MAT 2453 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I

MAT 2453 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I
1o semestre de 2006 - 3a PROVA - 27/06/2006
A
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Questão 1. Calcule as seguintes integrais:
(1,0) (a)
Z
2
x sen(2x) dx
(1,5) (b)
Z
2
√
2 3
√
4 + x2
dx
x4
(a)Usaremos integração por partes. Seja u = x2 e dv = sen(2x)dx. Então du = 2xdx e
1
v = − cos(2x). Assim:
2Z
Z
Z
1 2
1
1 2
2
x sen(2x) dx = − x cos(2x) − [− cos(2x)]2xdx = − x cos(2x) + xcos(2x)dx.
2
2
2
Z
Vamos agora calcular xcos(2x)dx. Para isso, usamos novamente integração por partes, desta vez
1
com u = x e dv = cos(2x)dx. Temos então que du = dx e v = sen(2x) e
2
Z
Z
1
1
1
1
sen(2x)dx = xsen(2x) − [−cos(2x)] + C, C ∈ IR.
xcos(2x)dx = xsen(2x) −
2
2
2
4
Logo:
Z
1
1
1
x2 sen(2x) dx = − x2 cos(2x) + xsen(2x) + cos(2x) + C, C ∈ IR.
2
2
4
(b)Usaremos uma substituição
trigonométrica. Faça x = 2tgθ, com − π2 < θ < π2 . Então dx =
√
x
π
π
2sec2 θdθ. Como θ = arctg
, temos que θ = se x = 2 e θ = se x = 2 3 e usando também o
2
4
3
Teorema de Mudança de Variável
na
Integral
Definida,
temos
que:
π
Z 2√3 √
Z π
3
4 + x2
1 Z 3 cosθ
3 4sec θ
dθ =
dθ.
dx = π
x4
16tg4 θ
4 π4 sen4 θ
2
4
sen−3 (θ)
cosθ
é
e assim, pelo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos:
Mas, uma primitiva de
4θ
sen
−3
 √ !−3
√ !−3 
Z 2√3 √
4 + x2
3
2
π
π
1
1

sen−3
− sen−3
=− 
dx = −
−
4
x
12
6
4
12
2
2
2
A
Questão 2. Calcule as seguintes integrais:
(1,0) a)
Z
Z
√
Z
Z
Z
√
cos 3 ( x)
1
3
3
√
dx = 2 cos ( x) √ dx = 2 cos (u) du = 2 cos 2 (u)cos (u) du=
x
2 x
↓
√
1
u= x
du = √ dx
2 x
2
Z
= 2 (1 − sen (u))cos (u) du = 2 (1 − v 2 ) dv = 2v − 2
v = sen (u)
↓
sen 3 (u)
v3
+ k = 2sen u − 2
+ k=
3
3
dv = cos (u) du
√
√
sen 3 ( x)
= 2sen ( x) − 2
+ K, K ∈ IR.
3
(1,5) a)
Z
ln (x2 + 4) Z
2x
ln (x2 + 4)
dx = −
+
dx=
2
(x + 1)
x+1
(x + 1)(x2 + 4)
↓
2x
u = ln (x2 + 4) du = 2
x +4
1
1
dx v = −
dv =
2
(x + 1)
x+1
−2
2
x + 85
ln (x2 + 4) Z
5
5
dx = −
+
+ 2
dx=
x+1
x+1
x +4
↓
2x
A
Bx + C
(A + B)x2 + (B + C)x + (4A + C)
=
+
=
(x + 1)(x2 + 4)
x
+1
x2 + 4
(x + 1)(x2 + 4)





 A = −2/5
 A+B =0
ln (x2 + 4) Z
=−
+
x+1
Bx + C
A
+ 2
x+1
x +4

"

B + C = 2 ⇒  B = 2/5





 C = 8/5
 4A + C = 0
1 Z 2x
8Z
1
1
ln (x2 + 4) 2 Z
−
dx +
dx +
dx=
=−
2
2
x+1
5 x+1
5 x +4
5 x +4
=−
ln (x2 + 4) 2
1
4
− ln |x + 1| + ln (x2 + 4) + arctg
x+1
5
5
5
x
+ K, K ∈ IR.
2
#
A
Questão 3. Seja F : [1, +∞[ → IR dada por
Z
F (x) =
x
√
1
t3 − 1 dt.
(1,0)(a) Calcule o comprimento do gráfico de F entre x = 1 e x = 4.
(1,5)(b) Calcule
F (x3 ) − F (8)
.
x→2 sen(x − 2)
lim
(a) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que F ′ (x) =
√
mento L do gráfico de F entre x = 1 e x = 4 é
L=
Z
4
1
q
1 + (F ′ (x))2 dx =
Z
1
4
5
x3 − 1. Logo, o compri-
4
i
x2 2h 5
62
2 −1 = .
x dx = 2 =
5 5
5
3
2
1
(b) Observe que
q
√
d
d Z x3 √ 3
t − 1 dt = (x3 )3 − 1 · 3x2 = 3x2 x9 − 1.
F (x3 ) =
dx
dx 1
Portanto, pela Regra de L’Hospital, temos
√
√
F (x3 ) − F (8)
3x2 x9 − 1
lim
= lim
= 12 29 − 1.
x→2 sen(x − 2)
x→2 cos(x − 2)
A
Questão 4. (2,5) Seja R a região do plano delimitada pelo gráfico da função f (x) = x3 e por sua
reta tangente em x = 1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno da reta y = 3.
10
5
-4
-2
4
2
-5
Como f ′ (x) = 3x2 , temos que f ′ (1) = 3 e a equação da
-10
reta tangente ao gráfico de f em x = 1 é y − 1 = 3(x − 1), ou , y = 3x − 2. A intersecção do gráfico
de f com a reta y = 3x − 2 ocorre em nos pontos (1, 1) (é claro!) e em (−2, −8) ( encontre esse
ponto!). A região R é então
R = {(x, y) ∈ IR2 | − 2 ≤ x ≤ 1, 3x − 2 ≤ y ≤ x3 }.
Quando a região R gira em torno da reta y = 3, obtemos um sólido cujas secções transversais por
planos ortogonais ao eixo x e passando por x são arruelas com o raio menor igual a 3 − x3 e raio
maior igual a 3 − (3x − 2). Logo o volume do sólido é:
Z
1
−2
Agora
é só calcular essa integral!
Z
h
i
h
i
π (5 − 3x)2 − (3 − x3 )2 dx.
(5 − 3x)2 − (3 − x3 )2 dx =
Z h
i
(25 − 30x + 9x2 ) − (9 − 6x3 + x6 ) dx = 16x −
volume pedido é:
x3
x4
x7
30x2
+9 +6 −
+ C, C ∈ IR. Portanto o
2
3
4
7
x3
x4 x7
30x2
+9 +6 −
π (5 − 3x) − (3 − x ) dx = π 16x −
2
3
4
7
−2
Z
1
h
2
3 2
"
i
2
4
−2
#
30(−2)
1
1 1
(−2)
(−2)
(−2)7
1107
30
− π 16(−2) −
+9 +6 −
+9
+6
−
π.
=
= π 16 −
2
3
4 7
2
3
4
7
14
3
! 1