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Universidade Do Estado De Mato Grosso/ Campus De Sinop
Cálculo Diferencial e Integral III - FACET
Lista 6 - Equações Diferenciais
Profª Ma. Polyanna Possani da Costa Petry
1. Um material radiativo, tal como um dos isótopos de tório, o tório-234, desintegra a uma taxa
proporcional à quantidade presente.
Se 𝑄(𝑡) é a quantidade presente no instante 𝑡, então
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑟𝑄, onde 𝑟 > 0 é a taxa de
decaimento.
a) Se 100𝑚𝑔 de tório-234 decaem a 82,04𝑚𝑔 em 1 semana, determine a taxa de decaimento
𝑟 (ao dia).
b) Encontre uma equação para a quantidade de tório-234 presente em qualquer instante 𝑡.
c) Encontre o tempo necessário para que o tório-234 decaia à metade da quantidade original.
2. A meia-vida 𝜏 de um material radioativo é o tempo necessário para que uma quantidade desse
material decaia à metade de sua quantidade original. Mostre que para qualquer material
radioativo que decaia de acordo com a equação
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑟𝑄, a meia vida 𝜏 é dada por 𝜏 =
ln 2
𝑟
.
3. Considere um circuito elétrico contendo um capacitor, um resistor e uma bateria. A carga 𝑄(𝑡)
no capacitor satisfaz a equação
𝑅
𝑑𝑄 𝑄
+ =𝑉
𝑑𝑡 𝐶
onde 𝑅 é a resistência, 𝐶 a capacitância e 𝑉 a voltagem constante fornecida pela bateria. Se
𝑄(0) = 0, encontre 𝑄(𝑡) em qualquer instante 𝑡.
4. Movimento Vertical: Descreva o movimento vertical de um corpo de massa m sob a ação da
gravidade em um meio que oferece resistência proporcional à velocidade do corpo. Deseja-se
conhecer a posição do corpo num instante t.
5. Resfriamento de um corpo: Consideremos um modelo simplificado para o fenômeno de
variação de temperatura num corpo por perda ou ganho de calor para o meio ambiente,
fazendo as seguintes hipóteses:
i. A temperatura 𝑇 é a mesma no corpo todo e depende apenas do tempo.
ii. A temperatura do meio ambiente, 𝑇𝑎 , é constante com o tempo.
iii. O fluxo de calor através das paredes do corpo dado por
𝑑𝑇
𝑑𝑡
temperaturas do corpo e do meio ambiente, isto é,
é proporcional à diferença entre as
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎 ) (chamada lei de
Newton para resfriamento) onde 𝑘 é uma constante positiva que depende das propriedades
físicas do corpo. Conhecendo-se que a temperatura 𝑇(0) = 𝑇0.
a) Determine a equação que fornece a temperatura do corpo no instante 𝑡.
b) Calcule 𝑡 ∗ tal que 𝑇 atinge 99% da temperatura ambiente.
6. A equação básica que rege a quantidade de corrente I (em ampères) em um circuito simples do
tipo RL (Fig. I), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e
uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é
𝑑𝐼
𝑑𝑡
𝑅
𝐸
𝐿
𝐿
+ 𝐼=
Sabendo que um circuito RL tem f.e.m. de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry e,
a corrente inicial é zero. Determine a corrente no circuito no instante t.
7. . Um corpo à temperatura de 50°F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é
de 100°F. Se após 5 min. a temperatura do corpo é de 60°F, determine:
a) O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75°F;
b) a temperatura do corpo após 20 min.
8.
Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura
constante de 30°F. Se, após 10 min, a temperatura do corpo é 0°F e após 20 min é 15°F,
determine a temperatura inicial.
9. Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 1 grama de sal. No instante
t=0 , adiciona-se outra solução de salmoura com 1 grama de sal por litro, à razão de 3 litros
por min, enquanto a mistura resultante se escoa à mesma taxa.
Determine:
a) A quantidade de sal presente no tanque no instante t;
b) O instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 gramas de sal.
GABARITO
b) 𝑄 = 100𝑒 −0,02828𝑡
1. a) 𝑟 = 0,02828 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎
c) 𝑇 ≅ 24,5 𝑑𝑖𝑎𝑠
2. .
3. 𝑄(𝑡) = 𝐶𝑉(1 − 𝑒 −𝑡/𝑅𝐶 )
4. 𝑥 (𝑡 ) =
𝑚𝑔
𝑘
𝑡+
𝑚2 𝑔
𝑘2
𝑘
[𝑒 −𝑚𝑡 − 1]
5. a) 𝑇(𝑡 ) = 𝑇𝑎 + 𝑒 −𝑘𝑡 [𝑇0 − 𝑇𝑎 ]
6. 𝐼 (𝑡 ) = −
1
10
7. a) 15,4 min
𝑒 −50𝑡 +
1
10
b) 79,5° F
8. −30°F
9. a) 𝑄(𝑡) = 100 − 99𝑒 −0,03𝑡
1
b) 𝑡 ∗ = [ ln|−0,01𝑇𝑎 | − ln|𝑇0 − 𝑇𝑎 | ]
b) 0,338 min
𝑘