Exercícios

setor 1107
11070409
11070409-SP
Aula 25
FUNÇÃO (COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES)
2. Seja y = f(x) uma função definida no intervalo [1, 3] pelo
gráfico:
FUNÇÃO COMPOSTA
Seja f uma função de A em B e seja g uma função de B em C.
Chama-se função composta de g com f a função h definida
de A em C, tal que h(x) = g(f(x)) para todo x pertencente a A.
Indicaremos esssa composição por gof(x).
Esquema:
A
B
y
3
2
C
g
f
0
h
1
2
3
x
Calcule:
a) f(f(1)) =
f(2) = 3
Exercícios
1. Dadas as funções em IR: f(x) = x + 1 e g(x) = 3x + 5,
obtenha:
b) f(f(f(1))) =
a) f(g(2)) =
f(3) = 0
f(11) = 12
b) g(f(2)) =
3. Sendo f(2x – 1) = x2, calcule f(5).
g(3) = 14
Temos: 2x – 1 = 5
∴ x=3
Logo, f(5) = 32 = 9
c) f(g(x)) =
g(x) + 1
= (3x + 5) + 1
= 3x + 6
4. Dado f(x) = 2x – 3 e f(g(x)) = x2, obtenha g(x).
d) f(f(x)) =
f(g(x)) = x2
2 ⋅ g(x) – 3 = x2
2 ⋅ g(x) = x2 + 3
f(x) + 1
= (x + 1) + 1
=x+2
2
∴ g(x) = x + 3
2
ALFA-4 ★ 850750409
5
ANGLO VESTIBULARES
Tarefa Complementar
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
•
•
Livro 1 — Unidade III
Resolva os exercícios 2, 6 e 8, série 7.
Resolva os exercícios 5 e 7, série 7.
Caderno de Exercícios — Unidade II
Tarefa Mínima
•
•
•
Veja o exemplo 4, cap. 8.
Resolva o exercício 1, série 7.
Resolva os exercícios 3 e 4, série 7.
Aula 26
EXERCÍCIOS
1. Na figura, temos esboços dos gráficos das funções f e g, dadas por f(x) = ax3 e g(x) = x, em que a é uma constante.
y
2. Na figura, temos um esboço do gráfico de uma função f
periódica. Para todo real x e para todo inteiro h, temos
f(x + h ⋅ 3) = f(x).
f
f(x)
g
–1
2
x
g
x
III
Como as regiões I e III são equivalentes (suas áreas são
iguais), podemos concluir que a área da região II + III é
igual à área da região I + II. Essa área é igual a 2.
ALFA-4 ★ 850750409
4
x
c) 1º- modo: –2006 = – 2 + (– 668) ⋅ 3
f (– 2006) = f (– 2)
=1
2º- modo: Na divisão euclidiana de – 2006 por 3,
temos quociente – 669 e resto 1.
Assim, – 2006 = 1 + (– 669) ⋅ 3 e, portanto,
f(–2006) = f(1)
=1
II
2
3
b) Na divisão euclidiana de 2006 por 3, temos quociente 668 e resto 2.
Assim, 2006 = 2 + 668 ⋅ 3 e, portanto,
f (2006) = f (2 + 668 ⋅ 3)
= f(2)
= 0,5
f
I
2
a) Para 3 x 4, temos Δy = Δx. Isto é, com 0 Δx 1,
temos f(3 + Δx) = Δx.
Logo, f (3,14) = 0,14
a) Como (2, 2) ∈ f, temos f(2) = 2, ou seja, a ⋅ 23 = 2 e,
portanto, a = 0,25.
y
1
Dado que f(1) = 1, obtenha:
a) f (3,14)
b) f (2006)
c) f (– 2006)
a) Obtenha o valor da constante a.
b) Calcule a área da região sombreada.
b)
0
6
ANGLO VESTIBULARES
Tarefa Complementar
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
• Faça os exercícios a seguir:
Tarefa Mínima
•
1.
Obtenha os pontos de intersecção da curva y = x3 – 2x com a
parábola y = x2.
2.
Na figura, temos esboços dos gráficos das funções f e g, dadas
por f(x) = ax4 e g(x) = x, em que a é uma constante.
Faça os exercícios a seguir:
1.
Obtenha os pontos de intersecção da curva y = x2 – 2x com a reta
y = – x + 2.
2.
Na figura, cada ponto da semi-reta representa um par ordenado
(t, v), com t 0 e v = 2 + 10t. Obtenha a área S do trapézio em
função de t.
y
f
g
v
(r)
(t, v)
x
S
Obtenha o valor de a, sabendo que a área da região sombreada é
igual a 1.
3.
t
Sabe-se que, para todo valor positivo da constante k, a área da
região determinada pelas retas x = k e y = 0 e a parábola y = x2 é
1
igual a k3. Obtenha a área da região determinada pela parábola
3
y = x2 e as retas y = 0, x = 1 e x = 2.
Aula 27
NÚMEROS REAIS: NÚMEROS RACIONAIS E NÚMEROS IRRACIONAIS
1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS: IN
IN = {0, 1, 2, 3, …}
IN* = {1, 2, 3, …}
c) 0,666 … =
2
∈
3
OBSERVAÇÃO:
A representação decimal de todo número racional ou é
finita ou é periódica infinita.
2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS: = {…, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3,…}
Exemplos:
* = {…, – 3, – 2, –1, 1, 2, 3,…}
+ = {0, 1, 2, 3,…}
– = {…, – 3, – 2, –1, 0}
a)
2
= 0, 4
5
c)
1
= 0, 333…
3
b)
5
= 1, 25
4
d)
150
= 1, 5151…
99
3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: 4. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
Existem dízimas infinitas não periódicas; são os números
irracionais. Como exemplos de números irracionais, podemos
citar:
⎧a
⎫
= ⎨ | a ∈ e b ∈ * ⎬
b
⎩
⎭
isto é, um número x é racional se, e somente se, existirem
a
números inteiros a e b, b ≠ 0, tais que x = . Assim:
b
a)
π = 3,1415926535…
1
∈
3
b) 0,3 =
2 = 1, 414213562…
0,515511555111…
Os números irracionais não podem ser escritos na fora
ma com a e b inteiros e b ≠ 0.
b
3
∈
10
ALFA-4 ★ 850750409
3 = 1, 7320508075…
7
ANGLO VESTIBULARES
5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: IR
É o conjunto união do conjunto dos números racionais com o
conjunto dos números irracionais.
Exercício
O número N =
IN
IR
N=
1 + 2 3 +3
3
2 + N=
4 + 2 3
3
2 + N=
OBSERVAÇÃO:
(1 + 3 )2
Indicamos o conjunto dos números irracionais por IR – .
2+ 3
é racional ou irracional?
2 (2 + 3)
= 2 (racional)
2 + 3
6. SUBCONJUNTO DE IR
Vejamos alguns subconjuntos de IR:
IR* = {x ∈ IR | x ≠ 0}
IR+ = {x ∈ IR | x 0}
IR* = {x ∈ IR | x 0}
+
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
IR– = {x ∈ IR | x 0}
IR*– = {x ∈ IR | x 0}
Livro 1 — Unidade III
Tarefa Mínima
7. OBSERVAÇÕES
a) Número par
Todo número da forma 2n com n ∈ é chamado número
par. O conjunto dos números pares é
{… , – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6, …}
•
Leia os itens 1 a 5, cap, 1.
•
Resolva os exercícios a seguir:
1.
A = { x ∈ | 2 x 10 3 }?
a) 14
b) 15
c) 16
b) Número ímpar
Todo número da forma 2n + 1 com n ∈ é chamado
número ímpar. O conjunto dos números ímpares é
{…, – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, …}
c) Números opostos (simétricos)
Dois números são chamados opostos (ou simétricos) se a
soma deles é zero. Assim, os números a e – a são opostos,
pois a + (– a) = 0.
Exemplo: 5 e – 5
inversos, pois a ⋅
Exemplo: 5 e
ALFA-4 ★ 850750409
d) 17
e) 18
2.
Ache dois números pares e consecutivos sabendo que o dobro
do menor mais o maior dá resultado 56.
3.
Ache três números ímpares e consecutivos cuja soma seja 111.
Tarefa Complementar
•
1.
d) Números inversos (recíprocos)
Dois números são chamados inversos (ou recíprocos) se o
produto deles é 1. Assim, os números a (a ≠ 0) e
Quantos elementos tem o conjunto
Resolva os exercícios a seguir:
(FUVEST) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se
dizer que:
a)
b)
c)
d)
e)
1
são
a
1
=1
a
2.
1
5
8
x ⋅ y é irracional.
x ⋅ y é racional.
y2 é irracional.
x + y é racional.
x + y é irracional.
(MACK-SP) Se a, b e c são números naturais não nulos tais que
c = 5a e b + 3c = 60, os possíveis valores de c são em número de
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
ANGLO VESTIBULARES
Aula 28
NÚMEROS REAIS: EXERCÍCIOS
Sendo a e b, a b, números reais, definiremos os seguintes conjuntos chamados de intervalos:
a) [a, b] = {x ∈ IR | a x b}
IR
a
b
a
b
a
b
a
b
b) ]a, b[ = {x ∈ IR | a x b}
IR
c) [a, b[ = {x ∈ IR | a x b}
IR
d) ]a, b] = {x ∈ IR | a x b}
e) [a, + ∞[ = {x ∈ IR | x a}
f) ]a, + ∞[ = {x ∈ IR | x a}
g) ]– ∞, a] = {x ∈ IR | x a}
h) ]– ∞, a[ = {x ∈ IR | x a}
IR
IR
a
IR
a
IR
a
IR
a
c) 3,515151…
Exercícios
100x = 351,515151 …
x = 3,515151…
99x = 348
a
1. Escrever na forma
com a e b inteiros:
b
a) 0,33…
10x = 3,33 …
x = 0,33…
9x = 3
x=
–
1
3
x=
348
99
x=
116
33
–
2. Dados A = [1, 5] e B = ]3, 7[, obter:
a) A ∩ B
b) A ∪ B
b) 5,888…
5
1
A
10x = 58,888 …
x = 5,888…
–
9x = 53
B
3
logo,
a) A ∩ B = ]3, 5]
b) A ∪ B = [1, 7[
53
x=
9
ALFA-4 ★ 850750409
7
9
ANGLO VESTIBULARES
Tarefa Complementar
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
•
Livro 1 — Unidade III
1.
Tarefa Mínima
•
Resolva os exercícios a seguir:
1.
Escreva na forma
a
, com a e b inteiros e b ≠ 0, os seguintes
b
números:
a) 0,1
b) 0,111…
c) 0,888…
d) 0,898989…
e) 1,2898989…
2.
Classificar os seguintes números em rac. (racional) ou irrac. (irracional):
a) 3,1416
b) π
c)
4
d)
8
2
2
f) 12,121212…
e)
2.
Sendo A = [ 3, [ e B = [1, 5 [, obtenha:
a) A ∩ B
b) A ∪ B
Qual é o milésimo algarismo da parte periódica da dízima gerada
por
Resolva os exercícios a seguir:
15
?
7
Aula 29
NÚMEROS COMPLEXOS — INTRODUÇÃO
Exercícios
PRODUTOS NOTÁVEIS
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
a2 + b2 = (a – bi)(a + bi)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
1. Resolver em as equações
a) x2 = – 4
a) x2 = – 4
x2 = 4 (– 1)
x2 = 4 i2
x2 = (2i)2
x = ± 2i
Resposta: {2i, – 2i}
A equação x2 = 1 possui duas soluções reais e distintas, os
números 1 e – 1.
Temos que 12 = 1 e (– 1)2 = 1.
A equação x2 = – 1 possui duas soluções não reais e distintas, os números i e – i
Temos que i2 = – 1 e (– i)2 = – 1.
b) x2 – 2x + 2 = 0
b) x2 – 2 x + 2 = 0
= (– 2)2 – 4 (1) (2)
=4–8
= – 4 ⇒ = 4i2
2 ± 2i
=
2
O número i é chamado de unidade imaginária.
O conjunto de todos os números da forma a + bi, com a e
b reais, é o conjunto dos números complexos e será indicado
por .
Sendo z = a + bi, com a e b reais, dizemos que:
a é a parte real de z
b é a parte imaginária de z
Resposta: {1 + i, 1 – i}
Observe que z é um número real se, e somente se, b = 0.
Os números complexos não reais são chamados de números
imaginários.
Em particular, os números da forma bi, com b ∈ IR*, são
chamados de números imaginários puros.
ALFA-4 ★ 850750409
10
ANGLO VESTIBULARES
2. Obter as soluções não reais da equação x3 = 8.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
x3 – 8 = 0
x3 – 23 = 0
(x – 2) (x2 + 2x + 4) = 0
x–2=0⇒x=2
x2 + 2x + 4 = 0
= 4 – 4 (1) (4)
= 4 – 16
= – 12
= 12i2
x=
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
Tarefa Mínima
•
•
Leia os itens 1 a 5, cap. 13.
Faça o exercício 2(a, b, c, d), série 11.
Tarefa Complementar
•
– 2 ± 2 i 3
2
Faça o exercício 2(e, f, g, h), série 11.
Resposta: – 1 + i 3 e – 1 – i 3
Aula 30
NÚMEROS COMPLEXOS — IGUALDADE E CONJUGADO
2. Obter todos os pares ordenados (x, y), com x ∈ IR e y ∈ IR,
de modo que x2 – y2 + (y – 1) i = 4
IGUALDADE DE COMPLEXOS
Sendo a, b, c e d números reais, temos que
a=c
a + bi = c + di ⇔
b=d
x2 – y2 + (y – 1) i = 4 + 0i
x2 – y2 = 4 (1)
y–1=0
(2)
Exercícios
1. Obter os reais x e y tais que:
a) x + 3 + (y – 4) i = 5 + 7i
b) 2x + y + (x – y) i = 4 – i
De (2) temos: y = 1
Substituindo em (1):
x2 – 1 = 4
x2 = 5 ∴ x = ± 5
a) x + 3 = 5 e y – 4 = 7
Resposta: x = 2, y = 11
2x + y = 4
x–y=–1
b)
Resposta: ( 5 , 1 ) e (– 5 , 1)
(1)
(2)
Somando membro a membro, temos 3x = 3
∴x=1
Substituindo em (2) temos 1 – y = – 1
∴y=2
Resposta: x = 1, y = 2
ALFA-4 ★ 850750409
11
ANGLO VESTIBULARES
CONJUGADO COMPLEXO
Dado o número complexo z = a + bi, com a e b reais, chamase de conjugado complexo de z ao número –z = a – bi
Exemplos
–
z = 2 + 3i ⇒ z = 2 – 3i
–
z=5–i ⇒ z=5+i
⇒ –z = – 4i
z = 4i
⇒ –z = 10
z = 10
Exercício
3. Resolver em :
2z + i –z = 7 + 8i
Sendo z = a + bi, com a e b reais, segue que
2 (a + bi) + i (a – bi) = 7 + 8i
2a + 2bi + ai – bi2 = 7 + 8i
2a + 2bi + ai + b = 7 + 8i
(2a + b) + (a + 2b) i = 7 + 8i
2a + b = 7
a + 2b = 8
4a + 2b = 14
– a – 2b = – 8
+
∴ a=2
3a
=6
a + 2b = 8
2 + 2b = 8
2b = 6 ∴ b = 3
Logo, z = 2 + 3i
Resposta: {2 + 3i}
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
Tarefa Mínima
•
•
•
Leia o item 7, cap. 13.
Faça o exercício 1, série 11.
Faça o exercício 3(a, b, c), série 11.
Tarefa Complementar
•
•
ALFA-4 ★ 850750409
12
Faça o exercício 8, série 11.
Faça o exercício 3(d, e), série 11.
ANGLO VESTIBULARES
Aula 31
NÚMEROS COMPLEXOS: DIVISÃO E POTÊNCIAS NATURAIS DA UNIDADE
e) i5
Exercícios
i4 ⋅ i = i
1. Obtenha a forma algébrica de:
a)
2 + 11 i
⋅
3 + 4i
f) i6
b) 6 + 4i
1– i
a) 2 + 11i
3 + 4i
3 – 4i
3 – 4i
i4 ⋅ i2 = – 1
g) i7
=
i4 ⋅ i3 = – i
6 – 8 i + 33 i – 44 i2
=
9 – 16 i2
(6 + 44) + (33 – 8) i
9 + 16
h) i8
i4 ⋅ i4 = 1
=
3. Seja n um número inteiro e seja r o resto da divisão de n
por 4. Mostre que in = ir.
50 + 25 i
25
demonstração
n = 4q + r, onde q é o quociente da divisão de n por 4.
i n = i 4q + r
= i 4q ⋅ i r
= (i4)q ⋅ i r
= (1)q ⋅ i r
= 1 ⋅ ir
= ir
(c. q. d)
Resposta: 2 + i
b)
6 + 4i
1–i
⋅
1+i
=
1+i
6 + 6 i + 4 i + 4 i2
1 – i2
=
(6 – 4) + (6 + 4) i
=
1+1
2 + 10 i
2
4. Simplificar
Resposta: 1 + 5 i
a) i1996
b) (1 + i)96
2. Simplificar
a) i1
a) 1996 4
39 499
i
b)
36
0
1996
∴ i
= i0
Resposta: 1
i2
–1
c) i3
b) (1 + i)96 = [(1 + i)2]48
= (2i)48
= 248 ⋅ i48
= 248 ⋅ i0
Resposta: 248
i2 ⋅ i = – i
d) i4
i2 ⋅ i2 = 1
ALFA-4 ★ 850750409
13
ANGLO VESTIBULARES
Tarefa Complementar
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
•
•
Livro 1 — Unidade IV
Faça o exercício 6(d, e), série 11.
Faça os exercícios 5 e 7, série 11.
Caderno de Exercícios — Unidade III
Tarefa Mínima
• Leia o item 6, cap. 13.
• Faça o exercício 6(a, b, c), série 11.
• Faça o exercício 4, série 11.
Aula 32
NÚMEROS COMPLEXOS: PLANO DE ARGAND-GAUSS, MÓDULO
•
• Até este ponto, usamos, para representar um número complexo a expressão a + bi, em que a e b são números reais e
i é a unidade imaginária.
Com a, b, c e d reais, temos que:
a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) ⋅ (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
módulo de z ao número real não negativo |z| =
a2 + b2 .
Note que, no plano de Argand-Gauss, o módulo de z é à distância da origem a seu afixo.
Im(z)
P
b
Podemos representar cada número complexo simplesmente
por um par ordenado (a, b), com a e b reais. Assim, temos,
por exemplo:
3 + 4i = (3, 4)
4 + 3i = (4, 3)
i = (1, 0)
i = (0, 1)
|z|
a
•
Desse modo, o conjunto dos números complexos pode
ser descrito como sendo um conjunto de pares ordenados
de números reais, tais que:
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ⋅ (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
•
Dado o complexo z = a + bi, com a e b reais, chamamos de
Re(z)
Propriedades
Para quaisquer números complexos z e w, temos
|z| 0
|z|2 = z ⋅ –z
|z ⋅ w| = |z| ⋅ |w|
z
|z|
=
w |w|
(w ≠ 0)
|z + w| |z| + |w|
|z – w| ||z| – |w||
O plano de Argand-Gauss é uma representação gráfica
do conjunto ; nele, cada número complexo (a, b), ou
seja a + bi, com a e b reais, é representado pelo ponto P
de abscissa a e ordenada b. O ponto P é chamado de afixo
do número complexo.
Im(z)
P
b
a
ALFA-4 ★ 850750409
Re(z)
14
ANGLO VESTIBULARES
2. Represente, no plano de Argand-Gauss, o conjunto
{z ∈ : z = –z + 2i}
Exercícios
1. Sejam z = 3 + 4i e w = iz. Represente z e w no plano de
Argand-Gauss e calcule |z|, |w| e |z + w|.
Im(z)
Im(z)
1
(Z)
4
(W)
3
Re(z)
3
–4
Sendo z = x + yi, com x e y reais, temos:
x + yi = x – yi + 2i
2yi = 2i
y=1
Re(z)
w = i(3 + 4i) ∴ w = – 4 + 3i
32
+ 42 = 5
|z| = 2
|w| = (–4)
+ 32 = 5
z + w = (3 + 4i) + (– 4 + 3i)
z + w = – 1 + 7i
2
|z + w| = (–1)
+ 72 = 50
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Livro 1 — Unidade IV (Cap. 13)
Caderno de Exercícios — Unidade III
|z + w| = 5 2
Note que |z + w| |z| + |w|
Tarefa Mínima
•
Faça o exercício 9, série 11.
Tarefa Complementar
•
Faça os exercícios 15 a 18, série 11.
Aula 33
NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA TRIGONOMÉTRICA, OPERAÇÕES
•
Dado o complexo não nulo z = a + bi, com a e b reais, chamamos de argumento de z ao número real θ, 0 θ 2π,
a
b
tal que cos θ =
e sen θ = , com ρ = |z|
ρ
•
Im(z)
ρ
b
Do item anterior, temos a = ρ ⋅ cos θ e b = ρ ⋅ sen θ. Logo,
a + bi = ρ ⋅ cos θ + i ⋅ ρ ⋅ sen θ. Assim, nessas condições, temos que, todo complexo não nulo z = a + bi pode ser
representado pela expressão ρ(cos θ + i ⋅ sen θ), em que ρ
e θ são, nessa ordem, o módulo e o argumento de z. Essa
representação é chamada de forma trigonométrica (ou
forma polar) de z.
ALFA-4 ★ 850750409
ρ
θ
a
15
Re(z)
ANGLO VESTIBULARES
2. Sendo α e β números reais, mostre que
Exercícios
(cos α + i sen α)(cos β + i sen β) =
cos(α + β) + i sen(α + β)
1. Obtenha a forma trigonométrica de cada um dos complexos
a seguir:
a) z = 1 + i
(cos α + i sen α)(cos β + i sen β) =
= cos α ⋅ cos β + i cos α ⋅ sen β +
+ i sen α ⋅ cos β + i2 ⋅ sen α sen β
= cos α cos β – sen α sen β +
+ i(sen α cos β + sen β cos α)
= cos(α + β) + i sen (α + β)
Im(z)
1
—
√2
π/4
1
Re(z)
⎛
π
π⎞
z = 2 ⎜cos
+ i sen ⎟
4
4⎠
⎝
1
3
+i
2
2
b) z =
Im(z)
√3
2
1
π/3
1
2
⎛
π
⎝
3
z = 1 ⎜ cos
+ isen
Re(z)
π ⎞
⎟
3 ⎠
c) z = – 3i
Im(z)
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Re(z)
Livro 1 — Unidade IV (Cap. 13)
Caderno de Exercícios — Unidade III
–3
|z| = 3
Tarefa Mínima
⎛
z = 3 ⎜ cos 3π + i sen 3π ⎞⎟
2
2 ⎠
⎝
•
Faça o exercício 11, série 11.
Tarefa Complementar
•
ALFA-4 ★ 850750409
16
Faça o exercício 13, série 11.
ANGLO VESTIBULARES
Aula 34
NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA TRIGONOMÉTRICA — OPERAÇÕES
• Dados, pelas suas formas trigonométricas, os números complexos z = r(cos α + i ⋅ sen α) e w = s(cos β + i ⋅ sen β), temos:
c)
z 2
= [cos(45º – 15º) + i ⋅ sen(45º – 15º)]
w 1
= 2 (cos 30º + i ⋅ sen 30º)
z ⋅ w = r ⋅ s[(cos(α + β) + i ⋅ sen(α + β)]
z r
= [cos(α – β) + i ⋅ sen(α – β)]
w s
⎛
1⎞
= 2 ⎜ 3 + i ⎟
⎝
2⎠
2
zn = rn [cos(n α) + i ⋅ sen(n α)], com n ∈ = 3 +i
• Sendo |z| = r e |w| = s, temos:
|z ⋅ w| = r ⋅ s = |z| ⋅ |w|
z r |z|
= =
w s |w|
2. Sendo z = 3 + i, determine:
|zn| = rn = |z|n
a) o módulo de z10.
b) o menor inteiro positivo n, tal que zn seja um número real.
• Também são importantes as propriedades:
z ⋅ –z = |z| 2
a) |z| =
|z + w| |z| + |w|
3 )2 + 12
(
|z|10 = 210
|z| = 2
|z|10 = |z10| = 1024
b) z = 2(cos 30º + i ⋅ sen 30º)
zn = 2n[cos (n ⋅ 30º) + i ⋅ sen (n ⋅ 30º)]
Exercícios
zn ∈ IR ⇔ sen(n ⋅ 30º) = 0
Nessas condições, o menor valor inteiro positivo de n é 6.
1. Dado que z = 2(cos 45º + i ⋅ sen 45º) e que
w = cos 15º + i ⋅ sen 15º, obtenha a forma algébrica de:
a) z ⋅ w
b) z3
z
c)
w
a) z ⋅ w = 2 ⋅ 1[cos(45º + 15º) + i ⋅ sen(45º + 15º)]
= 2(cos 60º + i ⋅ sen 60º)
⎛1
3 ⎞
=2⎜ +i ⎟
2 ⎠
⎝2
= 1 + i 3
b) z3 = 23[cos(3 ⋅ 45º) + i ⋅ sen(3 ⋅ 45º)]
= 8(cos 135º + i ⋅ sen 135º)
⎛
2 ⎞
= 8 ⎜ –2 + i ⎟
2 ⎠
⎝ 2
= – 4 2 + 4i 2
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17
ANGLO VESTIBULARES
• Observações importantes
Nas condições anteriores, considerando a equação
zn = ρ(cos θ + i ⋅ sen θ), temos:
– há exatamente n raízes distintas;
LEITURA COMPLEMENTAR
• Consideremos as equações, na incógnita z, da forma
zn = k, em que n é uma constante inteira positiva e k é
uma constante complexa não nula. Como, por exemplo,
z3 = 8i e z5 = 32.
n
– todas as raízes tem módulo igual a ρ ;
– os afixos das n raízes pertencem à circunferência λ, de
Sendo ρ(cos θ + i ⋅ sen θ) a forma trigonométrica de k, podemos resolver essas equações do seguinte modo:
Como k não é nulo, podemos concluir que z ≠ 0 e, portanto, z também tem uma forma trigonométrica.
Suponhamos então que z = r(cos α + i ⋅ sen α).
De zn = k, temos
[r(cos α + i ⋅ sen α)]n = ρ(cos θ + i ⋅ sen θ)
rn[cos (nα) + i ⋅ sen (nα)] = ρ(cos θ + i ⋅ sen θ)
Essa igualdade ocorre se, e somente se rn = ρ,
cos (nα) = cos θ e sen (nα) = sen θ.
Devemos ter r =
θ
nρ
raio ρ e centro (0, 0);
– os argumentos das raízes, tomados em ordem crescente,
2π
θ
formam uma PA de primeiro termo e razão
;
n
n
– os afixos das raízes ‘dividem’ a circunferência λ em n par2π
tes ‘iguais’ a
.
n
n
• Os afixos das raízes cúbicas de 8i:
e n α = θ + 2h π , ou seja,
Im(z)
2π
, com h ∈ .
n
n
Note que com h n, temos α 2π e, com h 0,
temos α 0, pois 0 θ 2π. Assim, 0 h n.
α=
+ h⋅
8i
Resumindo, de zn = ρ(cos θ + i ⋅ sen θ), temos
z = r(cos α + i ⋅ sen α), com
r= nρ
α=
θ
n
e
+h
– 3+i
2π
, h ∈ {0, 1, 2, ..., n – 1}
n
[r(cos α + i ⋅ sen α)]3 = 8(cos
π
2
+ i ⋅ sen
r3[cos (3α) + i ⋅ sen (3α)] = 8(cos
r3 = 8 e 3α =
π
2
Re(z)
– 2i
• Exemplo: De z3 = 8i, temos:
π
2
π
2
)
+ i ⋅ sen
π
2
Exercício Resolvido
)
Represente no plano de Argand-Gauss as raízes quintas da
unidade imaginária.
+ h ⋅ 2π, h ∈ {0, 1, 2}
z5 = i
[r(cos α + i sen α)]5 = 1(cos 90º + i sen 90º)
r5 = 1 ∴ r = 1
5 α = 90º + h ⋅ 360º
α = 18º + h ⋅ 72º, h ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
π
2π
r = 8 e α = + h⋅
, h ∈ {0, 1, 2}
6
3
3
π 5π 3π
,
}
r=2eα∈{ ,
6 6 2
Logo, z = 2(cos
z = 2(cos
z = 2(cos
3+i
5π
6
3π
2
π
6
+ i ⋅ sen
+ i ⋅ sen
+ i ⋅ sen
5π
6
3π
2
π
6
), ou
Z1
), ou
Z2
Z0
).
Na forma algébrica, temos:
z=
Z3
3 + i, ou z = – 3 + i, ou z = –2i
Z4
Esses três números são chamados de raízes cúbicas de 8i.
ALFA-4 ★ 850750409
18
ANGLO VESTIBULARES
z0, z1, z2, z3 e z4
Aula 28
z5
São as raízes da equação = i
z0 = cos 18º + i sen 18º
z1 = cos 90º + i sen 90º = i
z2 = cos 162º + i sen 162º
z3 = cos 234º + i sen 234º
z4 = cos 306º + i sen 306º
1.
a)
b)
c)
d)
e)
2.
1
10
1
9
8
9
89
99
1277
990
8
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Respostas das Tarefas Complementares
Livro 1 — Unidade IV (Cap. 13)
Caderno de Exercícios — Unidade III
Aula 26
1.
Tarefa Mínima
•
2.
Faça o exercício 12, série 11.
3.
Tarefa Complementar
•
Faça os exercícios 19 e 20, série 11.
(0, 0), (2, 4) e (–1, 1)
2
4
7
3
Aula 27
Respostas das Tarefas Mínimas
1.
E
2.
B
Aula 26
Aula 28
1.
(– 1, 3) e (2, 0)
1.
2.
2t + 5t2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2.
a) [3, 5[
b) [1, +∞[
Aula 27
1.
C
2.
18 e 20
3.
35, 37 e 39
ALFA-4 ★ 850750409
19
rac
irrac
rac
irrac
irrac
rac
ANGLO VESTIBULARES