Complementos de Física Exercícios Laboratório

Universidade Paulista – UNIP
Curso: Engenharia/Básico
Disciplina: Complementos de Física – Laboratório
prof. Gilberto Lima
Exercícios Propostos – Apostila págs. 34 a 37
Resoluções
1) Calculemos inicialmente a freqüência angular ω desse circuito:
  2f
  2 1500 Hz 


  3000 rad / s.
a) Então as Reatâncias valem:
X L  .L

X L  (3000 rad / s)(11,5  10 3 H )
1
.C

XC 
XC 

1
(3000 rad / s)( 4,7  10  6 F )
X L  108,38 ;

X C  22,57 .
b) A Impedância Z do circuito inteiro é dada por:
Z
R  r 2   X L  X C 2
Então, no caso:
Z
100   36 2  108,38   22,57 2

Z  160,81 
c) Como se trata de um circuito em série então a corrente é a mesma para todos os elementos,
portanto basta encontrar a corrente num deles para se obter a corrente do circuito todo. O único
elemento que nos permite fazer isso, neste exercício, é o Capacitor, pois já conhecemos a sua
Reatância e também a sua Voltagem Eficaz:
Vef (C )  X C .I ef

I ef 
Vef (C )
XC

I ef 
40 V
22,57 

I ef  1,77 A
d) Sabemos que no Indutor com resistência interna não desprezível: Vef ( L)  Z L .I ef .
Devemos encontrar o valor de ZL que será dado por: Z L 
Z L  (36 ) 2  (108,38 ) 2
1

r 2  X L2 , ou seja:
Z L  114,20 
Daí:
Vef ( L)  Z L .I ef

Vef ( L)  (114,20 )(1,77 A)

Vef ( L)  202,14 V
e) O Fator de Potência (F.P.) do Indutor é dado por: ( F .P.) L  cos L 
( F .P.) L 
Portanto:
36 
114,20 
( F .P.) L  0,32
Vef  Z .I ef

F .P.  cos 
Rr
Z
f) Para o circuito todo:
g) Para o circuito:

r
ZL
Vef  (160,81 )(1,77 A)

F .P. 

100   36 
160,81 
Vef  284,63 V .

F .P.  0,85
2) Inicialmente calculemos parâmetros importantes para a resolução do exercício:
  2f
X L  .L
XC 
1
.C

  2 1000 Hz 

  2000 rad / s;

X L  (2000 rad / s)(5  10 3 H )

XC 
1
(2000 rad / s)( 4  10  6 F )

X L  31,42 ;

X C  39,79 ;
a) Lembre-se de que a tensão (Vef) é a mesma para todos os elementos já que se trata de um
circuito montado em paralelo.
A corrente no Resistor é dada por:
Vef  RIef ( R)

I ef ( R) 
Vef

I ef (C ) 
Vef

I ef ( L) 
Vef
R

I ef ( R) 
220 V
50 

I ef (C ) 
220 V
39,79 

I ef (C )  5,53 A

I ef ( L) 
220 V
31,42 

I ef ( L)  7,00 A

I ef ( R)  4,40 A
No Capacitor temos:
Vef  X C I ef (C )
XC
No Indutor:
Vef  X L I ef ( L)
XL
2
A corrente eficaz do circuito, ou seja, a corrente que atravessa a fonte de tensão, é dada por:
I ef2  I ef2 ( R )  [ I ef ( L )  I ef (C ) ]2


I ef2  21,52 A2
I ef2  (4,40 A) 2  [(7,00 A)  (5,53 A)]2

I ef  4,64 A
b) O Fator de Potência é dado por:
F .P.  cos 
I ef ( R )

I ef
4,40 A
4,64 A
F .P. 

F .P.  0,95
3) Como foi dada a tensão eficaz sobre o Capacitor, bem como sua Capacitância, e também a
corrente eficaz sobre o circuito, podemos obter a freqüência da fonte de tensão através das
relações:
Vef (C )  X C .I ef

XC 
Vef (C )

I ef
XC 
55 V
0,345 A

X C  159,42  .
Mas,
XC 
1
.C
Finalmente:
 
1
C. X C
  2f

 
f 

2
1
(20  10

6
f 

F )(159,42 )
313,64 rad / s
2

  313,64 rad / s.
f  50 Hz .
Podemos de forma imediata obter a resistência R:
Vef ( R )  RI ef

R
Vef ( R )
I ef

3
R
25 V
0,345 A

R  72,5 
Agora vem a parte mais delicada do exercício. Observe que é informada a tensão eficaz na
bobina, que engloba a resistência r e o Indutor propriamente dito. Temos então:
Vef ( L)  Z L .I ef


r 2  X L2 
Vef ( L)  r 2  X L2 .I ef
40V
0,345 A


r 2  X L2 
Vef ( L)
I ef
r 2  X L2  115,94
Daqui podemos tirar que:
r
2
 X L2
  (115,94)
2
r

2
2

 X L2  13442 ,55  2
Mas também é fornecida a tensão eficaz do conjunto R-L, de onde podemos extrair:
Vef ( RL )  Z RL .I ef

Vef ( RL )  ( R  r ) 2  X L2 .I ef
Daqui obtemos:
Vef ( RL )
I ef
2
 (R  r) 
2
 Vef ( RL ) 

  ( R  r ) 2  X L2
 I ef 



X L2
2

 Vef ( RL ) 

  R 2  2 Rr  r 2  X L2
 I ef 



 Vef ( RL ) 
  r 2  X L2  R 2
2rR  
 I ef 


2

2




 Vef ( RL ) 

  R 2  2 Rr  (r 2  X L2 )
 I ef 


2


1  Vef ( RL ) 
2
2
2
r
 r  XL  R

2 R  I ef 





Veja que destacamos o conjunto r  X L , cujo valor já fora calculado.
2
2
Agora, substituindo os termos na expressão acima pelos valores numéricos já conhecidos,
teremos:
 50 V  2

1
2
2
r

  (13442 ,55  )  (72,5 ) 
2(72,5 )  0,345 A 


4

r  15,9 
Facilmente pode-se obter agora a Reatância Indutiva através da expressão:
r 2  X L2  13442 ,55  2

X L2  13442 ,55  2  r 2

X L2  13442 ,55  2  (15,9 ) 2

X L2  13189 ,74  2


X L2  13442 ,55  2  252,81  2
X L  114,85 
Calculemos agora a Impedância Z do circuito que claramente é capacitivo, uma vez que
XC > XL:
Z
ou seja,
Z
R  r 2   X C  X L 2
72,5   15,9   159,42   114,85 2

Z  99 
Finalmente podemos obter a tensão eficaz aplicada sobre o circuito através de:
Vef  Z .I ef

Vef  (99 )(0,345 A)
e
cos 
P  Vef I ef cos
Portanto:
R
P
I ef2
Vef  34,155 V
P  Vef I ef cos 
4) a) A potência média é dada por:
Onde, Vef  Z .I ef

R
, então:
Z


P  (ZI ef ) I ef
R
385W
(3,5 A) 2

R
Z

P  RIef2
R  31,43 
Esta é a resistência da lâmpada, considerada como um resistor puro. Na verdade uma
lâmpada é um Bipolo Receptor com resistência intrínseca; neste exercício, por conveniência,
considerou-se que ela é simplesmente um resistor.
5
Incorporando um Indutor em série com a lâmpada, teremos um circuito RL, e, portanto:
Vef ( RL )  Z RL .I ef

Vef ( RL )  R 2  X L2 .I ef
Lembremos que, neste caso, Vef(RL) = Vef,
ou seja, a tensão efetiva no conjunto
Resistor/Indutor é também a tensão efetiva no circuito (220 V). Podemos então obter:
Vef  R 
2

X L2


X L2 .I ef
Vef2
I ef2
R
Vef2

2
 (R 
2
Vef2
XL 
I ef2
X L2 ).I ef2

R 
2
X L2

Vef2
I ef2
 R2
Introduzindo os valores numéricos encontramos:
XL 
Vef2
I ef2
R
2

XL 
(220 V ) 2
(3,5 A)
2
 (31,43 ) 2

X L  54,44 
Para determinarmos o valor da Indutância da bobina em série basta lembrarmos que:
X L  .L


L
L  0,1444 H
XL



L
XL
2f

L
(54,44 )
2 (60 Hz)
L  144,4 mH
b)
5) a) A potência média é dada por:
Mas, para um circuito em paralelo,
e cos 
P  Vef I ef cos 
I ef  Y .Vef , onde Y é a Admitância (  1 ),
G
1
1
, onde G é a Condutância (  ) dada por G  .
Y
R
6
Aplicando estas definições na expressão anterior da potência teremos:
P  Vef I ef cos
Daí:
G
P
1 P

R Vef2

Vef2
(100 V ) 2
Ou seja: R 
17,32 W

G
P  Vef (Y .Vef ) 
Y 



P  G.Vef2
Vef2
R
P
R  577,37 
b) O fator de potência para um circuito em paralelo é: F .P.  cos 
Neste circuito Y é dada por:
Capacitiva ( 
1
Y  G 2  BC2 , onde BC 
G
.
Y
1
 .C , é a Susceptância
XC
).
Calculemos todas estas grandezas na sequência:
G
1
R

  2f
XC 
1
.C
BC 


  400 rad / s;

1

(400 rad / s )(10  10  6 F )
BC 

G  1,73  10  3  1 ;

 200

Hz 
 

XC 
Y  G 2  BC2
1
577,37 
  2 


1
XC
G
1
250 

X C  250 ;
BC  4,0  10  3  1;
Y  (1,73  10  3  1 ) 2  (4,0  10  3  1 ) 2
Y  4,36  10  3  1
Portanto:
G
F .P. 
Y

F .P. 
1,73  10 3  1
4,36  10  3  1
7

F .P.  0,40
6) a) Para que a tensão eficaz no condensador seja máxima com o ajuste na Reatância Indutiva
XL, deve-se fazer:
XC  X L

XC  X L  0 .
Dessa forma a determinação da corrente eficaz reduz-se a:
Vef  Z .I ef


Vef 
Vef  rI ef

I ef 
I ef 
Lembremos agora que
r
I máx
2

 ( X L  X C ) 2 .I ef
2
Vef

r


I ef 
I máx  2 I ef
Vef 
30 V
10 
r


2
I ef  3 A
I máx  3 2 A .
I (t )  I máx cos(t ), portanto devemos
A corrente no circuito em função do tempo é dada por:
obter a freqüência angular ω:
  2f
  2 60 Hz 
I (t )  I máx cos(t )
Finalmente:
b)



  377 rad / s;
I (t )  3 2 cos( 377 t )
O fator de potência do circuito é:
F .P.  cos 
r
Z

F .P. 
r
r 2  ( X L  X C )2
Como X C  X L  0 , então
F .P. 
r
r 0
2
2

F .P. 
r
r

2
F .P. 
r
r

F .P.  1
Já o fator de potência na bobina é:
F .P.Bob  cos Bob 
r

Z Bob
8

 0 2 .I ef
F .P.Bob 
r
r 2  X L2
Para encontrarmos a Reatância Indutiva vamos usar a informação sobre a tensão eficaz na
bobina e também a expressão abaixo:
Vef ( Bob)  Z Bob .I ef
Vef ( Bob)  r 2  X L2 .I ef
Vef2 ( Bob)

r 

X L2  1600  2  100  2
2
X L2



I ef2

X L2

Vef2 ( Bob)
I ef2

 r2
X L2  1500  2


Vef2 ( Bob)  r 2  X L2 .I ef2


X L2 
(120 V ) 2
(3 A)
2
 (10) 2
X L  38,73 
Voltando com este resultado ao cálculo do fator de potência da bobina, encontramos:
F .P.Bob 

r
r 2  X L2
F .P.Bob 
F .P.Bob 

10 

1600  2
10 
(10 ) 2  (38,73 ) 2
F .P.Bob  0,25
c) Já sabemos que X C  X L , portanto:
Vef (C )  X C .I ef
Lembremos que: Vef (C ) 

Vmáx (C )
2
Vef (C )  (38,73 )(3 A)


Vmáx (C )  2.Vef (C )
Vef (C )  116,2 V

Vmáx (C )  116,2 2 V
Recordemos também que, no Capacitor, a tensão está sempre atrasada de uma fase


2
rad em relação à corrente. Como já encontramos a dependência temporal de oscilação
deste circuito quando determinamos a sua corrente, no item (a), basta agora apenas incorporar a
esta dependência a fase acima citada. Desta forma, obtemos:
VC (t )  Vmáx (C ) cos(.t   )


VC (t )  116,2 2 cos  377t  
2


9
7)
Vef2  Vef2 ( R )  Vef2 (C ) . Portanto:
8) a) A tensão total neste circuito é dada por:
Vef2 (C )  Vef2  Vef2 ( R )


Vef2 (C )  3996 V 2
Vef2 (C )  (120 V ) 2  (102 V ) 2

Vef (C )  63,21V
b) Como a ddp (tensão eficaz) no resistor é de 102 V, tendo o mesmo uma resistência R de
800 Ω, então podemos obter a corrente que passa por ele, e esta será também a corrente do
circuito todo já que se trata de uma ligação em série. Usando a Lei de Ohm:
Vef ( R )  R.I ef


I ef  0,1275 A
I ef 
Vef ( R )

I ef  127 ,5mA
XC 
Vef (C )

R
I ef 
102V
800 
Agora:
Vef (C )  X C .I ef



I ef
XC 
63,21V
0,1275 A
X C  495,8
V
9) a) A tensão fornecida (120 V) é a Tensão Eficaz e sabemos que: Vef  máx , portanto:
2
Vmáx  2.Vef

Vmáx  2.(120V )

Vmáx  169,7 V
b) A freqüência angular para este circuito é:
  2f

  2 60 Hz 
10

  377 rad / s.
Como, genericamente, V (t )  Vmáx cos(t ), teremos para este circuito em particular:
V (t )  169,7 cos(377 t )
10) O exercício forneceu a tensão máxima fornecida pela fonte, 60 V, mas um amperímetro
consegue ler apenas a Tensão e a Corrente Eficazes, portanto, neste caso, sua leitura será,
segundo a Lei de Ohm: I ef 
, mas Vef 
R
Vmáx
R 2
I ef 
11) a) Temos que:
Vef

Vef (C )  X C .I ef
I ef 
Vmáx
, portanto:
2
60 V
(20 ) 2
 I ef 
e daí:
1
.C
XC 
  2f

XC 

I ef 

I ef  2,12 A
Vef (C )
XC
Para este capacitor devemos calcular, inicialmente, X C 
a.1) Para f = 60 Hz, teremos:

1
.
.C
  2 60 Hz 
1
(377 rad / s)( 2  10  6 H )


  377 rad / s,
X C  1326 ,26 .
Isto resulta em:
I ef 
Vef (C )
XC
120 V
1326,26 

I ef  0,0905 A

I ef  90,5 mA
a.2) Já para f = 60 kHz, então:
  2f
resultando em: X C 

  2 60000 Hz 

  3,77  10 5 rad / s,
1
1
 XC 

5
.C
(3,77  10 rad / s)( 2  10  6 H )
11
X C  1,33 .
I ef 
E, finalmente:
Vef (C )
XC
 I ef 
120 V
 I ef  0,0905 A  I ef  90,23 A
1,33 
b) A função de um capacitor, num circuito com tensão alternante, é justamente o de armazenar e
liberar energia de forma cíclica, portanto, não há ganho ou perda resultante de energia nele, e,
conseqüentemente, também não o há de potência. Conclui-se daí que, para um capacitor (ideal):
P  0W .
Outra forma de responder a questão é observando a expressão que fornece a potência média
de um circuito RC:
P  Vef .I ef . cos  ,
onde cos 
R
. Neste exercício não há um resistor em série com o capacitor, portanto:
XC
R  0   cos  0 .
Este capacitor também não apresenta uma resistência intrínseca (interna, própria). É o que se
chama de um capacitor ideal ou puro. Ou seja, dado isso continuamos ainda sem um valor de
resistência para incluir na expressão do cálculo da potência média e ela permanece nula.
Conclusão: só há perda de potência quando há resistência elétrica, e este circuito não a tem.
Obs.: Na prática seria necessário colocar um resistor em série com o capacitor para evitar
colocá-lo em curto-circuito, o eu o danificaria . As resistências próprias dos capacitores são, em
geral, desprezíveis.
12) a) Temos que: Vef ( L )  X L .I ef
 I ef 
Vef ( L)
XL
Para este Indutor devemos calcular inicialmente X L  L .
a.1) Para f = 60 Hz, teremos:
e daí:
X L  L

  2f

  2 60 Hz 
X L  (377 rad / s)(0,70 H )


  377 rad / s,
X L  263,9 .
Isto resulta em:
I ef 
Vef ( L)
XL
 I ef 
120 V
 I ef  0,455 A  I ef  455 mA
263,9 
12
a.2) Já para f = 60 kHz, então:
  2f
resultando em:

  2 60000 Hz 

  3,77  10 5 rad / s,
X L  L  X L  (3,77  10 5 rad / s)(0,70 H ) 
X L  2,64  10 5 .
E, finalmente:
I ef 
Vef ( L)
XL
 I ef 
120 V
2,64  10 
5
 I ef  4,54  10  4 A  I ef  0,454 mA
b) A função de um Indutor, num circuito com tensão alternante, também é o de armazenar e
liberar energia de forma cíclica, portanto, não gerando ganho ou perda resultante de energia, ou,
conseqüentemente, de potência. Conclui-se daí que, para um Indutor (puro ou ideal):
P  0W .
Outra forma de responder a questão é observando a expressão que fornece a potência média
de um circuito RL:
P  Vef .I ef . cos  ,
onde cos 
R
. Neste exercício não há um resistor em série com o Indutor, portanto:
XL
R  0   cos  0 .
Este Indutor também não apresenta uma resistência intrínseca (interna, própria). É o que se
chama de um Indutor puro ou ideal. Ou seja, com isso continuamos ainda sem um valor de
resistência para incluir na expressão do cálculo da potência média e ela permanece nula.
Conclusão: só há perda de potência quando há resistência elétrica, e este circuito não a tem.
Obs.: Na prática um Indutor sempre apresenta uma resistência interna não desprezível e,
portanto, haverá uma perda de potência nele.
13) a) Para calcular a corrente eficaz na bobina, com resistência interna não nula, devemos
usar:
Vef ( L )  Z L .I ef

Vef ( L )  r 2  X L2 .I ef
13

I ef 
Vef ( L )
r 
2
X L2
.
Para realizar o cálculos devemos obter inicialmente:
  2f

  2 25 Hz 

  157 rad / s,
X L  L  X L  (157 rad / s)(0,14 H ) 
e
Logo:
I ef 
Vef ( L )
r 2  X L2

I ef 
110 V
X L  22 .

(12 ) 2  (22 ) 2
I ef  4,4 A .
b) Podemos obter a defasagem pela relação:
tan  
Dessa forma:
XL
r
  tan 1 (1,833)
tan  


22 
12 
 tan   1,833
  61,39 o
c) O fator de potência é dado por:
F .P.  cos 

F .P.  cos( 61,39 o )

F .P.  0,479
d) A potência média dissipada na resistência interna dessa bobina é:
P  Vef .I ef . cos 

P  (110 V )(4,4 A)(0,479 )
14

P  231,84 W