2 em - Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA
Revisão II – Módulo 2
• Professor
Marcelo Gonzalez Badin
1.(Unicamp-2009) Em uma bandeja retangular, uma pessoa dispôs brigadeiros
formando n colunas, cada qual com m brigadeiros, como mostra a figura abaixo. Os
brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os que estavam mais próximos das bordas
da bandeja foram postos em forminhas azuis, enquanto os brigadeiros do interior da
bandeja foram postos em forminhas vermelhas.
a) Sabendo que m = 3n/4 e que a pessoa gastou o mesmo número de forminhas
vermelhas e azuis, determine o número de brigadeiros da bandeja.
b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já pronta, em latas de 1 litro, e se cada
brigadeiro, antes de receber o chocolate granulado que o cobre, tem o formato de uma
esfera de 2 cm de diâmetro, quantas latas ela tem que comprar para produzir 400
brigadeiros? (Dica: lembre-se de que 1 litro corresponde a 1000 cm3.)
1.(Unicamp-2009)
a) Número de formas azuis = 2n + 2(m – 2)
Número de formas vermelhas = (n – 2).(m – 2)
A pessoa gastou o mesmo número
de forminhas vermelhas e azuis:
2n + 2(m – 2) = (n – 2).(m – 2)
Sendo m = 3n/4, temos:
2n + 2(3n/4 – 2) = (n – 2).(3n/4 – 2)
2n + 3n/2 – 4 = 3n2/4 – 2n –3n/2 + 4 (x4)
Como n = 8 e m = 6, a bandeja tem
6.8 = 48 brigadeiros
8n + 6n – 16 = 3n2 – 8n –6n + 16
3n2 – 28n + 32 = 0
∆ = (– 28)2 – 4.3.32
∆ = 784 – 384 = 400
28 ± 20
n=
6
n = 4/3 (não convém, pois n é natural)
n=8
fi = 6
m = 3.8/4 fim
1.(Unicamp-2009)
b) O raio de cada “brigadeiro esfera” é 1cm. Sendo assim, o volume de cada um é
4
4
π ⋅13 cm3 = π cm3 que é, aproximadamente, 4,2cm3.
3
3
Desse modo, para produzir 400 brigadeiros é necessário
400.4,2cm3 = 1680cm3 = 1,68 litros
Como cada lata de massa possui 1 litro, a pessoa tem que comprar
2 latas para produzir 400 brigadeiros.
2. (Fuvest-2011) Um número é divisível por 4 quando o número formado
pelos dois últimos dígitos for um múltiplo de 4
a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos,
escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8 e 9?
Podem ser formados 360 números
6
x
5
x
4
x
3 = 360
b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no
item a), quantos são divisíveis por 5?
5
60 números são divisíveis por 5
5x 4
x
3
x
1 = 60
c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no
item a), quantos são divisíveis por 4? Finais convenientes:16,36, 56,68, 96
60 números são divisíveis por 4
4
x
3
x
5 =
60
3. (Unifesp-2004) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a
100cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm2 e 600 cm2, respectivamente.
A figura C exibe um retângulo de
dimensões (50 – x) cm e x cm, de
mesmo perímetro que os
retângulos das figuras A e B.
a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores
de x que fornecem a área do retângulo da figura A.
b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C.
a) f(x) = x.(50 – x) = – x2 + 50x
b) A área de um retângulo nas condições da figura C é
f(x) = 400
f(x) = – x2 + 50x
– x2 + 50x = 400
x = 10
f(x) assume seu valor máximo para x = xv = −
x = 40
O valor máximo é f(25) = –252 + 50.25 = 625
x2 –
50x + 400 = 0
S = 50
P = 400
f(x) = – x2 + 50x e os valores de
x que fornecem a área de A são
10cm e 40cm
b
= 25
2a
A maior área para um retângulo nas condições
da figura C é 625cm2
4.(Unicamp-2009) Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma peça teatral.
Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas
em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela
poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante.
a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numeração consecutiva de uma
mesma fila e que os ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória.
Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas?
b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras
a mais que a primeira, a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim
sucessivamente até a última fila.
Determine o número de cadeiras da sala em função de n, o número de filas que a sala
contém. Em seguida, considerando que a sala tem 144 cadeiras, calcule o valor de n.
4.(Unicamp-2009)
a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numeração consecutiva de uma
mesma fila e que os ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória.
Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas?
Sejam A e B o casal e C, D, E, F, G e H os seis convidados
O número de casos possíveis é igual ao número de permutações da sequência
ABCDEFGH
8!
O número de casos favoráveis é igual ao número de permutações da sequência
A B C D E F G H com A e B juntos
7! 2!
Assim, a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas é
7!2! = 2 = 1
8!
8
4 = 25%
4.(Unicamp-2009)
b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras
a mais que a primeira, a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim
sucessivamente até a última fila.
Determine o número de cadeiras da sala em função de n, o número de filas que a sala
contém. Em seguida, considerando que a sala tem 144 cadeiras, calcule o valor de n.
Temos uma progressão aritmética de primeiro termo a1 = 8 e razão r = 2.
O termo geral dessa PA é: an = a1 + (n – 1)r = 8 + (n – 1).2
an = 2n + 6
O número de cadeiras é a soma dos n primeiros termos da referida PA.
(a1 + an).n
(14 + 2n).n
(8 + 2n + 6).n
= n2 + 7n Sn = n2 + 7n
=
Sn =
=
2
2
2
Para Sn = 144, temos: n2 + 7n = 144
n=9
n2 + 7n – 144 = 0
n = –16 (não convém)
S=–7
P = – 144
O valor de n é 9
5. (Fuvest-2011) Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões,
sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova
poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões.
a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?
b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo
aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última
deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não
podem aparecer em posições consecutivas.
Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas?
c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português,
qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A?
5. (Fuvest-2011) Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões,
sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova
poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões.
a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?
Podemos permutar as 14 questões de 14! modos diferentes.
Sendo assim, podem ser produzidas 14! versões distintas da prova.
5. b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo
aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última
deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não
podem aparecer em posições consecutivas.
Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas?
.
= 7!.864
7!
4 .3
72 .
Temos 7! possibilidades de colocar as 7 primeiras de Português,
3 possibilidades para a última questão (Matemática),
e 4 opções para a penúltima questão (Geografia).
Resta ainda posicionarmos as 5 questões restantes, não podendo
as de Matemática ocupar posições consecutivas.
Para isso, podemos permutar todas as 5 e descontar os casos
em que as 2 de Matemática ocupam posições consecutivas.
M1M2G1G2G3
M1M2G1G2G3
–
5!
4! 2!
= 120 – 48 = 72
Poderão ser produzidas 864.7! versões classe A
5.
c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português,
qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A? Muda o espaço amostral
Número de casos
possíveis:
7!
.
7!
O número de casos favoráveis é igual a 864.7! (item b)
Assim, a probabilidade pedida é
864.7! = 6
35
7!.7!
=
7!.7!
6. (Fuvest-2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é ½ .
Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3.
Nessas condições, determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
a) Sendo a1 o primeiro termo e q a razão da PG, do enunciado temos:
• S5 = ½
a1 ( q 5 − 1)
q −1
Substituindo ( I ) em ( I I ), temos:
q −1
5
(I)
= 1 ⇒ a1 ( q − 1) =
2
2
• a7 – a2 = 3
a1q6 – a1q = 3 (Fatora!)
a1q(q5 – 1) = 3
qa1(q5 – 1) = 3 ( I I )
 q −1 
q
=3
2


q2
–q–6=0
S=1
P=–6
q = 3 (não convém, pois q < 0)
q=–2
A razão da PG é – 2
6. (Fuvest-2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é ½ .
Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3.
Nessas condições, determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
b) Para determinar a1 vamos substituir q = – 2 em ( I ):
(
)
a 1 ( −2 ) − 1 =
5
−2 − 1
2
3
a1 ( −33) = −
2
a1 =
1
22
Assim, a soma dos três primeiros termos dessa PG é:
1
2
4
3
− +
=
22 22 22 22
7. (Unicamp 2010)
Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias
agressivas de propaganda.
O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um
período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente.
Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e
assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais
100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de
internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira
semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas?
Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros?
Site A: 150 + (100 + 200 + 400 + 800 + ...)
Site B: 2200 + (100 + 200 + 300 + 400 + ...)
7. (Unicamp 2010)
Site A: 150 + (100 + 200 + 400 + 800 + ...)
Site B: 2200 + (100 + 200 + 300 + 400 + ...)
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas?
Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros?
a) O número de novos membros do site A forma uma
progressão geométrica de primeiro termo a1 = 100 e razão q = 2.
a6 = a1.q5 = 100.25 = 3200
Na sexta semana, o site pretende atrair 3200 membros novos
e espera ter daqui a 6 semanas
150 + 100 + 200 + 400 + 800 + 1600 + 3200 = 6450 associados
7. (Unicamp 2010)
Site A: 150 + (100 + 200 + 400 + 800 + ...)
Site B: 2200 + (100 + 200 + 300 + 400 + ...)
an = a1 + (n – 1)r
an = 100 + (n – 1)100
an = 100n
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas?
Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros?
a) A entrada de novos membros em B forma uma
progressão aritmética de primeiro termo a1 = 100 e razão r =100.
Em n semanas, o número de associados de B deve ser igual a 2200 mais
a soma dos n primeiros termos da referida PA
Devemos ter 2200 + Sn = 10000
2 + n = 156
n
∴ Sn = 7800
n2 + n – 156 = 0
(a1 + an).n
= 7800
S=–1
2
P = – 156
(100 +100n).n
= 7800
2
n = 12
n = –13 (não convém)
Em 12 semanas
8.(Fuvest-2005) Uma sequência de números reais a1, a2, a3, … satisfaz à lei de formação
an+1 = 6an, se n é ímpar,
an+1 =
1
a , se n é par.
3 n
a) a1 = 2
a 2 = 6a1 ⇒ a 2 = 6 2
1
a3 = a 2 ⇒ a3 = 2 2
3
a 4 = 6a 3 ⇒ a 4 = 12 2
1
a5 = a 4 ⇒ a5 = 4
3
a 6 = 6a 5⇒ a 6 = 24
1
a7 = a6 ⇒ a7 = 8
3
a 8 = 6a 7⇒ a 8 = 48
2
2
2
2
Sabendo-se que a1 = 2
a) escreva os oito primeiros termos da seqüência.
b) determine a37 e a38.
b) Os termos de ordem ímpar a1, a3, a5, a7,...
Formam uma progressão geométrica de primeiro termo
2 e razão 2. Note que a37 é o 19º termo dessa P.G.
Assim, temos: a 37 = a1 ⋅ q18 = 2 ⋅ 218
a 37 = 218 ⋅ 2
a 38 = 6a 37 ⇒ a 38 = 6 ⋅ 218 ⋅ 2
9.(Unicamp-2006) O gráfico ao lado mostra
o total de acidentes de trânsito na cidade de
Campinas e o total de acidentes sem vítimas,
por 10.000 veículos, no período entre 1997 e
2003. Sabe-se que a frota da cidade de
Campinas era composta por 500.000
veículos em 2003 e era 4% menor em2002.
a) Calcule o número total de acidentes de
trânsito ocorridos em Campinas em 2003.
No gráfico vemos que o número total de acidentes de trânsito ocorridos em Campinas
no ano de 2003 é 296 por 10000 veículos.
Assim, como a frota era composta de 500000 veículos, o números de acidentes ocorridos foi
296 . 500000 = 14800
10000
9.(Unicamp-2006) O gráfico ao lado mostra
o total de acidentes de trânsito na cidade de
Campinas e o total de acidentes sem vítimas,
por 10.000 veículos, no período entre 1997 e
2003. Sabe-se que a frota da cidade de
Campinas era composta por 500.000
veículos em 2003 e era 4% menor em2002.
b) Calcule o número de acidentes com vítimas
ocorridos em Campinas em 2002.
b) Em 2002, a frota era 4% menor que em 2003, isto é: o número de veículos era
0,96.500000 = 480000.
Do gráfico concluímos que o número de acidentes com vítimas em 2002 foi
334 (total de acidentes) – 274 (acidentes sem vítimas) = 60 por 10000 veículos.
Logo, o número de acidentes com vítimas em 2002 foi
60 . 480000 = 2880
10000
10. (Fuvest 2007)
Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der
um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se
Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que
possui Maria. Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria?
Sejam x, y e z as quantias (em R$) respectivas de Amélia, Lúcia e Maria.
Temos: x – 3 = y + 3 ⇒ x – y = 6
1
1
1
⋅ z + y = x + 6 ⇒ ⋅ z = x − y + 6 ⇒ ⋅ z = 12 ⇒ z = 36
3
3
3
1
1
1
1
⋅ x = ⋅ z ⇒ ⋅ x = ⋅ 36 ⇒ x = 24
2
3
2
3
24 – y = 6 ⇒ y = 18
Amélia tem R$ 24,00, Lúcia R$ 18,00 e Maria R$ 36,00
11. (Unifesp-2007) Colocam-se n3 cubinhos de arestas unitárias juntos, formando um cubo
de aresta n, onde n > 2. Esse cubo tem as suas faces pintadas e depois é desfeito, separandose os cubinhos.
a) Obtenha os valores de n para os quais o número de cubinhos sem nenhuma face pintada
é igual ao número de cubinhos com exatamente uma face pintada.
b) Obtenha os valores de n para os quais o número de cubinhos com pelo menos uma face
pintada é igual a 56.
Observando uma face do cubo de volume n3, temos
(n – 2) cubinhos que ficam internos àqueles que estão
nos vértices ou nas arestas.
Essa “face interna”representa a face dos cubinhos
(internos) sem nenhuma face pintada
Assim, o número de cubinhos sem nenhuma face pintada
é (n – 2)3 e o número de cubinhos com exatamente uma
face pintada é 6(n – 2)2.
cubinhos sem face pintada
total de cubinhos
3
2
n = –2
a) (n – 2) = 6(n – 2)
2 –2n – 8 = 0
n
b) n3 – (n – 2)3 = 56
n=4
n–2=6
S=2
3 – (n3 – 6n2 + 12n – 8) = 56
n
n=8
O valor de n é 4
P=–8
O valor de n é 8
6n2 – 12n – 48 = 0
12.(Unicamp-2010) Suponha que f : IR→IR seja uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)) e periódica, com
período 10 (isto é, f(x) = f(x+10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado abaixo.
sinx.gph
a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [–10, 10], e calcule o valor de f(99).
b) Dadas as funções g(y) = y2–4y e h(x)=g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para 2,5 ≤ x ≤ 5
a) Como f(–x) = –f(x), podemos completar o trecho
correspondente a [–5, 0], a partir do intervalo [0, 5].
Como o período da função é 10, temos:
• o gráfico no intervalo [5, 10] pode ser
obtido a partir do intervalo [–5, 0].
• o gráfico no intervalo [–5, –10] pode ser
–2,5
2,5
obtido a partir do intervalo [0, 5].
f(2,5) = 5 e f(–2,5) = –5
Assim, para x∈[–2,5; 2,5] temos f(x) = 2x
∴ f(–1) = –2. Como f(x) = f(x+10), temos:
f(–1) = f(9) = f(19) = ... = f(99) ∴ f(99) = –2.
b) Para x∈[2,5; 5] f(x) = ax + b. O gráfico de f(x) passa pelos pontos (2,5; 5) e (5; 0)
Temos: 2,5a + b = 5 e 5a + b = 0. Resolvendo o sistema, encontramos a = – 2 e b = 10.
Assim, para x∈[2,5; 5], f(x) = – 2x + 10. Como h(x) = g(f(x)) = g(– 2x + 10)
h(x) = (– 2x + 10)2 – 4(– 2x + 10) = 4x2 – 40x + 100 + 8x –40
h(x) = 4x2 – 32x + 60 e h(3) = 4.32 – 32.3 + 60 = 0
Portanto, h(3) = 0 e a expressão de h(x) para 2,5 ≤ x ≤ 5 é h(x) = 4x2 – 32x + 60
13.(Vunesp-2005) Uma pessoa resolve caminhar todos os finais de tarde. No 1º dia de
caminhada, ela percorre uma distância de x metros. No 2º dia, ela caminha o dobro do que
caminhou no 1º dia; no 3º dia, caminha o triplo do que caminhou no 1º dia, e assim por
diante. Considerando o período do 1º ao 25º dia, ininterruptos, ela caminhou um total de
243.750 metros.
a) Encontre a distância x percorrida no 1º dia.
b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30º dia.
a) As distâncias percorridas formam a progressão aritmética x, 2x, 3x, ..., 25x
De acordo com o texto, temos: x + 2x + 3x + ...+ 25x = 243750
PA
a1 = x
r=x
S25 = 243750
S25 = 243750
(a1 + a25)25
= 243750
2
(x+ 25x)25
= 243750
2
26x.25
= 243750
2
x = 750
A distância percorrida no 1º dia foi 750m
b) A distância percorrida no 30º dia é 30x
30x = 30.750 = 22500
No 30º dia a pessoa percorreu 22500m
14. ( Unicamp 2007)
Dois prêmios iguais serão sorteados entre dez pessoas, sendo sete mulheres
e três homens. Admitindo que uma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, responda às
perguntas abaixo.
a) De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos entre as dez pessoas?
b) Qual é a probabilidade de que dois homens sejam premiados?
c) Qual é a probabilidade de que ao menos uma mulher receba um prêmio?
a)
1º 2º
10 . 9
= 45
2!
M
P= 7 .
10
7
P=
15
c)
Há 45 maneiras de distribuir os 2 prêmios.
7M
H H
b) 10
P= 3 . 2 = 1
3H
10 9
15
A probabilidade de dois homens serem premiados é 1/15.
H
ou M M
3 . 2! + 7 . 6
9
10 9
7
14
+
=
15
15
Outro modo:
H H
14
P=1– 3 . 2 =
10 9
15
A probabilidade de que ao menos uma mulher seja premiada é 14/15.
15. (Fuvest 2007)
Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao
acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine
a) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca.
b) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca,
sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor.
5B
P P B
Outro modo Nº de casos possíveis
3P
3qq
3 . 2 . 5 . 3!
15
a)
=
8 bolas
8 7 6 2!
56
8.7.6 = 56
3!
Número de permutações Nº de casos favoráveis
da sequência PPB
2P 1B
A probabilidade é 15
56
3.2 . 5 = 15
2!
15. (Fuvest 2007)
Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao
acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine Muda o espaço amostral
a) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca.
b) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca,
sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor.
Nº de casos possíveis
3qq – 3B – 3P
Nº de casos favoráveis
2P 1B
8.7.6 – 5.4.3 – 3.2.1
3!
3!
3!
56
–
10
– 1
= 45
3.2 . 5 = 15
2!
A probabilidade é 15 = 1
45
3