TEORIA DOS LIMITES

TEORIA DOS LIMITES
Professor: Alexandre
LIMITES
2. DEFINIÇÃO DE LIMITE
1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Dizemos que o limite de uma função f(x),
definida em um intervalo aberto que contém o
ponto a, é b, se, para todo   0 , existir um   0
tal que, para todo x, x  a, temos:
0  x  a    f ( x)  b  
Vamos analisar o comportamento gráfico da
função f ( x)  3x quando x tende para 2.
a) Primeiramente vamos tender a variável x
por valores inferiores a 2, ou seja,
x  2  (x tende a 2 pela esquerda):
x 1,5
f(x) 4,5
1,6
4,8
1,7
5,1
1,8
5,4
1,9
5,7
1,99
5,97
1,999 1,9999
5,997 5,9997
y
b
…
…
b
b) Agora vamos tender a variável x por
valores superiores a 2, ou seja, x  2  (x
tende a 2 pela direita):
x
f(x)
2,5
7,5
2,4
7,2
2,3
6,9
2,2
6,6
2,1
6,3
2,05
6,15
2,01
6,03
2,001
6,003
b 
…
…
a 
a
a 
x
lim f ( x)  b
Podemos facilmente perceber que, quando x
tende para 2, f(x) tende para 6. Isto significa que
quanto mais próximo de 2 o x está, mais próximo
de 6 o f(x) está, observe:
Observe que
y
Isto é, os limites laterais devem ser iguais.
6
x a
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  b
x a 
2
x a
x a
Exemplos:
1.
y
6
x
4
lim f ( x)  lim 3x  6

 x 2 

lim f ( x)  lim 3x  6

 x 2 
Concluímos
que
3
lim f ( x)  lim 3x  6 ,
x 2
x 2
comprovando assim o teorema da unicidade do
limite:
“Quando um limite existe ele é único”.
x
 lim f ( x)  4
 x 3
 lim f ( x)  

x 3
lim
f
(
x
)

6

 x 3 
2
Limites
x 2  3x
x 0
x
3
x  b3
f) lim
x b x  b
2.
e) lim
y
3
g) lim
x 3  3x 2  2 x
x 2  2x
h) lim
x 3  2 x 2  5x  6
x2
x 2
5
x
lim f ( x)  3

 x5
 lim f ( x)  3

x 5
lim
f
(
x
)

3


 x5
x 2
EXERCÍCIOS:
Continuidade de Funções
01. Calcule os seguintes limites:
Observe os gráficos
f1
a) lim ( x  1)
x 3
x2  9
b) lim
x 3 x  3
a
f2
 x2  9
, se x  3

c) Sendo f ( x)   x  3
2
, se x  3

Calcule o lim f ( x)
x3
a
f3
4  x2
x 2 2  x
d) lim
Limites
Quando se pode contar com a visualização
gráfica podemos dizer que uma função é contínua
se não apresenta furos ou saltos, isto é, seu
gráfico é suave, sem interrupções.
De maneira geral podemos dizer que:
f(x) é contínua em a  lim f ( x)  f (a)
xa
ou
sej
a: f
3
Limites Irracionais
01. Resolva os seguintes limites:
a) lim
x 1
x 1
x 1
é contínua num ponto a se e somente se:
I)
Existe f(a)
lim f ( x)
II)
Existe
III)
lim f ( x)  f (a)
xa
b) (UFPR) - lim
x 4
x a
Exercícios:
01. Calcule o valor de m para que a função f
 x2  4
, se x  2

definida
por
,
seja
f ( x)   x  2
 m , se x  2

contínua.
c) lim
x3
x4
x 2
x 1  3
x 8
Limites Trigonométricos
Exercícios;
 x , se x  0
02. Seja g definida por g ( x)  
:
2
,
se
x

0

a) Faça um esboço do gráfico de g.
b) Ache o lim g ( x) , se existir.
x0
sen 3x
x 0
x
01. lim
2 sen 5 x
x 0
x
02. lim
sen x
x 0
x
03. lim
04. lim
x 0
sen 7 x  sen 2 x
x
4
Limites
sen 3x
x  0 sen 2 x
E para retirarmos a indeterminação devemos
fazer uma mudança de variável:
05. lim
1  cos x
x 0
x
06. lim
Limites ao Infinito
01. Resolva os seguintes limites:
3x 2  2
x  x 2  1
a) lim
Outro exemplo é o
também indeterminado!
Mudando a variável teremos:
x  5x  1
2x 3  1
2
b) lim
x 

x
a
 a 
lim 1    1    1  = indeterminação
x 
 x  
2x 4  x 2  6
c) lim 2
x  x  3 x  9
Cx 2  2 3
 ?
x  2 x 2  4 x
5
d) Qual o valor de C para que lim
Exercícios:
cx
Limites Exponenciais
a d


a) lim 1 
x 
 bx 
Importante saber que
x
 1
lim 1    e
x 
x

Agora, cuidado com
1
x
lim 1  x   1  indeterminação
x 0
3x
5  10


b) lim 1 
x 
 3x 
Limites
x 3
é igual a:
x 9 x  9x
Testes de Vestibulares
01. (UEPG-PR) - lim
n 
5
06. (MACK-SP) – O lim
n5

n
a)
b)
c)
d)
e)
a)  
b) n
c) 0
d) -5
e) 1
1/9
1/27
1/243
1/81
1/54
07. (EFOA-MG) - lim ( x  8  x) 
2
x  
02. (UFPR) – Determinar o valor de a, se
ax 2  bx  c
lim
 a  16
x    3 x 2  bx  c
a)
b)
c)
d)
e)
0


–1
1
08. (CEFET-PR) - lim
xa
03.
2
(UEPG-PR)
–
Dadas
as
funções
f ( x)  x  4 x  6 e g ( x)  5x  3x  4 , então,
f ( x)
lim
vale:
n   g ( x )
3
a)
2
b)
c)
d)
e)
04. (UEPG-PR) – O lim
x 0
x2 2
é:
x
2
2
b) 2
c) 0
d) 
e) n.d.a.
a)
a
a
a
2a
a
2
2 a
a
a
2
09. (UFPR) – O valor de:
 sen 3x  3 sen x  sen 2 x 
lim 
x  0 sen 4 x  2 sen x  sen 2 x 


1  cos x

x  0 sen 2 x
10. lim
05. (EFOA-MG) - lim ( x  3  x) 
2
x  
x a
=
xa
a)
b)
c)
d)
e)
1
½
2
0
-2
6
Limites
 x10 e10 

ln  5
16.(CEFET-PR) - O valor de lim
5  é:
x e
 x e 
sen 7 x  sen 3x

x  0 tg 4 x  tg 2 x
11. lim
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
5
2
10
4
0
`
12. (CEFET-PR) – O valor do limite
lim
x 2
a)
b)
c)
d)
e)
4  x2
3 x 5
2
5.ln2
5.lne
5 + lne
5 + ln2
5.ln2e
17. (CEFET-PR) – O xlim

é:
5x 2  7 x  9
x4  3
a)  
b) – 5
c) 0
d) –2
e) 5
2
–2
3
–3
6
x
 x 
 é:
13. (CEFET-PR) – O valor de lim 
x 
 x  1
a)
b)
c)
d)
e)
0

e2
2
e-1
18. (CEFET-PR) – Seja f ( x) 
lim f ( x)
x 
1
 x2 
 é:
lim
14. (CEFET-PR) – O valor de x  0 
1

cos
x


a)
b)
c)
d)
e)
3
0
2
1/3
½
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
–2
0
–1
1
2
ln x
então
ln( x 2  1)
é:
–1
2
–1/2
1/2
–2
1 x2
19. (CEFET-PR) – O lim
vale:
x  1 (1  ax) 2  ( a  x) 2
1
1 a
1
b)
1 a2
c) 1  a 2
1 a2
d)
2
a2 1
e) 
2
a) 
15. (CEFET-PR) – O lim
x 0
vale:
1  2x  x 2 1
vale:
x
Limites
7
2 x  12 x  16
é igual a:
3x 2  3x  18
2
x7 
 1
 2
20. (MACK-SP) - lim 
é igual a:
x 2 x  2
x  x  6 

a) 0
b) 2/5
c) 3/5
d) 1
e) 5/2
2 2 x  4.2 x  3
21. (MACK-SP) – O valor de lim
é:
x 0
2x 1
a)
b)
c)
d)
e)
–1
–2

0
1
(FEI-SP)
–

n 1  n
Calcular
o
lim [log( x  1)  log x]
c)
d)
limite
-

8
0
12
25. (PUC-SP) - lim
x 
k
1
0
k2
2
28.
(STA.CASA-SP)
lim
x
24. (PUC - MG) – O valor do lim
a 2
–2
–1
0
1
2
b)
a)
b)
c)
d)
e)

x 
a)
b)
c)
d)
e)
4
15
2

15
1

2
3

2
5

2
a) 
sen 2 kx
27. (PUC-MG) – O valor do lim
é:
x 0
x
n 
a)
b)
c)
d)
e)
x 2
e)
22. (PUC-SP) – Calcule lim
23.
26. (UFPR) – O lim
a3  8
é:
a2
4x 2  6x  3
é igual a:
x2  5

4
–
Calculando
sen 2 x  cos 2 x  1
obtém-se:
cos x  sen x
.
a) 2
b)  2
2
c)
2
2
d) 
2
e)n.d.a.
29. (PUC-MG) – Se
então lim f ( x) é:
x 0
a)
b)
c)
d)
e)
– ln5
ln5
0
1

f ( x)  ln x  ln(sen 5x)
8
Limites
CEFET NOS ÚLTIMOS ANOS
30. (CEFET-98) – O valor de “a” para que a
 x32
, se x  1

f ( x)   x 2  x  2
função
seja
2 x 2  3a, se x  1

contínua em x = 1, é:
a)
b)
c)
d)
e)
23
36
13
12
26
13
13
16
21
13
 x–3
, se x  3

 x  6 – 3
f(x)  ax  b, se 0  x  3
 sen 3x

, se x  0
 x
contínua
para
respectivamente:
2x 1
31.(CEFET-99) – Calculando o limite lim x
,
x  5  2
obteremos:
a)
b)
c)
d)
e)
33. (CEFET-2001) - Os valores de a e b que
tornam a função
a)
b)
c)
d)
3 e
3 e
1 e
1e
e)
5
3
x R
são,
1
–3
–1
3
e 1
34.(CEFET-2001) - Considerando
f(x) = sen x + cos x no intervalo [0, 2],
pode-se afirmar que:
0
2/5
–2/5
+
I)


 , 2  é um ponto de mínimo de f(x).
4

II)
 5

, – 2  é um ponto de máximo de

4

f(x).
III)
1/2
32. (CEFET-2000) – Considere a função definida

 x 2  1, se x  2

por f ( x)   2 x  1, se  2  x  1
3
 , se x  1
x
Sobre ela, é correto afirmar:
*
a) O conjunto domínio da função é IR .
b) O conjunto imagem é I m  { y  IR / y  3} .
c) A função é descontínua em x = 1.
d) A função é crescente no intervalo   , 1  .
e) f(1) = - 3.
todo
 3

,0

4

e
 7

,0

4

são pontos de
inflexão de f(x).
IV) f(x) é função ímpar.
V) f(x) tem período  rad.
Assinale a alternativa correta em relação às
afirmações.
a)
b)
c)
d)
e)
Todas as afirmativas estão corretas.
Todas as afirmativas estão incorretas.
Apenas a afirmativa I está correta.
As afirmativas II e III estão corretas.
Apenas a alternativa III está correta.
Limites
35. (CEFET-2001) - O valor de “a” para que a
função
 sen3x
, se x  0

f(x)  x
2x  a,se x  0
seja contínua para
todo x  R é:
a)
b)
c)
d)
9
38. (CEFET – 2003) - Seja
A)
B)
C)
D)
E)
e) – 2.
x 3  5x 2  x  5
x 3 
0.
1.
12,5.
– 8.
– 10.
4
x 3 
7/2
3
2
1
36. (CEFET-2002) – O valor de “a” para que
0
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
-2
Gabarito dos Testes
seja contínua em x 

6
é:
a) –1/2
b) 0

c)
6
d) 1
e) 1/2
37.(CEFET-2002) - Numa PG decrescente de 5
termos
e a2 é igual à abcissa do ponto de máximo da
função
Desta forma, a razão desta PG é igual a:
a) 3.
b) 1 .
9
c)  1 .
3
d)  1 .
3
e) 1 .
3
e
x 2  25
g(x) dada pelo gráfico que segue. Então, o valor
de A tal que A =
5 . lim f(x)  4 . lim g(x)  lim g(x) é:
x 5
1.
2.
3.
– 1.
f(x) 
01. E
11. A
21. B
31. A
02. 24
12. E
22. 00
32. C
03. - 
13. E
23. 00
33. D
04. E
14. E
24. E
34. E
05. 00
15. C
25. E
35. C
06. E
16. D
26. A
36. A
07. A
17. E
27. C
37. E
08. B
18. D
28. B
38. A
09. 02
19. B
29. A
10. B
20. B
30. A
5
6