LIMITES 1) Noção intuitiva de limites Seja a função 12)( + = x xf

1
Professor Mauricio Lutz
LIMITES
1) Noção intuitiva de limites
Seja a função f ( x) = 2 x + 1 . Vamos dar valores de x que se aproximem
de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores
que 1) e calcular o valor correspondente de y:
x
y = 2x + 1
x
y = 2x + 1
1,5
1,3
1,1
1,05
1,02
1,01
4
3,6
3,2
3,1
3,04
3,02
0,5
0,7
0,9
0,95
0,98
0,99
2
2,4
2,8
2,9
2,96
2,98
Notemos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou
seja, quando x tende a 1 ( x → 1 ), y tende para 3 ( y → 1 ), ou seja:
lim(2 x + 1) = 3
x→1
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da
função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f (x) quando x tende para 1
( x → 1 ). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f (x) tende para 3 ( f ( x) → 3 ),
dizemos que o limite de f (x) quando x → 1 é 3, embora possam ocorrer casos em
que para x = 1 o valor de f (x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
lim f ( x) = b
x →a
se, quando x se aproxima de a ( x → a ), f (x) se aproxima de b ( f ( x) → b )
⎧ x2 + x − 2
,x ≠1
⎪
Seja, agora a função f ( x) = ⎨ x − 1
⎪2, se x = 1
⎩
Como x 2 + x − 2 = ( x − 1)( x + 2) , temos:
⎧ ( x − 1)( x + 2)
,x ≠1
⎪
f ( x) = ⎨
x −1
⎪⎩2, se x = 1
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Podemos notar que quando x se aproxima de 1 ( x → 1 ), f (x) se
aproxima de 3, embora para x = 1 tenhamos
f ( x) = 2 , o que ocorre é que
procuramos o comportamento de y quando x → 1 . E, no caso, y → 3 . Logo, o limite
de f ( x) é 3.
Escrevemos:
lim f ( x) = lim
x→1
Se
x→1
( x − 1)( x + 2)
= lim( x + 2) = 1 + 2 = 3
x→1
x −1
g :ℜ → ℜ e
g ( x) = x + 2 ,
lim g ( x) = lim( x + 2) = 1 + 2 = 3 , embora
x→1
x→1
g ( x) ≠ f ( x) em x = 1 .
No entanto, ambas têm o mesmo limite.
2) Definição de limite
Dizemos que o limite da função f (x) quando x tende a “a” é igual ao
número real L se, e somente se, os números reais f (x) para os infinitos valores de
x permanecem próximos a L, sempre que x estiver muito próximo de “a”.
Indica-se:
lim f ( x) = L
x →a
3) Propriedades dos limites
1°) Limite de uma constante
O limite de uma constante é a própria constante.
lim k = k
x→a
Exemplo: lim 3 = 3
x →2
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2°) Limite da soma e diferença
O limite da soma é soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x)
[
]
x →a
x →a
x→a
Exemplo: lim x 3 + 3 x 2 = lim x 3 + lim 3 x 2 = 1 + 3 = 4
x→1
x→1
x→1
3°) Limite do produto
O limite do produto é o produto dos limites.
lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x)
x →a
x →a
x →a
Exemplo: lim 4 x 2 = lim 4. lim x 2 = 4.9 = 36
x→3
x→3
x→3
4°) Limite do quociente
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o
denominador não seja zero.
lim
x →a
f ( x)
f ( x) lim
= x →a
g ( x) lim g ( x)
x →a
( x + 3) 2 + 3 5
( x + 3) lim
= x →2
=
=
x→2 ( x + 4)
lim( x + 4) 2 + 4 6
Exemplo: lim
x →2
5°) Limite de uma potência
O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência
enésima do limite.
(
) n∈Ν
+ 3) = (lim( x + 3) ) = (1 + 3)
lim[ f ( x)] = lim f ( x)
n
x →a
(
Exemplo: lim x 2
x→1
n
*
x →a
2
2
2
x→1
2
= 16
6°) Limite da raiz
O limite da raiz enésima de uma função é igual a raiz enésima do limite
dessa função.
lim n f ( x) = n lim f ( x)
x →a
Exemplo: lim 5 3x 4 = 5 lim 3x 4 = 5 48
x→2
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x →2
x →a
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Exercícios
Determine:
a) lim 7
b) lim
x →4
x → −1
(
)
2
3
(
c) lim 5 x 3 + x
x→2
(
)
)
1 ⎞
⎛
d) lim ⎜ 4 x 2 − x ⎟
x → −4
2 ⎠
⎝
h) lim( x − 1)(4 − x)
e) lim 3 x 2 + x − 1
f) lim x 4 − x 3 + x 2 + 1
4x2
i) lim
x→3 x + 1
x3
j) lim 2
x→5 x − 1
k) lim (2 x − 1)
m) lim 4 81x 4
n) lim 3 x 2
o) lim ( x + 3)( x − 4) p) lim1 (4 x − 1) 50
x→3
x→0
x→1
2 x+x
q) lim 4
x→16
x +5
1 ⎞
⎛
r) lim⎜ x +
⎟
x→1
x⎠
⎝
x→1
x→3
(
)
l) lim 3 x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1
6
x→−1
x→2
x→ 2
x→4
3
2
g) lim 6 x 2
x→
2
50
3
s) lim 3 x 2 − 5 x − 4
t) lim
g) 6
j)
x→4
2
x→3
2 + 5 x − 3x 3
x2 −1
Gabarito
a) 7
b)
2
3
c) 42 d) 66 e) 29 f) 1
o) 5 2 − 20 p) 1
m) 3 n) 23 2
q)
h) 2
i) 9
125
k) 729 l)625
24
72
1
r) 64 s) –2 t) −
7
2
4) Limites laterais
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua
direita, escrevemos:
lim f ( x) = b
x→a+
Este limite é chamado de limite lateral à direita de a.
Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua
esquerda, escrevemos:
lim f ( x) = c
x→a−
Este limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
O limite de f ( x) para x → a existe se, e somente se, os limites laterais à
direita e a esquerda são iguais, ou seja:
⇒ Se lim f ( x) = lim f ( x) = b , então lim f ( x) = b .
x → a+
x→a−
x →a
⇒ Se lim f ( x) ≠ lim f ( x) , então não existe lim f ( x) .
x→a+
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x→a−
x→a
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5) Continuidade
Dizemos que uma função é continua num ponto a do seu domínio se as
seguintes condições são satisfeitas:
⇒ existe f (a)
⇒ existe lim f ( x)
x→a
⇒ lim f ( x) = f (a)
x →a
Exemplo: Verificar se a função f ( x) =
x2 − 4
é contínua em x = 3 .
x−2
Cálculo de f (3)
f ( x) =
x2 − 4
32 − 4
⇒ f (3) =
=5
x−2
3− 2
Calculo do lim f ( x) :
x→3
lim
x→3
x2 − 4
( x + 2)( x − 2)
= lim
= lim( x + 2) = 3 + 2 = 5
x→3
x − 2 x→3
x−2
Como lim f ( x) = f (3) , f (x) é contínua em x = 3 .
x→3
Exercícios
1) Dada a função f ( x) =
1− x
, diga se f ( x) é contínua nos pontos:
x +1
a) x = 0 .
b) x = −1 .
c) x = 2 .
2) Dada a função f ( x) =
x+5
, diga se f ( x) é contínua nos pontos:
x + 3x − 10
2
a) x = 5 .
b) x = 2 .
Gabarito
1)a)contínua b) descontínua c) contínua 2)a) contínua b) descontínua
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6) Limites envolvendo infinitos
1
=0
x→∞ x
Exemplo:
lim
lim
x→−∞
1
=0
x
1
=∞
x→0+ x
lim
1
= −∞
x→0− x
lim
7) Limites envolvendo funções compostas
Se lim g ( x) = b e f é contínua em b então:
x→c
(
lim f ( g ( x) ) = f (b) = f lim g ( x)
x→c
x →c
)
lim n g ( x) = n lim g ( x)
x→c
Exemplo: lim 3
x → −3
x→c
1
1
1 1
x+3
= 3 lim 2
=3
=3
=
2
2
x→−3 ( x − 3 x + 9)
( x + 3)( x − 3 x + 9)
(− 3) − 3(− 3) + 9) 27 3
8) Limite da função polinomial para x → ±∞
lim f ( x) = lim an x n
x→±∞
x→±∞
an x n
f ( x)
lim
= lim
x→±∞ g ( x )
x→±∞ b x m
m
Exemplos: 1) Dada a função f ( x) = 2 x 3 − 5 x 2 + 2 x − 1 , calcular lim f ( x) .
x→+∞
5 2
1⎞
⎛
lim f ( x) = lim 2 x 3 − 5 x 2 + 2 x − 1 = lim x 3 ⎜ 2 − + 2 + 3 ⎟
x→+∞
x→+∞
x x
x ⎠
⎝
3
3
lim x (2 − 0 + 0 + 0) = lim 2 x = +∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞
2 x 2 − 5x + 1
x→+∞ 4 x 2 + 3 x − 7
2 x 2 5x
− 2+
2
2 x 2 − 5x + 1
x
x
lim
= lim
x→+∞ 4 x 2 + 3 x − 7
x→+∞ 4 x 2
3x
+ 2−
x2
x
2) Calcular lim
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1
5
2− +
2
x = lim
x
7 x→+∞ 4 + 3 −
x
x2
1
x 2 = lim 2 − 0 + 0 = lim 2 = 2 = 1
7 x→+∞ 4 + 0 − 0 x→+∞ 4 4 2
x2
7
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( x + 2x + 3 − x)
( x + 2x + 3 − x)( x + 2 x + 3 + x) = lim x + 2x + 3 − x
lim
( x + 2x + 3 + x)
x + 2x + 3 + x
2
3) Calcular lim
x→+∞
2
2
x→+∞
lim
x→+∞
2
x→+∞
2
2x + 3
x + 2x + 3 + x
2
= lim
x→+∞
2x
x +x
2
= lim
x→+∞
Exercícios
Calcule:
a) lim (2 x + 7 )
b) lim (− 4 x + 1)
x→+∞
x→−∞
(
)
e) lim
x→∞
g) lim 2 x 3 − x 2 + x + 1
h) lim
j) lim x 2 − 5 x + 7 − x
k) lim
− x3 + 2 x
x→∞ 2 x 2 − 3
n) lim
x→∞
x→+∞
8x + 1
4x − 5
x→∞
2x
=1
2x
(
f) lim
x→−∞
x 2 − 3x
x2 −1
2 − x2
x→−∞ x + 3
m) lim
)
3x + 2
x − 5x + 6
2
⎛ 6x −1 ⎞
i) lim⎜
⎟
x→∞ 2 x + 3
⎠
⎝
2
4 − 7x
x→−∞ 2 + 3 x
5 x 2 − 3x + 1
x→−∞ 2 x 2 + 4 x − 7
x→∞
2
c) lim 3 x 6 + 2 x 3 − x + 4
x→−∞
d) lim 4 x 7 + 2 x 2 + 3 x
2
l) lim
o) lim 3
x→∞
8 + x2
x( x + 1)
Gabarito
a) +∞ b) +∞ c) +∞ d) –∞
e) 2
f) 0
h) 1
o)1
i) 9
j) – 5/2
k) 5/2
l) –7/3
m) –∞ n) +∞
9) Limite exponencial fundamental
x
x
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ = e
x→+∞
⎝ x ⎠ x→−∞⎝ x ⎠
e = 2,71828182...
lim(1 + x ) x = e
1
x →0
ex −1
=1
x →0
x
lim
⎛ 1⎞
Exemplo: lim ⎜1 + ⎟
x→+∞
⎝ x⎠
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4x
4
4
x
⎡⎛ 1 ⎞ x ⎤ ⎡
⎛ 1⎞ ⎤
= lim ⎢⎜1 + ⎟ ⎥ = ⎢ lim ⎜1 + ⎟ ⎥ = e 4
x→+∞
⎢⎣⎝ x ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ x→+∞⎝ x ⎠ ⎥⎦
g) +∞ 8
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10) Limite trigonométrico fundamental
lim
senx
=1
x
lim
senkx k
=
mx
m
x →0
x→0
sen8 x
3x
Exemplos: a) Calcule lim
x →0
lim
x →0
sen8 x
8
⎛ 1 sen8 x ⎞ 1
= lim⎜ .
.8 ⎟ = .1.8 =
x
→
0
3x
3
⎝ 3 8x
⎠ 3
b) Calcule lim
x →0
sen5 x
sen4 x
sen5 x
sen5 x
5 x = 5.1 = 5
= lim
lim
x→0 sen 4 x
x →0
sen4 x 4.1 4
4
4x
5
Exercícios
Calcule:
⎛ 1⎞
a) lim ⎜1 + ⎟
x→+∞
⎝ x⎠
e) lim
x →0
i) lim
x →0
sen3x
2x
6x
1
⎛ 1 ⎞2
b) lim ⎜1 + ⎟
x→+∞
⎝ x⎠
f) lim
sen3x
x
j) lim
senπx
sen3πx
x →0
x
senx
x→1
x
4
⎛ 1 ⎞3
c) lim ⎜1 + ⎟
x→−∞
⎝ x⎠
g) lim
x →0
sen2 x
sen3 x
x
⎛ 1⎞
d) lim ⎜1 + ⎟
x→−∞
⎝ x⎠
h) lim
x →0
x+a
senx
5x
Gabarito
a) e 6
b)
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e
c) e3 e
d) e
e) 3/2
f) 3
g) 2/3
h) 1/5
i) 1
j) 1/3