Resolução

Provinha 3 (30/04/2013)
1. Cada uma das figuras mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado D.
y  f  x
y  f  x
D: 3 x  3
D: 3 x  2
(a) Em todos os pontos do domínio. Nos
extremos do intervalo existem as derivadas
laterais.
(b) A função é contínua em todos os pontos do
intervalo. Nos extremos do intervalo
existem as derivadas laterais.
(c) Em nenhum ponto. A função é contínua em
todos os pontos do seu domínio.
(a) Em todos os pontos com exceção de x = 0
onde a função é descontínua.
(b) Em nenhum ponto. Nos extremos do
intervalo existem as derivadas laterais.
(c) Em x = 0 a função é descontínua, pois não
existe o limite lim f  x  . Portanto não
x 0
existe a derivada em x = 0.
(a) Em que pontos do domínio existe a derivada da função?
(b) Em que pontos do domínio a função é contínua, mas não existe a derivada?
(c) Em que pontos do domínio a função não é contínua e nem diferenciável (ou seja, não existe a derivada)?
Justifique cada uma de suas respostas.
2) Uma partícula se desloca sobre uma reta obedecendo à função posição s  t  
t4
 4t 3  6t 2 , t  0. Durante
2
que intervalo de tempo a partícula se desloca para a frente? E para trás?
Para resolver este exercício, devemos calcular a função derivada e estudar o sinal dela. Ou seja, a partícula se
desloca para frente, quando a velocidade é positiva e se desloca para trás, quando a velocidade é negativa.
v t  

ds
 2t 3  12t 2  12t  2t t 2  6t  6
dt
f t 

g t 
Para estudar o sinal de v(t), devemos estudar o sinal de f (t) e g(t) e achar a interseção dos resultados. Façamos
isso:
f  t   2t  0  t  0
f  t   2t  0  t  0 (descartamos esta opção, pois t não pode ser negativo)
g  t   t 2  6t  6  0  t 
62 3 
3  3

2

3  3
Profa. Lena Bizelli
Portanto,
v(t) > 0, para 0  t  3  3 e t  3  3  a partícula se desloca para frente nesse intervalo de tempo.
v(t) < 0, para 3  3  t  3  3
 a partícula se desloca para trás nesse intervalo de tempo.
3) Investigue a continuidade da função
 x 3 , x  3
f  x  
x3
 2,
Justifique sua resposta.
Em primeiro lugar, devemos tirar o módulo da função.
 x  3, x  3

f  x    3  x, x  3  f é contínua para todo x  3 , pois f é linear nesse caso. Para analisar a continuidade
2,
x3

em x = 3, devemos calcular os limites laterais da função, quando x tende a 3, e verificar se o limite é igual ao
valor da função em x = 3.
lim f  x   lim  x  3  0 
x 3


x 3
   lim f  x   0  f  3  2 . Portanto, f é descontínua em x = 3.
x 3
lim f  x   lim  3  x   0 
x 3
x 3

x 3
x 3
4) Se uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas, então o número de bactérias após
t
t horas é n  f (t )  100  2 3 . (a) Encontre a função inversa e explique seu significado nesse contexto. (b)
Quando a população atingirá 50.000 bactérias?
(a) Para encontrar a função inversa, basta isolar a variável t na equação.
n
t
3
 100  2
t 
t

t
3
3
 log 2 n  log 2 100  2   log 2 n  log 2 100  log 2 2  log 2 n  log 2 100  log 2 2


3 1


t
 log 2 n  log 2 100   t  3  log 2 n  log 2 100   g  n 
3
A função inversa nos diz como varia o tempo t em relação ao número de bactérias n.
(b) t  g  n   3 log2 n  log2 100  t  3 log 2 50000  log 2 100   3log 2 500  27
A população atingirá 50.000 bactérias, aproximadamente, depois de 27 horas.
Profa. Lena Bizelli
5) De acordo com a Lei de Resfriamento de Newton, a taxa de variação da
temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto
e a do meio ambiente. A figura ao lado mostra o gráfico da temperatura T (em graus
Fahrenheit) versus o tempo t (em minutos) para uma xícara de café inicialmente a
200F, deixada esfriar numa sala com uma temperatura constante de 75F. (a)
dT
Estime T e
quando t = 10 min. (b) A Lei do resfriamento de Newton pode ser
dt
dT
expressa por
 k (T  T0 ) onde k é a constante de proporcionalidade e T0 a
dt
temperatura do meio ambiente (constante por hipótese). Use os resultados da parte (a) para estimar o valor de
k.
T  17 F (olhar no gráfico)
Para calcular a derivada, basta calcular o coeficiente angular da reta tangente em t = 10.
dT T 117  150


 3,3 F / min
dt
t
10  0
dT
3,3
 k (T  T0 )   3,3  k 117  200    3,3  k  83  k 
 0,04
dt
83
Formulário
u  f ( x),
e  constante de Euler 
u  f ( x),
a  constante 
d u
du
( e )  eu
dx
dx
d u
du
a   au
ln a


dx
dx
d n
du
(u )  nu n1
dx
dx
d  f ( x)  f ´( x) g ( x)  f ( x) g´( x)


dx  g ( x) 
[ g ( x)]2
d
 f  x   g  x    f ´( x) g ( x)  f ( x) g´( x)
dx
d
du
(sen u )  cos u
dx
dx
d
du
(cos u )  sen u
dx
dx
d
1 du
(ln u ) 
dx
u dx
Equação de uma reta: y  y0  m  x  x0 
Profa. Lena Bizelli
Profa. Lena Bizelli