Electrotecnia II

CET - Electromedicina
Eletrónica
Capítulo 1B – Análise de Circuitos em Corrente Alternada
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
1
Conteúdo
1 - Corrente Alternada
1.1 – Números complexos
1.2 – Corrente alterna sinusoidal
1.3 – Estudo de circuitos RL,RC, e RLC série e paralelo
2 – Análise de circuitos em corrente alternada
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
2
1 - Números Complexos
1.1 - Formas de representar números complexos
1.1.1 - forma algébrica, rectangular ou cartesiana
j
b
Z  a  jb
1.1.2 - forma trigonométrica
Z  Z e j
Forma polar exponencial
a
Z  Z  Forma polar de Steinmetz
Z  a 2  b2
a  Z . cos 
b  Z .sen
Z  Z . cos   j Z .sen
António Roque - ano lectivo 2012/2013 CET - Electromedicina
3
Fórmula de Euler
Z  Z e j
e j  cos   jsen
e j  cos 2   sen 2
como : cos 2   sen 2  1 então e j  1  1
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
4
1.2 - Operações com Números Complexos
1.2.1 Na Forma Algébrica
z1  a  jb
z2  c  jd
Soma
z1  z2  a  c  jb  d 
Multiplicação
z1. z 2  ac  bd   j bc  ad 
Divisão
z1 a  jb c  jd * a  jb c  jd  ac  bd   j bc  ad  ac  bd j (bc  ad )



 2
 2
z 2 c  jd c  jd * c  jd c  jd 
c2  d 2
c d2
c d2
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
5
1.2.1 Na Forma trigonométrica
z1  z1 e j1
z2  z2 e j2
Forma polar exponencial
Forma polar de Steinmetz
Soma
z1  z2  z1 e j1  z2 e j2
Multiplicação
z1.z 2  z1 e j1 . z 2 e j 2  z1 . z 2 e j 1  2 
z1.z2  z1 1. z2 2  z1 . z2 (1  2 )
Divisão
z1 1
z1
z1


1   2
z 2 z 2  2 z 2
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
6
1.4 – Exercícios de aplicação
Exprima na forma retangular os seguintes complexos e faça a representação
no plano complexo:
a) 5,05 e-j104,5
b) 5 ej0

 2  j84  j 
c)
3  j5
d) 6(cos 240° + j sen 240°)
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
7
1.4 – Exercícios de aplicação
Exprima na forma rectangular os seguintes complexos:
a)
b)
c)
5,05 e j104,5  5,05cos104,5  j5,05sen104,5  1,26  j 4,89  1,26  j 4,89
5 e j 0  5 cos0  j5sen0  5  j 0  5
 2  j84  j    8  2 j  j3  8   34 j 
3  j5
3  j5
3  j5
34e j 90
32  5 2 e
 jarctag
5
3
34 e  j 90


 j 59
5,83 e
34 j 9059 
e
 4 ,99  j 3
5,83
d)
6cos 240   j sen 240   6 cos 240   j 6 sen240   3  j5,2
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
8
Faça a representação no plano complexo e exprima na forma
exponencial e polar os seguintes complexos:
a)
b)
c)
d)
-2 - j
-4 + j3
0 + j1
j4(2-j2)
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
9
Função alternada sinusoidal
f t   Fm cost   
FM – Amplitude da função (ou valor máximo)
ω – frequência ou velocidade angular
α – Fase na origem dos tempos (t = 0)
(ω t + α) - argumento
F
FM
T



T
4
T
2
3
T
4
t
-FM
1
f 
T
  2f 
2
T
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
10
F
Valor médio da função alternada sinusoidal
Im
T
T
4
T
2
3
T
4
t
-Im
1 T2
1 T
I med
0 I m sen t dt  T ( 0 I m sen t dt  T T2 I m sen t ) dt )
2
2

1
1
2
 I m  cos t 0  I m  cos t 
1

T



T

1

1

I m ( (cos   cos 0 )  (cos 2  cos  ) )
I m ([( 1  ( 1 )]  [(1  ( 1 )]  
1

I m ( 2  2 )  0
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
11
Valor médio do Modulo da função da função alternada sinusoidal
Vmed

1

1

T
T
1
0


Vmax sen t dt 
Vmax  (1  1) 
2


1
0


Vmax sen t dt 
Vmax  cos t 0
Vmax  0,636Vmax
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
12
Valor eficaz da função alternada sinusoidal
i
i(t) = Im sen ωt
Im
i

0
I ef
1

T
2

T
0
i 2 t dt 
t
1



I m2 sen 2t.dt 
0




1 I m2 
 1dt  cos 2 t dt  
2  

0
0


I m2
I
.  m
2
2


I m2
2
1



. I m2
0
1
1  cos 2t .dt
2

1



t

sen
2

t



2

0
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
I m2
  0
2
13
Representação simbólica da função i(t)
it   I m sent   
Amplitude complexa da corrente
I  a  jb  I cos   jIsen  Ie j
ou
b
2
2
I  a  b arctg ( )  I
a
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
14
Exemplos de aplicação
1 - Obter a expressão da amplitude complexa a partir da expressão da
corrente instantânea
it   10 sent  30 º   I  10 e j 30º
I  10 e   30 º
ou
I  1030º
2 - Obter a expressão da corrente instantânea a partir da expressão da
amplitude complexa
I  20e  j10º
it   20sent  10º 
ou
I  20  10º
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
15
Tensão aos terminais de uma bobina
di
VL  L
dt
Tensão aos terminais de um condensador

1
VC 
idt
C
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
16
Representação vectorial e temporal de uma grandeza alternada
sinusoidal
Plano de Argan
F(t)
j
t
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
17
Problemas 1
Uma tensão alternada sinusoidal tem de valor eficaz de 230 [V].
Calcule:
a) O valor máximo
b) O valor médio (em meio período)
c) A tensão instantânea na origem do tempo (t=0) e para um
ângulo de fase de 60º.
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
18
Problema 2
Considere as seguintes correntes que percorrem dois receptores
em paralelo:
a) Represente vectorialmente as duas correntes
b) Determine o vector da corrente total
c) Escreva a equação da corrente instantânea total
d) Determine as diferenças: i1−i2 e i2−i1
e) Calcule o período das correntes
f) Indique qual o desfasamento entre as duas correntes
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
19
Problemas 3
1 - Dada a função sinusoidal f(t) = 40 cos (2513,27 t + 36,87°)
Determinar:
a) A frequência em Hz
b) O período
c) A Amplitude
d) O valor da função para t = 0
e) O ângulo de fase em graus e radianos
f) O 1º instante positivo em que a função se anula
g) O 1º instante em que a função apresenta derivada nula
h) O valor da função no instante t = 1 ms
i) Representar a função no domínio do tempo
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
20
Impedância Eléctrica
A Impedância é a relação entre o valor eficaz da diferença de potencial entre os
terminais em consideração, e o valor eficaz da corrente resultante num circuito. É a
combinação da resistência R e a reatância X , sendo dada em ohms, e designada
pelo símbolo Z. Indica a oposição total que um circuito oferece ao fluxo de corrente
alternada, ou qualquer outra corrente variável numa dada freqüência.
V  Ve j1 sendo V o valor eficaz de vector V
I  Ie j2
sendo I o valor eficaz de vector I
Z 
I
U
Z
Z
φ
R
V V j (1 2)
 Ze j
 e
I
I
 R  resistência
Z  Ze j  Z cos  jZsen   R  jX 
 X  reactância
  1   2
j 
Z  Ze 
Z  R 2  X 2
R
cos 
R2  X 2
X
X
)
(
arctg





tg
X
R
R
X
sen 
R2  X 2
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
21
Impedância de um circuito com
Resistência pura
Domínio do tempo
Domínio da frequência
U  Ue jt  RIe jt
i(t) = IM sen ωt
u
i
Z 
u
Ie
jt
 R 
I  Ie jt
i
t
Z 
u (t )  Ri (t )
u (t )  RI M sent  U M sent
u U
i(t )   M sent  I M sent
R
R
RIe jt
U
RI0º

 R0º  R
I0º
I
Im
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
IM
UM
Re
22
Impedância de um circuito com
Bobina pura
Domínio do tempo
Domínio da frequência
U  X L Ie j (t 90)  LIe j (t 90º )
I  Ie jt
Z 
i = IM sen ωt
uL
di
dt
d I M sen t 
 L. I M cos t
dt
 LI M sent  90 
uL
X L  L
X L  2f .L se f  0  curto circuito
LIe j (t 90º )
Ie jt
 Le j (t 90º )
Z  Z e j (t 90º ) 
ou na forma de fasores :
Z 
U LI90 º

 Z90 º
I0º
I
UM
X L .I M  U M
 Roque
ut   U M sent  90António
- ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
º
IM
23
Impedância de um circuito com
capacidade pura
Domínio do tempo
dq
i
dt
q  C.u
q – carga do condensador
C –capacidade do condensador
U – tensão aos terminais do condensador
u  U M sent
q  C.U M sen t
d C.U M sen t 
d
sen t   C.U M  cos t 
 C.U M
dt
dt
 CU M sent  90 
i
I M  CU M
1
UM 
. I M  X C .I M
C
1
1
XC 

C 2 . f .C
i  I M sent  90
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
24
Impedância de um circuito com
capacidade pura
Domínio da frequência
I M  jCU M
 UM
1
1

.I M   j
.I M   jX c I M
jC
C
j. j*  j.( j )   j 2  (1)  1
j*   j
U M  U M e j 0
e
I M  I M e j 90
U M  U M 0º
I M  I M 90º
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
25
Problema 4 – 5 – 6
P4 - Determine a reactância indutiva de uma bobine de 80 [mH] de
indutância, quando ligada a um circuito de corrente alternada de 50 [Hz].
P5 - Calcule a frequência de trabalho de uma bobina de 25 [mH] de
coeficiente de auto-indução, sabendo que a sua reactância é de 78,5
[Ω] .
P6 - Calcule a capacidade de um condensador cuja reactância
capacitiva é de 450 [Ω] à frequência de 60 [Hz].
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
26
Impedância de um circuito com
Resistência e Bobina em série
Domínio do tempo
i (t )  I M sent
u  uR  uL
u R  Ri
u  Ri  L
di
dt
di
uL  L
dt
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
27
Impedância de um circuito com
Resistência e Bobina em série
Domínio da frequência
Vm  Z .I m
Z  R  jX L
X L  L
Z  R  jL  Z  R 2   2 L2 artg
L
 R   L .e
2
2 2
jartg
R
L
R

Vm
 Z
Im
Vm
 2
2 2
 R   L  I
m

  artg ( L )    
v
i

R

0 quando L  0
L
0 
 
 é var iavel
R
 quando R  0
0    90 

Nota: Num circuito com carácter indutivo a corrente está sempre em atraso em relação à
tensão
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
28
Impedância de um circuito com
Resistência e condensador em série
Domínio do tempo
i(t)
v
v
uR
v(t)
uc
v  v R  vC  Ri 

1
idt
C
v R  Ri
vC 

1
idt
C
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
29
Impedância de um circuito com
Resistência e condensador em série
Domínio da frequência
IM
V  (R 
1
1
)I  (R  j
)I
jC
C

1
2
Z  R  2 2
V
1

 C
 Z  R j
 Z  Ze j 
C
1
1

Vc I
tg





arctg

CR
CR
VR
V
IM
VR
R


Vc
1
C
Z
V
Diagrama vectorial de tensões
António Roque
j
Diagrama vectorial da impedância
- ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
30
Impedância de um circuito com
Resistência, bobina e condensador em série
Domínio do tempo

di 1
v  v R  v L  vC  Ri  L 
idt
dt C
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
31
Impedância de um circuito com
Resistência, bobina e condensador em série
Domínio da frequência
IM
R
2
1 
1 


2
Z  R  j  L 
  R   L 
 artg
C 
C 


V
L 
1
C
R
2

V
1 

2
 R   L 
  m
C 
Im



1
L 

C      
1
arctg
j
V
i
c
R

1

se

L

  0º corrente em atraso relativamente à tensão (indutivo)

C

1

 é var iável se L 
  0º corrente em fase com a tensão (resistivo)

C

1

se

L

  0º corrente em avanço relativamente à tensão (capacitivo)

C

jL
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
32
Diagramas vectoriais de um circuito
Resistência, bobina e condensador em série
Domínio da frequência
I
UL
I
UC
I
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
33
Caso particular do circuito RLC Série- Ressonância
IM
R
V
1 

Z  R  j  L 

C 

jL
 j
1
c
Quando a parte imaginária da
impedância é igual a zero
L 
1
1
1
 0  L 
 2 
 
C
C
LC
1
LC
Diz-se que o circuito está em Ressonância com a
frequência do regime forçado que lhe é imposta
pela tensão aplicada aos seus terminais.
Nas condições a frequência de ressonância é dada
por:
I
0 
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
1
LC
34
Problemas 7
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
35
Problemas 8
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
36
Problemas 9
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
37
Problema 10 - RLC Série
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
38
Resolução 10
Resolução
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
39
Resolução 10
Resolução
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
40
Resolução 10
Resolução
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
41
Exercício 11
Considere o circuito R-L-C da figura em que v(t)=750cos(5000t+30º) V
a)Construa um circuito equivalente no domínio da frequência
b)Calcular a resposta forçada pelo método dos fasores
c)Determinar i(t) em t=10 s
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
42
Resolução 11
a)
R  90 
X L  L  5000.32.103  160
XC 
1
1

 40 
6
C 5000.5.10
-
-
ω
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
43
Problema 11
17 - Os valores das tensões eficazes medidos num circuito RLC série foram os
seguintes:
VR= 32, 5 V
VL= 43 V
VC= 80 V
Sendo a frequência angular de 500 rad/s encontrar:
a)O valor de tensão de alimentação, assim como da desfazagem entre a tensão e a
corrente.
b)Sendo o valor da corrente eficaz de 0,325 A calcule os elementos R, L e C .
c)O diagrama vectorial das tensões e correntes assim como a evolução temporal.
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
44
Exemplo de circuitos RLC paralelos
Dado o esquema da figura determinar a impedância equivalente
I
U
Z1
Z2
Z1  a  jb
Z 2  c  jd
Z1* Z 2 (a  jb ) * (c  jd ) ac  jad  jbc  bd



Z1  Z 2 (a  jb )  (c  jd )
(a  c)  j (b  d )
(ac  bd )  j (ad  bc) (a  c)  j (b  d )* (ac  bd )  j (ad  bc) (a  c)  j (b  d )* (ac  bd )  j (ad  bc)



(a  c)  j (b  d )* (a  c)  j (b  d )
(a  c)  j (b  d )
(a  c) 2  (b  d ) 2
(a  c) * (ac  bd )  (a  c) * j (ad  bc)  j (b  d ) * (ac  bd )  (b  d ) * (ad  bc)

(a  c) 2  (b  d ) 2
 (a  c) * (ac  bd )  (b  d ) * (ad  bc)  j(a  c) * (ad  bc)  (b  d ) * (ac  bd )

(a  c) 2  (b  d ) 2
Z  Z1 // Z 2  Z 
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
45
Circuitos RLC paralelos
Admitância
1
S   Siemens
Z
Y  G  jB
Y 
I
U
Y
G  condutância S   Siemens
S   Siemens
B  susceptância
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
46
Circuitos RLC paralelos
1
S   Siemens
Z
Y  G  jB
1
1  j
Y1 

e
caracter indutivo Y1  G1  jB1
j
Z1
Z1e
Admitância
Y 
Y1
Y2
Y2 
1
Z 2 e  j

1  j
e
caracter capacitivo Y2  G2  jB 2
Z2
Se B (susceptância) for negativa o circuito tem carácter indutivo
Se B (susceptância) for positiva o circuito tem carácter capacitivo
jB
Circuito eléctrico
Y1
Y
G
Y2
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
47
1
2
Circuitos RLC paralelos
Dado o esquema da figura determinar a admitância e impedância
equivalente
I
U
Y1
Y2
1
1

Z1 a  jb
1
1
Y2 

Z 2 c  jd
Y1 
Y  Y1  Y2  Y 
Z
1
1
(c  jd )  (a  jb )
(a  c)  j (b  d )
(a  c)  j (b  d )




a  jb c  jd (a  jb ) * (c  jd ) ac  jad  jbc  bd (ac  bd )  j (ad  bc)
1
Y
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
48
Problemas 12
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
49
Problema 13
É dado um circuito aos terminais do qual se aplica a tensão eK a impedância

é da forma Z=Zej em que  pode tomar os seguintes valores: 0º, 30º,-30º,90º e -90º
Para cada valor de

calcular:
a)A impedância decomposta em parte real e imaginária. Para cada um dos casos
fazer a representação gráfica no plano complexo.
b)O valor máximo, valor eficaz e desfazagem da corrente. Escrever o valor da
amplitude complexa da corrente e o seu valor instantâneo. As componentes activa e
reactiva em relação à tensão.
c)O diagrama temporal e vectorial em cada caso.
António Roque - ano lectivo
2012/2013 CET - Electromedicina
50