3 - UFMG

Integração Numérica
Regra do 1/3 de Simpson (1ª regra)
Regra dos 3/8 de Simpson (2ª regra)
Introdução

Seja f(x) uma função contínua do intervalo [a,b].

Seja F(x) a primitiva de f(x), tal que F´(x) = f(x).

Então a integral definida de f(x) no intervalo [a,b]
será:
b
∫
f ( x)dx = F (b) − F (a )
a
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2
Interpretação Geométrica
Aproximação pelo polinômio interpolador de Gregory-Newton
I=
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∫
b
a
b
f ( x)dx ≈
∫ P ( x)dx
n
a
3
Interpretação Geométrica
Aproximação por um polinômio do 1º grau – Regra do Trapézio
I=
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h
2
( y0 + y1 )
4
Regra do Trapézio - Fórmula Composta
Considere o intervalo
[a,b] subdividido em m
subintevalos Iguais.
Aplicando a regra do trapézio sucessivamente
I=
h
h
h
h
( y0 + y1 ) + ( y1 + y2 ) + ( y2 + y3 ) +  + ( ym − 1 + ym )
2
2
2
2
Donde:
I=
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h
( y0 + 2 y1 + 2 y2 +  + 2 ym − 1 + ym )
2
5
Erro de Integração
(b − a )
E1 = −
f ' ' (θ ) , a < θ < b
2
12m
3
Devido à dificuldade de obter θ ele é tomado como
sendo um ponto no intervalo [a,b] onde a derivada
apresenta o maior valor em módulo.
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6
Regra do 1/3 de Simpson
ou
1ª Regra de Simpson
Regra do 1/3 de Simpson
Aproximação por um polinômio do 2º grau
I=
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∫
b = x2
a = x0
f ( x)dx ≈
∫
b = x2
a = x0
P2 ( x) dx
8
O polinômio de grau 2 de Gregory-Newton é:
u −u 2
P2 ( x) = y0 + u∆ y0 +
∆ y0
2
2
Trocando a variável x por u, tem-se:
x − x0
u=
⇒ x = uh + x0
h
x0 − x0
x = a = x0 ⇒ u =
∴
h
x2 − x0
x = b = x2 ⇒ u =
=
h
e dx = h du
u= 0
2h
∴ u= 2
h
A integral torna-se:

u2 − u 2 
I= ∫
P2 ( x) dx = ∫  y0 + u∆ y0 +
∆ y0  h du
a = x0
0
2


b = x2
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2
9
Integrando,
2

u −u 2 
I = ∫  y0 + u∆ y0 +
∆ y0  h du ∴
0
2


2

u
I = h  y0u +
∆ y0 +
2

2
2
u
u  2 

 ∆ y0  ∴
−
4
 6
0
3
2
1


I = h  2 y0 + 2( y1 − y0 ) + ( y2 − 2 y1 + y0 ) 
3


Obtém-se a regra do 1/3 de Simpson:
h
I = ( y0 + 4 y1 + y2 )
3
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10
Fórmula Composta para a regra do 1/3 de Simpson
Subdividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos iguais, sendo m múltiplo de 2 e
h
( y0 + 4 y1 + y2 ) a cada 3 pontos, a integral será a
3
soma:
h
h
h
I = ( y0 + 4 y1 + y2 ) + ( y2 + 4 y3 + y4 ) +  + ( ym − 2 + 4 ym − 1 + ym ) ∴
3
3
3
h
I = ( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 +  + 2 ym − 2 + 4 ym − 1 + ym )
3
aplicando a fórmula
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I=
11
Exemplo
1
Verificar que π = 4∫ 0
1
dx usando a regra de 1/3 de
2
1+ x
Simpson composta com passo de integração h=0,25
b − a 1− 0
m=
=
= 4
h
0 ,25
i
xi
yi
0
0,00
1,0000
1
0,25
0,9412
2
0,50
0,8000
3
0,75
0,6400
4
1,00
0,5000
0,25
(1,0000 + 4 × 0,9412 + 2 × 0,8000 + 4 × 0,6400 + 0,5000)
3
I = 0,7854
I=
4 × I = 4 × 0,7854 = 3,1416 ≈ π
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12
Erro de Integração
Pode ser estimado somando-se os erros de integração de
cada subintervalo, obtido a partir da integração da fórmula do
erro de truncamento do polinômio de Gregory-Newton. :
E2 = −
( b − a)
5
180m 4
f iv (θ ), a < θ < b
θ é tomado como sendo um ponto no intervalo [a,b] onde a
derivada apresenta o maior valor em módulo.
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13
Regra dos 3/8 de Simpson
Ou
2ª Regra de Simpson
Regra dos 3/8 de Simpson
Aproximação por um polinômio do 3º grau
I=
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∫
b
a
f ( x) dx ≈
∫
b = x3
a = x0
P3 ( x ) dx
15
Desenvolvendo a expressão do polinômio pela
fórmula de Gregory-Newton, tem-se:

u2 − u 2
u 3 − 3u 2 + 2u 3 
∆ y0  dx
∫ a = x0 P3 ( x ) dx = ∫ a = x0  y0 + ∆ y0 + 2 ∆ y0 +
6

b = x3
b = x3
Trocando a variável x por u e fazendo a integração,
chega-se à seguinte expressão:
3h
[ y0 + 3 y1 + 3 y2 + y3 ]
I=
8
Que é a regra dos 3/8 de Simpson.
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16
Fórmula Composta da Regra
dos 3/8 de Simpson
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Fórmula Composta da Regra
dos 3/8 de Simpson
I=
I=
∫
b = xm
a = x0
3h
3h
( y0 + 3 y1 + 3 y2 + y 3 ) + ( y3 + 3 y4 + 3 y5 + y 6 ) + 
f ( x)dx ≈
8
8
3h
( y m − 3 + 3 ym − 2 + 3 y m − 1 + y m )
+
8
3h
( y0 + 3 y1 + 3 y2 + 2 y3 + 3 y4 + 3 y5 + 2 y6 +  + 2 ym − 3 + 3 ym − 2 + 3 ym − 1 + ym )
8
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18
Erro de Integração
Para a regra dos 3/8 de Simpson o erro de truncamento pode
ser estimado somando-se os erros de integração de cada
subintervalo, obtido a partir da integração da fórmula do erro
de truncamento do polinômio de Gregory-Newton.
E= −
( b − a)
80m 4
5
f iv (θ ), a < θ < b
θ ele é tomado como sendo um ponto no intervalo [a,b] onde
a derivada apresenta o maior valor em módulo.
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Exemplo
Calcular
∫
π
0
 x4


+ x 2 + sen( x)  dx com E<10-2 usando uma das
 4

três primeiras regras de Newton-Cotes
Para resolver este problema deve-se identificar qual das fómulas
exige o menor valor de m. Este pode ser determinado a partir do
erro de integração, que deve ser menor que o valor de 10-2.
x4
2
f
(
x
)
=
+
x
+ sen( x)
Definição dos valores de θ:
4
f ' ( x) = x 3 + 2 x + cos( x)
Regra do Trapézio
f ' ' ( x) = 3 x 2 + 2 − sen( x) ⇒ θ = π
f ' ' ' ( x) = 6 x − cos( x)
1/3 e 3/8
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f iv ( x) = 6 + sen( x) ⇒ θ =
π
2
20
1) Número de subintervalos para regra do trapézio:
( b − a) 3
12m
2
 ( π − 0) 3

−2
2

f ' ' (θ ) < 10 ⇒ m > 
(
3
π
+
2
−
sen
(
π
))
−2

 12 × 10

1/ 2
≈ 90,37 ∴
m = 91
2) Número de subintervalos para a regra do 1/3 de Simpson
( b − a)
 ( π − 0)


( 6 + sen(π / 2))) 
f (θ ) < 10 ⇒ m > 
4
−2
180m
 180 × 10

m= 6
5
iv
−2
5
1/ 4
≈ 5,87 ∴
3) Número de subintervalos para a regra dos 3/8 de Simpson
(b − a)
80m
5
4
 ( π − 0)


( 6 + sen(π / 2))) 
f (θ ) < 10 ⇒ m > 
−2
 80 × 10

iv
−2
5
1/ 4
≈ 7,19 ∴
m= 9
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21
A regra do 1/3 de Simpson deve ser usada já que exige menor esforço
b− a π − 0
π
h=
=
⇒ h=
m
6
6
Usando a regra do 1/3 de Simpson:
I=
i
xi
yi
0
0
0,0000
1
π/6
0,7929
2
π/3
2,2633
3
π/2
4,9894
4
2π/3
10,0628
5
5π/6
19,0979
6
π
34,2219
π
(0,0000 + 4 × 0,7929 + 2 × 2,2633 + 4 × 4,9894 + 2 × 10,0628 + 4 × 19,0979 + 34,2219)
6× 3
I = 27,6451
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Sumário – Fórmulas de Newton-Cotes
Regra do Trapézio:
h
I 1 = ( y0 + 2 y1 + 2 y2 +  + 2 ym − 1 + ym )
2
Regra do 1/3 de Simpson:
I2 =
h
( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 +  + 2 ym− 2 + 4 ym− 1 + ym )
3
Regra dos 3/8 de Simpson:
3h
( y0 + 3 y1 + 3 y2 + 2 y3 + 3 y4 + 3 y5 + 2 y6 +  + 2 ym− 3 + 3 ym− 2 + 3 ym− 1 + ym )
I3 =
8
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23
Sumário – Fórmulas de Newton-Cotes
Regra do Trapézio:
(b − a)3
E1 = −
f ' ' (θ ) , a < θ < b
2
12m
Regra do 1/3 de Simpson:
E2 = −
(b − a)5
180m 4
f iv (θ ), a < θ < b
Regra dos 3/8 de Simpson:
E3 = −
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( b − a) 5
80m
4
f (θ ), a < θ < b
iv
24
Exercício
Calcular o valor da integral abaixo aplicando a segunda regra de Simpson
(regra dos 3/8 de Simpson) com 3 subintervalos:
∫
4
1
I3 =
ln ( x +
3
e + 1)dx
x
3h
( y0 + 3 y1 + 3 y2 + 2 y3 + 3 y4 + 3 y5 + 2 y6 +  + 2 ym− 3 + 3 ym− 2 + 3 ym− 1 + ym )
8
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25
Resolução
b− a 4− 1
h=
=
⇒ h= 1
m
3
i
0
1
2
3
I=
3× 1
(1,0744 + 3 × 2,3884 + 3 × 3,4529 + 4,2691)
8
I=
3× 1
(22,8675) = 8,5753
8
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xi
1
2
3
4
yi
1,0744
2,3884
3,4529
4,2691
ci
1
3
3
1
26