Interpolação 1) Para cada função dada, calcule o - DCA

Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia de Computação e Automação
Disciplina: Métodos Computacionais para Engenharia
Prof: Marcelo Nogueira
EXERCÍCIOS
Interpolação
1) Para cada função dada, calcule o valor de f(0,45), dado que x0=0, x1=0,6 e x2=0,9. Para
isto, utilize a interpolação linear e a quadrática. Em seguida calcule o erro cometido.
a) f(x)=cos(x)
b) f(x)=ln(x+1)
c) f(x)=(1+x)1/2
2) Utilize o polinômio interpolador de Lagrange de grau 1, 2 e 3 para aproximar cada um
dos seguintes itens:
a) f(8,4) se f(8,1)=16,94; f(8,3)=17,56; f(8,6,)=18,51 e f(8,7)=18,82
b) f(-1/3) se f(-0,75)=-0,07; f(-0,5)=-0,02; f(-0,25)=0,33 e f(0)=0,25
c) f(0,25) se f(0,1)=0,62; f(0,2)=-0,28; f(0,3)=0,01 e f(0,4)=0,25
3) Sabe-se que a função y = f(x) é um polinômio de grau 4 e que passa pelos pontos: (0,0;
1,01), (0,5; 1,64), (1,0; 11,01) e (1,5; 51,64).
a) Calcule o polinômio interpolador de Lagrange P(x) de maior grau possível.
b) No calculo de P(x) houve erro de truncamento? E se ao invés de Lagrange
tivéssemos utilizado Newton? Justifique.
4) Usar os valores de f(x) = ex nos pontos 0; 0,2 e 0,4 para calcular o valor aproximado de
e0,1. Em seguida calcule a cota máxima do erro cometido (utilizando a formula de erro, e
não fazendo e0,1 – P(0,1)).
5) A tabela abaixo relaciona o calor específico da água em função da temperatura. Calcular
o calor específico da água a uma temperatura de 25oC usando um polinômio de grau 3 e:
a) a fórmula de Lagrange
b) a fórmula de Newton com diferenças divididas
c) comparar os resultados obtidos nos itens anteriores com o valor real 0,99852
Temperatura
20
30
45
Calor Específico
0,99907
0,99826
0,99849
55
0,99919
6) Qual dos dois métodos utilizados na questão anterior é melhor? Justifique sua resposta.
7) Poderíamos ter utilizado o método de Gregory-Newton na questão 5? Por que?
8) A partir da tabela abaixo, utilizando Gregory-Newton, ache f(5).
x
f(x)
0
0,0
2
4
0,049 0,070
6
0,087
8
0,103
9) Quais são as vantagens e desvantagens do método de Gregory-Newton sobre o método
de Newton?
10) Dada a função f(x) = 10x4 + 2x + 1, usando os valores de f(0,0), f(0,1), f(0,2) e f(0,3)
calcular P3(0,15) utilizando Newton ou Gregory-Newton. Qual a cota máxima do erro de
truncamento neste caso?
11) A partir das tabelas abaixo ache f(g(0,25)).
x
1,1
1,3
2,0
f(x)
0,21
0,69
3,0
x
0,0
0,2
0,4
g(x)
1,00
1,08
1,64
12) Considerando a tabela abaixo, onde são representados alguns pontos da função
f ( x) = 3 x , ache o valor aproximado de 0,53.
x
f(x)
0,000
0,000
0,008 0,064
0,200 0,400
0,216
0,600
0,512
0,800
Integração
13) Calcule as integrais abaixo utilizando a regra dos trapézios simples e em seguida pela
regra dos trapézios composta utilizando 4 subintervalos.
1
a)
cos( x)
dx
1
+
x
0
∫
4, 5
b)
1
∫x
2
dx
4
6
c) ∫ 3x + 2 dx
3
14) Para a questão 13, item b e c, calcule a cota máxima do erro cometido (simples e
composta com n=4).
15) Calcule a integral abaixo pela regra dos trapézios composta utilizando um número de
intervalos tal que o erro seja menor que 0,1
3
∫ 5x
2
− 4 x + 7 dx
2
16) Dada a função y=f(x) através da tabela abaixo, calcular o valor da integral de f(x) entre
0 e 2 utilizando a regra dos trapézios simples. Para melhorar o resultado obtido seria
possível aplicar a regra dos trapézios composta? Quantos subintervalos ela teria?
xi
0
0,5
0,7
1
1,5
1,8
2,0
yi
5,02
6,14
6,35
6,63
6,94
7,05
7,17
17) Calcule o valor das integrais abaixo utilizando a 1a regra de Simpson simples e em
seguida a regra composta sendo n = 4. Compare os resultados com os valores reais das
integrais.
−1
a) ∫ x 6 − 4 x 5 + 2 x 2 + x − 7 dx
−2
2
b) ∫ e 2 x dx
1
3, 3
c)
∫x
3
+ x 2 + x + 1 dx
3
18) Na questão 17, item c, quanto foi o erro nos dois casos? Qual foi o melhor método:
Simpson simples ou composto? Por que?
19) Determine o valor da integral, utilizando a 1a regra de Simpson, de tal modo que se
tenha o erro < 10-3.
2
∫ ln( x + 1)
dx
1
20) Calcule novamente as integrais da questão 17 utilizando a 2ª regra de Simpson (simples
e composta). Compare os resultados obtidos.
21) Melhore os resultados obtidos na questão 13 utilizando Richardson.
2
22) Calcule o valor da integral
∫x
2
+ 2 x + 1 dx utlizando:
1
a) regra dos trapézios com 3 subintervalos
b) regra dos trapézios com 6 subintervalos
c) Richardson a partir dos itens a e b
d) 1ª regra de Simpson
Compare os resultados com o resultado real.
23) Quais as vantagens e desvantagens do método de integração pela fórmula de Gauss
(quadratura gaussiana) sobre os métodos de Newton-Côtes.