Física I -2009/2010

Física I -2009/2010
5a Série - Força e Movimento II - Resolução
Questões:
Q1 - Quando um avião faz um ”loop” por dentro num plano vertical, em que ponto parece o piloto
estar mais pesado? Qual a força de constangimento que actua sobre o piloto?
Q2 - Um balde de água pode ser posto a rodar segundo uma trajectória vertical de forma que a
água não se espalha. Porque é que a água fica dentro do balde mesmo quando este passa por cima da
sua cabeça?
Problemas:
P1 - Três corpos estão ligados e assentes numa mesa, como se mostra na figura. O coeficiente de
atrito cinético entre as superfícies dos corpos e a da mesa é de 0.35 e as roldanas não têm atrito. As
massas dos três corpos são, respectivamente, 4.0 kg, 1.0 kg, e 2.0 kg.
Determine:
a) O módulo da aceleração de cada bloco;
Vamos isolar, em primeiro lugar, os três blocos e tratá-los separadamente.
1.0 kg
Bloco 1
y
T1
4.0 kg
2.0 kg
P1
Para o bloco da esquerda (1):
T1 + P1 = m1 a1
ou, com um eixo vertical dirigido para baixo (y):
−T1 + m1 g = m1 a1
Bloco 2
1.0 kg
4.0 kg
2.0 kg
n
y
T2
T2’
P2
x
1
Para o bloco do centro (2)
T2 + P2 + N2 + T20 + fc = m2 a2
ou, com o eixo dos x dirigido para a esquerda e com o eixo dos y dirigido para cima:
x :
T2 − T20 − fc = m2 a2
y : −P2 + N2 = 0
fc = μc N2
1.0 kg
Bloco 3
y
4.0 kg
2.0 kg
T3’
P3
Para o bloco da direita (3):
T3 + P3 = m3 a3
ou, com um eixo dirigido para cima,
T3 − m3 g = m3 a3
Como o sistema se move solidariamente, temos ainda, com as direcções escolhidas para os eixos,
a1 = a2 = a3 = a
e
T1
T20
= T2
= T3
De modo que o conjunto de equações se reduz a
−T1 + m1 g = m1 a
T1 − T3 − fc = m2 a
fc = μc N2
−P2 + N2 = 0
T3 = m3 (a + g)
−m3 g − m3 a − μc m2 g − m2 a + m1 g = m1 a
a (m1+ m2+ m3 ) = g (m1 − μc m2 − m3 )
m1 − μc m2 − m3
a =
g
m1+ m2+ m3
4.0 kg − 0.35 × 1.0 kg − 2.0 kg
=
4.0 kg + 1.0 kg + 2.0 kg
= 0.24 m/ s2 .
b) a tensão em cada uma das duas cordas.
T1
= m1 (g − a)
¡
¢
= 4.0 kg 10 m/ s2 − 0.24 m/ s2
= 39.0 N
T3
= m3 (a + g)
= 2.0 × (0.24 + 10)
= 20.5 N.
2
P2 - Um rapaz sobe a encosta de um monte, com 15o de inclinação, arrastando o seu trenó com
o peso de 60.0 N, a velocidade constante. Puxa o trenó através de uma corda atada a este último,
exercendo uma força de módulo 25 N. Se a corda tiver uma inclinação de 35o em relação à horizontal,
qual é o coeficiente de atrito cinético entre o trenó e a neve? No cimo do monte, o rapaz salta para
cima do trenó e escorrega pelo monte abaixo. Qual o módulo da sua aceleração na descida?
As forças que actuam no trenó são
T + N + P + fc = ma
Com o eixo dos x dirigido para cima, obtemos as equações escalares:
x :
T cos α − mg sin θ − fc = 0
y :
T sin α − mg cos θ + N = 0
fc = μc N
com θ = 15◦ , α = 20◦ .
Temos, assim,
fc = T cos α − mg sin θ
μc (mg cos θ − T sin α) = T cos α − mg sin θ
T cos α − mg sin θ
μc =
mg cos θ − T sin α
25 N × cos 20◦ − 60 N × sin 15◦
=
60 N × cos 15◦ − 25 N × sin 20◦
= 0.16
Na descida, as forças são
N 0 + fc0 + P 0 = m0 a
ou
x : −fc0 + P 0 sin 15◦ = m0 a
y : N 0 − P cos 15◦ = 0
fc0 = μc N 0
e
m0 a = −μc m0 g cos 15◦ + m0 g sin 15◦
a = g (sin 15◦ − μc cos 15◦ )
a = −0.16 × 10 × cos 15◦ + 10 × sin 15◦
= 1.0 m s-2
P3 - Uma caixa é transportada num camião que viaja horizontalmente com velocidade de módulo
15 m s−1 . O coeficiente de atrito estático entre a caixa e o camião é 0.40. Determine a distância mínima
de paragem para o camião de forma a que a caixa não escorregue.
Na travagem, a caixa é actuada pelas forças:
fe + P + N = ma
x : −fe = ma
y : N −P =0
3
A distância mínima corresponde à aceleração provocada pela força de atrito estático máxima:
fe max
= μe N
= μe mg
e
a = −μe g
= −0.40 × 10 m/ s2
= −4.0 m/ s2 .
A distância mínima de travagem é, pois,
−v02
2a
− (15 m/ s)2
=
−2 × 4.0 m/ s2
= 28 m.
x =
P4 - Um bloco A de massa m = 2.00 kg está em repouso sobre a extremidade esquerda de um bloco
B de comprimento L = 3.00 m e massa M = 8.00 kg. O coeficiente de atrito cinético entre os dois blocos
é 0.300 e a superfície sobre a qual está o bloco B não tem atrito. Uma força constante horizontal de
módulo F = 10.0 N está aplicada no bloco A colocando-o em movimento como se mostra na figura.
a) Quanto tempo demora o bloco A a chegar à extremidade direita do bloco B, (como se mostra em
b)?
Forças a actuar no bloco A:
NA + PA + F + fe = mA aA
x : F − fe = mA aA
y : NA − PA = 0
fe = μe NA
F
aA =
− μe g
mA
10 N
=
− 0.300 × 10 m/ s2
2 kg
= 2.0 m/ s2 .
4
As forças que actuam no bloco B são
fe0 + NB0 + NB + PB
fe0
fe0
μe mA g
=
=
=
=
mB aB
mB aB
fe = μe mA g
mB aB
mA
= μe g
mB
aB
= 0.300 × 10 m/ s ×
2.0 kg
8.0 kg
= 0.75 m/ s2
A aceleração relativa de A em relação a B é
a0A
= aA − aB
= 2.0 − 0.75
= 1.25 m/ s2 .
O deslocamento de A no referencial ligado a B é
x =
t =
=
1 0 2
a t
2 A
s
s
2x
a0A
2 × 3m
1.25 m/ s2
= 2.2 s.
b) Qual o deslocamento do bloco B neste processo?
Neste intervalo de tempo, B desloca-se de
xB
1
aB t2
2
¢
1 ¡
2
=
× 0.75 m/ s2 × (2.2 s)
2
= 1.8 m.
=
P5 - Um satélite de 300 kg está numa órbita circular em torno da Terra a uma altitude igual ao raio
médio da Terra. Determine,
a) a velocidade orbital do satélite,
a) O raio da Terra pode ser determinado de:
O metro é a décima milionésima parte do quarto do meridiano terreste, isto é
1m =
1
1
× × 2πR
10000000 4
em que R é o raio da terra.
R
20000000
m
π
= 6. 4 × 106 m
=
O módulo da força gravitacional, ou gravítica, que actua no satélite é
FG = G
mM
v2
=
m
r2
r
5
Agora, o raio da trajectória, r, é r = 2R e temos
v2
=
=
GM
r
GM
g
= R
2R
2
e
v
r
9.8 m/ s2
× 6. 4 × 106 m
2
= 5600 m/ s.
=
b) o seu periodo de revolução,
O período, T , pode ser tirado de
2πR
T
v=
T
=
=
2πR
v
2π × 6. 4 × 106 m
5600 m/ s
= 7.18 × 103 s
7.18 × 103 s
=
3600 s/ h
= 2.0 h.
c) a força gravitacional que é exercida sobre ele
A força gravitacional é
FG
= G
mM
(2R)2
GM
= m 2
4R
g
= m
4
= 300 kg ×
9.8 m/ s2
4
= 735 N
v2
= m
2R
= 735 N
.ou
FG
v2
2R
= 735 N
= m
P6 - O Tarzan (m = 85.0 kg) tenta atravessar um rio agarrado a uma trepadeira baloiçando-se. A
trepadeira tem um comprimento de 10.0 m e a velocidade do Tarzan no ponto mais baixo da oscilação
é 8.00 m s−1 . Ele não sabe que a trepadeira parte sob uma tensão de 1000 N. Conseguirá ele atravessa
o rio em segurança?
6
No ponto mais baixo, temos
T −P
T
mv 2
r
=
= mg +
mv2
r
85 × 8.002
10
= 1.39 × 103 N.
= 85 × 10 +
P7 - Um pequeno disco de massa 0.250 kg está ligado a um fio e roda segundo um círculo de raio
1.00 m sobre uma mesa horizontal sem atrito, como se mostra na figura. O fio passa através de um
buraco no centro da mesa e uma massa de 1.00 kg está ligada à outra extremidade. A massa suspensa
permanece em equilíbrio enquando o disco roda.
a) Qual é a tensão na corda?
As forças que actuam sobre o disco são o peso, a nornal à mesa e a tensão da corda, que é centrípeta. Segundo um
eixo eadial apontando para o centro, a 2.a lei de Newton exprime-se na forma
T1
= m1 a
v2
= m1
r
As forças que actuam na massa pendurada são o seu peso e a tensão da corda:
T2 + P2 = 0
ou
T2 = m2 g.
Portanto T2 = T = m2 g = 1.00 × 10 = 10 N.
b) Qual é o módulo da força central que actua no disco?
É a força T1 = T = 10. N.
c) Qual é o módulo da velocidade do disco?
Temos
r
T1 r
v =
m
s 1
10 N × 1 m
=
0.250 kg
= 6. 3 m/ s.
P8 - Na montanha russa que se mostra na figura, o carro tem uma massa de 500 kg quando cheio
de passageiros.
7
a) Se o carro tem uma velocidade de 20.0 m s−1 no ponto A, qual é o módulo da força exercida pelo
carril no carro nesse ponto?
No ponto A
P + N = ma
ou
−P + N
N
= m
v2
r
µ
v2
= m g+
r
Ã
¶
2
(20 m/ s)
= 500 kg 10 m/ s +
10 m
2
!
= 2.5 × 104 N.
b) Qual é o módulo da velocidade máxima que o carro pode ter em B para permanecer no carril?
No ponto B,
0
v2
P − N0 = m 0
r
A velocidade máxima para permanecer no carril é dada pela equação anterior, com N 0 = 0, ou
p
0
v =
gr0
p
=
10 m/ s2 × 15 m
= 12 m/ s.
P9 - Um carro contorna uma curva inclinada como se mostra na figura. O raio de curvatura da
estrada é R, ângulo de inclinação é θ, e o coeficiente de atrito estático é μ. Determine:
a) o domínio de módulos da velocidade que o carro pode ter sem que escorregue para cima ou para
baixo na estrada,
A 2.a lei de Newton exprime-se na forma
P + N + fa = ma
ou
x :
y :
−N sin θ + αfa cos θ = max
−mg + N cos θ + αfa sin θ = may
8
e
ax
fa
v2
r
≤ μN
= −
e α = 1 se a força de atrito aponta para cima, α = −1 se a força de atrito aponta para baixo. Não escorregamento
significa ay = 0.
−mg + N cos θ + αfa sin θ
−N sin θ + αfa cos θ
= 0
= −m
v2
r
ou. com fa = μN
−mg + N (cos θ + αμ sin θ) = 0
N (sin θ − αμ cos θ) = m
v2
r
e
N
v2
= mg/ (cos θ + αμ sin θ)
= rg (sin θ − αμ cos θ) / (cos θ + αμ sin θ)
obtendo-se
2
vmax
2
vmin
= rg (sin θ + μ cos θ) / (cos θ − μ sin θ)
= rg (sin θ − μ cos θ) / (cos θ + μ sin θ)
α = −1
α = +1
b) o valor mínimo de μ que permita que a que a velocidade tenha módulo mínimo nulo.
vmin
= 0⇒μ=
sin θ
cos θ
= tan θ
c) o domínio de módulos de velocidades possível para R = 100 m, θ = 10◦ , e μ = 0.10.
P10 - Um objecto de 0.500 kg está suspenso por um fio do tecto de um camião em movimento
acelerado. Se o módulo da aceleração do camião é a = 3.00 m s−1 , determine:
a) o ângulo que a corda faz com a vertical,
b) a tensão na corda.
As forças que actuam no objecto são a tensão da corda e o peso:
T + P = ma
ou
x :
y :
T sin θ = ma
T cos θ − P = 0
ou
tan θ =
a
g
e
θ
= arctan
= 16.7◦
9
3.00 m/ s2
10.0 m/ s2
E
T
ma
sin θ
0.500 kg × 3.00 m/ s2
=
sin 16.7◦
◦
= 16.7 .
=
P11 - Num parque de diversões, uma das atracções consiste num grande cilindro colocado verticalmente rodando em torno do seu eixo com suficiente rapidez para que qualquer pessoa dentro dele
fique presa contra a parede quando o chão é retirado, como se mosta na figura. O coeficiente de atrito
estático entre a pessoa e a parede é μs e o raio do cilndro é R.
a) Mostre que o período de revolução máximo necessário para impedir que a pessoa caia é T =
(4π 2 Rμs /g)1/2 . Obtenha o valor numérico para T se R = 0.40 m e μs = 0.400.
b) Quantas revoluções por minuto dá o o cilindro neste caso?
P12 - Um objecto de 9.00 kg parte do repouso e move-se através de um fluido viscoso sujeito a uma
força resistiva R = −bv, onde v é a velocidade do objecto. Se o objecto atinge em 5.54 s uma velocidade
cujo módulo é metade do valor do módulo da sua velocidade terminal, determine:
a) a velocidade terminal do objecto,
b) o instante em que a velocidade do objecto é igual a três quartos da sua velocidade terminal,
c) a distância viajada pelo objecto nos primeiros 5.54 s do movimento.
P13 - Considere um pêndulo cónico com uma massa de 80.0 kg e um fio com 10.0 m que faz um
ângulo de 5.00◦ com a vertical. Determine:
a) as componentes horizontal e vertical da força exercida pelo fio sobre a massa,
b) a aceleração radial da massa.
10
Folha de Cálculo:
S1 - Uma pessoa tem de mover uma caixa de 65 kg que está em repouso no chão. O coeficiente de
atrito estático entre a caixa e o chão é 0.48. Uma força de módulo F é aplicada na caixa, fazendo um
ângulo de θ com a horizontal.
a) Utilize uma folha de cálculo para calcular a força necessária para mover a caixa para uma sequência
de ângulos. Considere o ângulo θ como positivo se a força tem uma componente para cima, e negativo
se a força tem uma componente para baixo. Faça um gráfico de F em função de θ, e a partir dele
determine a força mínima necessária para mover a caixa. Com que ângulo deve a força ser aplicada?
b) Investigue o que acontece quando se muda o coeficiente de atrito.
S2 - Um paraquedista de 50.0 kg salta de um avião e cai para a Terra sofrendo uma força resistiva
de módulo R = Kv 2 . Considere K = 0.200 kg m−1 quando o páraquedas está fechado e K = 20.0 kg m−1
quando ele está aberto. Considere que o páraquedista começa a descer a uma altitude de 1000 m, e cai
em queda livre durante 10 s antes de abrir o páraquedas.
a) Determine a velocidade terminal do páraquedista antes e depois de o paráquedas se abrir.
b) Utilize uma folha de cálculo para determinar a posição e a velocidade do páraquedista em função
do tempo.
(Sugestão: Quando o páraquedas se abre dá-se um súbito aumento da aceleração, pelo que pode ser
necessário usar intervalos de tempo mais pequenos nesta região).
S3 - Um projéctil de 10.0 kg é lançado com uma velocidade inicial de 150 m s−1 , fazendo um ângulo
de 35.0◦ com a horizontal. A força resistiva que actua no projéctil é R = bv, onde b = 15.0 kg s−1 .
a) Utilize uma folha de cálculo para determinar as posições horizontal e vertical do projéctil em
função do tempo.
b) Determine o alcance deste projéctil.
c) Determine o ângulo de lançamento que dá o alcance máximo para este projéctil. (Sugestão:
ajuste o ângulo por tentativas para encontrar o alcance máximo).
Nota: Quando a resistência do ar é incluída o alcance máximo não ocorre necessariamente para
θ0 = 45◦ .
11