TEORIA DOS LIMITES Professor: Alexandre LIMITES 2. DEFINIÇÃO DE LIMITE 1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Dizemos que o limite de uma função f(x), definida em um intervalo aberto que contém o ponto a, é b, se, para todo 0 , existir um 0 tal que, para todo x, x a, temos: 0 x a f ( x) b Vamos analisar o comportamento gráfico da função f ( x) 3x quando x tende para 2. a) Primeiramente vamos tender a variável x por valores inferiores a 2, ou seja, x 2 (x tende a 2 pela esquerda): x 1,5 f(x) 4,5 1,6 4,8 1,7 5,1 1,8 5,4 1,9 5,7 1,99 5,97 1,999 1,9999 5,997 5,9997 y b … … b b) Agora vamos tender a variável x por valores superiores a 2, ou seja, x 2 (x tende a 2 pela direita): x f(x) 2,5 7,5 2,4 7,2 2,3 6,9 2,2 6,6 2,1 6,3 2,05 6,15 2,01 6,03 2,001 6,003 b … … a a a x lim f ( x) b Podemos facilmente perceber que, quando x tende para 2, f(x) tende para 6. Isto significa que quanto mais próximo de 2 o x está, mais próximo de 6 o f(x) está, observe: Observe que y Isto é, os limites laterais devem ser iguais. 6 x a lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) b x a 2 x a x a Exemplos: 1. y 6 x 4 lim f ( x) lim 3x 6 x 2 lim f ( x) lim 3x 6 x 2 Concluímos que 3 lim f ( x) lim 3x 6 , x 2 x 2 comprovando assim o teorema da unicidade do limite: “Quando um limite existe ele é único”. x lim f ( x) 4 x 3 lim f ( x) x 3 lim f ( x ) 6 x 3 2 Limites x 2 3x x 0 x 3 x b3 f) lim x b x b 2. e) lim y 3 g) lim x 3 3x 2 2 x x 2 2x h) lim x 3 2 x 2 5x 6 x2 x 2 5 x lim f ( x) 3 x5 lim f ( x) 3 x 5 lim f ( x ) 3 x5 x 2 EXERCÍCIOS: Continuidade de Funções 01. Calcule os seguintes limites: Observe os gráficos f1 a) lim ( x 1) x 3 x2 9 b) lim x 3 x 3 a f2 x2 9 , se x 3 c) Sendo f ( x) x 3 2 , se x 3 Calcule o lim f ( x) x3 a f3 4 x2 x 2 2 x d) lim Limites Quando se pode contar com a visualização gráfica podemos dizer que uma função é contínua se não apresenta furos ou saltos, isto é, seu gráfico é suave, sem interrupções. De maneira geral podemos dizer que: f(x) é contínua em a lim f ( x) f (a) xa ou sej a: f 3 Limites Irracionais 01. Resolva os seguintes limites: a) lim x 1 x 1 x 1 é contínua num ponto a se e somente se: I) Existe f(a) lim f ( x) II) Existe III) lim f ( x) f (a) xa b) (UFPR) - lim x 4 x a Exercícios: 01. Calcule o valor de m para que a função f x2 4 , se x 2 definida por , seja f ( x) x 2 m , se x 2 contínua. c) lim x3 x4 x 2 x 1 3 x 8 Limites Trigonométricos Exercícios; x , se x 0 02. Seja g definida por g ( x) : 2 , se x 0 a) Faça um esboço do gráfico de g. b) Ache o lim g ( x) , se existir. x0 sen 3x x 0 x 01. lim 2 sen 5 x x 0 x 02. lim sen x x 0 x 03. lim 04. lim x 0 sen 7 x sen 2 x x 4 Limites sen 3x x 0 sen 2 x E para retirarmos a indeterminação devemos fazer uma mudança de variável: 05. lim 1 cos x x 0 x 06. lim Limites ao Infinito 01. Resolva os seguintes limites: 3x 2 2 x x 2 1 a) lim Outro exemplo é o também indeterminado! Mudando a variável teremos: x 5x 1 2x 3 1 2 b) lim x x a a lim 1 1 1 = indeterminação x x 2x 4 x 2 6 c) lim 2 x x 3 x 9 Cx 2 2 3 ? x 2 x 2 4 x 5 d) Qual o valor de C para que lim Exercícios: cx Limites Exponenciais a d a) lim 1 x bx Importante saber que x 1 lim 1 e x x Agora, cuidado com 1 x lim 1 x 1 indeterminação x 0 3x 5 10 b) lim 1 x 3x Limites x 3 é igual a: x 9 x 9x Testes de Vestibulares 01. (UEPG-PR) - lim n 5 06. (MACK-SP) – O lim n5 n a) b) c) d) e) a) b) n c) 0 d) -5 e) 1 1/9 1/27 1/243 1/81 1/54 07. (EFOA-MG) - lim ( x 8 x) 2 x 02. (UFPR) – Determinar o valor de a, se ax 2 bx c lim a 16 x 3 x 2 bx c a) b) c) d) e) 0 –1 1 08. (CEFET-PR) - lim xa 03. 2 (UEPG-PR) – Dadas as funções f ( x) x 4 x 6 e g ( x) 5x 3x 4 , então, f ( x) lim vale: n g ( x ) 3 a) 2 b) c) d) e) 04. (UEPG-PR) – O lim x 0 x2 2 é: x 2 2 b) 2 c) 0 d) e) n.d.a. a) a a a 2a a 2 2 a a a 2 09. (UFPR) – O valor de: sen 3x 3 sen x sen 2 x lim x 0 sen 4 x 2 sen x sen 2 x 1 cos x x 0 sen 2 x 10. lim 05. (EFOA-MG) - lim ( x 3 x) 2 x x a = xa a) b) c) d) e) 1 ½ 2 0 -2 6 Limites x10 e10 ln 5 16.(CEFET-PR) - O valor de lim 5 é: x e x e sen 7 x sen 3x x 0 tg 4 x tg 2 x 11. lim a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) 5 2 10 4 0 ` 12. (CEFET-PR) – O valor do limite lim x 2 a) b) c) d) e) 4 x2 3 x 5 2 5.ln2 5.lne 5 + lne 5 + ln2 5.ln2e 17. (CEFET-PR) – O xlim é: 5x 2 7 x 9 x4 3 a) b) – 5 c) 0 d) –2 e) 5 2 –2 3 –3 6 x x é: 13. (CEFET-PR) – O valor de lim x x 1 a) b) c) d) e) 0 e2 2 e-1 18. (CEFET-PR) – Seja f ( x) lim f ( x) x 1 x2 é: lim 14. (CEFET-PR) – O valor de x 0 1 cos x a) b) c) d) e) 3 0 2 1/3 ½ a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) –2 0 –1 1 2 ln x então ln( x 2 1) é: –1 2 –1/2 1/2 –2 1 x2 19. (CEFET-PR) – O lim vale: x 1 (1 ax) 2 ( a x) 2 1 1 a 1 b) 1 a2 c) 1 a 2 1 a2 d) 2 a2 1 e) 2 a) 15. (CEFET-PR) – O lim x 0 vale: 1 2x x 2 1 vale: x Limites 7 2 x 12 x 16 é igual a: 3x 2 3x 18 2 x7 1 2 20. (MACK-SP) - lim é igual a: x 2 x 2 x x 6 a) 0 b) 2/5 c) 3/5 d) 1 e) 5/2 2 2 x 4.2 x 3 21. (MACK-SP) – O valor de lim é: x 0 2x 1 a) b) c) d) e) –1 –2 0 1 (FEI-SP) – n 1 n Calcular o lim [log( x 1) log x] c) d) limite - 8 0 12 25. (PUC-SP) - lim x k 1 0 k2 2 28. (STA.CASA-SP) lim x 24. (PUC - MG) – O valor do lim a 2 –2 –1 0 1 2 b) a) b) c) d) e) x a) b) c) d) e) 4 15 2 15 1 2 3 2 5 2 a) sen 2 kx 27. (PUC-MG) – O valor do lim é: x 0 x n a) b) c) d) e) x 2 e) 22. (PUC-SP) – Calcule lim 23. 26. (UFPR) – O lim a3 8 é: a2 4x 2 6x 3 é igual a: x2 5 4 – Calculando sen 2 x cos 2 x 1 obtém-se: cos x sen x . a) 2 b) 2 2 c) 2 2 d) 2 e)n.d.a. 29. (PUC-MG) – Se então lim f ( x) é: x 0 a) b) c) d) e) – ln5 ln5 0 1 f ( x) ln x ln(sen 5x) 8 Limites CEFET NOS ÚLTIMOS ANOS 30. (CEFET-98) – O valor de “a” para que a x32 , se x 1 f ( x) x 2 x 2 função seja 2 x 2 3a, se x 1 contínua em x = 1, é: a) b) c) d) e) 23 36 13 12 26 13 13 16 21 13 x–3 , se x 3 x 6 – 3 f(x) ax b, se 0 x 3 sen 3x , se x 0 x contínua para respectivamente: 2x 1 31.(CEFET-99) – Calculando o limite lim x , x 5 2 obteremos: a) b) c) d) e) 33. (CEFET-2001) - Os valores de a e b que tornam a função a) b) c) d) 3 e 3 e 1 e 1e e) 5 3 x R são, 1 –3 –1 3 e 1 34.(CEFET-2001) - Considerando f(x) = sen x + cos x no intervalo [0, 2], pode-se afirmar que: 0 2/5 –2/5 + I) , 2 é um ponto de mínimo de f(x). 4 II) 5 , – 2 é um ponto de máximo de 4 f(x). III) 1/2 32. (CEFET-2000) – Considere a função definida x 2 1, se x 2 por f ( x) 2 x 1, se 2 x 1 3 , se x 1 x Sobre ela, é correto afirmar: * a) O conjunto domínio da função é IR . b) O conjunto imagem é I m { y IR / y 3} . c) A função é descontínua em x = 1. d) A função é crescente no intervalo , 1 . e) f(1) = - 3. todo 3 ,0 4 e 7 ,0 4 são pontos de inflexão de f(x). IV) f(x) é função ímpar. V) f(x) tem período rad. Assinale a alternativa correta em relação às afirmações. a) b) c) d) e) Todas as afirmativas estão corretas. Todas as afirmativas estão incorretas. Apenas a afirmativa I está correta. As afirmativas II e III estão corretas. Apenas a alternativa III está correta. Limites 35. (CEFET-2001) - O valor de “a” para que a função sen3x , se x 0 f(x) x 2x a,se x 0 seja contínua para todo x R é: a) b) c) d) 9 38. (CEFET – 2003) - Seja A) B) C) D) E) e) – 2. x 3 5x 2 x 5 x 3 0. 1. 12,5. – 8. – 10. 4 x 3 7/2 3 2 1 36. (CEFET-2002) – O valor de “a” para que 0 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 -2 Gabarito dos Testes seja contínua em x 6 é: a) –1/2 b) 0 c) 6 d) 1 e) 1/2 37.(CEFET-2002) - Numa PG decrescente de 5 termos e a2 é igual à abcissa do ponto de máximo da função Desta forma, a razão desta PG é igual a: a) 3. b) 1 . 9 c) 1 . 3 d) 1 . 3 e) 1 . 3 e x 2 25 g(x) dada pelo gráfico que segue. Então, o valor de A tal que A = 5 . lim f(x) 4 . lim g(x) lim g(x) é: x 5 1. 2. 3. – 1. f(x) 01. E 11. A 21. B 31. A 02. 24 12. E 22. 00 32. C 03. - 13. E 23. 00 33. D 04. E 14. E 24. E 34. E 05. 00 15. C 25. E 35. C 06. E 16. D 26. A 36. A 07. A 17. E 27. C 37. E 08. B 18. D 28. B 38. A 09. 02 19. B 29. A 10. B 20. B 30. A 5 6