√x² 3√5 x3 - Feg/Unesp

Lista 2
Limites e Derivadas
Versão do 27-4-2017
1) Determine os seguintes limites:
cos2x−1
cos x−1
x2
b) lim x→0
√ x ² +12−√12
x−1
c) lim x→1 √
x−1
3x 2−17x +20
d) lim x→ 4
4x²−25x+ 36
4x 2−9
e) lim x→−3 /2
2x+3
a) lim x→0
(4)
( 2 √ 12 )
(½, Leticia Macedo P. de Carvalho)
(1)
(-6)
5
f) lim x→0
g) lim e→ 0
(1+ x) −1
x
√ x +e−√ x
e
1−cos 2x
4x
x ²−7 x +10
x ²−4
(5)
(
√x )
2x
h) lim x→0
(0)
i) lim x→2
(-3/4)
2) Determine os seguintes limites no infinito:
x 6−500
)
6
x +500
5x
b) lim x→∞ x x
3 +2
c) lim x→∞ (3 x +32 x )1/ x
x −1
d) lim x→∞ 2√
x +3 x−2
3
√5 x 3−2
e) lim x→∞
7x
x ²+5 x +8
f) lim x→∞
x ²+3
5 x +2
g) lim x→∞
√3 x ²−7
a) lim x→∞ ln (
(0)
( ∞ )
(9)
(0)
(
√3 5 )
7
( 1 , Jarley Vieira da Silva)
3
( 5√ )
3
3) A função sinal, denotada por sgn x, está definida por:
sgn(x) = -1, x < 0
sgn(x) = 0, x = 0
sgn(x) = 1, x > 0
a) Esboce o gráfico dessa função.
b) Encontre ou explique porque não existe cada um dos limites que se seguem (0u =0+, 0d = 0-):
i)
ii)
iii)
iv)
lim x→0 u sgn x
lim x→0 d sgn x
lim x→0 sgn x
lim x→0 |sgn x|
4) Dada
F( x)=
(1)
(-1)
(não existe)
(1)
x 2−1
, encontre:
|x−1|
a) lim x→1 u F (x)
b) lim x→1 d F (x )
c) Se existe o lim x→1 F (x)
d) Esboce o gráfico de F(x)
(2)
(-2)
(não)
5) Determine se a seguinte função é contínua em x =0:
x< 0
f ( x)=−x
0< x< 1
f ( x)=x ²
f ( x)=2 x−1 x > 1
(descontínua em x=0, Jarley Vieira da Silva)
6) Determine se a seguinte função é contínua:
f(x) = 2,
f(x) = 1,
x≠1
x=1
(descontínua)
7) Verificar se a seguinte função é contínua em 4:
x 2−2 x−8
, x≠4
x−4
f (x)=3, x=4
f ( x)=
(descontínua)
8) Considere a função real definida por:
x
, x≠0
√ 1+ x−√ 1−x
f ( x)=k , x=0
Para qual valor de k a função é contínua?
f (x)=
(k=1)
Propriedades operatorias: derivadas do quoziente e do produto de duas funções
Ache as derivadas das seguintes funções:
a) f ( x ) =x²e x
b) f (x)=( 2x³+3 )⋅( x⁴−2x )
3x−1
c) g ( x ) =
2x+1
3x
x²+7
10
( )
t−2
f) g ( t ) =(
2t+1 )
d) f (x)=
9
(Sol. x ( x+ 2 ) e x )
(Sol. 14x6 −4x3 −6 )
5
(Sol.
)
(2x +1 )2
(3x )9⋅( 210−30x2 )
(Sol.
)
( x²+7 )11
45⋅( t−2 )8
(Sol.
)
( 2t+1 )10
Regra da cadeia
Ache as derivadas das seguintes funções:
x²+x+ 2
√3 x−3
b) cos 4 ( 3x )
a) ln
(
)
c) y=x⋅( sin ( ln ( x ) ) −cos ( ln ( x ) ) )
d) y=e xcos x
e) cosec(
x +1
)
x−1
5x²- 16x−11
)
3 ( x²+x+ 2 ) ( x- 3 )
(Sol. −12cos 3 ( 3x )⋅sin ( 3x ) )
(Sol.
(Sol. 2sin ( ln ( x ) ) )
(Sol. e xcos x (cos x−x sin x) )
x+1
x +1
[2 cosec(
)cotan(
)]
x −1
x−1
(Sol.
)
( x−1)2
Derivação implicita, derivada de funçao inversa
1) Calcule as seguintes derivadas utilizando o método da derivação implícita:]
a) x³−4x²y+3xy²+ 4y³=4
b) x³−3x²y⁴+ 4y³=6x
c) x ² y −xy ²+ x ² + y ²=0
d)
x ²+ xy+ y ²−5 x=2
-3x²−3y²+8xy
)
−4x²+6xy+12y²
x² −2xy⁴−2
(Sol.
)
4y² ( x²y−1 )
y ²−2 xy−2 x
(Sol.
, Jhonata Yukio)
x ²−2 xy + 2 y
−2 x− y−5
(Sol.
,Vítor Bentes Menchrot)
2 y+x
(Sol.
2) Encontre as derivadas das seguintes funções inversas:
a) y=arccosec ( x )
b) y= arccos ( x )
c) y=arccosech ( x )
1
(Sol. −
)
|x|√ x 2−1
−1
(Sol.
)
√1−x²
−1
(Sol.
)
|x|√ x²+1
d) y=arccosh ( x )
(Sol.
1
)
√ x²−1
Diferenciação logarítmica
Use a diferenciação logarítmica para encontrar as derivadas das seguintes funções:
sin ( x )
dy sinx
=x ⋅ cosxlnx+
)
dx
x
dy
1
=( ln ( x ) )x⋅
+ ln ( ln ( x ) ) )
(Sol.
dx
ln ( x )
tan ( x )
dy tan ( x )
=x
⋅ sec²x⋅ln ( x ) +
(Sol.
)
dx
x
a) y=x sin ( x )
(
(Sol.
b) y= ( ln ( x ) )
)
(
x
(
c) y=x tan( x )
)
)
Funções hiperbólicas
1) Encontre a derivada de:
1
)
2 √ x ( 1−x )
(Sol. 2x⋅cosh x² )
a) y=arctanh √ x
(Sol.
b) y=sinh ( x² )
1
1 +x
2) Mostre que arctanh x= ln
2
1−x
3) Prove a seguinte identidades:
( ).
1+ tanh ( x )
=-e 2x
1−tanh ( x )
Regra de l'Hopital
Calcule os seguintes limites utilizando a regra de l' Hopital.
a) lim x→−4
−.
√ x ²+9−5
x +4
sin ( x )−tan ( x )
b) lim
x→ 0
x3
c) lim e−x²⋅( x²−1 )
−4
, Mathias Alexandre Campos Lucci)
5
1
(Sol. − )
2
(Sol. 0 )
(Sol.
x →∞
d) lim x 1/x
(Sol. 1 )
e) lim x→0 tan x ln x
(Sol. 0 , Mathias Alexandre Campos Lucci)
x →∞
+.
f) lim x
1
2
x −1
(Sol.
x→ 1
√e )
1
g)
lim 1+ 3 x 2 x
x →0+
(Sol. e 3/ 2 )
Polinômio de Taylor
a) Encontre os seis primeiros termos do polinômio de Taylor da função y=ln(x) em x=1.
( x−1 ) ² ( x−1 ) ³ ( x−1 ) ⁴ ( x−1 ) ⁵
+
−
+
(Sol. ( x−1 )−
)
2
3
4
5
b) Baseado nestes termos, escreva ln(x) em x=1 como soma de infinito termos.
∞ − ( x−1 ) n
(
)
(Sol. ln x=−∑
)
n
i=1
Roteiro para a construção de gráficos
Use o roteiro para construção de gráficos para esboçar as seguintes curvas:
a) y=x³+x
x
b) y=
x²−9
1−x²
c) y= √
x
5x ²
d)
(Bruno Rodrigues da Silva)
x ²−4
e) x+cox x
(Edmilson Roma de Oliveira)