Números complexos 1

EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
Prof. Mário
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03 – Conjuntos dos Números Complexos
03.1 – Unidade imaginária
Exemplos:
1º) Determine as raízes imaginárias da equação 3x2 + 75 = 0
2º) Encontre as raízes imaginárias da equação x2 - 8x + 25 = 0
Exercícios:
01. Encontre as raízes imaginárias da equação:
a) x2 + 4 = 0
b) x2 + 25 = 0
02. Determinar as raízes da equação:
a) x² - 2x + 2 = 0
b) 2x2 – 6x + 9 = 0
2
d) x + 2x + 5 = 0
e) 3t2 + t + 1 = 0
c) 3x2 + 16 = 0
c) 3x2 – 4x + 25 = 0
f) x2 – 6x + 10 = 0
03.2 – Número complexo
Exemplos:
1º) Selecionar os elementos de z = 5 – i
2º) Selecionar os elementos de z = 0 + 7i
3º) Selecionar os elementos de z = -3 + 0i
4º) Determine o valor de x, de modo que o número complexo z = 2x + 5 + 7i seja um
número imaginário puro.
5º) Obtenha o valor de x, de modo que o número complexo z = 3 – (-6x2 -7x + 3)i seja um
número real.
Exercícios:
03. Para que valor de x o número complexo z = 2 + (x² -1)i é real?
04. Determinar o valor de x, de modo que z = 6 + (2x – 4)i seja real:
05. Para qual valor de k o número complexo z = 3i + k² + ki – 9 é imaginário puro?
06. Determine o valor de x, de modo que o número complexo seja um número real:
a) z = 4 + (8x – 24)i
b) z = 1 + (2x – 1)i
07. Obtenha o valor de y, de modo que o número complexo z = (6y + 30) + 2i seja um número
imaginário puro.
03.3 – Oposto de um número complexo
Exemplos:
1º) Escrever o oposto do número complexo 2 – 3i.
2º) O oposto do número complexo -1 – i é?
3º) Dado o complexo z = 1 + 2i, então –z será?
03.4 – Conjugado de um número complexo ( z )
Exemplos:
1º) Dê o conjugado do número complexo z = -4 + 3i.
2º) Sendo z = 5 – 2i, então o valor de z é?
3º) O conjugado de z = 7 é?
Exercícios:
08. Escrever o conjugado de z = 2 – 7i.
09. Escrever o conjugado de z = 5 + 3i.
10. Dado z = 3 encontre z .
11. Encontre o conjugado de i.
12. Sabendo que z = -5i encontre o z .
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03.5 – Igualdade de dois números complexos
Exemplos:
1º) Para que valores de x e y são iguais os complexos z1 = (2x + 3) + (y -5)i e z2 = 3 + 4i?
2º) Encontre x e y na igualdade (x + 3y) + (5x – y)i = -3 + 17i.
Exercícios:
13. Dados os números complexos z1 = (x – y) + 2i e z2 = 2 + 2yi, calcule os valores de x e y de
modo que z1 = z2.
14. Determinar o número complexo z = 2 + yi, y є R, tal que z = z  8 i .
15. Determinar os números reais x e y tais que (2x + 2i) + (3 + yi) = 5 + 7i.
16. Encontre os números reais x e y de modo que:
a) 2x – y + (x + y)i = 7 + 8i
b) x² - 8 + (y + 2x)i = 1 + 11i
c) (3x + 4yi) + (5 + 6i) = 11 + 18i
03.6 – Operações com números complexos
03.6.1 – Adição/Propriedades
Exemplos:
1º) Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 4 + 5i, calcule z1 + z2.
2º) Sendo z1 = 7 - 4i e z2 = -5 + i, calcule z1 + z2.
Exercícios:
17. Sendo z1 = 4 + 2i e z2 = 3 + 6i, tem-se que z1 + z2 é igual a?
18. Sendo z1 = 3 + 4i e z2 = -9i, tem-se que z1 + z2 é igual a?
19. Calcule (3 + 2i) + (5 + 7i).
20. Resolva (-2 + 3i) + (-3 – i)
21. Considerando que z1 = 2 + 3i e z2 = 1 - 4i, tem-se que z1 + z2 é igual a?
03.6.2 – Subtração
Exemplos:
1º) Sendo z1 = 7 + 5i e z2 = 3 – 4i, calcule z1 - z2.
2º) Efetue (3 – 2i) + (5 – 5i) – (-7 + 3i).
Exercícios:
22. Considerando que z1 = 2 + 3i e z2 = 1 - 4i, tem-se que z1 - z2 é igual a?
23. Efetue (3 – 2i) - (1 + 3i)
24. Sendo z1 = -8 + i e z2 = 4 - 10i, tem-se que z1 - z2 é igual a?
25. Efetue (-5 + 4i) - (7 - i) + (12 + 7i)
26. Efetue (5 - 3i) - (7i) + (8 – i) – (10 – i)
03.6.3 – Multiplicação/Propriedades
Exemplos:
1º) Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 5 + 6i, calcule z1. z2.
2º) Efetue (-5 + 3i) (-5 - 3i).
3º) Sendo w = 3 – 2i, encontre w2.
Exercícios:
27. Efetue (8 – 2i).(4 + 5i)
28. Efetue (6 + i).(6 – i)
29. Efetue (8 – i).(-1 + i)
30. Efetue (2 + 3i).(2 - 3i)
31. Sendo z = 5 – 4i, calcule z2.
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03.6.4 – Divisão
Exemplos:
2  3i
1º )
5  7i
Exercícios:
32. Calcule o quociente
2º )
6i
 3i
3º )
5  6i
3i
4  2i
i
33. Sejam z1 = 2 e z2 = 3 + 5i. Efetuar z1 : z2
34. Calcule o quociente
6  6i
7  8i
35. Sejam z1 = 1 + 2i e z2 = 1 - i. Efetuar z1 : z2
36. Sendo z1 = 7 + 5i e z2 = 1 – i, determine:
2
z
a) z3 = 1
b) z3
c) z3
z2
37. Determinar o inverso do número complexo z = 4 + 2i
d)
z1  z3  z1
03.6.5 – Potenciação/Propriedade
Exemplos:
1º ) i 23
2º ) i 6
Exercícios:
38. Calcule as seguintes potencias:
a) i 35
b) i 356
c) i 73
39. Efetue:
a) 3i 8
b) 5i 40 + 8i 35 – i
c) i 5 . i 37 . i 302
d) 5i 37 . 6i 72
40. Calcular:
a) (3 + i)2
b) (3 – 2i)2
41. Calcule:
a) ( 2  2 i )3
b) (1 – i)8
3º) (i  3 ) 3
d) i 14
4º) (1 – i)6
e) i 19
f) i 1601
e) (-2i) 5
f) ( - i) 8
g) (3i) . (– 4i)
h) i 36 + i 102
c) (2 – i)2
c) (4 + 4i)4
d) ( 3  i ) 2
d) (1 – i)12
03.7 – Representação geométrica de Z
03.7.1 – Plano de Argand-Gauss
Exemplo:
1°) Represente no plano de Argand-Gauss os afixos dos números complexos abaixo:
Complexos
Afixos
y
Z1 = 1 + 2i
Z2 = -2 + 3i
Z3 = 2 – i
Z4 = -4 - 3i
Z5 = 3
x
Z6 = 4i
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Exercícios:
42. Dê os afixos dos números complexos assinalados no plano de Gauss:
b
Solução:
C
A(
B(
C(
D(
E(
E
A
B
a
D
)
)
)
)
)
43. Escreva na frente de cada afixo o número complexo correspondente e represente no plano de
Gauss:
z1 (1, 3)
y
z2 (-2, -3)
z3 (0, 2)
z4 (4, 0)
z5 (3, -2)
x
z6 (4, 1)
z7 (-2, 0)
z8 (2, -4)
z9 (4, -1)
44. Com relação ao exercício anterior, que afixos estão no:
a) 1° quadrante?
b) 2° quadrante?
c) 3° quadrante?
d) 4° quadrante?
e) eixo das abscissas?
f) eixo das ordenadas?
03.7.2 – Módulo de Z ( Z   )
Exemplo:
1º) Determinar o módulo do complexo z  3  i .
Exercícios:
45. Calcule o módulo dos seguintes números complexos:
a) z  4  i
b) z   5i
c) z  2  i
46. Ache o módulo dos números complexos:
1  4i
a) (3  i )( 2  i )
b)
i
1 1
d) z   i
2 3
e) z  8
c)
2  3i
 5i
1 i 1
1 i define um número complexo. Encontre seu módulo.
47. O determinante i
1 i 1 i 0
f ) z 0
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03.7.3 – Argumento de Z (  )
Exemplos:
1º) Determinar o argumento e fazer a representação geométrica do complexo z  3  i .
Exercícios:
48. Encontre o argumento em z 1 3 i .
49. Dado z = 3i, encontre o argumento de z.
50. Sendo z  2 2  2 2 i , encontre seu argumento.
51. Encontre o argumento de z  3  i .
52. Encontrar o argumento de -2 + 2i.
53. Encontre o argumento de z = -3i.
03.8 – Forma trigonométrica do número complexo
Exemplos:
1º) Passar para a forma trigonométrica o número complexo z 1 3 i .



2º) Passar para a forma algébrica o número complexo z  2 cos  i sen  .
6
6

Exercícios:
54. Passe para a forma trigonométrica os seguintes números complexos:
b) z   4 3  4i
a) z   7  7i
e) z   5
d ) Z 1  3 i
c) z  8i
55. Passar para a forma trigonométrica o número complexo z = -1 + i.
56. Coloquem na forma algébrica os complexos:
5
5
5
5 

c) z  cos
 i sen
a) z  2 2  cos
 i sen
 b) z  2(cos 315  i sen 315)
3
3
3
3 

57. Coloque na forma algébrica o complexo z = 2 (cos30° + i sen30°).
03.8.1 – Multiplicação de Z na forma trigonométrica
Exemplo:
1º) Dados os números:
z1 = 6(cos30° + i sen30°) e z2 = 3 (cos120° + i sen120°).
Calcular z1 z2.
Exercícios:
58. Dado os complexos z1 = 5(cos72° + i sen72°) e z2 = 2(cos108° + i sen108°), calcule seus
produtos.




59. Calcule z1 z2, sendo z1 = 3(cos
+ i sen ) e z2 = 4(cos + i sen ).
12
12
4
4
2
2


60. O produto de z1 = 3(cos + i sen ) por z2 = 2(cos
+ i sen
) vale?
3
3
6
6
2
2


61. Calcule o produto 2(cos
+ i sen
) por 4(cos + i sen ).
3
3
3
3
03.8.2 – Divisão de Z na forma trigonométrica
Exemplo:
1º) São dados os complexos z1 = 6(cos225° + i sen225°) e z2 = 3(cos90° + i sen90°).
z
Calcular 1 .
z2
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6
Exercícios:
62. Dados os complexos z1 = 3(cos10° + i sen10°) e z2 = (cos40° + i sen40°), calcule z1/z2.
63. São dados os complexos z1 = 12(cos40° + i sen40°) e z2 = 2(cos10° + i sen10°). Calcular
64. Dados os complexos z1 = 4(cos
z1
.
z2
z




+ i sen ) e z2 = 2(cos + i sen ), calcule 1 .
6
6
4
4
z2
Obs.: usar transformações trigonométricas
65) Sendo u = 6i, v = 3(cos60° + i sen60°), encontre
u
.
v
03.8.3 – Potência de Z na forma trigonométrica
Exemplo:
1°) Sendo z = 2(cos30° + i sen30°), calcular z5.
Exercícios:
66. Dado o complexo w = 3 + i, calcule w2.


67. Sendo z = 2(cos + i sen ), calcule z3.
4
4
68. Dado o complexo z = (1 – i), calcule z12.
69. Sendo z = 4 + 4i, calcular z4.
70. Sendo w = (i  3 ) , calcular w3.
Gabarito
01. a)  2i
b)  5i
c) 
4
3i
3
02. a) V = {1 + i, 1 – i}
 3  3i 3  3i 
b) S  
,

2 
 2
  1  11  1  11 i 
 2  71 2  71 i 
c) V  
,
,
 d ) S  1 2i ,1 2i e) V  
 f )V  3  i , 3  i
3
6
6
 3



03. S = {1, -1} 04. V = {2} 05. S = {3} 06. a) 3 ; b) 1/2 07. -5 08. 2 + 7i 09. 5 – 3i 10. 3
11. – i 12. 5i 13. x = 3, y = 1 14. 2 + 4i 15. x = 1, y = 5 16. a) x = 5, y = 3, b) x = 3, y = 5 ou
x = -3, y = 17 c) x = 2, y = 3 17. 7 + 8i 18. 3 – 5i 19. 8 + 9i 20. -5 + 2i 21. 3 – i 22. 1 + 7i
23. 2 – 5i 24. – 12 + 11i 25. 12i
26. 3 – 10i 27. 42 + 32i 28. 37
29. – 7 + 9i 30. 13
31. 9 – 40i
32. – 4i – 2
33. (3 – 5i)/17 34. (-6 – 90i)/113 35. (-1 + 3i)/2 36. a) 1 + 6i,
b) 1 – 6i, c) –35 -12i, d) -30 – 52i 37. (2 – i)/10 38. a) –i , b) 1, c) i, d) -1, e) – i, f) i 39. a) 3,
b) 5 – 9i, c) 1, d) 30i, e) -32i, f) 1, g) 12, h) 0 40. a) 8 + 6i, b) 5 – 12i, c) 3 + 4i, d ) 2  2 3 i
41. a)  4 2  4 2 i , b) 16, c) -1024, d) -64
42. A(-2,0), B(3,0), C(0,1), D(0,-2), E(0,3)
43. z1 = 1 + 3i, z2 = -2 – 3i, z3 =2i, z4 = 4, z5 = 3 – 2i, z6 = 4 + i, z7 = -2, z8 = 2 – 4i, z9 = 4 – i
13
, e) 8, f ) 0
44. a) z1 e z6, b) z9, c) z2, d) z5 e z8, e) z4 e z7, f) z3. 45. a) 17 , b) 5, c) 3 , d )
6
2
5


46. a) 5 2 , b) 17 , c)
48. 3 0 0 ou
49. 90 ou
50. 45 ou
47. 2 2
2
3
2
4
11
3
3
51. 330 ou
52.135 ou
53. 270 ou
6
4
2
54. a) z  7 2 (cos
5
5


 i sen ) , b) z  8(cos 240  i sen 240) , c) z  8(cos  i sen ) , d ) z  2(cos 300  i sen300) , e) z  5(cos   i sen )
4
4
2
2
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7
_________________ ________________________________________
Números complexos
3
3
 i sen )
4
4
1
3
56. a ) z  2  6 i , b) z  2  2 i , c) z  
i
2 2
3 3 3
63. 3 3  3i
61.  8
57. z  3  i 58.  10
59. 6  6 3 i
60.  3 3  3i
62.
 i
2
2
6 2
6 2
64. 2(cos 15  isen15) ou (

i)
65. 2(cos 30  i s 30
e )n 3  i
2
2
3
3
67. 8(
c  ios
se )  n4 2  4 2 i
66. 4(cos 60  i sen60)  2  2 3 i
4
4
68. 64(cos   i sen )   64
69.1024(cos   i sen )   1024
70. 8(cos 90  i sen90)  8i
55. z  2 (cos
***********************
GRAU
0°
30°
45°
60°
Sen
0
1
2
2
2
3
Cos
1
RAD
0
3
2

6
90°
120°
135°
150°
180°
1
3
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1
2
0


4

3

2
2
3
1
2

2
2
3
4

5
6
3
2
-1

210°
225°
240°
270°
300°

1
2

2
2

3
2

3
2

2
2

1
2
0
1
2
4
3
3
2
5
3
7
6
5
4
-1
3
2

315°

2
2
330°
360°
1
2
0
2
2
3
2
1
7
4
11
6
2
