BCC760 Lista 3- Integraç˜ao Numérica - DECOM-UFOP

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Departamento de Computação
Cálculo Numérico - BCC760
Lista 3- Integração Numérica
5
Z
1. Calcule
2
1
dx com m = 6 pelas regras abaixo:
x.ln(x)
a) Regra dos trapézios.
b) Primeira regra de Simpson.
c) Segunda regra de Simpson.
d) Comparar esses três resultados com o valor exato ln(ln(5)) − ln(ln(2)) ≈ 0, 8424.
2. Seja a função f (x) = 10x .
a) Encontre o polinômio de Diferenças Divididas de grau 2 que passa pelos pontos de
abcissas −1, 0 e 1.
b) Integrar, analiticamente, o polinômio obtido no item (a) no intervalo de [−1, 1].
Z 1
c) Calcular
10x dx utilizando a primeira regra de Simpson com m = 2 subintervalos.
−1
d) Justificar por que os resultados dos itens (b) e (c) são iguais.
Z 2
3. Calcule
ex dx com e < 2X10−3 e com o menor número de subintervalos utilizando as
0
fórmulas abaixo:
a) Regra dos trapézios
b) Primeira regra de Simpson.
c) Segunda regra de Simpson.
Z 3
(ex + 2x)dx pela primeira regra de Simpson e com o número de subintervalos
4. Avalie
0
m = 2, 4, 6 e 8.
5. Calcule as integrais abaixo utilizando os métodos indicados e comparando o resultado
obtido com o valor analı́tico.
Z 1
a)
ex dx usando a regra dos trapézios com m = 1.
0
Z
3
b)
Z
(ex + 2x)dx utilizando a primeira regra de Simpson com m = 4.
0
π
c)
(0, 2x4 + sen(x) + 2)dx pela segunda regra de Simpson com m = 6.
0
6. Sendo f (x) = ex − 1 e considerando a segunda regra de Simpson pede-se:
Z 1,6
a) Estimar I =
f (x)dx utilizando 6 subintervalos de integração e 4 casas decimais.
1
1
b) Determinar o número mı́nimo de intervalos necessários para avaliar esta integral com
erro de truncamento máximo 10−10
Z 3
7. Calcule o valor da integral
(1 − e−x )dx
0
a) Analiticamente.
b) Utilizando a regra dos trapézios.
c) Utilizando a primeira regra de Simpson.
d) Utilizando a segunda regra de Simpson.
e) Calcule o erro cometido pelos três métodos utilizados com base no resultado obtido
na letra a).
8. Determine a distância percorrida para os seguintes dados de velocidade:
t 1 2 3,25 4,5 6 7 8 8,5 9 10
v 5 6 5,5
7 8,5 8 6 7 7 5
Use a regra dos trapézio.
9. A força exercida no mastro de um veleiro pode ser representada pela seguinte função:
z
f (z) = 200
e−2z/H
5+z
onde z é a elevação acima do convés e H é a altura do mastro. A força total F exercida
no mastro pode ser determinada integrando essa função ao longo da altura do mastro:
Z H
F =
f (z)dz
0
A linha de ação também pode ser determinada por integração:
RH
zf (z)dz
d = R0 H
f (z)dz
0
a) Use a regra composta da regra dos trapézios para calcular F e d para o caso em que
H = 30 e o número de subintervalos é m = 6.
b) Repita o exercı́cio da letra a) considerando a primeira regra de Simpson fórmula
composta.
Referências
[1] F. F. Campos Filho Algoritmos Numéricos. LTC editora, Rio de Janeiro, 2a edição, 2012.
[2] S. C. Chapra Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB Para Engenheiro e Cientistas.
Bookman editora, Porto Alegre, 3a edição, 2013.
2
Respostas -Integração Numérica
1. a)I = 0, 8595
b) I = 0, 8438
2. a) P2 (x) = 4, 05x2 + 4, 95x + 1
c)I = 0, 8448
b)I = 4, 7
c)I = 4, 7
3. I = 6, 3895, pela primeira regra de Simpson, com m = 6
4. .
m
I
2
4
6
8
28,5061 28,1170 28,0920 28,0876
5. a) I = 1, 8591 e valor analı́tico I = 1, 7183
b) I = 28, 1170 e valor analı́tico I = 28, 0855
c) I = 20, 5402 e valor analı́tico I = 20, 5240
6. a) I = 1, 6348
7. a)2.0498
b) 84
b) 1, 4253
c) 2, 0287
d)2, 4176
8. I = 60.125
9. a)F = 1402, 728 e d = 13, 720
b) F = 1462, 867 e d = 13, 720
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