TABELA – Derivadas, Integrais e Identidades Trigonométricas

TABELA – Derivadas, Integrais e Identidades Trigonométricas

Derivadas: Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante.
1. y  u n
 y '  n u n 1u ' .
 y '  u'v  v 'u .
2. y  u v
u 'v  v 'u
.
v2
 y '  au (ln a) u ',
 y' 
4.
u
v
y  au
5.
y  eu
6.
y  loga u
7.
y  ln u
 y '  eu u ' .
u'
 y '  log a e .
u
1
 y'  u'.
u
 y '  v u v 1 u ' u v (ln u) v ' .
 y '  u ' cos u .
 y '  u 'sen u .
3.
y
8. y  u v
9. y  sen u
10. y  cos u
11. y  tg u
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.




y '  u 'sec2 u .
y '  u 'cosec2u .
y  cotg u
y '  u 'sec u tg u .
y  sec u
y '  u ' cosec u cotg u .
y  cosec u
u'
y  arc sen u
 y' 
.
1  u2
u '
y  arc cos u
 y' 
.
1  u2
u'
 y' 
.
y  arc tg u
1  u2
u '

.
y  arc cot g u
1  u2
u'
, u 1.
y  arc sec u, u  1  y ' 
u u2  1
20. y  arc cosec u, u  1  y ' 

 a  0, a  1 .
u '
u u2  1
, u 1.
Identidades Trigonométricas
1. sen 2 x  cos2 x  1 .
2.
3. 1  cotg2 x  cosec2 x .
4.
1  cos 2 x
.
2
7. 2 sen x cos y  sen  x  y   sen  x  y  .
5. cos2 x 
8. 2 sen x sen y  cos  x  y   cos  x  y  .
9. 2 cos x cos y  cos  x  y   cos  x  y  .


 x .
2

10. 1  sen x  1  cos 
6.
1  tg2 x  sec2 x .
1  cos 2 x
sen 2 x 
.
2
sen 2 x  2 sen x cos x .

Integrais
1.
 du  u  c .
3.

5.
7.
9.
11.
13.

2.
du
 ln u  c .
u
 e du  e  c .
 cos u du  sen u  c .
 cotg u du  ln sen u  c .
 cosec u du  ln cosec u  cotg u  c .
 cosec u cotg u du  cosec u  c .
u
u
15.
 cosec u du  cotg u  c .
17.
u
19.
u
21.

2
2
du
1
ua
 ln
 c, u 2  a 2 .
2
a
2a u  a
du
1
u
arc sec  c .
a
u2  a 2 a
du
u
 arc sen  c, u 2  a 2 .
2
2
a
a u

4.
6.
8.
10,
12.
14.
u n 1
 u du  n  1  c, n  1 .
au
u
a
du

 c, a  0, a  1 .

ln a
n
 sen u du   cos u  c .
 tg u du  ln sec u  c .
 sec u du  ln sec u  tg u  c .
 sec u tg u du  sec u  c .
 sec u du  tg u  c .
2
16.
u
18.

20.

du
1
u
 arc tg  c .
2
a
a
a
du
 ln u  u 2  a 2  c .
2
2
u a
du
 ln u  u 2  a 2  c .
2
2
u a
2
Fórmulas de Recorrências
1.
2.
3.
4.
5.
6.
sen n 1au cos au  n  1 
n 2

  sen au du .
 sen au du  
an
 n 
n 1
sen au cos au  n  1 
n
n 2

  cos au du .
 cos au du 
an
 n 
n 1
tg au
n
n 2
 tg au du  a(n  1)   tg au du .
cotgn1au
n
cotg
au
du


 cotgn2au du .

a(n  1) 
secn2 au tg au  n  2 
n
n 2
 sec au du  a(n  1)   n  1   sec au du .
cosecn2au cotg au  n  2 
n
n 2
cosec
au
du



  cosec au du .

a(n  1)
 n 1 
n
Revisão:
O Ciclo Trigonométrico é uma maneira de se representar graficamente as relações de seno, cosseno e tangente. O
ciclo está dividido em 360 graus (ou 2π radianos).
Radiano é a medida padrão para arcos ou ângulos. Na maioria das vezes em respostas à questões de vestibulares,
você só encontrará as alternativas em radianos, então é importante se conhecer e saber converter de graus para
radianos e vice-versa.
Um radiano (1 rad) é um arco de medida igual ao do raio de um dado círculo. O número que expressa a relação
arco/radiano é o famoso π. Em 180 graus (meio ciclo) cabem 3,1415926... arcos radianos, o que equivale dizer
que 180º = π radianos (Em graus 1 radiano equivale a mais ou menos 57º).
A partir dessa relação, com uma regra de três simples, é possível se chegar aos equivalentes em radianos de
qualquer grau. Exemplo: converter 300º para radianos:
180º _________ π
300º _________ x
300π = 180x
x = 300π/180
x = 5π/3 radianos
Para a conversão de radianos para graus o procedimento é mais simples ainda: basta se colocar 180 no lugar de
π. Exemplos: π/2 = 180/2 = 90º, 5π/3 = 5.180/3 = 300º.
Acima você pode ver os principais valores no Ciclo Trigonométrico, representados em graus e radianos. Para se
achar o seno, cosseno ou tangente de um dado ângulo é só procurar o valor do ângulo ao redor do ciclo e seguir a
linha pontilhada. A primeira linha vertical é a reta dos senos, a horizontal é a reta dos cossenos e por último a
segunda vertical é a reta das tangentes.
Caso o ângulo não esteja representado no ciclo, e ele for maior que 360º, pode ser que seja um ângulo
equivalente aos presentes no ciclo, daí basta verificar o seno/cosseno/tangente do equivalente que ele será válido
para o ângulo em questão também.
O procedimento para verificar se um ângulo tem equivalente é simples: dado um ângulo x qualquer > 360º,
fazemos x/360, pegando somente a parte inteira y do resultado. Então, multiplicamos esse y obtido por 360, e
subtraímos o resultado do ângulo inicial x. Daí é só verificar se o ângulo encontrado se encaixa com algum valor
no ciclo trigonométrico. Exemplos:


Verificar se o ângulo 540º tem equivalentes.
Dividimos 540/360, obtendo 1,5. Pegamos apenas a parte inteira (1), multiplicamos por 360, 1 . 360=360, e
subtraimos o resultado de 540, 540 - 360 = 180. O complementar desse ângulo é 180º, que significa dizer
que ambos tem os mesmos seno, cosseno e tangente.
Encontrar (se possível) o seno, o cosseno e a tangente de 1200º
Dividimos 1200/360, obtendo 3,333..., descartamos os decimais (3) e multiplicamos o número obtido por
360, 3.360=1080. Subtraimos o resultado de 1200, 1200 - 1080=120. O ângulo equivalente é o de 120º ou
2π/3. Procurando-o no Ciclo Trigonométrico temos, seno:
3 / 2 , cosseno: -1/2 e tangente: - 3 .