Adição de arcos

Adição de arcos
Matemática 2
Aulas 17 e 18
Prof. Henrique Figo
Motivação
Dados os ângulos de 30° e 45°, como é possível, por exemplo,
chegarmos aos valores de seno ou cosseno de 15°? Acompanhe
um raciocínio proibido de ser utilizado:
“Como 15° = 45° − 30° então sen 15° = sen 45° −
sen 30° = 2 2 − 1 2”
Esse tipo de resolução não se aplica às funções trigonométricas
que, como bem sabemos não obedecem nenhum pensamento
linear. Sempre que tiver dúvida relembre de alguns resultados
fáceis:
sen 45° = 2 2
sen 90° = 1
ângulo dobrado ⇏ valor de seno (ou cosseno) dobrado
Para se resolver problemas que envolvem outros ângulos além
dos notáveis e seus simétricos, utilizaremos o conceito de adição
de arcos:
Seno e cosseno da soma de dois arcos:
cos 𝑎 + 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑏 − sen 𝑎 sen 𝑏
cos 𝑎 − 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑏 + sen 𝑎 sen 𝑏
sen(𝑎 + 𝑏) = sen 𝑎 cos 𝑏 + sen 𝑏 cos 𝑎
sen(𝑎 − 𝑏) = sen 𝑎 cos 𝑏 − sen 𝑏 cos 𝑎
Voltemos agora ao caso do seno de 15°. Como 15° = 45° − 30°
usaremos a seguinte fórmula:
sen 15° = sen(45° − 30° ) = sen 45° cos 30° − sen 30° cos 45°
Logo sen 15° =
2
2
∙
3
2
1
− ∙
2
2
2
=
6− 2
4