Lista Aplicações

Lista de exercícios
Data: 15/09/2011
Turma: Engenharia Elétrica
1) A infusão de glicose no sangue é uma importante técnica médica. Se a infusão da glicose é feita a uma
taxa constante k gramas por minuto e sendo Q(t) a quantidade de glicose no sangue do paciente no instante t
tem-se:
dQ
= k − aQ , onde a glicose é convertida e removida do sangue à taxa proporcional à quantidade de
dt
glicose presente e a, uma constante positiva. Determine a quantidade de glicose, sujeita á condição inicial.
R: Q(t ) =
k 
k
+  Q 0 −  e − at
a 
a
2) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem inicialmente 50
miligramas de material e se, após duas horas, o material perdeu 10% de sua massa original, determine:
a) A expressão da massa remanescente em um instante arbitrário t. R: N(t) = 50. ekt
b) A massa de material após quatro horas. R: 40,5
c) O tempo após o qual o material perde metade de sua massa original.
3) Um marcapasso, como mostrado na Figura 1, consiste em uma bateria, um capacitor e o coração como
resistor. Quando a chave S está em P, o capacitor é carregado; quando S está em Q, o capacitor é
descarregado, enviando um impulso elétrico ao coração. Durante esse tempo, a voltagem E aplicada ao
coração é dada por
dE −1
=
E , t1 < t < t2 , em que R e C são constantes. Determine E(t) se E (t1 ) = E0 . (É
dt RC
claro que a chave é aberta e fechada periodicamente para simular o batimento cardíaco natural.)
(Figura 1)
 −t + t1 
Resp: E (t ) = E0 exp 

 RC 
4) Se o rastreador é injetado, de uma só vez, no instante t = 0, então a concentração do fluido no
compartimento começa a decair segundo a equação diferencial
dC  − R 
=
 C ; C = C0 quando t = 0.
dt  V 
a) Resolva esta equação diferencial para determinar a concentração C como função do tempo t.
b) Calcule limite de C quando t → ∞.
R: a) C (t ) = c0 e− Rt /V b) 0
5) ( Problema Químico) Suponha que 100 gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformados em
dextrose numa razão que é proporcional à quantidade não transformada. Deseja-se saber quanto açúcar foi
transformado após t minutos, se após 10 minutos foi transformado em 20 gramas. R: q (t ) = 100 − 100e −0,0223 t
6) Determine a corrente I como função do tempo t ( medido em segundos), sabendo que I satisfaz a equação
diferencial L(dI / dt ) + RI = sen 2t , onde R e L são constantes não nulas.
R: I (t ) =
R
2L


sen(2t ) −
cos(2t ) − ce− rt / L 
2 
R + 4L 
R

2
7) Suponha que um circuito R-C em série tenha resistência variável. Se a resistência no instante t é dada por
dq 1
R = k1 + k2t , em que
k1 > 0 e k2 > 0
são constantes, então
R⋅
+ q = E (t ) torna-se
dt C
dq 1
(k1 + k2t ) ⋅
+ q = E (t ) .
dt C
1/ Ck2
 k1 
Mostre que, se E (t ) = E0 e q (0) = q0 , então q (t ) = E0C + (q0 − E0C ) 

 k1 + k2t 
.
8) Uma força eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito R- C em série no qual a resistência é de 200
ohms e a capacitância, 10−4 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Encontre a corrente i(t).
dq 1
dq
Sugestão: R ⋅
+ q = E (t ) e i =
R: q (t ) = 0, 01 − 0, 01e −t / 0,02 ; i(t) = 0,5 e- 50 t
dt C
dt
9) ( Equação logística ou de Verhulst) Mostre que o P.V.I :
p (t ) =
dp
= ap − bp 2 ; p (t0 ) = p0 tem como solução
dt
ap0
a
. Conclua que p (t ) →
sempre que t → ∞ . Observação: Esta equação é
− a ( t − t0 )
b
bp0 + (a − bp0 )e
utilizada frequentemente para modelar o crescimento de populações isoladas. Aqui a e b são coeficientes
vitais, onde a representa a diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade e bp 2 o fator inibidor ou termo
de competição.
10) ( Níveis de oxigênio na água) A taxa de variação do nível de oxigênio na água após um derramamento de
petróleo é dada por
 5
dP
50 
= 400 
−
onde t é o número de meses após o derramamento. Qual é a
2
3
dt
 (t + 5) (t + 5) 
função que fornece o nível de oxigênio P em qualquer instante t se P = 400 quando
R: P (t ) = 400[1 − 5 /(t + 5) + 25 /(t + 5)2 ]
t = 0?