Aula 6 Derivadas _ 3ª parte

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Tecnólogo em Análise e Desenvolvimentos
de Sistemas _ TADS
Aula 6
Derivadas _ 3ª parte
Professor Luciano Nóbrega
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DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
A DERIVADA DA FUNÇÃO SENO
Seja f(x) = sen x, vamos calcular f ’(x).
ACOMPANHE:
Resolvendo o seno da soma:
Colocando “sen x” em evidência:
Como o limite de uma soma é igual a soma dos limites:
Vamos calcular separadamente cada limite:
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DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
A DERIVADA DA FUNÇÃO SENO
Seja f(x) = sen x, vamos calcular f ’(x).
ZERO
47) a) y = x b) y = –x + (π+3)/6
Portanto, se f(x) = sen x, então f ’(x) = cos x
Analogamente,
sen x
podemos mostrar que: (cos x)’ = – sen x
Podemos montar um esquema para
facilitar a memorização das derivadas das
funções seno e cosseno:
– cos x
45 – Prove que (cos x)’ = – sen x
46 – Calcule (tg x)’
47 – Determine a equação da reta tangente
ao gráfico de:
a) f(x) = sen x, no ponto de abscissa zero;
b) f(x) = cos x, no ponto de abscissa π/3.
D
– sen x
GABARITO: 46) sec2 x
3
cos x
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DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Na física temos:
s(t), como sendo a função que relaciona o deslocamento (s) em função do
tempo (t);
v(t) = ds/ , como sendo a velocidade dada pela derivada
dt
entre a variação do deslocamento (ds) e do tempo (dt);
E ainda, a(t) = dv/dt , como sendo a aceleração dada pela derivada entre a
variação do velocidade (dv) e do tempo (dt);
Então, fazendo a segunda derivada do deslocamento (s), obtemos a
= dv
aceleração (a). Observe: d ds
=a
dt
dt dt
EXEMPLO:
Sendo o deslocamento de uma partícula dada pela função s(t) = t + (2/t2),
para t > 0, ache os valores da velocidade e da aceleração quando t = ½
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GABARITO: 48) a) f3(x) = 288x – 48 b) f3(x) = –60x–6 c) f2(x) = 12x – 8 d) f3(x) = 24x +48
e) f3(x) = (3/8) .x–5/2 f) f3(x) = –27cos(3x) g) f4(x) = 120x – 72
h) f5(x) = 720x
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DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
49) a) 6y = 3x + 3√2 – π
b) 8y = –4√2.x+4√2+π√2
50) a) v = 20 e a = 16
b) v = –1/2 e a = 2
Se f é uma função diferenciável, então f ” é a segunda derivada da
função f. Da mesma forma, f ”’ é a derivada terceira de f. Generalizando, f n é
a derivada de ordem “n”.
48 – Encontre todas as derivadas de ordem superior da função:
a) f(x) = 12x4 – 8x3 + 3x2 – 5x – 6
b) f(x) = 3x2 + 1
x3
c) f(x) = 2x3 – 4x2 + 8x – 7
d) f(x) = x3 .(x + 8)
e) f(x) = √x
f) f(x) = sen (3x)
g) f(x) = (x2 – 3)(x3 + 3x2 +9)
h) f(x) = (x2 + 1)3
49 – Determine a equação da reta tangente ao gráfico de:
a) f(x) = sen x, no ponto de abscissa π/3
b) f(x) = cos x, no ponto de abscissa π/4
50 – Sendo o deslocamento de uma partícula dada pela função s(t) , ache
os valores da velocidade e da aceleração:
a) s = t3 + 2t2 , com t = 2
b) s = (t2 +1) –1 , com t = 1
51 – Utilizando a regra da cadeia, determine a derivada de:
a) f(x) = sen (5x2)
b) f(x) = cos (4x2 +3)1/2
c) f(x) = 5.sen 7x
d) f(x) = cos4 (3x2)
51) a) 10x.cos(5x2)
b) e d) RESPOSTA GRANDE c) 35 cos(7x)
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x
DERIVADAS DE e
Vamos derivar a função f(x) = ex usando a definição:
Fazendo eh – 1 = u, temos
Vimos que:
(ex)’ = ex
c) y = ex.cos x
53) a) 1
b) 0
c) 1
Depois, faça x = 0
Portanto:
GABARITO: 52) y = x + 1
Fazendo
1/ = u,
n
temos:
52 – Determine a equação da reta tangente ao
gráfico de f(x) = ex no ponto de abscissa zero.
53 – Calcule: a) y = (3x2 + 1).ex b) y = x2.ex
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DERIVADAS DE
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ℓn x
7
Vamos derivar a função f(x) = ℓn x usando a definição:
Fazendo h/x = u, temos h = u.x
Quando h ⟶ 0 , temos u⟶ 0
Depois, faça x = 1
c) y = (x+1)/(x.ln x)
a) y = x3 + ln x
b) y = x2.ln x + 2ex
d) y = (ln x)/x
b) 1 + 2e
55 – Calcule:
55) a) 4
c) NÃO EXISTE
d) 1
(ℓn x)’ = 1/x
54 – Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
f(x) = ℓn x no ponto de abscissa 1.
GABARITO: 54) y = x – 1
Portanto:
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