Integração por Partes

Integração por partes
A integração por partes é uma técnica de
primitivação baseada na derivada do
produto de duas funções.
Pela regra do produto para derivadas,
sabe-se que (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Através de manipulações algébricas
montamos uma equação que é chamada de
regra de integração por partes,
acompanhe..
Integração por Partes
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Integração por partes
Quando usar??
Integração por partes
[ f (x)g(x)]' = f (x)' g(x) + f (x)g(x)'
f (x)g(x)' = [ f (x)g(x)]'! f (x)' g(x)
Suponha agora que se tenha que calcular
Sf(x)g(x)dx .
Aplicando a integral em todos os membros da
equação, ficamos com:
Se você perceber que , multiplicando a derivada
de uma das funções do integrando por uma
primitiva da outra , chega-se a uma função que
possui primitiva imediata, então aplique a
integração por partes.
" f (x)g(x)' = f (x)g(x) ! " f (x)' g(x)
Essa é a regra de integração por partes
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Integração por partes
Exemplo 1
Integração por partes
Exemplo 1
Calcule a integral abaixo:
Aplicando a regra temos
! x cos xdx
! x cos xdx = f (x)g(x) " ! f '(x)g(x)dx
A derivada de x = 1; senx é uma primitiva de cosx
f(x) g'(x)
Como 1 . senx tem primitiva imediata podemos
aplicar a integração por partes
! x cos xdx = xsenx " ! 1. senxdx
! x cos xdx = f (x)g(x) " ! f '(x)g(x)dx
! x cos xdx = xsenx + cos x + k
f(x) g'(x)
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Integração por partes
Exemplo 2
Calcule a integral abaixo:
! x senxdx
2
! x senxdx = x
2
2
2
Calcule a integral abaixo:
" f (x)g(x)' = f (x)g(x) ! " f (x)' g(x)
!e
cos x + " 2x cos xdx (eq.1)
!e
Aplicando novamente a regra da cadeia...
! 2x cos xdx = 2xsenx + 2 cos x + k (2)
x
! x senxdx = "x
cos xdx = e x senx " ! e x senxdx (eq.1)
! e senxdx = e (" cos x) " ! e (" cos x)dx
! e senxdx = "e cos x + ! e cos xdx ( eq. 2)
x
x
2
cos xdx
Aplicando novamente a integração por partes temos:
Finalmente substituindo (2) em (1) temos:
2
x
Fazendo f(x) = e x , g'(x)=cosx , obtemos
(" cos x) " ! 2x(" cos x)dx
" x senxdx = !x
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Integração por partes
Exemplo 3
cos x +2xsenx + 2cosx +k
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x
x
x
x
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Integração por partes
Exemplo 3
Integração por partes
Exemplo 4
O problema se repete , aparentemente não vale a pena aplicar a regra
de integração por partes , mas se substituirmos a equação 2 em 1...
!e
x
! e senxdx = "e
x
! cos
cos xdx = e senx " ! e senxdx (eq.1)
x
x
!e
Calcule a integral abaixo:
x
x
cos x + ! e cos xdx ( eq. 2)
! cos x cos xdx = cos x senx + ! sen x
2
podemos substituir o segudo termo da equação por, sen 2 x = (1 ! cos 2 x)
x
x
! e cos xdx =
! cos x cos xdx = cos x senx + ! (1 " cos
1 x
e (senx + cos x) + k
2
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Integração por partes
Exemplo 4
! cos x cos xdx = cos x senx + ! (1 " cos
2
! cos x cos xdx = cos x senx + ! 1dx " ! cos
x) dx
2
x dx
2 ! cos 2 xdx = cos xsenx + x
! cos
2
xdx =
dx (eq.1)
Como da identidate trigonometrica temos , sen 2 x + cos 2 x = 1
2 ! e cos xdx = e senx + e cos x
x
xdx
! cos x cos xdx = cos x senx " ! "senx senx dx
x
cos xdx = e x senx + e x cos x " ! e x cos xdx
x
2
cos xsenx x
+ +k
2
2
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x) dx
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