + y 2 )
=1
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
lim
(atendendo ao limite de referência limA→0 (sin A) /A = 1) e 1 é valor da
imagem de f em (0, 0), f (0, 0) = 1. Concluímos então que f é contínua.
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Exercício Considere a função f dada por

x4 y 3


se (x, y) = (0, 0)
 4
x + y8
f (x, y) =
.



0
se (x, y) = (0, 0)
Averigúe se a função f é contínua no ponto (0, 0).
RESOLUÇÃO: Notemos que (0, 0) ∈ Df = R2 . Temos f (0, 0) = 0 logo
f é contínua em (0, 0) se
x4 y 3
= 0 = f (0, 0) .
(x,y)→(0,0) x4 + y 8
lim
0
A substituição de x por 0 e y por 0 conduz à indeterminação . Procedemos
0
então ao estudo dos limites relativos.
Limites iterados ou sucessivos:
x4 y 3
0
lim lim 4
= lim 4 = lim 0 = 0
8
x→0 y→0 x + y
x→0 x
x→0
(caso exista o limite pedido, ele terá o valor 0) e também é nulo o limite
x4 y 3
0
lim lim
= lim 8 = lim 0 = 0.
y→0 x→0 x4 + y 8
y→0 y
x→0
Aproximação ao ponto (0, 0) por retas (limites direcionais):
0
x4 y 3
x4 m3 x3
x7 m3
=
lim
lim
=
lim
x→0,y=mx x4 + y 8
x→0 x4 + m8 x8
x→0 x4 (1 + m8 x4 )
0
0 · m3
x3 m3
0
=
= = 0,
8
4
8
x→0 1 + m x
1+m ·0
1
= lim
para todo o m.
Aproximação ao ponto (0, 0) por parábolas verticais y = kx2 , com k = 0:
x4 y 3
x4 k 3 x6
0
x10 k 3
=
lim
lim 2 4
=
lim
x→0 x4 + k 8 x16
x→0 x4 (1 + k 8 x12 )
x→0,y=kx x + y 8
0
x6 k 3
0 · k3
0
=
= = 0.
8
12
8
x→0 1 + k x
1+k ·0
1
= lim
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Dado que todos os limites relativos estudados conduzem ao mesmo valor
0, há que analisar pela definição se 0 é, de facto, o valor do limite em estudo.
Temos
4 3
4 3
4
3
4
3
xy
= |x y | = |x | · |y | ≤ x · |y |
|f (x, y) − 0| = 4
−
0
|x4 + y 8 |
x + y8
x4 + y 8
x4 + y 8
3
x4 · |y 3 | 3 3
2
2
≤
= y = |y| ≤
x +y
< ε3
4
x
Portanto, é garantido que
|f (x, y) − 0| < δ
√
√
sempre que ε3 ≤ δ, ou seja, sempre que ε ≤ 3 δ. A relação ε ≤ 3 δ mostra
√
que a diminuição do δ tomado implica a diminuição do valor ε = ε (δ) = 3 δ
respetivo. Assim, concluímos que
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0.
e que a função f é contínua em (0, 0).
Exercício Considere a função f definida por

x2 y


se xy < 0
 2
x + y2
.
f (x, y) =



ln (xy + 1) se xy ≥ 0
Averigúe a continuidade de f em pontos do eixo dos xx com abcissa positiva.
RESOLUÇÃO: Notemos que os pontos do eixo dos xx com abcissa positiva pertencem ao domínio da função, Df = R2 . Estes pontos têm imagem
nula,
f (a, 0) = ln (a · 0 + 1) = ln 1 = 0.
Há que saber se também é nulo o limite de f em pontos da forma (a, 0),
com a > 0. Estes pontos (x, y) estão no 1o ou no 4o quadrantes. Então,
dada a forma como a função f está definida (podemos fazer um esquema
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com a expressão válida em cada um dos quadrantes pois ajuda a clarificar o
exercício), é necessário calcular os limites
[1o Q]
lim
f (x, y) = lim ln (xy + 1) = ln (a · 0 + 1) = 0,
(x,y)→(a,0)
(x, y) → (a, 0)
y>0
e
[4o Q]
x2 y
a2 · 0
0
lim
f (x, y) = lim
=
= 2 = 0.
2
2
2
2
(x,y)→(a,0) x + y
a +0
a
(x, y) → (a, 0)
y<0
Como são iguais (note que não estamos a calcular limites relativos), concluímos que o limite de f nos pontos (a, 0), com a > 0, existe e tem o valor 0.
Assim, a função f é contínua em todos os pontos do eixo dos xx com abcissa
positiva.
Exercício Considere a função f definida por

2x3 − y 3


se (x, y) = (0, 0)
 2
x + y2
f(x, y) =
.



α
se (x, y) = (0, 0)
Existe algum valor de α ∈ R para o qual a função f é contínua? Justifique.
RESOLUÇÃO: Notemos que a função f está definida em todo o plano R2 .
A função f é contínua em qualquer ponto (a, b) = (0, 0) por ser o quociente
de funções contínuas (funções polinomiais), independentemente do valor de
α. A função f é contínua no ponto (a, b) = (0, 0) se
2x3 − y 3
= α,
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
visto que f (0, 0) = α. A substituição de x por 0 e y por 0 no limite conduz
0
à indeterminação . Procedemos então ao estudo dos limites relativos:
0
Limites iterados ou sucessivos:
2x3 − y 3
2x3
lim lim 2
=
lim
= lim 2x = 0
x→0 y→0 x + y 2
x→0 x2
x→0
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(caso exista o limite pedido, ele terá o valor 0) e também é nulo o limite
2x3 − y 3
−y 3
lim lim 2
=
lim
= lim (−y) = 0.
y→0 x→0 x + y 2
y→0 y 2
x→0
Aproximação ao ponto (0, 0) por retas (limites direcionais):
2x3 − y 3
2x3 − m3 x3 0
x3 (2 − m3 )
lim
=
lim
=
lim
x→0,y=mx x2 + y 2
x→0 x2 + m2 x2
x→0 x2 (1 + m2 )
0
0 · (2 − m3 )
x (2 − m3 )
=
= 0,
x→0
1 + m2
1 + m2
= lim
para todo o m.
Aproximação ao ponto (0, 0) por parábolas verticais y = kx2 , com k = 0:
2x3 − y 3
2x3 − k 3 x6 0
x3 (2 − k 3 x3 )
=
lim
lim 2 2
=
lim
x→0 x2 + k 2 x4
x→0 x2 (1 + k 2 x2 )
x→0,y=kx x + y 2
0
0 · (2 − 0)
x (2 − k 3 x3 )
=
= 0.
2
2
x→0 1 + k x
1+0
= lim
Dado que todos os limites relativos estudados conduzem ao mesmo valor
0, há que analisar pela definição se 0 corresponde, de facto, ao valor do limite
em estudo. Temos
3
2x − y 3
|2x3 − y 3 |
|2x3 | + |−y 3 |
=
−
0
≤
|f (x, y) − 0| = 2
x + y2
x2 + y 2
x2 + y 2
|2x3 | + |−1| · |y 3 |
|2x3 | + |y 3 |
2 |x|3 + |y|3
=
=
x2 + y 2
x2 + y 2
x2 + y 2
3 3
3
2
2
2
2
2
2
2
x +y
+
x +y
3
x +y
≤
=
x2 + y 2
x2 + y 2
3 (x2 + y 2 ) x2 + y 2
=
=
3
x2 + y 2 < 3ε.
x2 + y 2
=
Portanto, é garantido que
|f (x, y) − 0| < δ
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sempre que 3ε ≤ δ, ou seja, sempre que ε ≤ δ/3. A relação ε ≤ δ/3 mostra
que a diminuição do δ tomado implica a diminuição do valor ε = ε (δ) = δ/3
respetivo. Assim, concluímos que
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0.
Dado que f (0, 0) = α, a função f é contínua em (a, b) = (0, 0) se α = 0.
Portanto, para α = 0 a função f é contínua (significa ser contínua em todo
o seu domínio).
Exercício Seja f : Df ⊆ R2 → R definida por

x2 + y 2


se x2 + y 2 < 1 e (x, y) = (0, 0)

2 + y2 )
ln
(x
f (x, y) =
.



0
se (x, y) = (0, 0)
Estude a continuidade da função f na origem.
RESOLUÇÃO: Notemos que (0, 0) ∈ Df e é ponto de acumulação de Df .
Na verdade, o domínio da função é
Df = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1 ,
ou seja, os pontos do interior do círculo de centro (0, 0) e raio 1. Temos
f (0, 0) = 0 e há que verificar se também
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
De facto, a substituição de x por 0 e y por 0 conduz a
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) =
x2 + y 2
0
=
= 0,
2
2
x→0,y→0 ln (x + y )
−∞
lim
pelo que 0 é o valor do limite da função f no ponto (0, 0) e esta é então
contínua em (0, 0) (pois também f (0, 0) = 0).
Exercício Seja a função f : R2 → R definida por

sin (x3 + y 3 )


se (x, y) =
(0, 0)

2 + y2
x
f (x, y) =
.



2
se (x, y) = (0, 0)
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Estude a continuidade da função f na origem.
RESOLUÇÃO: Notemos que (0, 0) ∈ Df = R2 . Temos f (0, 0) = 2.
Quanto ao limite de f no ponto (0, 0), a substituição de x por 0 e y por 0
0
conduz à indeterminação . Procedemos então ao estudo dos limites rela0
tivos. O limite iterado
sin (x3 + y 3 )
sin x3
sin x3
lim lim
= lim
= lim
·x =1·0 =0
x→0 y→0
x→0 x2
x→0
x2 + y 2
x3
tem valor nulo logo, caso o limite exista, ele terá valor 0 = 2 = f(0, 0). Tal
permite concluir de imediato que a função não é contínua na origem.
Exercício Seja a função f : R2 → R definida por

xy n + py


se (x, y) = (0, 0)
 2
x + y2
f (x, y) =


 0
se (x, y) = (0, 0)
onde n é um número natural e p um número real. Mostre que a função f é
contínua em (0, 0) se e só se n ≥ 2 e p = 0.
RESOLUÇÃO: Notemos que (0, 0) ∈ Df = R2 . Temos f (0, 0) = 0. Como
tal, a função f é contínua no ponto (0, 0) se e só se
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
Tomemos δ > 0 e, por hipótese, que
(x, y) − (0, 0) =
x2 + y 2 < ε
para certo ε = ε (δ) > 0. Temos
n
xy + py |xy n + py|
=
|f (x, y) − 0| = 2
x + y2 x2 + y 2
≤
|xy n | + |py|
|x| · |y|n + |p| · |y|
=
.
x2 + y 2
x2 + y 2
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√
x2 ≤ x2 + y 2 e |y| = y 2 ≤ x2 + y 2 , concluímos que
n
2
2
2
2
x +y ·
x +y
+ |p| · x2 + y 2
|f (x, y) − 0| ≤
x2 + y 2
n
2
2
2
2
x +y ·
x +y
+ |p|
=
x2 + y 2
n
x2 + y 2 + |p|
=
x2 + y 2
n−1
|p| ·
=
x2 + y 2
+
.
x2 + y 2
Dado que |x| =
Temos então |f (x, y) − 0| < δ se tomarmos ε > 0 tal que εn−1 ≤ δ com
n−1≥1
(para que ε diminua quando δ diminui e aumente quando δ aumenta) e
|p| = 0.
Concluímos então que a função f é contínua no ponto (0, 0) se e só se n ≥ 2
e p = 0.
3
Exercício proposto
Exercício Dada a função real f : R2 → R definida por


x+y−2
se x ≤ 0 ∧ y > 0






x + y2
se y ≤ 0
.
f(x, y) =




x + 3y


se x > 0 ∧ y > 0

2xy
Determine o conjunto do pontos onde a função f é contínua.