Apostila

CÁLCULO BÁSICO
Simone Dutra Ramos
Edezio Pantoja Sacramento
Conteúdo
Prefácio
iv
1 Conjunto dos números reais
1
1.1 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 A reta numérica (ou real) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.6 Valor absoluto (ou módulo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.8 Distância entre números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Geometria
8
3 Expressões algébricas
9
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2.1
Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.4 Produtos notáveis e fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.6 Simplicação de expressões racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4 Funções reais de uma variável real
20
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.3 Função injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.4 Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.5 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.6 Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
ii
Simone e Edezio
iii
4.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.8 Raiz e sinal de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.9 Função módulo (ou valor absoluto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5 Funções do primeiro e segundo graus
32
5.1 Função Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.2 Função do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.4 Sinal do produto e quociente de funções do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.6 Função am e função linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.7 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.8 Função do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.10 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6 Função Exponencial e Função Logaritmica
53
6.1 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
6.3 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.5 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7 Funções Trigonométricas
60
7.1 Círculo Trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
7.2 Relações Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
7.3 Relações Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
7.4 Sinais nos Quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
7.5 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
7.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
APÊNDICE
67
BIBLIOGRAFIA
68
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
84
Prefácio
É fato que o avanço tecnológico tem provocado uma signicativa reestruturação dos cursos de Cálculo na última
década. Entretanto, qualquer professor verdadeiramente comprometido com o ensino dessa disciplina percebe que,
ao longo dessa mesma década, a qualidade na formação matemática dos estudantes egressos do ensino médio vem
sofrendo uma queda considerável.
Esse desequilíbrio, no ensino, compromete de forma grave a formação dos discentes e, em muitos casos, impede a
conclusão dos seus estudos.
Esse trabalho visa minimizar as deciências do ensino médio e consequentemente iniciar o aluno, de forma segura,
no aprendizado do Cálculo. Com esta intenção, busca-se apresentar, de forma clara e didática, conceitos e resultados
matemáticos necessários ao estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
Com a nalidade de que este trabalho seja um instrumento útil, em especial, aos estudantes que chegam à Universidade com pouca base matemática, procurou-se, intencionalmente, dar ao texto algumas características próprias tais
como:
• Os resultados são apresentados através de uma linguagem direta e simples priorizando suas aplicações em exer-
cícios, em detrimento de suas demonstrações;
• Os exercícios propostos são sempre seguidos de respostas apresentadas ao nal desse trabalho. Evita-se propor
exercícios em número excessivo, pois isso muitas vezes desorienta o leitor em vez de ajudá-lo;
• Um apêndice que oferece ao aluno alguns tópicos do ensino fundamental que, eventualmente, precise rever.
Convém ressaltar que, por melhor que seja o professor, o aprendizado é um processo intrínseco ao aluno e requer,
antes de mais nada, esforço individual que inclui atenção em sala de aula, assim como dedicação diária resolvendo os
exercícios propostos. Além disso, é importante dizer que, na medida em que as diculdades são superadas, torna-se
natural a complementação do estudo, através dos diversos textos encontrados nos livros clássicos de Cálculo.
Desejo agradecer a leitura dos revisores e em especial, ao Prof. César Luiz Farah, pela sugestão dos exercícios
propostos no capítulo 2.
Esperando ter contribuído didaticamente para o aprendizado do Cálculo, coloco-me à disposição dos leitores para
sugestões e críticas que possam melhorar e complementar esse trabalho.
Os autores
Rio de Janeiro, fevereiro de 2012.
iv
Capítulo 1
Conjunto dos números reais
A importância desse capítulo reside no fato de que o conceito de continuidade e as operações de limite, derivada
e integral estudados nos cursos de cálculo envolvem funções que são denidas e assumem valores em conjuntos de
números reais.
1.1 Conjuntos numéricos
Os principais conjuntos numéricos são: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Complexos.
Números Naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .};
Números Naturais Positivos ou não-nulos: N∗ = {1, 2, 3, 4, . . .};
Números Inteiros: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .};
Números Inteiros não-nulos: Z∗ = {. . . , −3, −2, −1, 1, 2, 3, . . .};
Números Inteiros não-negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .};
Números Inteiros não-positivos: Z− = {. . . , −3, −2, −1, 0};
Números Inteiros positivos: Z∗+ = {1, 2, 3, . . .};
Números Inteiros negativos: Z∗− = {. . . , −3, −2, −1};
p
Números Racionais: Q = { \p ∈ Z ∧ q ∈ Z∗ }
q
Os números racionais são todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração de números inteiros. Têm
representação decimal nita ou periódica.
Exemplo(s) 1.1.1
:
1
2
Números Irracionais
= 0, 5 e
1
3
= 0, 333 . . . = 0, 3;
(I): são aqueles que não são racionais, ou seja, cuja representação decimal não é nita nem
periódica.
Exemplo(s) 1.1.2
:
√
3 = 1, 7320508 . . . e π = 3, 14159265 . . . ;
Números Reais: R = Q ∪ I;
√
Números Complexos (C): são aqueles escritos na forma a + bi, onde a, b ∈ R e o número i é denido por i := −1.
Exemplo(s) 1.1.3
:
√
2 + 3i é um número complexo.
1
Simone e Edezio
Observação 1.1.1
2
: Note que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C e I ⊂ R. As relações de inclusão entre os conjuntos numéricos
cam claras num diagrama conhecido com Diagrama de Venn. Veja a gura abaixo.
C
R
Q
I
Z
N
Figura 1.1: Diagrama de Venn
1.2 Exercícios
1. Classique cada uma das armativas a seguir em Verdadeira (V) ou Falsa (F).
1) 3 é natural ( );
2) 0 é natural ( );
3) -4 é natural ( );
4) -4 é inteiro ( );
5) 7 é inteiro ( );
6) 8/4 é inteiro ( );
7) 1/3 é inteiro ( );
8) 1/3 é racional ( );
9) 8/4 é racional ( );
10) -5 é racional ( );
11) 0,37 é racional ( );
12) 0,555... é racional ( );
13) 0,212121...é racional ( );
14) 1,2333... é racional ( );
15)
√
2 = 1, 4142135 . . . é racional ( );
16)
π = 3, 1415926 . . . é irracional ( );
17)
e = 2, 7182818 . . . é irracional ( );
Simone e Edezio
18)
19)
20)
√
3
√
3
√
3
3
7 é irracional ( );
8 é irracional ( );
7 é real ( );
21) 6 é real ( );
22) -8 é real ( );
23) 2/5 é real ( );
24) 1,37 é real ( );
25) 0,321321... é real ( );
26)
√
−4 é real ( );
27) Todo natural é inteiro ( );
28) Todo inteiro é racional ( );
29)
0, 333333333 . . . é racional ( );
30) Todo racional é inteiro ( );
31) Todo racional é real ( );
32) Todo irracional é real ( );
33) Existe um inteiro que é irracional ( );
34) Existe um natural que não é real ( );
35) Existe um real que não é racional ( );
36) A união dos racionais com os irracionais é o conjunto dos reais( ).
2. Classique em verdadeira (V) ou falsa (F), cada uma das armativas a seguir:
a) 3 ∈ N;
b) − 4 ∈ N;
c) − 4 ∈ Z;
e) 13 ∈ Z;
f ) 13 ∈ Q;
g) − 5 ∈ Q;
h) 0, 37 ∈ Q;
i) 1, 2333 . . . ∈ Q;
j) π = 3, 1415926 . . . ∈ I;
k) e = 2, 7182818 . . . ∈ I; l) 6 ∈ R;
m) 1, 37 ∈ R;
√
n) −4 ∈ R.
d)
8
∈ Z;
4
1.3 A reta numérica (ou real)
Para representar os números reais, traçamos uma reta horizontal e marcamos o número real zero que identicamos
com o ponto O e chamamos de origem. Os números positivos estão representados à direita da origem e os negativos,
à esquerda.
Simone e Edezio
4
B
E
-3
-1,9
C O
-0,2 0
D F
A
1,4
2
√
2
Figura 1.2: Reta numérica
Sobre essa reta, podemos representar todos os números reais.
Observe, na reta numérica representada acima, que:
• o ponto A corresponde ao número +2;
• o ponto B corresponde ao número −3;
• o ponto C corresponde ao número −0, 2;
• o ponto D corresponde ao número +1, 4;
• o ponto E corresponde ao número −1, 9;
√
• o ponto F corresponde ao o número + 2 = 1, 4142 . . ..
Observação 1.3.1
: Em uma reta numérica:
• a todo número real corresponde um e só um ponto da reta;
• a todo ponto da reta podemos associar um e só um número real.
• existe uma orientação e o sentido positivo (da esquerda para a direita) é indicado com uma seta. Isso equivale
a dizer que o conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, podemos comparar quaisquer dois números reais
que não são iguais usando desigualdades; podemos dizer que um é "menor que"ou "maior que"outro. Geometricamente, a < b signica que o número denotado por b está à direita do número denotado por a (de modo
equivalente, a está à esquerda de b) na reta numérica.
1.4 Intervalos
Sejam a, b ∈ R, a < b. Podemos denir os seguintes tipos de intervalos:
1. (a, b) =]a, b[= {x ∈ R/a < x < b} (intervalo limitado e aberto);
a
b
Simone e Edezio
5
2. [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} (intervalo limitado e fechado)
a
b
3. [a, b) = [a, b[= {x ∈ R/a ≤ x < b} (intervalo limitado e fechado à esquerda e aberto à direita);
a
b
4. (a, b] =]a, b]{x ∈ R/a < x ≤ b} (intervalo limitado e aberto à esquerda e fechado à direita);
a
b
5. (−∞, b) =] − ∞, b[= {x ∈ R/x < b} (intervalo ilimitado e aberto);
b
6. (−∞, b] =] − ∞, b] = {x ∈ R/x ≤ b} (intervalo ilimitado e fechado);
b
7. (a, +∞) =]a, +∞[= {x ∈ R/x > a} (intervalo ilimitado e aberto);
a
8. [a, +∞) = [a, +∞[= {x ∈ R/x ≥ a} (intervalo ilimitado e fechado);
a
Simone e Edezio
6
9. (−∞, +∞) =] − ∞, +∞[= R (intervalo ilimitado)
Nas denições acima, os números a e b são denominados extremos dos respectivos intervalos.
1.5 Exercícios
1. Descreva os seguintes intervalos na forma {x/p(x)}:
a) (1, 2);
b) (1, 2];
c) [1, 2];
f ) [−2, +∞);
g) (−∞, 1]; h) (−∞, 0);
d) [1, 2);
e) (1, +∞);
i) (−∞, +∞).
2. Se A = [1, +∞[ e B = [0, 5[, obtenha:
a) A
∩
B;
b) A
∪
c) A − B.
B;
3. Se A = [−2, 2), B = (0, +∞) e C = (−∞, 1], determine:
a) A ∩ B;
b) A ∩ C;
c) B ∩ C;
d) A ∩ B ∩ C;
e) A ∪ B;
f ) A ∪ C;
g) B ∪ C;
h) A ∪ B ∪ C;
i) A − B;
j) A − C;
k) B − C.
1.6 Valor absoluto (ou módulo)
Denição 1.6.1
: Seja x ∈ R. O módulo ou valor absoluto de x, representado por |x|, é denido do seguinte modo:

 x, se x ≥ 0
|x| =
 −x, se x < 0
Interpretação geométrica: O módulo de um número real é representado geometricamente como a distância desse
"número"
à origem na reta numérica.
a) x > 0
b) x < 0
|x| = x
0
|x| = −x
x
x
Figura 1.3: Interpretação geométrica do |x|
A seguir, enunciamos algumas propriedades de módulo que podem ser úteis ao nosso estudo.
0
Simone e Edezio
7
Propriedades: Sejam a, b ∈ R.
• |a| ≥ 0 e |a| = 0 se, e somente se, a = 0;
• |ab| = |a||b| e se b ̸= 0, | ab | =
|a|
|b| ;
• | − a| = |a|;
• |a|2 = a2 ;
• |a + b| ≤ |a| + |b| (Desigualdade triangular).
Observação 1.6.1
De fato,
: Se x ∈ R, então
√
x2 = |x|.
√
x2 é, por denição, o único número positivo ou nulo que elevado ao quadrado é igual a x2 . Como |x|2 = x2
√
e |x| ≥ 0, temos que x2 = |x|.
1.7 Exercícios
1. Resolva, com auxílio da interpretação geométrica do conceito de módulo, as equações e inequações a seguir:
a) |x| < 2;
b) |x| ≥ 1;
c) |x| = 1;
d) |x| > 5;
e) |x| < 1
f ) |x| ≥ 3;
g) 1 ≤ |x| ≤ 3;
h) |3x − 5| > −1;
i) |3x − 1| < 2;
j) |5x + 7| = −1;
k) |x − 5x + 5| = 1;
l) |2x − 1| ≤ 3;
m) |3x − 1| = 2x + 1;
n) |x − 3| < 0;
o) |2x − 1| = |4x + 3|.
2
1.8 Distância entre números reais
Denição 1.8.1
: Sejam a, b ∈ R com a < b. Considere A e B os pontos na reta numérica correspondentes aos
números a e b respectivamente. A distância entre os números a e b, ou equivalentemente entre os pontos A e B, é
denida da seguinte forma:
d(A, B) = |b − a|
Observação 1.8.1
: É fácil ver, através da reta numérica ilustrada abaixo, que:
• d(O, B) = |b − 0| = |b|;
• d(A, B) = d(B, A).
A
O
B
a
0
b
Figura 1.4:
Capítulo 2
Geometria
8
Capítulo 3
Expressões algébricas
Este capítulo tem por nalidade desenvolver no aluno a habilidade de manipulação de expressões algébricas. Em
particular, busca-se familiarizá-lo com a álgebra dos polinômios. Além disso, visando a compreensão do conceito
de limite introduzido no curso de Cálculo I, damos destaque especial as técnicas de fatoração e a simplicação de
expressões racionais.
3.1 Introdução
As expressões matemáticas que apresentam números e letras são chamadas expressões literais ou algébricas.
Exemplo(s) 3.1.1
a)
2x + 7;
b)
a − 5b + 3z;
c)
8x2 +
d)
5x3 − 7x2 +
:
7
− 6b2 y 3 ;
a
5x ab
− .
3
2
Observe que, no último exemplo acima, os termos algébricos são:
• 5x3 com coeciente (parte numérica) 5 e parte literal x3 ;
• −7x2 com coeciente -7 e parte literal x2 ;
•
5x
5
com coeciente e parte literal x;
3
3
• −
ab
1
com coeciente − e parte literal ab.
2
2
9
Simone e Edezio
10
3.2 Polinômios
Denição 3.2.1
: Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma:
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
onde n ∈ IN e os coecientes a0 , a1 , · · · , an ∈ IR.
Polinômios com um, dois e três termos são chamados monômios, binômios e trinômios, respectivamente. Um polinômio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na forma padrão.
Denição 3.2.2
(Polinômio nulo ou identicamente nulo): Polinômio nulo é aquele em que todos os seus coecientes
são iguais a zero (P (x) ≡ 0).
Denição 3.2.3
(Grau): Dado P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , não identicamente nulo e na forma padrão,
com an ̸= 0, dizemos que o grau do polinômio P (x) é o número n.
Denição 3.2.4
(Valor numérico e raíz): Seja P (x) um polinômio não nulo. O valor numérico de um polinômio
P (x) para x = a ∈ R é o número real P (a). Quando P (a) = 0, dizemos que a é uma raíz ou um zero de P (x).
Exemplo(s) 3.2.1
(a)

 a = 2, a = −1, a = 3, a = 1 e n = 3.
3
2
1
0
P (x) = 2x3 − x2 + 3x + 1 ⇒
 P (0) = 1 e P (−1) = −2 − 1 − 3 + 1 = −5.
(b)

 a = 3, a = −2 e n = 1.
1
0
P (x) = 3x − 2 ⇒
 P (5) = 15 − 2 = 13 e P (2/3) = 0.
(c)
P (x) = −5 + 10x5 + 5x10



a10 = 5, a9 = a8 = a7 = a6 = 0, a5 = 10,




 a = a = a = a = 0, a = −5 e n = 10.
4
3
2
1
0
⇒
 P (0) = −5, P (1) = −5 + 10 + 5 = 10 e





 P (−1) = −5 − 10 + 5 = −10.
Contra-exemplos(não representam polinômios):
(a)
F (x) = x − 3x1/2 + 5;
(b)
F (x) = x−7 + 2x + 15.
3.2.1
Operações
• Adição (ou subtração)
Para adicionar ou subtrair polinômios, usamos a propriedade distributiva e adicionamos ou subtraímos os termos
semelhantes, ou seja, os termos dos polinômios que têm a variável elevada à mesma potência.
• Multiplicação
A multiplicação de dois polinômios requer a multiplicação de cada termo de um polinômio por todos os termos
do outro. Assim, torna-se natural o uso da propriedade distributiva.
Simone e Edezio
11
Exemplo(s) 3.2.2
(i)
: Sejam f (x) = −2x4 + 3x2 + x − 1, g(x) = 3x2 + x − 3 e h(x) = 2x3 − 3x2 − x + 3. Vamos calcular:
f (x) + g(x);
(ii)
h(x) − g(x);
(iii)
g(x) · f (x).
Solução:
(i) f (x) + g(x)
= −2x4 + 3x2 + x − 1 + 3x2 + x − 3
= −2x4 + 3x2 + 3x2 + x + x − 1 − 3
= −2x4 + 6x2 + 2x − 4.
(ii) h(x) − g(x) =
2x3 − 3x2 − x + 3 − (3x2 + x − 3)
=
2x3 − 3x2 − x + 3 − 3x2 − x + 3
=
2x3 − 3x2 − 3x2 − x − x + 3 + 3
=
2x3 − 6x2 − 2x + 6.
(iii) g(x) · f (x) =
(3x2 + x − 3) · (−2x4 + 3x2 + x − 1)
= −6x6 + 9x4 + 3x3 − 3x2 − 2x5 + 3x3 + x2 − x + 6x4 − 9x2 − 3x + 3
= −6x6 − 2x5 + 9x4 + 6x4 + 3x3 + 3x3 − 3x2 + x2 − 9x2 − x − 3x + 3
= −6x6 − 2x5 + 15x4 + 6x3 − 11x2 − 4x + 3.
• Divisão
Observe a divisão numérica ilustrada a seguir:
3587 32
-32
112
387
-32
67
-64
3
A divisão, seja de números inteiros ou de polinômios, envolve um dividendo dividido por um divisor para obter um
quociente e um resto. Veja, nos próximos exemplos, como podemos dividir polinômios usando um algoritmo bastante
semelhante ao que já conhecemos para a divisão numérica.
Exemplo(s) 3.2.3
(Método da chave):
O algoritmo da divisão(ou método da chave) para polinômios pode ser apresentado no seguinte esquema:
onde:
(i)
grau de D(x) ≥ grau de d(x);
(ii)
grau de R(x) < grau de d(x);
(iii)
∃!Q(x) e ∃!R(x) tais que D(x) = d(x) · Q(x) + R(x);
Simone e Edezio
12
(i) x3 + 2x2 − x − 3
−x3 + 2x2 + 3x
Assim,
x2 − 2x − 3
Q(x) = x + 4
x+4
4x2 + 2x − 3
−4x2 + 8x + 12
R(x) = 10x + 9
10x + 9
(ii) x4 − 3x2 + 5
x2 − 2x + 1
−x4 + 2x3 − x2
Assim,
Q(x) = x2 + 2x
R(x) = −2x + 5
x2 + 2x
2x3 − 4x2 + 5
−2x3 + 4x2 − 2x
−2x + 5
dividendo
divisor
D(x)
R(x)
resto
(iv)
(v)
d(x)(6= 0)
Q(x)
quociente
grau D(x) = grau de d(x) + grau de Q(x);
D(x) é divisível por d(x) se, e somente se, R(x) = 0 ∀x ∈ R (ou seja,R ≡ 0).
Observação 3.2.1
: Além do método acima, existe o Método de Descartes (ou método dos coecientes a determinar)
que se baseia na análise dos graus dos polinômios e utiliza a resolução de sistemas lineares.
Teorema 3.2.1
(Teorema do resto):
d(x) = x − a ⇒ R(x) = D(a).
Em geral, d(x) = ax − b ⇒ R(x) = D(b/a).
Exemplo(s) 3.2.4
: Vamos calcular o resto da divisão de P (x) = x2 − 3x + 1 por:
(a)
x − 1 ⇒ R = P (1) = 1 − 3 + 1 = −1;
(b)
x + 1 ⇒ R = P (−1) = 1 + 3 + 1 = 5;
Simone e Edezio
(c)
13
2x − 1 ⇒ R = P (1/2) =
Teorema 3.2.2
1
3
1
1−6+4
1
−
+
=
=− .
4/1
2/2
1/4
4
4
(Teorema de DAlembert): D(x) é divisível por x − a se, e somente se, D(a) = 0.
Exemplo(s) 3.2.5
: Podemos fatorar D(x) = 3x2 + 7x − 20, ou seja, escrevê-lo como um produto de polinômios,
dividindo D(x) pelo fator x + 4, já que D(−4) = 0. De fato,
3x2 + 7x − 20
−3x2 − 12x
x+4
3x − 5
−5x − 20
5x + 20
0
Logo, D(x) = 3x2 + 7x − 20 = (x + 4)(3x − 5).
O exemplo seguinte exibe um esquema denominado Dispositivo Prático de Briot-Runi. Este método simplica os cálculos usados no Método de Descartes para a obtenção do quociente Q(x) e o resto R da divisão de D(x)
por x − a.
Exemplo(s) 3.2.6
: A divisão de D(x) = 2x4 − 3x3 + x − 4 por d(x) = x + 2 pode ser efetuada do seguinte modo:
raiz de d(x)
coef. de D(x)
0
1
2
−3
2
−7 14 −27 50
−4
−2
resto
coef. de Q(x)
De fato,
2 × (−2) − 3
=
−7 (2o coef.);
−7 × (−2) + 0 =
14 (3o coef.);
14 × (−2) + 1 = −27 (4o coef.);
−27 × (−2) − 4 =
50 (resto).
Logo, Q(x) = 2x3 − 7x2 + 14x − 27 e R = 50.
Em geral: se D(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 e d(x) = x − a, o Dispositivo Prático de Briot-Runi
pode ser ilustrado no seguinte esquema:
Simone e Edezio
14
bn−1 = an ;
an
an−1
···
a1
a0
bn−1
bn−2
···
b0
R
a
bn−2 = a · bn−1 + an−1;
onde :
······
resto
b0 = a · b1 + a1 ;
R = a · b0 + a0 .
coef. de Q(x)
3.3 Exercícios
1. Dados os polinômios A(x) = 2x3 − x + 2, B(x) = x2 + x + 1 e C(x) = 3x − 1, calcule:
a) A(x) + B(x);
e) A(x) · B(x);
b) A(x) + C(x) − B(x);
f ) [A(x) + B(x)] · C(x);
c) A(x) · C(x);
g) [A(x) − 2x · B(x)] · [B(x) + C(x)].
d) B(x) · C(x);
2. Sendo P (x) = x3 + 2x − 1, calcule [P (x)]2 .
3. Se A(x) = x2 − 3x, determine:
b) A(2 − x);
a) A(x + 1);
c) [A(x − 1)]2 .
4. Qual é o grau dos polinômios seguintes?
a)
f (x) = 5x3 + 2x;
b)
g(x) = 9x2 + 2 − 3x5 ;
c)
h(x) = 10x + 5;
d)
i(x) = 52;
e)
j(x) = 4x + 10x15 .
5. Dado o polinômio f (x) = 2x3 + 2x2 − 2x + 2, calcule o seu valor numérico para:
a) x = 0; b) x = −1; c) x = 2;
d) x = 1/2.
6. Determine o valor de k de modo que os polinômios abaixo tenham uma raiz igual a 1.
a) f (x) = (k + 2)x2 + 5k; b) h(x) = (2k + 1) − kx + (7 + k)x2 .
7. Determine
o
valor
de
k
de
f (x) = 2k − x3 + x + kx2 .
8. Determine um polinômio cujas raízes são 2, -1 e 3.
modo
que
0
seja
raiz
do
polinômio
Simone e Edezio
15
9. Dados os polinômios f (x) = x2 + 1, g(x) = 2x + 3 e h(x) = −x2 + x, calcule:
a)
f (x) + g(x) + h(x);
b)
f (x) − g(x);
c)
h(x) − f (x);
d)
f (x) − g(x) + h(x).
10. Efetue os seguintes produtos:
a)
(−x3 + 2x2 + 1) · (2x + 3);
b)
(4x2 + 3x + 5) · (−x − 4);
c)
(x3 + 7x) · (−x2 − 2x).
11. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo método da chave:
a)
x3 − 5x2 − 4x + 2 e x − 3;
b)
x5 − 3x2 + 6x − 1 e x2 + x + 1;
c)
x10 + x5 + 1 e x2 + x + 1.
12. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo dispositivo de Briot-Runi:
a)
3x2 − 7x + 3 e x − 2;
b)
9x2 − 33x + 37 e −x + 7;
c)
2x2 + 13x − 27 e x + 6.
13. Determine, sem efetuar a divisão, o resto da divisão de:
a)
x6 − x4 + x2 − 1 por x − 1/2;
b)
x8 + 1 por 2x − 4;
c)
x2 + x + 1 por x + 1.
14. Determine k ∈ lR, de modo que:
a)
x3 + 5x2 + kx + 1 seja divisível por x − 1;
b)
2x3 + kx2 − (2k + 1)x − 13k + 3 seja divisível por x + 4;
c)
x142 + k seja divisível por x + 1.
15. Dividindo-se um polinômio P (x) por x − 3, resulta um resto de -7 e um quociente de x − 4. Qual é P (x)?
16. Calcule a, de modo que dividindo-se f (x) = 4x3 + ax2 − 3x + 4 por x − 2 seja obtido resto 4.
17. Dividindo o polinômio P (x) = x3 + x2 + x + 1 pelo polinômio Q(x), obtemos o quociente S(x) = 1 + x e o resto
R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaz a:
Simone e Edezio
a)
Q(2) = 0;
b)
Q(3) = 0;
c)
Q(0) ̸= 0;
d)
Q(1) ̸= 0;
16
e) n.d.a.
18. O polinômio x3 + px + q é divisível por x2 + 2x + 5. Os valores de p e q são respectivamente:
a) 2 e 5;
b) 5 e 2;
c) 1 e 5;
d) 1 e -10;
e) 3 e 6.
19. Um polinômio f, dividido por x − 1 e x + 3, dá restos -2 e 1, respectivamente. O resto da divisão de f por
(x − 1)(x + 3) é:
a)
b)
c)
d)
e)
−3
5
x− ;
4
4
−3
5
x+ ;
4
4
3
5
x− ;
4
4
3
5
x+ ;
2
2
3
5
x− .
2
2
3.4 Produtos notáveis e fatoração
Existem produtos de polinômios que aparecem freqüentemente nos cálculos com expressões algébricas. Tais produtos
podem ser obtidos a partir de certas regras e são chamados produtos notáveis :
(i) Quadrado da soma de dois termos:
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2 ;
(ii) Quadrado da diferença de dois termos:
(x − a)2 = x2 − 2ax + a2 ;
(iii) Produto da soma de dois termos pela sua diferença:
(x + a)(x − a) = x2 − a2 ;
(iv) Cubo da soma de dois termos:
(x + a)3 = x3 + 3x2 a + 3xa2 + a3 ;
Simone e Edezio
17
(v) Cubo da diferença de dois termos:
(x − a)3 = x3 − 3x2 a + 3xa2 − a3 ;
(vi) Quadrado da soma de três termos:
(x + a + b)2 = x2 + a2 + b2 + 2xa + 2xb + 2ab.
Observação 3.4.1
: Devemos notar que, em geral,
(x ± a)2
̸= x2 ± a2
(x ± a)3
̸= x3 ± a3 = (x ± a)(x2 ∓ ax + a2 ).
A seguir, deniremos, para polinômios, o conceito de fatoração análogo ao conceito conhecido para números.
Denição 3.4.1
: Fatorar um polinômio é escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores polinomiais.
Principais casos de fatoração:
Caso 1 (fator comum em evidência):
• 3x + 3y = 3(x + y);

 parte numérica: M.D.C.(9, 12) = 3.
• 9a2 x − 12a2 = 3a2 (3x − 4)
 parte literal: a2 .
Caso 2 (agrupamento):
•
ax + ay
| {z }
+bx + by
| {z }
= a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).
1o grupo 2o grupo
•
2x2 − 4ax
| {z }
↖↗
fator comum
−3xy + 6ay = 2x(x − 2a) − 3y(x − 2a) = (x − 2a)(2x − 3y).
|
{z
}
1o grupo
2o grupo
fator comum:2x
fator comum:-3y
↖↗
fator comum
Caso 3 (trinômio quadrado perfeito):
• x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 ;
• x2 − 2ax + a2 = (x − a)2 .
Caso 4 (diferença de dois quadrados):
• x2 − a2 = (x + a)(x − a).
Caso 5 (soma ou diferença de dois cubos):
• x3 ± a3 = (x ± a)(x2 ∓ ax + a2 ).
Caso 6 (trinômio do 2o grau do tipo x2 + (m + n)x + mn):
Simone e Edezio
18
• x2 + (m + n)x + mn = (x + m)(x + n).
Um
outra
opção,
para
fatorar
esse
trinômio,
é
utilizar
o
seguinte
resultado:
x2 + (m + n)x + mn = (x − (−m))(x − (−n)), onde −m e −n são soluções da equação x2 + (m + n)x + mn = 0
(veremos a resolução dessa equação posteriormente).
Caso 7 (casos de fatoração simultâneos):
• 5x4 − 45x2 = 5x2 (x2 − 9) = 5x2 (x + 3)(x − 3);
• 4x4 − 16x3 y + 16x2 y 2 = 4x2 (x2 − 4xy + 4y 2 ) = 4x2 (x − 2y)2 .
3.5 Exercícios
1. Fatore cada uma das expressões abaixo:
a) 9xy + 12ab;
m) 4a4 + 4a2 x + x2 ;
b) 7x3 y − 21x3 z;
n) a2 x4 − 2ab2 x2 y + b4 y 2 ;
c) 20a2 b + 5ab;
o) x2 + 6xy + 9y 2 ;
d) px + py;
p) x2 + 9x + 14;
e) 3x(a + b) − 5y(a + b);
q) y 2 + 4y + 3;
f ) am + na + bm + bn;
r) m2 − 8m + 7;
g) 10ax + 5ay + 6bx + 3by;
s) y 2 + 3y − 28;
h) x4 + x3 b + ax + ab;
t) x2 + (a + b)x + ab;
i) x2 − 2bx2 − 5a + 10ab;
u) 9a2 − 16;
j) x2 − 3ax − 3ax + 9a2 ;
v) 27x3 − 8;
k) 9a2 − 6a + 1;
x) 125 + x3 ;
l) 25x2 − 10x + 1;
z) x3 + 1.
3.6 Simplicação de expressões racionais
Frações algébricas ou expressões racionais são expressões algébricas que têm a forma de uma fração, em que o numerador
e o denominador são polinômios, sendo que o denominador não é um termo independente de variáveis.
Exemplo(s) 3.6.1
a)
1
;
2x
Note que, a fração
:
b)
x+1
;
x−3
c)
x2 − y 2
.
x+y
x2 − y 2
pode ser simplicada do seguinte modo:
x+y
x2 − y 2
(x − y)(x +
y)
=
= x − y.
x+y
(x +
y)
De modo geral, para simplicar frações algébricas:
Simone e Edezio
19
• decompomos o numerador e o denominador em fatores;
• cancelamos os fatores comuns.
Observação 3.6.1
: Uma fração algébrica só tem sentido se o denominador não for nulo. Então, os fatores desse
denominador também não são nulos e podem ser cancelados quando a fração for simplicável.
3.7 Exercícios
1. Simplique as seguintes frações algébricas:
a)
ax + a − x − 1
;
x2 − 1
h)
x3 + 3x2 − 10x
;
x3 − x2 − 2x
b)
15x2 − 15y 2
;
6x2 + 12xy + 6y 2
i)
mx + m − x − 1
;
m2 − 1
c)
5a2 + 10ab
;
15ab
j)
d)
7x2 y 3 − 21x3 y 5
;
7x2 y 3
x2 − 4xy + 4y 2
;
x2 − 4y 2
( 2
) (
x
m2
x
m)
k)
−
:
+
;
m2
x2
m
x
a2 − 2a + 1
e)
;
a2 − 1
x−4
9 − y2
l) 2
;
x − 16
3−y
4x2 − 8xy
f) 2
;
x − 4xy + 4y 2
m+n
m) x2 + 1 2 ;
m −n
2x + 2
g)
(a + b)2 − (a2 − b2 )
;
3ax3 + 3bx3
1
n) 1 −
1+
1
x
.
2. Efetue e simplique:
a)
x+1
x2 − 16
·
;
+ 2x + 1 x2 − 5x + 4
x2
x3 − 1
x2 + 1
b)
;
x2 − 1
x4 + 2x2 + 1
c)
x−5
x2
·
;
2
x + 5x 25 − 5x
d)
e)
x4 − a4 x + a
·
;
x − a x2 + a2
x6 − y 6
x4 −xy 3
y 4 +x3 y
.
Capítulo 4
Funções reais de uma variável real
O elemento fundamental do cálculo são as funções. Este capítulo abre o caminho para o cálculo, apresentando os
conceitos básicos inerentes às funções e seus grácos.
4.1 Introdução
Denição 4.1.1 : Sejam A e B conjuntos.
(i) Dom f(domínio de f )= A;
(ii)
(iii)
Seja f uma relação de A em B. Suponhamos que:
Im f(imagem de f )⊂ B;
Cada elemento x ∈ A está associado a um único elemento y ∈ B.
Dizemos, então que f é uma função de A em B e B é chamado o contradomínio da f.
Notação : f : A −→ B
x
7−→ y = f (x)
Além disso, o gráco da função f é denido por:
Graf f := {(x, y) ∈ A × B/y = f (x)}.
Denição 4.1.2
: Se A ⊂ R e B ⊂ R, então f é dita uma função real de uma variável real.
Observação 4.1.1
: Sabemos que um dos requisitos que uma relação deve satisfazer para ser uma função é que a
cada elemento x, pertencente ao domínio, deve corresponder um único y, pertencente a imagem. Esta propriedade,
interpretada num gráco, signica que qualquer reta vertical intercepta o gráco de uma função em, no máximo, um
ponto. Observe os grácos a seguir:
20
Simone e Edezio
21
a)
b)
y
y1
f
f
c)
y
y
f
x0
0
0
x
x
0
x
y2
f é gráf ico de f uncão
f não é gráf ico de f uncão
f é gráf ico de f uncão
Figura 4.1:
Denição 4.1.3
(i)
: Duas funções f e g são iguais se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas:
Dom f = Dom g;
(ii)
Im f = Im g;
(iii)
Contradom f = Contradom g;
(iv)
∀x ∈ Dom f, f (x) = g(x).
Exemplo(s) 4.1.1
f: R
x
∗
: Note a igualdade das funções f e g denidas abaixo:
−→ R
1
7 → f (x) =
−
x
g : R∗
e
x
−→ R
7−→ g(x) =
x
x2
4.2 Exercícios:
1. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
a) f (x) = x2 ;
1
b) f (x) = 2 ;
x
c) h(x) =
√
√
x;
x
;
x2
g) F (x) =
4 − x2 ;
h) M (x) =
x2 + 2x + 1
;
x+1
1
;
x
i) T (x) =
1
;
x+1
x − 1;
j) G(x) =
x−1
.
x2 − 1
d) k(x) =
e) y =
√
f) y =
2. Esboce o gráco e encontre o domínio e a imagem das funções abaixo:





a) f (x) =




2; x ≤ −1
−2; −1 < x < 1;
3; x ≥ 1

 x + 5; x ̸= 2
.
b) f (x) =

1; x = 2
Simone e Edezio
22
3. Dado o conjunto A = {1, 2, 5, 7, 8}, determine:
a) o conjunto A2 = A × A e sua representação gráca;
b) o subconjunto W
= {(x, y) ∈ A2 /x < y};
c) o subconjunto Z = {(x, y) ∈ A2 /y = 2x + 3};
d) o subconjunto T
= {(x, y) ∈ A2 /x − y = 4}.
4. Dada a função f (x) = 7x − 3, com Dom f = lR, obtenha:
a) f (2);
b) f (6);
c) f (0);
d) f (−1);
√
e) f ( 2);
( )
1
f) f
;
2
(
)
1
g) f −
;
3
h) f (a + b).
5. Dada a função f (x) = 2x − 3, obtenha:
a) f (3);
c) o valor de x tal que f (x) = 49;
b) f (−4);
d) o valor de x tal que f (x) = −10.
6. Dada a função f (x) = mx + 3, determine m sabendo-se que f (1) = 6.
7. Faça o gráco da função f (x) = 2x + 1, com Dom f = {0, 1, 2, 3, 4}. Determine o conjunto imagem.
8. Faça o gráco da função f (x) = x2 , sendo Dom f = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}. Determine o conjunto imagem.
9. Faça o gráco da função f (x) = 3, sendo Dom f = R.
10. Esboce o gráco da função f, de domínio Dom f = R, dada por:

 1,
f (x) =
 −1,
se x ≥ 0
se x < 0
.
11. Sendo f (x) = (x − 3)3 , calcule:
a) f (2);
b) f (0);
12. Dado f (x + 1) =
c) f (−2);
d) − f (−1);
e) f (2x + 1).
x+1
, determine o valor de f (3).
x−1
13. Considere a função f : R −→ R tal que


f (x) =
1, se x é racional
 −1, se x é irracional
.
√
Determine: f (1/2), f (π), f (2, 1313 . . .) e f ( 2).
14. Considere a função f : R −→ R denida por
f (x) =



3x − 1, se x > 3


x2 − 2, se − 2 ≤ x ≤ 3 .



 2x + 3, se x < −2
Simone e Edezio
23
Determine:
i) f (2);
ii) f (0);
iii) f (−1);
iv) f (−3).
15. Qual dos seguintes grácos dene uma função:
b) y
a) y
0
x
c) y
0
x
d) y
0
x
0
x
16. Uma função f associa a cada número natural n a raiz quadrada positiva do menor quadrado perfeito maior que
n. Calcule f (10) + f (15) + f (25).
4.3 Função injetora, sobrejetora e bijetora
Denições 4.3.1
(i)
: Seja f : A → B uma função:
se a cada y ∈ Im f ⊂ B está associado um único x ∈ Dom f = A, dizemos que f é uma injeção ou uma função
injetora ou injetiva;
(ii)
(iii)
se Im f = B , dizemos que f é uma sobrejeção ou uma função sobrejetora ou sobrejetiva;
se f é uma injeção e sobrejeção, dizemos que f é uma bijeção ou uma função bijetora ou bijetiva.
Exemplo(s) 4.3.1
: Podemos identicar, entre os diagramas de setas da gura 4.2, os que representam funções
injetoras, sobrejetoras e bijetoras de A em B:
Simone e Edezio
24
f2
f1
a)
f3
b)
A
c)
B
B
A
f5
d)
B
A
f6
e)
B
B
A
f7
f)
A
f4
g)
B
A
A
B
Figura 4.2:
De fato, são injetoras as funções f1 e f7 ; sobrejetora as funções f3 , f5 e f7 e bijetora a função f7 . Note que as
relações representadas nos diagramas (d) e (f) não são funções.
Observação 4.3.1
(i)
:
O gráco de uma função injetora se caracteriza pelo fato de que uma reta horizontal o intercepta em, no máximo,
um ponto (caso contrário, teríamos um mesmo y ∈ Im f associado a dois x ∈ Dom f ). Observe os grácos que
se seguem:
f
y
y
0
x
Figura 4.3:
Observe que, se f é uma injeção de A em B, então n(A)1 ≤ n(B);
(iii)
Além disso, se f é uma sobrejeção de A em B, então n(A) ≥ n(B);
(iv)
Assim, se f é uma bijeção de A em B, segue que n(A) = n(B).
1 n(A) denota o número de elementos do conjunto A.
x
f un¸cão não injetora
f un¸cão injetora
(ii)
0
f
Simone e Edezio
25
4.4 Função Composta
Denição 4.4.1
:
Sejam
f
:
A
→
B
e
g
:
C
→
D
funções
tais
que
Im f ⊂ C. A função composta de g com f é denida por:
(g ◦ f )(x) = g(f (x)), ∀x ∈ A.
Notação: g ◦ f : A → D
x 7→
Exemplo(s) 4.4.1
g(f (x))
: Sejam f (x) =
√
x e g(x) = 2x − 3, então temos:
a)
Dom f = [0, +∞);
b)
Dom g = R;
c)
√
√
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g( x) = 2 x − 3 e Dom (g ◦ f ) = [0, +∞);
d)
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (2x − 3) =
√
2x − 3 e Dom(f ◦ g) = [3/2, +∞) já que 2x − 3 ≥ 0 se, e somente se, x ≥ 3/2.
4.5 Função Inversa
Denição 4.5.1
: Seja f : A → B uma bijeção. Uma função g : B → A é dita função inversa de f se
f (g(x)) = x, ∀x ∈ B
e
g(f (x)) = x, ∀x ∈ A.
Notação: f −1 (x)
Observação 4.5.1
: Quando a função f é denida por meio de uma fórmula do tipo y = f (x), isto é, Graf f =
{(x, y) ∈ R /y = f (x)}, a sua inversa f −1 pode ser obtida trocando-se as letras x e y na fórmula y = f (x). Veja o
2
exemplo seguinte.
Exemplo(s) 4.5.1
: Seja f : R → R tal que y = f (x) = 3x − 5. Como f é uma bijeção, podemos encontrar f −1
trocando-se as letras x e y. Assim, obtemos
x = 3y − 5
donde
Portanto, f −1 é dada por: f −1 : R → R tal que f −1 (x) =
Observação 4.5.2
y=
x+5
.
3
x+5
.
3
: f (a) = b ⇔ a = f −1 (b), isto é, (a, b) ∈ Graf f ⇔ (b, a) ∈ Graf f −1 . Assim, podemos concluir
que os grácos de f e f −1 são simétricos com relação à reta y = x. Veja a gura a seguir:
Simone e Edezio
26
f
y
y=x
f −1
x
Figura 4.4:
4.6 Função par e função ímpar
Denições 4.6.1
: Seja f uma função cujo domínio é simétrico em relação a 0 (ou seja, se x está no domínio de f
então -x também está):
(i)
Dizemos que f é uma função par se f (−x) = f (x) ∀x ∈ Dom f ;
(ii)
Dizemos que f é uma função ímpar se f (−x) = −f (x) ∀x ∈ Dom f.
Do ponto de vista geométrico, uma função par é aquela cujo gráco é simétrico em relação ao eixo dos y, e uma função
ímpar é aquela cujo gráco é simétrico em relação à origem. Veja os grácos ilustrados nos exemplos seguintes.
Exemplo(s) 4.6.1
(i)
:
A função f (x) = x2 é par, já que f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x)
(ii)
(iii)
∀x ∈ Dom f = R;
A função f (x) = x3 é ímpar, já que f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x)
∀x ∈ Dom f = R;
A função f (x) = x3 + 4 não é par nem ímpar. De fato, se tomarmos, por exemplo, x = 1 teremos f (1) = 5 e
f (−1) = 3.
Simone e Edezio
27
y
f (−x) f (x)
y
y
5 = f (1)
f (x)
f (−1) = 3
−x
0
x
x
0
−x
x
x
-1 0
1
x
f (−x)
Exemplo 4.6.1 (i)
Exemplo 4.6.1 (ii)
Exemplo 4.6.1 (iii)
Figura 4.5:
4.7 Exercícios
1. Sejam f (x) = 1 + x e g(x) = x2 + 1. Calcule:
a) g ◦ f ;
b) f ◦ g;
c) f ◦ f ;
d) g ◦ g.
2. Determine a função inversa das seguintes funções:
3x + 1
.
−2
3. Determine quais das seguintes funções são pares ou xímpares.
b) y = x5 + 1;
a) f (x) = 3x;
c) f (x) =
a) f (x) = 3x4 − 2x2 + 1;
e) f (x) = 5x3 − 2x;
b) f (s) = s2 + 2s + 2;
f ) f (t) = t6 − 4;
y3 − y
g) f (y) = 2
;
y +1
c) f (x) = |x|;
d) f (x) =
x−1
;
x+1
h) f (x) = x5 + x3 .
4.8 Raiz e sinal de uma função
Denição 4.8.1
: Chama-se raiz (ou zero) de uma função f um número real c do seu domínio tal que f (c) = 0.
Geometricamente, isto signica que o número c é a abscissa de um ponto onde o gráco intercepta o eixo dos x.
Observe que através da representação gráca de uma função podemos fazer um estudo do seu sinal. De fato, se o
ponto do gráco está acima do eixo dos x, o valor da função é positivo, e se está abaixo, é negativo.
Exemplo(s) 4.8.1
: A gura seguinte ilustra quatro raízes de uma função, e mostra também que ela é positiva nos
intervalos [x1 , x2 ), (x3 , x4 ) e (x5 , x6 ] (o gráco está acima do eixo dos x nesses intervalos) e negativa nos intervalos
(x2 , x3 ) e (x4 , x5 ) (o gráco está abaixo do eixo dos x nesses intervalos).
Simone e Edezio
28
y
f
x2
x1
x3 0
x5
x4
x6
x
x2, x3, x4 e x5 são raízes de f.
Figura 4.6:
4.9 Função módulo (ou valor absoluto)
Denição 4.9.1
: A função módulo ou valor absoluto é a função dada por f (x) = |x|. Assim, com base na denição
de módulo, temos, para todo x real:


f (x) =
x se
 −x se
x≥0
.
x<0
Pela denição de módulo, segue que f é uma função par cujo domínio é o conjunto R e o conjunto imagem é o conjunto
R+ . Além disso, seu gráco coincide com a reta y = x se x ≥ 0 e com a reta y = −x se x < 0, e portanto é fácil
representá-lo.
y
0
x
Figura 4.7: Gráco de f (x) = |x|
4.10 Exercícios
1. Verique se o número dado é raíz de f, nos casos:
a) f (x) =
4x4 − 3x − 1
;1
3x2 + x + 1
b) f (x) =
3x − 6
;2
(x − 4)2
c) f (x) =
x3 − x + 2
; −1
2x4 − x + 2
Simone e Edezio
29
2. Estude o sinal da função de domínio [−4, 2], cujo gráco está representado na gura abaixo:
y
-2
-4
0
1
1
3
3. A função y = 2|2x − 1| − x + 2, para x < , é denida pela lei:
a) y = 5x − 2;
b) y = 5x − 4;
c) y = 4 − 5x;
d) y = 3x − 4;
e) y = 3x + 4.
4. A imagem da função y =
|x|
x−2
−2
, é o conjunto:
x
|x − 2|
a) {−1, 0, 1};
b) {−1, 1, 2};
c) {0, 1, 2};
d) {−1, 1, 3};
e) {−1, 2, 3}.
5. Usando a denição de módulo, faça os grácos das funções:
2x
;
|x|
b) f (x) = |2 − x|;
d) f (x) = −|x|;
e) f (x) = |x − 1|.
a) f (x) =
6. O gráco da relação y = |x − 1| + 2 é:
c) f (x) = |x| + 2;
2
x
Simone e Edezio
30
e)
d)
0
0
7. No gráco a seguir, está representada a função am f (x).
f(x)
5
3
O gráco que melhor representa g(x) = |f (x)| − 1 é:
Simone e Edezio
31
Capítulo 5
Funções do primeiro e segundo graus
Muitos problemas, em matemática, são modelados por funções polinomiais. Estudaremos nesse capítulo, em particular,
as funções do primeiro e segundo graus e seus respectivos grácos.
5.1 Função Polinomial
Denição 5.1.1
: Seja n ∈ N. Uma função real polinomial é uma função
f : R → R denida por
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,
onde ai ∈ R, ∀i = 0, . . . , n. Se an ̸= 0 o número n é chamado o grau de f.
A função dada por f (x) ≡ 0 é considerada uma função polinomial de grau indenido.
Exemplo(s) 5.1.1
: f (x) = 4x5 − x2 + 1 é uma função polinomial de grau 5.
Contra-exemplo:
g(x) = 6x−4 + 7 não é uma função polinomial.
Todas as funções constantes exceto, a função identicamente nula, são funções polinomiais de grau zero. Seus
grácos são retas horizontais, como mostram os exemplos ilustrados a seguir.
Exemplo(s) 5.1.2
:
(i)f : R
→
R
x
7→
f (x) = 7
(ii)f : R →
x
7→
R
(iii)f : R
→
R
x
7→
f (x) = 0
f (x) = −5
32
Simone e Edezio
33
y
y
y
7
x
0
0
x
0
x
-5
Exemplo (ii)
Exemplo (i)
Exemplo (iii)
Figura 5.1:
Observação 5.1.1
: Uma função que pode ser escrita como quociente de polinômios é chamada de função racional.
Ela se diz imprópria se o grau do polinômio do numerador é maior ou igual ao do polinômio do denominador; caso
contrário, ela se diz própria. Em particular, toda função polinomial é uma função racional imprópria.
O domínio de uma função racional é formado pelos números que não anulam o denominador.
5.2 Função do primeiro grau
Denição 5.2.1
: Sejam a, b ∈ R, com a ̸= 0. Chamamos de função do primeiro grau à função dada por:
f: R
x
→ R
7→ f (x) = ax + b
Características:
(i)
Im f = R;
(ii) O gráco de f é uma reta no plano cartesiano, inclinada em relação aos eixos cartesianos;
(iii) O número b é denominado coeciente linear da reta e determina a ordenada em que esta reta intercepta o eixo
y (pois b = f (0));
(iv) O número a é denominado coeciente angular ou inclinação (especica a direção de uma reta não vertical). Além
disso, se
• Se P1 (x1 , f (x1 )) e P2 (x2 , f (x2 )) são pontos distintos na reta, então
a = tgθ =
△f
f (x2 ) − f (x1 )
=
△x
x2 − x1
onde θ é o ângulo que a reta forma com sentido positivo do eixo dos x. Veja a gura a seguir:
Simone e Edezio
34
y
P2
f (x2)
4f
f (x1)
P1
4x
θ
0
θ
x1
x2
x
Figura 5.2:
Note que o valor de a independe da escolha dos pontos P1 e P2 sobre a reta. Observe também que
f (x2 ) − f (x1 ) = a(x2 − x1 ).
Daí, segue que:
se a > 0 então f (x) = ax + b é crescente, isto é, x2 > x1 ⇒ f (x2 ) > f (x1 ) (isto signica que à medida que
"aumentam"os valores de x, "aumentam"os valores correspondentes y = f (x)). Veja gura 5.3 (a);
se a < 0 então f (x) = ax + b é decrescente, isto é, x2 > x1 ⇒ f (x2 ) < f (x1 ) (isto signica que à medida
que "aumentam"os valores de x, "diminuem"os valores correspondentes y = f (x)). Veja gura 5.3 (b).
y
y
P2
f (x2)
P1
f (x1)
f (x1)
P1
f (x2)
− ab
0
x1
x2
0
x
P2
x1
x2
− ab
x
(b)
(a)
Figura 5.3:
(v) Observe também, na gura 5.3, que o estudo da variação de sinal da função f (x) = ax + b pode ser dividido em
dois casos:
10 caso: a > 0. Então, temos:
b
• f (x) = 0 se x = − ;
a
Simone e Edezio
35
b
• f (x) > 0 se x > − ;
a
b
• f (x) < 0 se x < − .
a
20 caso: a < 0. Então, temos:
b
• f (x) = 0 se x = − ;
a
b
• f (x) < 0 se x > − ;
a
b
• f (x) > 0 se x < − .
a
Exemplo(s) 5.2.1
(i)
:
f (x) = 2x é uma função do primeiro grau crescente cujo gráco é uma reta que passa pela origem do plano
cartesiano;
(ii)
f (x) = x é uma função do primeiro grau crescente cujo gráco coincide com as bissetrizes do 1o e do 3o
quadrantes;
(iii)
f (x) = −2x + 2 é uma função do primeiro grau decrescente que intercepta os eixos cartesianos nos pontos
(1, 0) e (0, 2);
(iv)
f (x) = x+1 é uma função do primeiro grau crescente que intercepta os eixos cartesianos nos pontos (−1, 0)
e (0, 1).
y
y
2
1
0
0
x
Exemplo 5.2.1 (i)
Exemplo 5.2.1 (ii)
y
y
2
0
x
1
1
x
Exemplo 5.2.1 (iii)
-1
0
x
Exemplo 5.2.1 (iv)
Simone e Edezio
Observação 5.2.1
36
: Note que nos dois primeiros exemplos o coeciente linear é nulo. Convém ressaltar que
quando b = 0, a função f (x) = ax é dita função linear (conceito que será apresentado na próxima seção). Em
particular, se a = 1 então f (x) = x é chamada função identidade.
Observação 5.2.2
(i)
:
Retas verticais não são grácos de funções. Nesse caso, suas equações são do tipo x = k, onde k representa
uma constante real;
(ii)
Retas horizontais são grácos de funções do primeiro grau cujo coeciente angular é nulo (a = 0). Nesse
caso, suas equações são do tipo y = k, onde k representa, novamente, uma constante real;
(iii)
Duas retas, não verticais, de equações y = a1 x + b1 e y = a2 x + b2 são paralelas se, e somente se, elas têm
o mesmo coeciente angular, isto é, a1 = a2 ;
(iv)
Duas retas, inclinadas em relação aos eixos cartesianos, de equações y = a1 x + b1 e y = a2 x + b2 são
perpendiculares se, e somente se, o produto dos seus coecientes angulares é igual a -1, isto é, a1 · a2 = −1.
5.3 Exercícios
1. Determine a função do primeiro grau f tal que f (3) = 0 e f (0) = −1.
2. Classique as funções abaixo em crescentes ou decrescentes:
a)
f (x) = x − 3;
b)
x
+ 1;
2
2x + 1 3x + 5
−
.
f (x) =
3
4
c)
f (x) = −
3. Os grácos abaixo representam funções f (x) = ax + b. Determine, em cada item, os sinais de a e b.
4. Determine os zeros das seguintes funções:
(i)
f (x) = 2x − 1;
(ii)
f (x) = 5x + 10;
(iii)
f (g(x)) sendo f (x) =
x+2
e g(x) = 8 − 4x.
2
5. Estude o sinal das funções abaixo:
(i)
f (x) = −x + 3;
(ii)
(iii)
f (x) = 5x + 10;
f (x) = (x + 3)2 − (x − 2)2 .
6. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (−3, −4) e é paralela ao eixo dos x;
7. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1, −7) e é paralela ao eixo dos y;
Simone e Edezio
37
y
y
(i)
(ii)
0
0
x
y
(iii)
(iv)
0
x
y
x
0
x
8. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (1, 3) e (2, −2);
9. Encontre a equação da reta que passa por (−2, −5) e tem inclinação
√
3;
10. Encontre a equação da reta que passa pela origem e divide ao meio o ângulo entre os eixos no segundo e no
quarto quadrantes;
11. Dados a reta r com equação 2x − 5y = 10 e o ponto P (5, 1), encontre a equação da reta que passa por P e:
a) seja paralela à reta r;
b) seja perpendicular à reta r.
12. Determine o domínio e a imagem e esboce o gráco das seguintes funções:
a)
b)
c)





2, x ≤ −1
−2, −1 < x < 1 ;



 3, x ≥ 1

 x + 5, x ̸= 2
;
f (x) =

1, x = 2
f (x) =
f (x) =
x2 − 9
.
x−3
5.4 Sinal do produto e quociente de funções do primeiro grau
O estudo da variação de sinal do produto de funções do primeiro grau pode ser feito a partir do estudo da variação
do sinal das funções fatores.
Simone e Edezio
Exemplo(s) 5.4.1
38
: f (x) = (x + 3)(2x − 1).
Devemos construir um quadro que represente o sinal dos fatores g(x) = x + 3 e h(x) = 2x − 1. Assim,
x
1/2
−3
g(x) = x + 3
−
h(x) = 2x − 1
−
f (x) = (x + 3)(2x − 1)
+
0
0
+
+
−
0
+
−
0
+
• f (x) > 0 se x < −3 ou x > 1/2;
• f (x) < 0 se −3 < x < 1/2;
• f (x) = 0 se x = −3 ou x = 1/2.
O estudo da variação de sinal do quociente de funções do primeiro grau pode ser feito de modo análogo ao feito no
caso do produto. Devemos tomar apenas um cuidado especial, já que a função racional não é denida no ponto (ou
pontos) onde o denominador se anula.
Exemplo(s) 5.4.2
: f (x) =
−x + 1
. Assim,
x−2
x
g(x) = −x + 1
+
h(x) = x − 2
−
f (x) =
2
1
−x+1
x−2
• f (x) > 0 se 1 < x < 2;
• f (x) < 0 se x < 1 ou x > 2;
• f (x) = 0 se x = 1;
• f (x) não está denida para x = 2, isto é, @f (2).
−
0
0
−
−
−
0
+
+
∃
/
−
Simone e Edezio
39
5.5 Exercícios
1. Resolva as equações abaixo:
a) 3x + 3 = x + 7;
b) 3x − 1 − (x + 2) = 2x − 3;
c) 3(x − 2) + 7 = x + 2(x − 1);
1
1
d) 3(x − ) + x = 2x + ;
3
2
1
2
6
+
= 2
;
x−3 x+3
x −9
1
1
g) x + = 1;
2
3
f ) 2(3 − 4z) − 5(2z + 3) = z − 17;
e)
1
7
h) x = .
2
8
2. Resolva as seguintes inequações:
x
− 2 < x;
3
x − 5 3 − 2x
c)
+
< −2;
4
3
b) 3x − (5 − x) ≥ x − 5;
a)
1
d) (x − 4) − 2x ≤ 5(3 − x).
2
3. Resolva: −4 ≤ 2x + 6 ≤ 0.
4. Estude o sinal das funções abaixo:
a)
f (x) = (x − 1)(x + 2);
b)
f (x) =
c)
f (x) = (x + 1)(x − 3);
d)
f (x) = x3 − x.
x+1
;
x−2
5. Resolva as seguintes inequações:
a)
(x − 2)(x + 1)(x − 4) < 0;
b)
(1 − x)(1 + x) ≥ 0.
6. Determine o domínio da função denida por:
√
√
a) f (x) = (2x − 1)(x + 3);
b) f (x) =
7. Resolva as inequações:
(i)
x+3
≤ 0;
−3x + 2
(ii)
1 − 2x
.
2x − 3
x−5
≥ 1.
2x − 4
5.6 Função am e função linear
Uma breve consulta à literatura clássica pode constatar que os conceitos de função am e função linear são apresentados
de forma relativamente arbitrária. As denições seguintes podem ser encontradas em [1] e [3].
Denição 5.6.1
: Uma função f é chamada de função am se existem números reais a e b tais que f (x) = ax + b,
para qualquer x real. Se b = 0, ou seja, se f (x) = ax, f é chamada de função linear.
Simone e Edezio
40
Com base nessa denição, a classe de funções ans pode ser caracterizada como o conjunto de funções cujos grácos
são retas. Retas inclinadas em relação aos eixos cartesianos são grácos de funções do primeiro grau, enquanto retas
horizontais são grácos de funções constantes. As funções lineares representam a subclasse das funções ans cujos
grácos são retas que passam pela origem.
5.7 Exercícios complementares
1. A temperatura de uma caldeira varia linearmente de 0o C a 300o C no intervalo de 0 min a 10 min e, a partir daí,
sua temperatura permanece constante.
a) Qual é a lei que expressa a temperatura da caldeira em função do tempo?
b) Construa o gráco da temperatura da caldeira em função do tempo.
2. Uma barra de ferro foi aquecida até uma temperatura de 30o C e a seguir foi resfriada até a temperatura de
−6o C. O gráco mostra a temperatura da barra em função do tempo.
Temperatura (o C)
30
0
-6
6
Tempo (min)
a) Depois de quanto tempo, após o início do resfriamento, a temperatura da barra atingiu 0o C?
b) De 0 a 6 min. em que intervalo de tempo a temperatura da barra esteve positiva?
c) De 0 a 6 min. em que intervalo de tempo a temperatura da barra esteve negativa?
3. A água que usamos em nossas casas vem de grandes represas que devem ser conservadas sempre limpas. Suas
margens não devem ser povoadas, para que esgotos não sejam despejados em suas águas. Suponha que numa
dessas represas o medidor do nível da água consista de uma barra graduada, perpendicular à superfície da água,
sendo 0 m o nível mínimo para abastecimento da região servida pela represa. O gráco mostra o nível dessa
represa em função do tempo, nos dez primeiros dias do mês de maio.
Supondo que o gráco em todo o mês de maio seja um segmento de reta, responda:
a) Em que dia do mês de maio o nível da água atingirá o mínimo necessário para o abastecimento da região?
Simone e Edezio
41
N ível da água (m)
Tempo (dias)
10
0
-1
-3
b) Durante quanto tempo no mês de maio o nível da água se apresentará negativo?
c) Durante quanto tempo no mês de maio o nível da água se apresentará positivo?
4. (UFMG) Observe o gráco, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. Esse gráco representa a
relação entre a ingestão de certo composto e a absorção pelo organismo, em mg/dia. A única armativa falsa
Absor¸cão (mg/dia)
18
0
A
20
B
Ingestão (mg/dia)
relativa ao gráco é:
a) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante;
b) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20
mg/dia;
c) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto
ingerido;
d) Para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida.
5. (Vunesp) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos
colocados por ele num gráco, resulta a gura abaixo. Se for mantida sempre essa relação entre tempo (t) e
altura (h), a planta terá, no trigésimo dia, uma altura igual a:
a) 5 cm;
b) 6 cm;
c) 3 cm;
d) 15 cm;
e) 30 cm.
Simone e Edezio
42
h (cm)
2
1
0
10 t (dias)
5
6. (ENEM) Uma empresa produz jogos pedagógicos para computadores, com custos xos de R$ 1.000,00 e custos
variáveis de R$ 100,00 por unidade de jogo produzida. Desse modo o custo total para x jogos produzidos é dado
por C(x) = 1 + 0, 1x (em R$ 1.000,00). A gerência da empresa determina que o preço de venda do produto seja
de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x jogos produzidos é dada por R(x) = 0, 7x (em R$ 1.000,00). O
lucro líquido, obtido pela venda de x unidades de jogos, é calculado pela diferença entre a receita bruta e os
custos totais.
b)
4
3
2
Lucro (em R$ 1.000,00)
a)
Lucro (em R$ 1.000,00)
O gráco que modela corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produzidos x jogos, é:
4
3
2
1
1
1
-1
2
3
-1
-1
4
1
2
3
4
N úmero de jogos vendidos
3
2
1
-1
1
2
3
4
Lucro (em R$ 1.000,00)
d)
4
4
3
2
1
-1
N úmero de jogos vendidos
e)
1
2
3
4
N úmero de jogos vendidos
Lucro (em R$ 1.000,00)
c)
Lucro (em R$ 1.000,00)
N úmero de jogos vendidos
2
1
1
N úmero de jogos vendidos
Simone e Edezio
43
7. (ENEM) Todos os anos, no mundo, milhões de bebês morrem de causas diversas. É um número escandaloso mas
que vem caindo. O caminho para se atingir o objetivo dependerá de muitos e variados meios, recursos, políticas
e programas - dirigidos não só às crianças, mas às suas famílias e comunidades. Admitindo-se que os pontos do
gráco abaixo pertencem a uma reta, a mortalidade infantil em 2015, em milhões, será igual a:
a) 9;
Panorama Mundial
Mortalidade Infantil por ano
(em milhôes de bebês)
Mortalidade
b) 8;
c) 7;
d) 6;
15
11
e) 5.
1980
2000
2015
anos
8. (ENEM) O gráco abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do
número de espécies amea¸cadas de extin¸cão
número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.
461
239
1983
1987 1991 1995
1999 2003
2007 ano
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráco, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:
a) 465;
b) 493;
c) 498;
d) 538;
e) 699.
5.8 Função do segundo grau
Denição 5.8.1
: Sejam a, b e c ∈ R, com a ̸= 0. Chamamos de função do segundo grau ou quadrática à função dada
por:
f: R
x
→ R
7→ ax2 + bx + c.
Simone e Edezio
44
Características:
(i) O gráco de f é uma curva no plano cartesiano denominado parábola. Além disso, se
• a > 0, então a concavidade da parábola é voltada para cima. Veja gura 5.4 (a);
• a < 0, então a concavidade da parábola é voltada para baixo. Veja gura 5.4 (b).
y
y
0
0
x
x
(b)
(a)
Figura 5.4:
(ii) Para determinar os zeros da função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, devemos resolver a equação do 20 grau:
ax2 + bx + c = 0.
Como sabemos, as raízes dessa equação são calculadas pela fórmula (de Bhaskara):
√
−b ± △
x=
,
2a
onde △ = b2 − 4ac denomina-se discriminante (ou delta) da equação. Note que, a existência e o número de
zeros da função dependem do sinal de △. Assim, podemos dividir o estudo do sinal da função quadrática em
três casos:
10 caso: △ > 0
Nesse caso, a função apresenta dois zeros reais distintos:
√
√
−b + △
−b − △
x1 =
e x2 =
.
2a
2a
Veja gura 5.5.
Simone e Edezio
45
y
y
x1
+
0
0
+
x1
−
x2
+
x2
−
−
x
x
a<0
a>0
Figura 5.5:
20 caso: △ = 0
Nesse caso, a função apresenta um zero real duplo: x1 = x2 =
−b
. Veja gura 5.6.
2a
y
y
x1 = x2
0
+
0
−
−
x
+
x1 = x2
x
a<0
a>0
Figura 5.6:
Observação 5.8.1
: A soma e o produto das soluções da equação do 2o grau são dados por −
mente. Além disso, se △ ≥ 0, podemos fatorar o trinômio ax2 + bx + c da seguinte forma:
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
onde x1 e x2 são as raízes reais da equação ax2 + bx + c = 0.
30 caso: △ < 0
Nesse caso, a função não apresenta zeros reais. Veja gura 5.7.
b c
e respectivaa a
Simone e Edezio
46
y
y
0
+
+
−
−
−
x
+
0
x
a<0
a>0
Figura 5.7:
(iii) A gura 5.8, ilustrada abaixo, mostra uma parábola, gráco da função f (x) = ax2 + bx + c, com três elementos
importantes assinalados:
y
r
c
0
x
V
Figura 5.8:
O número c determina a ordenada em que esta parábola intercepta o eixo y (pois c = f (0)). O ponto V é
chamado vértice da parábola. A reta r, perpendicular ao eixo x e passando pelo vértice, é o eixo de simetria da
parábola. O vértice V é dado por V (xv , yv ) com
b
;
2a
△
(já que yv = f (xv ) = a(xv )2 + bxv + c).
• yv = −
4a
• xv = −
(iv) A imagem de f é obtida com auxílio do vértice da parábola, como se segue:
10 caso: a > 0(concavidade é voltada para cima)
Nesse caso, a função apresenta um valor mínimo, igual à ordenada do vértice da parábola. Veja a gura 5.9.
Simone e Edezio
47
y
c
xv
0
yv
x
V
Figura 5.9:
Assim:
b
é chamado ponto de mínimo de f ;
2a
△
é chamado valor mínimo de f.
• yv = −
4a
• xv = −
Logo, Im f = {y ∈ R/y ≥ −
△
△
} = [− , +∞).
4a
4a
20 caso: a < 0(concavidade é voltada para baixo)
Nesse caso, a função apresenta um valor máximo, igual à ordenada do vértice da parábola. Veja a gura 5.10.
y
V
yv
c
0
xv
Figura 5.10:
Assim:
b
é chamado ponto de máximo de f ;
2a
△
é chamado valor máximo de f.
• yv = −
4a
• xv = −
Logo, Im f = {y ∈ R/y ≤ −
△
△
} = (−∞, − ].
4a
4a
x
Simone e Edezio
48
5.9 Exercícios
1. Resolva as equações abaixo:
a)
x2 + 6x = 7;
b)
x2 + 5x − 9 = 0;
c)
x2 − 7x +
d)
4 − 6x = x2 ;
e)
2x2 − 7x + 9 = (x − 3)(x + 1) + 3x;
f)
3x2 − 6x − 7 = x2 + 3x − x(x + 1) + 3.
5
= 0;
4
2. Determine os zeros reais das seguintes funções quadráticas:
a)
f (x) = x2 − 4;
b)
f (x) = −2x2 + 3x;
c)
f (x) = x2 − 2x − 8;
d)
f (x) = x2 + 1.
3. Resolva as inequações abaixo:
a) x2 − 9x + 14 ≤ 0;
d) 9x2 − 4 ≤ 0;
b) − x2 + x − 2 > 0;
c) 4x2 − 4x + 1 > 0;
e) 2x2 − 3x > 0.
4. Calcule m para que a função f (x) = x2 + 6x + m seja maior que zero para todo x ∈ R.
5. Para que valores de m a função f (x) = 3x2 + 2x + m tem dois zeros reais distintos?
6. Para que valores de m a função f (x) = (m + 8)x2 − 6x + m possui um zero real duplo?
7. Determine as imagens das funções abaixo:
a) f (x) = x2 + 2x − 1;
b) f (x) = −2x2 + 6x − 5.
8. Diga se cada uma das funções quadráticas abaixo admite máximo ou mínimo. Indique, em cada caso, o ponto
de máximo ou de mínimo e o valor máximo ou mínimo.
i) f (x) = 3x2 + 6x − 11;
ii) f (x) = 4 − 2x2 .
9. Calcule m de modo que o valor máximo de f (x) = −x2 + 4x + m seja 3.
10. Resolva as seguintes inequações:
a)
x−1
≥ 0;
2
x − 3x + 2
c)
x2
< 4;
x−1
b)
x2 − x − 2
≤0
x2 − 1
d) (x2 − 2x − 3)(−x2 − 3x + 4) > 0.
Simone e Edezio
49
5.10 Exercícios Complementares
1. Um retângulo de perímetro 36 cm que área máxima pode ter?
2. Um móvel se desloca segundo a trajetória h = −2t2 + 12t, onde h é a altura em metros alcançada no instante t,
em horas. Determine, sabendo que o móvel parte às 10 h 20 min:
a) a altura máxima alcançada pelo móvel;
b) a hora em que a altura alcançada foi de 18 m.
3. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita
pela equação h(t) = −2t2 + 8t(t ≥ 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola
no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo;
b) a altura máxima atingida pela bola.
4. Os grácos abaixo representam funções f (x) = ax2 + bx + c. Determine, em cada caso, os sinais de a, b, c e △.
y
i)
y
ii)
iii)
0
x
0
x
y
iv)
0
y
x
0
x
5. Sabendo que a soma de dois números x e y é 10, calcule os valores de x e y de modo que a soma x2 + y 2 seja
mínima.
6. (ENEM) O crescimento da população de uma praga agrícola está representado em função do tempo, no gráco
a seguir, onde a densidade populacional superior a P causa prejuízo à lavoura.
Simone e Edezio
50
Densidade populacional
da praga
P
Tempo
1
2
No momento apontado pela seta 1, um agricultor introduziu uma espécie de inseto que é inimigo natural da
praga, na tentativa de controlá-la biologicamente.
No momento indicado pela seta 2, o agricultor aplicou grande quantidade de inseticida, na tentativa de eliminar
totalmente a praga.
A análise do gráco permite concluir que:
a) se o inseticida tivesse sido usado no momento marcado pela seta 1, a praga teria sido controlada denitivamente, sem necessidade de um tratamento posterior.
b) se não tivesse sido usado o inseticida no momento marcado pela seta 2, a população de praga continuaria
aumentando rapidamente e causaria grandes danos à lavoura.
c) o uso do inseticida tornou-se necessário, uma vez que o comntrole biológico aplicado no momento 1 não
resultou na diminuição da densidade da população da praga.
d) o inseticida atacou tanto as pragas quanto os seus predadores; entretanto, a população de pragas recuperou-se
mais rápido, voltando a causar dano à lavoura.
e) o controle de pragas por meio do uso de inseticidas é muito mais ecaz que o controle biológico, pois os seus
efeitos são muito mais rápidos e têm maior durabilidade.
7. O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone é dado pela função C(x) = x2 −86x+2500,
onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos
diariamente para que o custo seja mínimo?
8. (U. Católica de Salvador-Ba) Considere a função f : R → R, denida por f (x) = x2 − 3x + 2. O conjunto A, no
qual a função f é crescente e f (x) ≥ 0, qualquer que seja x ∈ A, é:
a)
[1, 3/2];
b)
[3/2, +∞[;
c)
[2, +∞[;
Simone e Edezio
51
d)
] − ∞, 1] ∪ [2, +∞[;
e)
] − ∞, 3/2] ∪ [2, +∞[
9. (ENADE-2008) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida
do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, com ponto
de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a gura abaixo.
y
Q
parábola
posi¸cão da f alta
gol
3
barreira
R
P
12
8
x
sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
a) 3/2 m;
b) 4/3 m;
c) 1 m;
d) 2 m;
d) 5/3 m.
Texto para as questões 10 e 11 (ENEM).
Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente
proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao
número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo
e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se:
R(x) = k · x · (P − x), onde k é a constante positiva característica do boato.
10. O gráco cartesiano que melhor representa a função R(x), para x real, é:
Simone e Edezio
52
a)
R
R
b)
0
0
x
R
x
R
c)
d)
0
0
x
x
R
e)
0
x
11. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de
propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11.000;
b) 22.000;
c) 33.000;
d) 38.000;
e) 44.000.
12. (ENEM)Na gura, temos os grácos das funções f e g. Se f (x) = 2x2 , então g(3) vale:
a) 6
f
y
g
b) 8
3
c) 10
d) 12
-1
e) 14
0
x
13. Determine a imagem da função: y = |x2 + x + 3| + 2.
14. O valor numérico de y = |x2 + x + 3| − |x2 + x + b| é constante, para todo x ∈ R. O valor de b satisfaz:
a)
b)
c)
d)
e)
b < 0;
−1 < b < 0;
1
b> ;
4
b ̸= 0;
1
b ̸= .
2
Capítulo 6
Função Exponencial e Função Logaritmica
6.1 Função Exponencial
Denição 6.1.1
Seja a ∈ R∗+ − {1}. A função exponencial de base a é denida por:
f: R
→
R
x
7→
f (x) = y = ax
Características:
(i) Dom f= R;
(ii) Im f= R∗+ ;
(iii) Gráco:
1o
caso:
y = ax .
a > 1. Exemplo: f (x) = 2x
.
..
..
..
..
..
.
...
...
...
...
.
..
..
..
...
..
.
...
...
..
..
.
.
..
...
...
....
....
.
.
.
....•
.....
.......
........
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....................
.......................................................
.......
4
y
y = 2x
3
x
y
0
1
1
2
2
4
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1 1/2
−1
−2 1/4
−2
1
2
−3
−4
• o gráco contém o ponto (0, 1)
• x cresce ⇒ y cresce (função crescente)
53
x....
......
3
4
5
Simone e Edezio
54
• base a = 2 > 1
2o
caso:
( 1 )x
0 < a < 1. Exemplo: f (x) =
2
..
.
..
.......
..
..
...
...
...
...
...
...
..
..
..
...
1 x
...
...
2
...
..
...
...
...
...
...
....
....
..•
•.........
......
.......
.........
...........
................
.............................
........................................
........
y
4
3
x
y
0
1
2
1
1 1/2
2 1/4
y=( )
−5 −4 −3 −2 −1
1
−1
2
−1
−2
4
−2
2
3
−3
−4
• o gráco contém o ponto (0, 1)
• x cresce ⇒ y decresce (função decrescente)
• base a = 1/2 < 1
Observação 6.1.1
: Em particular, o gráco de f (x) = ex é:
.
......
..
..
..
..
...
..
..
...
..
...
.
..
..
..
..
.
.
.
...
..
..
..
..
.
.
...
..
...
...
.
.
..
•
....
.....
......
......
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.................
.........................................................................
y
4
3
y = ex
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
1
x
5
..........
2
3
4
−1
−2
−3
−4
6.2 Exercícios
1. Classique as funções abaixo em crescentes ou decrescentes.
(a)
y = 3x
4
x
5
Simone e Edezio
(b)
(c)
(d)
(e)
55
( )−x
1
3
(√ )x
y=
3
( )x
3
y=
5
( )−x
4
y=
3
y=
2. Determine x:
(a)
3x = 9
(b)
25x−1 = 625
(c)
81−x = 243
(d)
32x − 10 · 3x + 9 = 0
6.3 Função Logarítmica
Denição 6.3.1
∗
∗
Seja a ∈ IR+
− {1}. O logaritmo de um número N ∈ IR+
na base a é denido como sendo o número
x tal que ax = N. O número N é denominado logaritmando.
Notação: loga N = x
Observação 6.3.1
: Condições de existência:
• a ̸= 1, a > 0
• N > 0, ou seja, números negativos e zero não possuem logaritmo.
Denição 6.3.2
Seja a ∈ R∗+ − {1}. Chamamos função logarítmica de base a a função denida por:
f : R∗+
x
Observação 6.3.2
→ R
7→ f (x) = y = loga x
:
y = loga x ⇔ ay = x. O signicado dessa expressão é que a função logarítmica e a função exponencial são inversas
uma da outra. Observe, nos grácos dos exemplos seguintes, suas simetrias em relação à reta y = x.
Propriedades básicas:
(i)
Sejam b > 0, a ∈ R∗+ − {1} e y ∈ R.
loga 1 = 0 pois a0 = 1;
(ii)
loga a = 1 pois a1 = a;
(iii)
loga am = m pois am = am ;
(iv)
aloga b = b pois se loga b = n ⇔ an = b, isto é, aloga b = b;
Simone e Edezio
(v)
56
(iv)
loga b = loga c ⇒ b = c pois aloga c = b ⇒ b = c.
As bases mais usadas são:
• 10 (logaritmos decimais). Notação: log10 b ou log b;
• e (logaritmos neperianos ou naturais). Notação: ln b ou loge b.
Propriedades:
Sejam a, b e c ∈ R∗+ com a ̸= 1 e n ∈ R.
(a)
loga (b · c) = loga b + loga c (regra produto);
(b)
loga ( cb ) = loga b − loga c (regra do quociente);
(c)
loga bn = n loga b (regra da potência). Em particular: loga
(d)
loga N =
logb N
logb a
√
n
b = loga b1/n =
(fórmula de mudança de base).
Características:
(i)
Dom f= R∗+ ;
(ii)
(iii)
1o
Im f= R;
Gráco: y = loga x.
caso:
a > 1. Exemplo: y = log2 x
..
..
...
..
x
...
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...
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•
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2
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.......
y
y=2
4
3
x
y
1/8
−3
1/4
−2
1/2
−1
1
0
−5 −4 −3 −2 −1
−1
2
1
−2
2
y = log x
1
y=x
−3
−4
• o gráco contém o ponto (1,0).
• x cresce ⇒ y cresce (função crescente)
• 0 < x < 1 ⇒ loga x < 0
• x > 1 ⇒ loga x > 0
1
2
3
4
x
5
1
n
loga b;
Simone e Edezio
2o
caso:
57
0 < a < 1. Exemplo: y = log1/2 x
..
..
...
...........
..
...
..
..
...
..
..
...
...
..
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x ......
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•........ ..... .......
...........
.........
... ... ..........
... .... ...........................
.
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...............................
...
..
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....................................
.
....
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•
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1/2
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..
...
...
...
...
.
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...
...
y
4
y = (1/2)
3
x
y
1/8
3
1/4
2
1/2
1
1
0
2
−1
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
1
2
3
4
y = log
x
−3
y=x
−4
• o gráco contém o ponto (1,0).
• x cresce ⇒ y decresce (função decrescente).
• 0 < x < 1 ⇒ loga x > 0.
• x > 1 ⇒ loga x < 0.
Observação 6.3.3
: Em particular, o gráco de f (x) = loge x = ln x é:
.
.......
y
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
6.4 Exercícios
1. Determine x:
(a)
log3 81 = x
(b)
log25 625 = x
y = ln x ...............................
........
.........
........
.......
.
.
.
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......
.....
.....
....
...
.
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•...
..
...
...
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...
..
....
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..
..
...
....
..
...
...
....
..
...
...
....
..
...
...
.....
.
...
1
2
3
x
5
..........
4
x
5
Simone e Edezio
58
(c)
log3/2 2/3 = x
(d)
logx 3 =
(e)
logx 4 = 4
(f)
log1/8 x = − 43
3
4
2. Se log 2 = a e log 3 = b, calcule:
(a)
log 12
(b)
log 5
(c)
log
(d)
log2 10
(e)
log9 20
9
32
Exemplo(s) 6.4.1
( Equação logarítmica):
2 log x = 2 + log(x − 9)
Solução:
Restrições: x > 0 e x − 9 > 0 ⇒ x ∈ (9, +∞)
2 log x = 2 + log(x − 9) ⇔ logx2 − log(x − 9) = 2 ⇔ log
⇔
2
x
x−9
= 102 ⇔
2
x
x−9
x2
x−9
=2
= 100 ⇔ x2 − 100x + 900 = 0
⇔ x = 90 ou x = 10.
Assim, S = {10, 90}
6.5 Exercícios Complementares
1. Resolver:
(a) ( 12 )3x = 512−1
(b) 3x
2
√
−x 3
(c) 32x − 3x
(e) 22x − 34.2x + 64 = 0
48
(f ) 2 x = 8
=1
2
−x+2
=0
(d) 3.9x + 7.3x − 10 = 0
2. Calcular:
(a) log2 128
√
(b) log 12 7 16
3 625
(c) log5 √
5
3. Resolver as equações:
(a) log4 0, 25 = x
(b) logx 256 = 4
(g) (3x )x−1 = 9
(h)
9x +3
4
= 3x
Simone e Edezio
59
(c) 10log9 = 8x + 5
(d) log5 (log2 x) = 1
(e) eln(x
2
−3)
= 2x
4. Calcular
log3
2
7
20
+ log3 + log3
− log3 2
5
4
7
5. Resolver as equações:
(a) log2 (x − 3) + log2 (x − 2) = 1
(b) log9 (2x + 1) − log9 (x − 1) =
1
2
(c) 2logx − log( x2 ) = 1
6. (PUC - SP) O logaritmo decimal de x, sabendo que x =
a3 b2
c
é:
(a) 3logb + 2loga − logc
(b) 3loga − 2logb + logc
(c) 3loga + 2logb + logc
(d) 3loga − 2logb − logc
(e) 3loga + 2logb − logc

 2x + 3y
7. (Cesgranrio - 80) Se (x, y) é solução do sistema f (x) =
 2x − 3y
a)11;
b)3;
c)6;
d)4;
=
11
=
5
, então x + y é:
e)5.
8. Calcule os logaritmos abaixo:
(a) log2 8;
(d) log7 1;
(g) log2 2−3 ; (j) log25 15 ;
(b) log7 49;
(e) log3 3;
(h) log3 19 ;
(k) log2 (16 × 4);
(c) log3 81;
(f ) log10 104 ;
(i) log 15 25;
(l) log5 56 .
9. Admitindo log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, calcule os seguintes logaritmos:
(a) log 6;
(c) log 12;
(e) log 20;
(g) log 5
(i) log 0, 2
(b) log 8;
(d) log 24;
(f ) log 300;
(h) log 50; (j) log 0, 03
10. Admitindo log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, resolva as seguintes equações exponenciais:
(a) 3x = 2;
(c) 2x = 9;
(b) 4x = 3;
(d) 6x = 8.
Capítulo 7
Funções Trigonométricas
7.1 Círculo Trigonométrico
Denição 7.1.1
Um círculo trigonométrico é um círculo orientado no sentido anti-horário (sentido positivo) de raio
unitário e centro na origem de um sistema cartesiano, veja gura abaixo:
y
cotg
sen
tg
F
H
A
C
G
E
+
R=1
α
O
B
D
x
cos
−
Note que a origem do círculo trigonométrico é o ponto D. Para estudarmos as funções circulares, damos "nomes"aos
quatro eixos desse círculo:
60
Simone e Edezio
61
a)
−−→
OF é chamado o eixo dos senos;
b)
−−→
OD é chamado o eixo dos cossenos;
c
−−→
DH é chamado o eixo das tangentes;
−−→
F H é chamado o eixo das cotangentes.
d)
Denições 7.1.1
d o arco de
Sejam α um ângulo e A um ponto da circunferência, associado a α. Denotamos DA
circunferência determinado por α e denimos:
(a)
d ou sen α := OC
seno DA
(b)
d ou cos α := OB
cosseno DA
(c)
d ou tg α := DE
tangente DA
(d)
d ou sec α := OE
secante DA
(e)
d ou cotg α := F G
cotangente DA
(f)
d ou cossec α := OG
cossecante DA
7.2 Relações Fundamentais
1a ) sen2 α + cos2 α = 1
4a ) cossec α =
1
sen α
Demonstrações:
1
cos α
cos α
5a ) cotg α =
sen α
2a ) sec α =
3a ) tg α =
sen α
cos α
(1a ) : No triângulo OAB que é retângulo, temos (pelo Teorema de Pitágoras):
(AB)2 + (OB)2 = (OA)2 . Mas AB = OC. Daí,
sen2 α + cos2 α = 1.
(2a ) e (3a ) : Como o triângulo ODE é semelhante ao triângulo OBA, temos:
E
A
O
1
tg α
sec α
OD
ED
OE
=
=
⇒
=
=
cos α
sen α
1
OB
AB
OA
1
sec α
1
•
=
⇒ sec α =
cos α
1
cos α
B
D
Simone e Edezio
•
62
1
tg α
sen α
=
⇒ tgα =
cos α
sen α
cos α
(4a ) e (5a ) : Como o triângulo OF G é semelhante ao triângulo OCA, temos:
F
G
C
A
O
1
cossec α
FG
OF
OG
cotg α
=
=
=
=
⇒
cos α
sen α
1
CA
OC
OA
cossec α
1
1
=
⇒ cossec α =
sen α
1
sen α
cotg α
1
cos α
•
=
⇒ cotg α =
cos α
sen α
sen α
•
7.3 Relações Derivadas
1a ) cotg α =
1
tg α
2a ) tg 2 α + 1 = sec2 α
3a ) cotg 2 α + 1 = cossec2 α
4a ) cos2 α =
1
1 + tg 2 α
5a ) sen2 α =
tg 2 α
1 + tg 2 α
Demonstrações:
Seguem imediatamente das relações fundamentais.
7.4 Sinais nos Quadrantes
1o Q 2o Q 3o Q 4o Q
seno
+
+
−
−
cosseno
+
−
−
+
tangente
+
−
+
−
cotangente
+
−
+
−
secante
+
−
−
+
cossecante
+
+
−
−
Simone e Edezio
63
7.5 Funções Trigonométricas
a)
Função Seno:
f : IR
→
IR
x
7→
y = f (x) = sen x
(i) Dom f = IR;
(ii) Im f = [−1, 1];
(iii) Gráco:
Figura 7.1: senóide
(iv) Observe que ∀x ∈ IR,
sen x = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) = sen(x + 6π) = . . . = sen(x + 2kπ), k ∈ Z.
Dizemos que a função sen x é uma função periódica de período 2π rad;
(v) sen x é uma função ímpar, ou seja, sen(−x) = −senx.
b)
Função Cosseno:
f : IR
x
→ IR
7→ y = f (x) = cos x
(i) Dom f = IR;
(ii) Im f = [−1, 1];
(iii) Gráco:
Figura 7.2: cossenóide
(iv) Observe que ∀x ∈ IR,
cos x = cos(x + 2π) = cos(x + 4π) = cos(x + 6π) = . . . = cos(x + 2kπ), k ∈ Z.
Simone e Edezio
64
Dizemos que a função cos x é uma função periódica de período 2π rad;
(v) cos x é uma função par, ou seja, cos(−x) = cos x.
c)
Função Tangente:
f: A
x
(i) Dom f = A = {x ∈ IR \ x ̸=
π
2
→ IR
7→ y = f (x) = tg x
+ kπ, k ∈ Z};
(ii) Im f = IR;
(iii) Gráco:
Figura 7.3: tangentóide
(iv) Observe que ∀x ∈ A,
tg x = tg(x + π) = tg(x + 2π) = tg(x + 3π) = . . . = tg(x + kπ), k ∈ Z.
Dizemos que a função tg x é uma função periódica de período π rad;
(v) tg x é uma função ímpar, ou seja, tg(−x) = −tgx.
d)
Função Cotangente:
f: A
x
(i) Dom f = A = {x ∈ IR \ x ̸= kπ, k ∈ Z};
(ii) Im f = IR;
(iii) Gráco:
→ IR
7→ y = f (x) = cotg x
Simone e Edezio
65
Figura 7.4: cotangentóide
(iv) Observe que ∀x ∈ A,
cotg x = cotg(x + π) = cotg(x + 2π) = cotg(x + 3π) = . . . = cotg(x + kπ), k ∈ Z.
Dizemos que a função cotg x é uma função periódica de período π rad;
(v) cotg x é uma função ímpar, ou seja, cotg(−x) = −cotgx.
e)
Função Secante:
→ IR
f: A
7→ y = f (x) = sec x
x
(i) Dom f = A = {x ∈ IR \ x ̸=
π
2
+ kπ, k ∈ Z};
(ii) Im f = IR−] − 1, 1[;
(iii) Gráco:
Figura 7.5: secantóide
(iv) Observe que ∀x ∈ A,
sec x = sec(x + 2π) = sec(x + 4π) = sec(x + 6π) = . . . = sec(x + 2kπ), k ∈ Z.
Dizemos que a função sec x é uma função periódica de período 2π rad;
(v) sec x é uma função par, ou seja, sec(−x) = sec x.
f)
Função Cossecante:
f: A
x
→ IR
7→ y = f (x) = cossec x
Simone e Edezio
66
(i) Dom f = A = {x ∈ IR \ x ̸= kπ, k ∈ Z};
(ii) Im f = IR−] − 1, 1[;
(iii) Gráco:
Figura 7.6: cossecantóide
(iv) Observe que ∀x ∈ A,
cossec x = cossec(x + 2π) = cossec(x + 4π) = cossec(x + 6π) = . . . = cossec(x + 2kπ), k ∈ Z.
Dizemos que a função cossec x é uma função periódica de período 2π rad;
(v) cossec x é uma função ímpar, ou seja, cossec(−x) = −cossecx.
7.6 Exercícios
√
3
, determinar cos α e tg α;
2
√
3
2. Dado cos α = −
, determinar sen α e tg α;
2
1. Dado sen α = −
3. Dada tg α = −1, determinar sen α, e cos α.
√
4. Dada tg α = − 3 e sendo α um arco do 2o quadrante, determinar sen α e cos α.
5. Dada sec α = 2, determinar sen α, cos α e tg α.
√
3 3π
6. Dado sen α = −
,
< α < 2π, determinar os valores das outras funções trigonométricas.
2
2
√
2
3π
7. Dado cos α = −
,π<α<
, determinar os valores das outras funções trigonométricas.
2
2
√
8. Dada sec x = − 2, determinar os valores das outras funções trigonométricas.
9. Sendo 3tg a − 5cotg a = 0 e a um arco do 3o quadrante, determinar tg a, sen a e cos a.
10. Determinar os valores de x sabendo-se que 0 ≤ a < 2π e que:


 tg a = 2x + 3
 tg a = x + 1
2
a)
b)
 cotg a = x + 1
 sec a = √x + 2
11. Simplicar a expressão:
y=
tg 2 x + tg x + 1
− sec x · cossec x
tg x
Simone e Edezio
67
12. Determinar o valor de cada uma das seguintes expressões, para os valores indicados em cada caso:
(a)
(b)
(c)
sen x · tg x
1
, para x ∈ 1o quadrante e cos x =
sec x − cossec x
2
cossec x + cos x
1
B=
, para x ∈ 2o quadrante e sen x =
1 − 2sen x · cos x
2
4
4
(sen x − cos x) · cotg x
C=
, para x ∈ 3o quadrante e tg x = 1
2 − 2 cos2 x
A=
13. Dê o valor, se existir:
π
π
(a) cos 3π
2 ; (b) sen π; (c) cossec 2 ; (d) cossec(− 2 );
(e) sec(−π);
14. Se sen x =
5
13
(f ) tg π2 ;
(g) cotg(− 3π
2 );
e cos x =
12
13 ,
(h) sec 0
qual é o valor de y = sen(−x) + cos(−x)?
15. Dê o valor máximo e o mínimo que y pode ter em cada caso:
(b) y = 7 − cos x
(a) y = 4 + 9 sen x;
16. Se a = sen x, b = cos x e a · b =
12
25 .
Calcule (a + b)2 .
√
sec2 x − sec x · cossec x
para sen x = − 415 e x um arco do 4o quadrante.
1 − cotg x
√
18. Calcular sen2 x e cos2 x sabendo-se que tg x = 2 + 1.
17. Calcular o valor da expressão y =
19. Calcular o valor de y = sen4 x − 2sen2 x + 1 sendo dado cos x =
20. Sendo cos x =
√
2
2
√
− 2
2
e x ∈ 3o quadrante.
e x ∈ 1o quadrante, calcular (cos x + sen x)3 .
21. Esboçar um período do gráco das seguintes funções
f :A⊂R
→
R
x
7→
f (x) = y,
determinando seus respectivos domínios e imagens.
a) y = −1 + sen x;
e) y = 1 + sen 3x;
i) y = | cos x|;
b) y = −2sen x;
f ) y = 2 cos 4x;
j) y = |tg x|;
c) y = 2 + cos x;
g) y = −1 + tg x;
k) y = sen(x − π2 );
d) y = −3 cos x;
h) y = |sen x|;
l) y = 2 + cos(2x + π5 ).
Bibliograa
[1] ÁVILA, G.S.S., Introdução ao Cálculo, Rio de Janeiro, LTC, 1998.
[2] BOULOS, P., Pré-Calculo, São Paulo, Ed. MAKRON Books, 1999.
[3] BOULOS, P., Cálculo Diferencial e Integral, Volume 1, São Paulo, Ed. MAKRON Books, 1999.
[4] CALDEIRA, A. M.; Da Silva, L. M. O.; Machado, M. A. S; Medeiros, V. Z., Pré-cálculo, 2a ed., São Paulo,
Cengage Learning, 2009.
[5] DEMANA, F.D. et al, Pré-cálculo, tradução técnica Eliana Crepaldi Yazawa e Aldy Fernandes da Silva, São
Paulo, Ed. Addison Wesley, 2009.
[6] FLEMMING, D. M. , Gonçalves, M. B., Cálculo A: funções, limites, derivação, integração, 5a ed., São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 1992.
[7] PRADO. A., Descubra o Enem, 2a ed., Rio de Janeiro, MR Bens Editora, 2010.
[8] SILVA, S.M. da, Cálculo básico para cursos superiores, São Paulo, Ed. Atlas, 2004.
68
Simone e Edezio
69
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
CAPÍTULO 1
Seção 1.2:
1.
2.
Falsas: 3, 7, 15, 19, 26, 30, 33 e 34.
Falsas: b, e, n.
Seção 1.5:
1.
a){x ∈ R \ 1 < x < 2},
f ){x ∈ R \ x ≥ −2},
b){x ∈ R \ 1 < x ≤ 2},
g){x ∈ R \ x ≤ 1},
c){x ∈ R \ 1 ≤ x ≤ 2},
h){x ∈ R \ x < 0},
d){x ∈ R \ 1 ≤ x < 2},
i)R ou {x \ x ∈ R}.
e){x ∈ R \ x > 1},
2. a) [1, 5),
b) [0, +∞),
3. a) (0, 2),
b) [−2, 1),
c) [5, +∞).
c) (0, 1],
g) R,
f ) (−∞, 2),
h) R,
d) (0, 1],
i) [−2, 0],
Seção 1.7:
e) [−2, +∞),
j) (1, 2),
k) (1, +∞).
a) S = {x ∈ R/ − 2 < x < 2} = (−2, 2),
∪
b) S = (−∞, −1] [1, +∞),
1
i) S = (− , 1),
3
j) S = ∅ = {},
c) S = {−1, 1},
k) S = {1, 2, 3, 4},
∪
d) S = (−∞, −5) (5, +∞),
l) S = [−1, 2],
e) S = (−1, 1),
m) S = {0, 2},
∪
f ) S = (−∞, −3] [3, +∞),
∪
g) S = [−3, −1] [1, 3],
n) S = ∅ = {},
1
o) S = {−2, − }.
3
h) S = R,
CAPÍTULO 2
Seção 2.2:
√
11) 36 3 cm2 , 16) 9 m2 ,
1) 12m2 ,
6) 36 m2 ,
√
2) 4 m e 12 m, 7) 4 6 cm,
12) 56 m2 ,
21) 4, 5 u.m.a.,
17) 9(1 − π4 ) cm2 , 22) 25 m e 40 m,
√
18) 9 3 cm2 ,
23) 50 cm2 ,
3) 60 m2 ,
8) (16 − 4π) cm2 , 13) 8 cm,
4) 14 kg,
9) 5 cm,
14) 12 m2 ,
19) 100π cm2 ,
24) (4 − π) cm2 ,
5) 12 m2 ,
10) 54 cm2 ,
15) 96 m2 ,
20) 20 cm,
25) 64π cm2 .
Seção 2.4:
1) 160 cm3 , 4) 2 cm,
2) 8 cm3 ,
3) 64 m3 ,
7) 2 m,
5) 45π cm3 , 8) 36π cm3 ,
√
6) 32π cm3 , 9) 3 15 m.
Simone e Edezio
CAPÍTULO 3
Seção 3.3:
1.
a)
2x3 + x2 + 3;
b)
2x3 − x2 + x;
c)
6x4 − 2x3 − 3x2 + 7x − 2;
d)
3x3 + 2x2 + 2x − 1;
e)
2x5 + 2x4 + x3 + x2 + x + 2;
f)
6x4 + x3 − x2 + 9x − 3;
g)
−2x4 − 11x3 − 10x2 + 8x.
2. x6 + 4x4 − 2x3 + 4x2 − 4x + 1.
3.
a)
x2 − x − 2;
b)
x2 − x − 2;
c)
x4 − 10x3 + 33x2 − 40x + 16.
4. a) 3; b) 5; c) 1; d) 0; e) 15.
5. a) 2; b) 4; c) 22; d) 7/4.
6. a) − 1/3; b) − 4.
7. k = 0.
8. f (x) = x3 − 4x2 + x + 6.
9. a) 3x + 4; b) x2 − 2x − 2; c) − 2x2 + x − 1; d) − x − 2.
10.
11.
12.
a)
−2x4 + x3 + 6x2 + 2x + 3;
b)
−4x3 − 19x2 − 17x − 20;
c)
−x5 − 2x4 − 7x3 − 14x2 .
a)
Q(x) = x2 − 2x − 10 e R(x) = −28;
b)
Q(x) = x3 − x2 − 2 e R(x) = 8x + 1;
c)
Q(x) = x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1 e R(x) = 0.
a)
Q(x) = 3x − 1 e R = 1;
b)
Q(x) = −9x − 30 e R = 247;
c)
Q(x) = 2x + 1 e R(x) = −33.
70
Simone e Edezio
71
−51
; b) 257; c) 1.
64
13. a)
14. a) k = −7; b) k = 11; c) k = −1.
15. P (x) = x2 − 7x + 5.
−13
.
2
16. a =
17. (d).
18. (d).
19. (a).
Seção 3.5:
1.
a) 3(3xy + 4ab);
h) (x3 + a)(x + b);
b) 7x3 (y − 3z);
i) (1 − 2b)(x2 − 5a);
c) 5ab(4a + 1);
j) (x − 3a)2 ;
d) p(x + y);
k) (3a − 1)2 ;
e) (a + b)(3x − 5y);
l) (5x − 1)2 ;
f ) (m + n)(a + b);
m) (2a2 + x)2 ;
g) (2x + y)(5a + 3b);
n) (ax2 − b2 y)2 ;
o) (x + 3y)2 ;
t) (x + a)(x + b);
p) (x + 7)(x + 2);
u) (3a − 4)(3a + 4);
q) (y + 3)(y + 1);
v) (3x − 2)(9x2 + 6x + 4);
r) (m − 7)(m − 1);
x) (5 + x)(25 − 5x + x2 );
s) (y + 7)(y − 4);
z) (x + 1)(x2 − x + 1).
Seção 3.7:
1.
a)
a−1
;
x−1
b)
5(x − y)
2(x + y)
; c)
e)
a−1
;
a+1
f)
4x
;
x − 2y
g)
2b
;
3x3
h)
x+5
;
x+1
i)
x+1
;
m+1
j)
x − 2y
;
x + 2y
k)
x2 − m 2
;
mx
l)
1
;
(3 + y)(x + 4)
n)
1
.
x+1
m)
2
;
m−n
a + 2b
3b
; d) 1 − 3xy 2 ;
Simone e Edezio
2.
a)
72
x+4
;
(x + 1)(x − 1)
d) (x + a)2 ;
b)
(x2 + x + 1)(x2 + 1)
;
x+1
e)
y(x3 + y 3 )2
.
x
c) −
x
;
5(x + 5)
CAPÍTULO 4
Seção 4.2:
1.
a) Dom f = R e Im f = R+ ;
∗
b) Dom f = R e Im f =
f ) Dom y = [0, +∞) e Im y = [0, +∞);
g) Dom F = R∗ e Im F = R∗ ;
R∗+ ;
c) Dom h = [−2, 2] e Im h = [0, 2];
h) Dom M = R − {−1} e Im M = R∗ ;
d) Dom k = R∗ e Im k = R∗ ;
i) Dom T = R − {−1} e Im T = R∗ ;
e) Dom y = [1, +∞)eIm y = [0, +∞); j) Dom G = R − {−1, +1} e
Im G = R − {0, 1/2}.
2.
a) Dom f = R e Im f = {−2, 2, 3};
b) Dom f = R e Im f = R − {7}.
3. a)
{(1, 1), (1, 2), (1, 5), (1, 7),
(1, 8),
(2, 1),
(2, 2), (2, 5), (2, 7),
(2, 8),
(5, 1),
(5, 2), (5, 5), (5, 7),
(5, 8),
(7, 1),
(7, 2), (7, 5), (7, 7),
(7, 8),
(8, 1),
(8, 2), (8, 5), (8, 7), (8, 8)};
b) {(1, 2), (1, 5), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 7), (2, 8), (5, 7), (5, 8), (7, 8)};
c) {(1, 5), (2, 7)}; d) {(5, 1)}.
4.
a) 11;
b) 39;
c) − 3;
d) − 10;
√
e) 7 2 − 3; f ) 1/2; g) − 16/3; h) 7(a + b) − 3.
5.
a) 3; b) − 11; c) 26; d) − 7/2.
6. m = 3.
7. Im f = {1, 3, 5, 7, 9}.
y
9
7
5
3
1
O
1234
x
Simone e Edezio
73
8. Im f = {0, 1, 4, 9}.
y
9
4
1
-3 -2 -1 0
1
2
x
3
9.
y
3
O
x
10.
y
1
0
x
-1
11. a) − 1;
b) − 27;
c) − 125;
d) 64;
e) (2x − 2)3 .
Simone e Edezio
74
12. 3.
√
13. f (1/2) = 1, f (π) = −1; f (2, 1313 . . .) = 1; f ( 2) = −1.
14. i) 2; ii) − 2; iii) − 1;
iv) − 3.
15. d.
16. 14.
Seção 4.7:
1.
a) g ◦ f : R
→ R
R
→
R
x
7→
x2 + 2
d) g ◦ g : R
→
R
x
7→
x4 + 2x2 + 2
7→ x2 + 2x + 2
x
c) f ◦ f : R
→ R
7→ x + 2
x
2. a) f −1 (x) =
b) f ◦ g :
x
;
3
b) f −1 (x) =
√
5
x − 1;
c) f −1 (x) =
1 + 2x
.
x−3
3.
a) par; b) não é par nem ímpar; c) par; d) não é par nem ímpar;
e) ímpar; f ) par; g) ímpar; h) ímpar.
Seção 4.10:
1. a) sim; b) sim; c) não.
2. positiva em (−4, −2) e (1, 2]; negativa em (−2, 1).
3. c)
4. d)
5.
a)
y
y
b)
2
0
x
2
0
−2
−2
2
x
Simone e Edezio
75
y
c)
y
d)
0
1
-1
2
-1
-2
0
2
x
y
e)
1
1
x
-1
6. e)
7. e)
CAPÍTULO 5
Seção 5.3:
1. f (x) = 13 x − 1
2. a) crescente; b) decrescente; c) decrescente.
3.
(i)
a > 0 e b < 0;
(ii)
4.
a = 0 e b > 0;
(iii)
a < 0 e b = 0;
(iv)
a > 0 e b > 0.
(i)
x = 1/2;
(ii)
x = −2;
(iii)
x = 5/2.
5.
(i) f (x) > 0 se x < 3,
f (x) < 0 se x > 3,
f (x) = 0 se x = 3;
(ii) f (x) > 0 se x > −2,
f (x) < 0 se x < −2,
f (x) = 0 se x = −2;
(iii) f (x) > 0 se x > −1/2, f (x) < 0 se x < −1/2, f (x) = 0 se x = −1/2.
x
Simone e Edezio
6. y
=
76
−4.
7. x
=
8. y + 5x − 8
1.
=
0.
9. y −
10. x + y = 0. 11. a) 5y − 2x + 5 = 0; b) 2y + 5x = 27.
12. a) Dom f = lR e Im f = {−2, 2, 3}; b) Dom f = lR e Im f = lR − {7};
c) Dom f = lR − {3} e Im f = lR − {6}.
Seção 5.5:
1. a) S = {2};
b) S = R;
e) S = ∅;
f ) S = {8/19};
2. a) S = (−3, +∞);
c) S = ∅;
d) S = {3/4};
g) S = {4/3};
h) S = {7/4}.
b) S = [0, +∞);
c) S = (21/5, +∞);
d) S = (−∞, 34/7].
3. S = [−5, −3].
4. a) f (x) > 0 se x < −2 ou x > 1; f (x) < 0 se − 2 < x < 1; f (x) = 0 se
x = −2 ou x = 1.
b) f (x) < 0 se − 1 < x < 2; f (x) > 0 se x < −1 ou x > 2; f (x) = 0 se x = −1;
f (x) não está denida para x = 2, isto é, @f (2);
c) f (x) > 0 se x < −1 ou x > 3; f (x) < 0 se − 1 < x < 3; f (x) = 0
se x = −1 ou x = 3;
d) f (x) > 0 se − 1 < x < 0 ou x > 1; f (x) < 0 se x < −1 ou 0 < x < 1;
f (x) = 0 se x = −1 ou x = 0 ou x = 1.
5. a) S = {x ∈ R/x < −1 ou 2 < x < 4};
b) S = {x ∈ R/ − 1 ≤ x ≤ 1}.
6. a) Dom f = {x ∈ R/x ≤ −3 ∨ x ≥ 1/2} = (−∞, −3] ∪ [1/2, +∞);
b) Dom f = {x ∈ R/1/2 ≤ x < 3/2} = [1/2, 3/2).
7. (i) S = {x ∈ R/x ≤ −3 ∨ x > 2/3} = (−∞, −3] ∪ (2/3, +∞);
(ii) S = {x ∈ R/ − 1 < x < 2} = (−1, 2).
Seção 5.7:
1. a) T (x) = 30x, onde x denota o tempo em minutos;
b)
Temperatura (o C)
300
0
10
Tempo (min)
2. a) 5 min; b) De 0 a 5 min; c) De 5 a 6 min.
3. a) 15 de maio; b) 15 dias; c) 16 dias.
√
3(x + 2) + 5
=
0.
Simone e Edezio
77
4. (a).
5. (b).
6. (b).
7. (b).
8. (c).
Seção 5.9:
√
√
√
5
5
61
61 5
61
ou x = − −
− +
;
1. a) x = −7 ou x = 1; b) x = − −
2
2
2
2
2
2
√
√
7 √
7 √
c) x = − 11 ou + 11;
d) x = −3 − 13 ou x = −3 + 13;
2
2
√
√
46
4
46
4
ou x = +
.
e) x = 2 ou x = 6;
f) x = −
3
3
3
3
2. a) 2 e − 2;
d) Não ha zeros reais.
[
]
2 2
3. a) S = [2, 7]; b) S = ∅; c) S = R − {1/2};
d) S = − ,
;
3 3
e) S = (−∞, 0) ∪ (3/2, +∞).
b) 0 e 3/2;
c) 4 e − 2;
4. m > 9.
5. m < 1/3.
6. m = 1 ou m = −9.
7. a) Im f = [−2, +∞);
b) Im f = (−∞, −1/2].
8. i) admite mínimo; ponto de mínimo é -1 e valor mínimo é -14;
ii) admite máximo; ponto de máximo é 0 e o valor máximo é 4.
9. m = −1.
10. a) S = {x ∈ R/x > 2};
b) S = {x ∈ R/1 < x ≤ 2};
d) S = (−4, −1) ∪ (1, 3).
Seção 5.10:
1. 81 cm2 .
2. a) 18 m;
3. a) 4s;
4.
i)
b) 13 h 20 min.
b) 8 m.
a > 0; b < 0; c > 0 e △ < 0;
ii)
a < 0; b < 0; c > 0 e △ > 0;
iii)
a > 0; b > 0; c > 0 e △ = 0;
iv)
a < 0; b = 0; c > 0 e △ > 0.
c) S = (−∞, 1);
Simone e Edezio
78
5. x = y = 5.
6. (d).
7. 43 aparelhos.
8. (c).
9. (d).
10. (c)
11. (b)
12. (a).
13. Im f = [
19
, +∞).
4
14. (c).
CAPÍTULO 6
Seção 6.2:
1 . Crescentes: (a), (b) e (c)
2 . (a) S = {2}; (b) S = {3}; (c) S = {− 45 }; (d) S = {0, 2}.
Seção 6.4:
1 .
(a) S
=
{4}; (b) S
{2}; (c) S
=
=
{−1}; (d) S
=
√
{3 3 3}; (e) S
(f ) S = {16}.
2 . (a) b + 2a; (b) 1 − a; (c) 2b − 5a; (d)
1
a;
(e)
1+a
2b .
Seção 6.5:
1.
√
a) x = 3;
b) x = 0 ou x =
3
c) x = 2 ou x = 1;
f ) x = 16;
g) x = 2 ou x = −1; h) x = 1 ou x = 0.
d)x = 0 e) x = 1 ou x = 5;
2.
a) 7; b) − 47 ; c) 3.
3.
a) x = −1; b) x = 4;
c) x = 1/2; d) x = 32;
4. 0
5.
a)x = 4; b)x = 4;
6. (e)
7. (d)
c)x = 5.
e) x = 3
=
√
{ 2};
Simone e Edezio
79
a) 3
d) 0
g) − 3
j) − 1/2
8. b) 2
e) 1
h) − 2
k) 6
c) 4
f) 4
i) − 2
l) 6
9.
10.
a) 0, 78
c) 1, 08
e) 1, 3
g) 0, 7
i) − 0, 7
b) 0, 9
d) 1, 38
f ) 2, 48
h) 1, 7
j) − 1, 52
a) 0, 625
c) 3, 2
b) 0, 8
d) 1, 15
CAPÍTULO 7
Seção 7.6:
√
1. cos α = ± 12 ; tg α = ± 3
2. sen α = ± 12 ; tg α = ±
3. sen α = ±
√
2
2 ;
√
3
3
cos α = ±
√
4. cos α = − 12 ; sen α =
√
3
2
5. cos α = 21 ; sen α = ±
√
3
2 ;
2
2
√
tg α = ± 3
√
√
√
6. cos α = 21 ; tg α = − 3; cotg α = − 33 ; sec α = 2; cossec α = − 2 3 3
7. sen α = −
√
2
2 ;
√
√
tg α = 1; cotg α = 1; sec α = − 2; cossec α = − 2
√
√
√
8. cos x = − 22 ; sen x = ± 22 ; tg x = ±1; cossec x = ± 2
√
√
√
9. cos a = − 38 ; sen a = − 58 ; tg a = 53
10. (a) x = −2 e x = − 12
(b) x = −1 e x = 3
11. y = 1
12. (a) 9+38
√
; (b) 11 − 6 3; (c) 0
13. (a) 0
(b) 0
(c) 1
(d) − 1
(f ) não existe
(g) 0
(h) 1
√
3
(e) − 1
14. 7/13
15. (a) M áx. : y = 13 e M ín. : y = −5
16. 49/25
17. 16
√
√
2+ 2 2− 2
18.
e
4
4
19. 1/4
(b) M áx. : y = 8 e M ín. : y = 6.
Simone e Edezio
√
20. 2 2
21. a) Dom f = R e Im f = [−2, 0].
b) Dom f = R e Im f = [−2, 2].
c) Dom f = R e Im f = [1, 3].
80
Simone e Edezio
d) Dom f = R e Im f = [−3, 3].
e) Dom f = R e Im f = [0, 2].
f ) Dom f = R e Im f = [−2, 2].
81
Simone e Edezio
g) Dom f = {x ∈ R/x ̸=
82
π
2
+ kπ, k ∈ Z} e Im f = R.
h) Dom f = R e Im f = [0, 1].
i) Dom f = R e Im f = [0, 1].
Simone e Edezio
83
j) Dom f = {x ∈ R/x ̸=
π
2
+ kπ, k ∈ Z} e Im f = R+ .
k) Dom f = R e Im f = [−1, 1].
l) Dom f = R e Im f = [1, 3].
Apêndice:
1. (a)
17
12
(b)
4
15
(c)
77
60
2. (a)
5
27
(b)
61
60
(c)
−3
4
3. (a)
3
4
(b)
5
4
(c)
5
3
(d)
(d) 4
11
4
(e)
13
5
(f )
51
40
(g)
4
3
(h) 0
Simone e Edezio
84
4. (a)
5
6
(b)
24
13
5. (a)
1
3
(b)
73
180
6.
3
2
16
(e)
3
8.
(b)
9
10
1
(e)
6
(a)
5
2
(c)
124
27
3
(h)
4
(d)
3
10
21
20
71
(g)
15
(c)
18
11
5
8
11
24
(c)
(b) 1
(f )
(d)
5
8
3
(g)
8
(b)
65
63
12
7
(c)
16
3
3
(f )
5
(a)
7. (a)
(c)
(d)
3
2
9.
(a) 8
(b) − 64
(c) 25
(d) − 25
(e) 0
(f ) 1
(g) 1
(h) − 1
(i) 8
(j) − 6
(k) 1/16
(l) 5/2
(m) 1/9
(n) @
(o) 625
(p) − 64
(q) 27
(r) − 1/8
(s) 1000
(t) 16
(u) 4/25
(v) − 32 (x) 64
(w) 512
(z) − 512 (α) − 64
(a) 2
(b) − 2
(c) 0
(d) 4
(e) − 4
(g) 2
√
(h) 3
(i) 2
(j) − 2
(k)
√
(o) 8
(p)
(y) 64
10.
(m)
(s)
5
2
(n)
25
(t)
3
√
3
√
11. (a) 2 5 (b)
√
4
√
5
√
5
5
√
15
4
√
5
6
(l)
√
(q) 2
(r)
−4 (u) 2
343
7
√
(c)
3−1
2
√
√
√
12. (a) 18 3 12 (b) 4 3 (c) 2 + 3
(f )∈/ R
√
√
(d) 7 + 5
√
30
√
3
9