1 Tecnólogo em Análise e Desenvolvimentos de Sistemas _ TADS Aula 6 Derivadas _ 3ª parte Professor Luciano Nóbrega www.professorlucianonobrega.wordpress.com DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS A DERIVADA DA FUNÇÃO SENO Seja f(x) = sen x, vamos calcular f ’(x). ACOMPANHE: Resolvendo o seno da soma: Colocando “sen x” em evidência: Como o limite de uma soma é igual a soma dos limites: Vamos calcular separadamente cada limite: 2 2 www.professorlucianonobrega.wordpress.com 3 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS A DERIVADA DA FUNÇÃO SENO Seja f(x) = sen x, vamos calcular f ’(x). ZERO 47) a) y = x b) y = –x + (π+3)/6 Portanto, se f(x) = sen x, então f ’(x) = cos x Analogamente, sen x podemos mostrar que: (cos x)’ = – sen x Podemos montar um esquema para facilitar a memorização das derivadas das funções seno e cosseno: – cos x 45 – Prove que (cos x)’ = – sen x 46 – Calcule (tg x)’ 47 – Determine a equação da reta tangente ao gráfico de: a) f(x) = sen x, no ponto de abscissa zero; b) f(x) = cos x, no ponto de abscissa π/3. D – sen x GABARITO: 46) sec2 x 3 cos x www.professorlucianonobrega.wordpress.com 4 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Na física temos: s(t), como sendo a função que relaciona o deslocamento (s) em função do tempo (t); v(t) = ds/ , como sendo a velocidade dada pela derivada dt entre a variação do deslocamento (ds) e do tempo (dt); E ainda, a(t) = dv/dt , como sendo a aceleração dada pela derivada entre a variação do velocidade (dv) e do tempo (dt); Então, fazendo a segunda derivada do deslocamento (s), obtemos a = dv aceleração (a). Observe: d ds =a dt dt dt EXEMPLO: Sendo o deslocamento de uma partícula dada pela função s(t) = t + (2/t2), para t > 0, ache os valores da velocidade e da aceleração quando t = ½ 4 5 GABARITO: 48) a) f3(x) = 288x – 48 b) f3(x) = –60x–6 c) f2(x) = 12x – 8 d) f3(x) = 24x +48 e) f3(x) = (3/8) .x–5/2 f) f3(x) = –27cos(3x) g) f4(x) = 120x – 72 h) f5(x) = 720x www.professorlucianonobrega.wordpress.com 5 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 49) a) 6y = 3x + 3√2 – π b) 8y = –4√2.x+4√2+π√2 50) a) v = 20 e a = 16 b) v = –1/2 e a = 2 Se f é uma função diferenciável, então f ” é a segunda derivada da função f. Da mesma forma, f ”’ é a derivada terceira de f. Generalizando, f n é a derivada de ordem “n”. 48 – Encontre todas as derivadas de ordem superior da função: a) f(x) = 12x4 – 8x3 + 3x2 – 5x – 6 b) f(x) = 3x2 + 1 x3 c) f(x) = 2x3 – 4x2 + 8x – 7 d) f(x) = x3 .(x + 8) e) f(x) = √x f) f(x) = sen (3x) g) f(x) = (x2 – 3)(x3 + 3x2 +9) h) f(x) = (x2 + 1)3 49 – Determine a equação da reta tangente ao gráfico de: a) f(x) = sen x, no ponto de abscissa π/3 b) f(x) = cos x, no ponto de abscissa π/4 50 – Sendo o deslocamento de uma partícula dada pela função s(t) , ache os valores da velocidade e da aceleração: a) s = t3 + 2t2 , com t = 2 b) s = (t2 +1) –1 , com t = 1 51 – Utilizando a regra da cadeia, determine a derivada de: a) f(x) = sen (5x2) b) f(x) = cos (4x2 +3)1/2 c) f(x) = 5.sen 7x d) f(x) = cos4 (3x2) 51) a) 10x.cos(5x2) b) e d) RESPOSTA GRANDE c) 35 cos(7x) www.professorlucianonobrega.wordpress.com 6 6 x DERIVADAS DE e Vamos derivar a função f(x) = ex usando a definição: Fazendo eh – 1 = u, temos Vimos que: (ex)’ = ex c) y = ex.cos x 53) a) 1 b) 0 c) 1 Depois, faça x = 0 Portanto: GABARITO: 52) y = x + 1 Fazendo 1/ = u, n temos: 52 – Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ex no ponto de abscissa zero. 53 – Calcule: a) y = (3x2 + 1).ex b) y = x2.ex www.professorlucianonobrega.wordpress.com DERIVADAS DE 7 ℓn x 7 Vamos derivar a função f(x) = ℓn x usando a definição: Fazendo h/x = u, temos h = u.x Quando h ⟶ 0 , temos u⟶ 0 Depois, faça x = 1 c) y = (x+1)/(x.ln x) a) y = x3 + ln x b) y = x2.ln x + 2ex d) y = (ln x)/x b) 1 + 2e 55 – Calcule: 55) a) 4 c) NÃO EXISTE d) 1 (ℓn x)’ = 1/x 54 – Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ℓn x no ponto de abscissa 1. GABARITO: 54) y = x – 1 Portanto: Vá correndo acessar... Você só paga R$ 5,00 (Brincadeirinha... É de graça!)