5 - UFERSA

Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Professor: Walter Martins Rodrigues
Cálculo Numérico para Engenharia da Produção e Ciênica da
Computação
5 - Integração Numérica
Designamos de um modo geral por integração numérica o processo de obter
valores aproximados para
I f    f x dx
b
a
em que f é uma função integrável no intervalo finito a, b  IR .
A necessidade de ter de recorrer a métodos aproximados para calcular I f 
provém normalmente de uma das seguintes situações:
1) A expressão analítica de f não é conhecida. É o que acontece quando esta
função é dada por tabelas ou obtida por medições de grandezas físicas;
2) A expressão analítica de f é conhecida mas a primitiva desta função não, e
portanto a forma usual de determinação do integral não é viável.
No presente capítulo abordaremos alguns dos métodos mais correntes de integração
numérica. A chave para a solução do problema consiste essencialmente em aproximar a
função f por outra função cujo integral seja fácil de calcular. Este objectivo é
conseguido recorrendo, por exemplo, a polinómios interpoladores de f. Assim, seja pn o
polinómio interpolador de grau  n da função f nos nós distintos x0 , x1 ,..., x n ,
pertencentes ao intervalo a, b . É razoável esperar que
I pn    pn x dx
b
a
seja, sob certas condições, um valor aproximado de I f  . O erro cometido neste
processo é
e  I f   I pn   I f  pn 
em que a última passagem se justifica pela linearidade do operador de integração. Como
vemos, o erro depende da maior ou menor aproximação do polinómio pn a f e adiante
apresentaremos estimativas desta importante grandeza.
5.2.1- Fórmulas de Newton-Cotes
Como vimos anteriormente, o polinómio pn de grau  n que interpola a função f
nos nós distintos x0 , x1 ,..., x n , pode representar-se na seguinte forma (Fórmula de
Lagrange)
n
p n x    f xi Li x 
i 0
em que os Li são os polinómios de Lagrange associados aos nós. Sendo assim, é fácil
ver que
b
n
b
a
i 0
a
I p n    p n  x dx  f xi  Li x dx .
Fazendo
Ai   Li x dx
b
a
(5. 1)
podemos escrever que
n
I p n    Ai f xi 
(5. 2)
i 0
Esta expressão costuma designar-se por regra de integração ou fórmula de
quadratura e os Ai por coeficientes ou pesos dessa regra. Consoante o valor de n e a
localização dos nós no intervalo a, b , assim se obtêm diferentes regras de integração.
Como vemos, o cálculo exacto do integral foi substituído pelo cálculo de uma soma
ponderada de valores da função integranda.
O que acabámos de dizer justifica que se introduza o seguinte conceito:
Definição 5.1
Uma regra de integração diz-se de grau de exactidão n se integrar exactamente todos
os polinómios de grau  n e existir pelo menos um polinómio de grau n  1 que não é
integrado exactamente por esta regra.

5.2.1.1-Dedução das fórmulas
Vamos deduzir alguns casos particulares de regras de integração, correspondentes
a diferentes escolhas de polinómios interpoladores.
Regra do Trapézio
 Interpretação geométrica:
Seja p1 o polinómio de grau 1 interpolador de f nos nós a e b, isto é, na forma de
Newton
p1 x  f a  f a, bx  a
e portanto
 p xdx   f adx   f a, bx  adx
b
a
1
b
b
a
a
 x  a 2 
 f a b  a   f a, b

 2 a
b
 f a b  a   f a, b
 f a b  a  

b  a 2
2
f b   f a  b  a 
ba
2
ba
ba
f a  
f b  .
2
2
2
(5. 3)
Obtém-se
ba
 f x dx  2  f a   f b
b
(5. 4)
a
Esta fórmula é conhecida por regra do trapézio. Não é difícil concluir que o grau desta
regra é um.
Regra de Simpson
 Interpretação geométrica:
Seja p 2 o polinómio de grau  2 interpolador de f nos nós a, c 
ab
e b. Tem2
se
p2 x  f a  f a, cx  a  f a, c, bx  ax  c
Efectuando os cálculos necessários, chegamos à expressão

b
a
p 2 x dx 
ba
 f b   4 f c   f a ,
6
(5. 5)
obtendo-se a designada regra de Simpson:

ba 
ab
 f x dx  6  f a   4 f  2   f b
b
(5. 6)
a
A sua construção garante que o seu grau é pelo menos dois, mas é possível verificar que
o seu grau é de facto três, o que se deixa como exercício.
Regra
n
d
a0
a1
a2
a3
...
Trapézio
1
2
1
Simpson
2
6
1
4
tabela 5. COMPARAÇÃO DE TECNICAS NUMÉRICAS
Existe outro método de integração denominado regra de Newton-Cotes cuja
Fórmula é dada por:

b
a
onde xi  a  ih,
i  0,1,..., n ,
f x dx 
h
ba n
 a i f  xi  ,
d i 0
ba
.
n
Nota: Os coeficientes a i são simétricos, isto é, a n i  ai .
5.2.1.2-Erros de integração
Para poder escolher qual a regra de integração a utilizar num dado caso concreto é
conveniente dispor de estimativas do erro cometido que possam orientar essa escolha.
Teorema 5.1
Seja f  C 2 a, b . Então

b
a
ba
 f a   f b   b  a  f  ,  a, b 
f  x dx 
2
12
3
(5. 7)
Demonstração:
Recorde-se que se p n é o polinómio interpolador de grau  n que interpola
f  C n1 a, b nos nós distintos x0 , x1 ,..., x n do intervalo a, b , então
en  x   f  x   p n  x  
f n1  x 
x  x0 x  x1 x  xn 
n  1!
onde  x  a, b .
Se p n representa o polinómio de grau 1 interpolador de f em a e b, obtém-se
a f x dx  a p1 x dx  a
b
b
b
f  x 
x  a x  b dx
2!
ba
 f a   f b   ET ,
2

onde ET designa o erro de integração na regra do trapézio
Então, necessitamos de demonstrar que
ET  
b
a
f   x 
x  a x  b dx   b  a  f  ,  a, b  .
2!
12
3
Recorde-se o Teorema do Valor Médio Pesado para Integrais:
“Se f  Ca, b , g é integrável em a, b e g x não muda de sinal em a, b , então
existe um número c, a  c  b , tal que:

f x   g x dx  f c  g x dx .”
b
b
a
a
Como x  a x  b não muda de sinal em a, b e f  é contínua
ET  f  
b
a
x  a x  b  dx,  a, b  .
2
Sabendo que

b
a
x  a x  b  dx   b  a 3 ,
2
12
fica provado o resultado pretendido, isto é,
ET  
b  a 3
12
f  ,  a, b  .
(5. 8)

Teorema 5.2
Seja f  C 4 a, b . Então

b
a
 1  b  a  4 
ba 
ab
f x dx 
f a   4 f 
  f b   
 f  ,  a, b .

6 
 2 
 90  2 
5
(5. 9)

Donde se conclui que designando E S o erro de integração na regra de Simpson, temos
1  b  a  4 
ES   
 f  ,  a, b  .
90  2 
5
A Tabela seguinte inclui as expressões para os erros de truncatura nas Fórmulas de
Newton-Cotes apresentadas anteriormente (Tabela 5.1).
Nome da fórmula
n
Regra do trapézio
1
Regra de Simpson
2
Erro de truncatura
1 3
h f  ,  a, b 
12
1
 h 5 f 4   ,  a, b 
90

Tabela 5. 1: Comparação de Erros na integração numérica
Obs: Erro de truncatura nas fórmulas de Newton-Cotes ( h 
ba
)
n
Exemplo: Uma aproximação para
1
e
 x2
0
dx usando a regra de Simpson.
De acordo com (5.6)
1

0
e  x dx 
2


2
2
1  0 02
e  4e 0.5   e 1  0.75
6
Se pretendêssemos calcular um limite superior para o valor absoluto do erro na
aproximação obtida, de acordo com (5.9)
1  1  0  4 

 f  ,  0,1 ,
90  2 
5
ES  
com f x   e  x . Donde
2
ES 
sendo M  max f 4  x  .
x0 ,1
Mas
1
M,
2880
f x   2 xe x
2


f x   12 x  8 x e
f   x   12  48 x  16 x e
f   x   8 x 15  20 x  4 x e
f x    2  4 x 2 e  x
 x2
3
4
2
2
5
 x2
4
2
4
 x2
f 5  x   0  x  0  x  2.02  x  2.02  x  0.96  x  0.96
0
f 5   x 
0.96
-
1
+
f 4  x 
m
Verifica-se que
f 4  0   12
f 4  0.96   7.42
f 4  1  7.35
 max f 4  x   12 .
x0 ,1
Donde
ES 
12
 0.4210  2
2880

5.2.1.3-Fórmulas Compostas
Aproximações obtidas pelas regras de Newton-Cotes introduzidas na subsecção
5.2.1.1 não têm, muitas vezes, a precisão desejada. O uso de fórmulas deduzidas
aproximando a função integranda por polinómios interpoladores de grau superior, pode
não produzir melhores resultados (note-se que as fórmulas de Newton-Cotes para
n  9, 11, 12, ... têm coeficientes positivos e negativos o que poderá causar cancelamento
subtractivo, ou a função integranda pode não possuir a regularidade necessária que
permita usufruir da plena precisão das fórmulas).
Uma maneira de obter aproximações com menor erro consiste em subdividir o
intervalo de integração e aplicar as regras mais simples nesses subintervalos. Com
efeito, reparando nas expressões do erro das várias fórmulas, todas elas mostram que
aquele depende de uma certa potência do comprimento ( b  a ) do intervalo de
integração a, b. Então, se reduzirmos este intervalo, o erro virá grosso modo reduzido
na proporção dessa potência.
Regra do trapézio composta
Defina-se a partição de a, b em N subintervalos, de igual amplitude, com os pontos
x0  a, x1 ,..., xi ,..., x N  b , sendo xi  a  ih (i  0,1,..., N ) e h 

b
a
N
xi
i 1
xi 1
f  x dx   
ba
. Então
N
f  x dx
Aplicando a regra do trapézio a cada um dos integrais do segundo membro,

xi
xi 1
f x dx 
h
 f xi 1   f xi , i  1,2,..., N ,
2
e denotando f xi   f i , obtém-se a regra do trapézio composta,
 f 0  2 f1  2 f 2    2 f N 2  2 f N 1  f N 
a f x dx  
2 
h
b
(5. 10)
IT ( h )
Teorema 5.3
Seja f  C 2 a, b e xi  a  ih (i  0,1,..., N ) com h 

b
a
f x dx 
2
h
 f 0  2 f1    2 f N 1  f N   h b  a  f  ,  a, b
2
12
Demonstração:

b
a
N
xi
i 1
xi 1
f  x dx   
ba
. Então
N
f  x dx
(5. 11)
Pelo Teorema 5.1
b
a
N 

h
h3
f  x dx     f i 1  f i  
f  i , i   xi 1 , xi 
12
i 1  2


3
N
h
 f 0  2 f1    2 f N 1  f N    h f  i  .
2
i 1 12
Fazendo
h3
h3 N
f  i     f  i  ,
12 i 1
i 1 12
N
ET (h)  
atendendo ao teorema do valor médio para a somas finitas de valores de uma função,
ET (h)  

N
h3
f  1 ,   a, b 
12
i 1
h3
h2
f  N   b  a  f  ,   a, b  .
12
12

Podemos pois concluir que o erro de truncatura na regra do trapézio composta é dado
por
ET (h)  
h2
b  a  f  ,   a, b 
12
(5. 12)
Uma estimativa para o erro de truncatura na aproximação I T (h)
No caso de N, número de subintervalos, ser da forma N  2k , k  1,2, , e se
f  C 2 a, b , podemos fazer
I ( f )  I T (h)  ET (h)
(5. 13)
I ( f )  I T (2h)  ET (2h) .
(5. 14)
Considerando (5.13) e (5.14), podemos obter
0  I T (h)  I T (2h)  ET (h)  ET (2h) .
Atendendo a (5.12),
ET (2h)  
2h 2 b  a  f  ,   a, b  .
12
(5. 15)
Admitindo que f (x) não varia muito em a, b , então f    f   . Assim, podemos
concluir que
ET (2h)  4ET (h) .
Neste contexto, obtemos de (5.15)
0  I T (h)  I T (2h)  ET (h)  4ET (h) ,
ou seja,
ET (h) 
1
I T ( h)  I T ( 2h) .
3
Regra de Simpson composta
Defina-se a partição de a, b num número par de subintervalos de igual amplitude
xi1 , xi  (i  1,2,...,N ) , sendo
xi  a  ih e h 
ba
.
N
Aplicando a regra de Simpson em cada “duplo intervalo”

xi 1
xi 1
f x dx 
2h
 f i 1  4 f i  f i 1  , (i  1,3,5,..., N  1)
6
obtém-se a regra de Simpson composta,
 f 0  4 f1  2 f 2    2 f N 2  4 f N 1  f N 
a f x dx  
3 
h
b
(5. 16)
I S (h)
Facilmente se deduz que o erro de truncatura na regra de Simpson composta é
E S ( h)  
h4
b  a  f 4   ,   a, b 
180
(5.
137)
isto é,

b
a
h
h4
b  a  f 4   ,  a, b
f x dx   f 0  4 f1  2 f 2    2 f N 2  4 f N 1  f N  
3
180
(5.
148)
Uma estimativa para o erro de truncatura na aproximação I S (h)
No caso de N, número de subintervalos, ser da forma N  4k , k  1,2, , e se
f  C 4 a, b  , podemos fazer
I ( f )  I S (h)  ES (h)
(5. 19)
I ( f )  I S (2h)  E S (2h) .
(5. 20)
Considerando (5.19) e (5.20), podemos obter
0  I S (h)  I S (2h)  ES (h)  ES (2h) .
(5. 21)
Atendendo a (5.17),
E S ( 2h)  
2h 4 b  a  f ( 4)  ,   a, b  .
180
Admitindo que f ( 4) ( x) não varia muito em a, b , então f ( 4)    f ( 4)   . Assim,
podemos concluir que
E S (2h)  16 E S (h) .
Neste contexto, obtemos de (5.21)
0  I S (h)  I S (2h)  E S (h)  16ES (h) ,
ou seja,
E S ( h) 
1
I S ( h)  I S ( 2h) .
15
5.2.2 Fórmulas de integração com valores das derivadas da função
integranda
Todas as regras de integração deduzidas até aqui foram construídas recorrendo a
polinómios interpoladores da função integranda. Porém nada impede o emprego de
polinómios que interpolam também as derivadas da integranda.
Para exemplificar, consideremos
H 3  x  o polinómio cúbico de Hermite
interpolador de f e f’ em a e b, isto é, na forma de Newton, com h  b  a :
H 3 x  f a  f a, ax  a  f a, a, bx  a  f a, a, b, bx  a x  b
2
onde
f a, a  f a
f a, a, b 

f a, b  f a, a 
h
1 1

  f b   f a   f a 
h h

2
f a, b, b  f a, a, b
h
1 
2

 2  f b   f a    f b   f a .
h
h 

f a, a, b, b 
Por outro lado, vimos anteriormente que
f 4   
x  a 2 x  b 2 ,   a, b  .
4!
e3  x   f  x   H 3 x  
Então teremos
 f xdx  
b
b
a
a
H 3 x dx   e3 x dx
b
a
Mas
h2
h3
h4
a H 3 x dx  hf a   2 f a, a  3 f a, a, b  12 f a, a, b, b
h2
h2 1

 hf a  
f a  
  f b   f a   f a  
2
3 h

b

h2 
2

 f a   f b    f b   f a 
12 
h

h
h2
 f a   f b  .
  f a   f b  
2
12
Repare-se que

h
 f a   f b  , corresponde à integração utilizando a regra do trapézio.
2

h2
 f a   f b , pode ser encarada como uma correcção a introduzir.
12
Em conclusão

b
a
f x dx 
2
h
 f a   f b  h  f a   f b .
2
12
Esta regra é conhecida como regra do trapézio corrigida.
Relativamente ao erro cometido,
1
 e x dx  4!  x  a  x  b
b
a
b
3
a
2
2
f 4   dx ,
(5.22)
recorrendo ao Teorema do Valor Médio Pesado para Integrais,

b
a
e3 x dx 

b
1 4 
2
2
f   x  a  x  b  dx ,   a, b 
a
4!
h 5 4 
f   ,   a, b  .
720
(5.23)
Podemos pois finalmente escrever

b
a
ba
 f a   f b   b  a 
f  x dx 
2
12
2
5

b  a
 f a   f b  
720
f 4    ,   a, b  .
(5.24)
É também possível a obtenção da fórmula do trapézio corrigida composta.
Considere-se f  C 4 a, b . Defina-se a partição de a, b em N subintervalos de igual
amplitude com os pontos xi  a  ih (i  0,1,..., N ) e h 
b
a
N
xi
i 1
xi 1
f x dx   
ba
. Então
N
f x dx
h
 h 5 N ( 4)
h2


 f xi 1   f xi    f  i , i  xi 1 , xi 
    f xi 1   f xi  
12
i 1  2
 720 i 1
N

2
4
h
 f 0  2 f1    f N 1   f N   h  f 0  f N   h b  a  f 4   ,  a, b .
2
12
720
(5. 25)
Donde se concluí que
I TC (h) 
2
h
 f 0  2 f1    f N 1   f N   h  f 0  f N 
2
12
(5.26)
constitui a regra do trapézio corrigida composta. O erro cometido é dado por
ETC (h) 
h4
b  a  f 4   ,   a, b  .
720
(5.27)