Capítulo 6

CAP. VI – DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
6.1 DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
Em muitas circunstâncias, torna-se difícil obter valores de derivadas de
uma função:
¾ derivadas que não são de fácil obtenção;
Exemplo (calcular a 2ª derivada):
f(x) = exp (( x + ln (sin (x2 + arctan (1+x3)1/2)) +1)) x )
¾ de não se conhecer a expressão analítica da função, sendo esta
definida num número finito de pontos.
MÉTODOS NUMÉRICOS
Acetato 1- Diferenciação e Integração Numérica
Seja f(x) uma função contínua com derivadas contínuas até à ordem n+1 no
intervalo [a,b] , e xi , i = 0, ..., n , pontos do intervalo [a,b].
™ DERIVADAS DE 1ª ORDEM:
Consideremos o polinómio interpolador de Newton de 1º grau que
interpola f(x) nos nós x0 e x1:
p1 (x) = y 0 + ∇ 1y .(x − x 0 )
0
então,
p1' (x) = ∇1y
0
[
= f x 0 , x1
]
e, se f (x ) ≈ p1 (x ) ⇒ f ' (x ) ≈ p1' (x ) , portanto
f(x 1 ) − f(x 0 )
f ' (x) ≈ p1' (x) = ∇ 1y = f x 0 , x 1 =
x1 − x 0
0
[
]
Fazendo x=x0,
f(x 1 ) − f(x 0 )
f ' (x 0 ) ≈ ∇1y = f x 0 , x1 =
x1 − x 0
0
[
]
Sendo h = x1 – x0 , podemos escrever
[
]
f ' (x 0 ) ≈ f x 0 , x 1 = ∇ 1y =
0
∆1y
0
h
EXEMPLO:
Calcular a 1ª derivada da função f(x)=exp(sinx) no ponto x = 0.5 com
h=0.01.
Acetato 2- Diferenciação e Integração Numérica
™ DERIVADAS DE 2ª ORDEM:
Consideremos o polinómio interpolador de Newton de 2º grau que
interpola f(x) nos nós x0, x1 e x2:
p 2 (x) = f(x 0 ) + ∇ 1y .(x − x 0 ) + ∇ 2y .(x − x 0 )(x - x 1 )
0
0
p 2 ' ' (x) = 2 ⋅ ∇ 2y
Então,
Fazendo x = x0
0
f ' ' (x 0 ) ≈ 2 ⋅ ∇ 2y
0
[
= 2 ⋅ f x 0 , x1 , x 2
[
]
= 2 ⋅ f x 0 , x1 , x 2
]
Se os pontos forem igualmente espaçados h = x1 – x0 = x2 – x1, temos
f(x 2 ) − 2 ⋅ f(x 1 ) + f(x 0 )
f x 0 , x1 , x 2 =
2 ⋅ h2
[
donde
ou
]
[
]
f ' ' (x 0 ) ≈ 2 ⋅ f x 0 , x 1 , x 2 =
[
]
ou
[
]
f x 0 , x 1 , x 2 = ∇ 2y =
0
∆ 2y
0
2!⋅h 2
f(x 2 ) − 2 ⋅ f(x 1 ) + f(x 0 )
h2
f ' ' (x 0 ) ≈ 2 ⋅ f x 0 , x 1 , x 2 = 2 ⋅ ∇ 2y =
0
∆ 2y
0
2
h
EXEMPLO:
Calcular a 2ª derivada da função f(x)=exp(sinx) no ponto x = 0.5 com
h=0.01.
™ DERIVADAS
DE ORDEM
SUPERIOR:
Generalização desta técnica ao cálculo de derivadas de ordem superior !!
Acetato 3- Diferenciação e Integração Numérica
6.2 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a,b], e a sua primitiva F(x) é
conhecida, o integral definido daquela função entre a e b pode ser
calculado pela fórmula fundamental do cálculo integral:
b
I = ∫ f ( x ) dx = F(b) − F(a )
a
No entanto, em muitos casos, o processo anterior pode ser complexo ou
mesmo não ser possível, devido ao facto:
¾ de a primitiva de f(x) não ser conhecida ou de fácil obtenção;
¾ de não se conhecer a expressão analítica da função, sendo esta
definida num número finito de pontos.
MÉTODOS NUMÉRICOS
A técnica utilizada consiste em substituir a função integranda f(x) por um
polinómio pn(x) que aproxime f(x) no intervalo [a,b] :
b
I = ∫ f ( x) dx ≅
a
b
∫ pn ( x) dx
a
Os métodos numéricos que vamos estudar pertencem ao grupo das
FÓRMULAS DE NEWTON-CÔTES:
Utilizam valores de f(x), onde os pontos são igualmente espaçados
Acetato 4- Diferenciação e Integração Numérica
6.2.1 REGRA DOS TRAPÉZIOS
ANALITICAMENTE:
Seja f uma função com derivadas contínuas até à 2ª ordem em [a, b] e
p1 o polinómio de grau 1 interpolador de f nos pontos a e b.
Para a obtenção desta fórmula é utilizado o polinómio de Gregory-Newton
de 1º grau:
p1 ( x ) = y 0 + ∆1 y 0 .z
Assim,
b
b
a
a
I = ∫ f(x) dx ≅ ∫ p1 (x) dx .
Para se aproximar a função f(x) por um polinómio de 1º grau, são
necessários 2 pontos: x0 e x1. Efectuando uma mudança no intervalo de
integração, isto é, passando do intervalo [a,b] para [x0, x1], tem-se:
b
x1
x1
a
x0
x0
(
)
1
∫ p1 (x) dx = ∫ p1 (x)dx = ∫ y 0 + ∆ y 0 .z dx .
Fazendo a mudança de variável z =
x − x0
h
⇔ x = z.h + x 0 ⇒ dx = h.dz
e
x = x0
⇒
z=
x0 − x0
h
⇔
z=0
x = x1
⇒
z=
x1 − x 0
h
⇔
z=
h
=1 ,
h
obtemos
1
(
)
1
1
1
⎡
⎤
⎛
⎞
I ≅ ∫ y0 + ∆ y0.z . h.dz= h.⎢y0z + ∆1y0.z2 ⎥ = h⎜ y0 + ∆1y0 ⎟
2
2
⎣
⎦0
⎝
⎠
0
1
1
1 ⎞
⎛
Como ∆ y 0 = y1 - y 0 ⇒ I ≅ h.⎜ y 0 + y1 − y 0 ⎟
2
2 ⎠
⎝
Acetato 5- Diferenciação e Integração Numérica
I ≅
h
.(y 0 + y1 )
2
I ≅
(b - a)
.(f(a) + f (b) )
2
I ≅
x1 - x 0
.(f(x 0 ) + f ( x1 ) )
2
Fórmula dos Trapézios
ou
ou
GRAFICAMENTE :
Pelos dois pontos do extremo do intervalo faz-se passar uma recta e o
integral de f(x) é aproximado pela área sob esta recta (área de um trapézio).
Acetato 6- Diferenciação e Integração Numérica
ERRO DE TRUNCATURA :
A diferença entre o integral exacto de f(x) (área sob a curva f(x)) e o
integral aproximado (área do trapézio) é o erro de integração.
Para se determinar o erro cometido ao utilizar a regra dos trapézios, basta
integrar o erro de truncatura da aproximação polinomial:
f ' ' (ξ )
e T = h z.(z − 1)
, a<ξ<b
2!
2
Integrando,
f ' ' (ξ )
h.dz
E T = ∫ h z.(z − 1)
2!
0
1
2
Como z.(z - 1) não muda de sinal em ]a, b[, pelo teorema do valor médio
para integrais,
=
1
h3 ''
f (η)∫ (z 2 - z) dz
2!
0
onde
η ∈ ]a, b[
1
h 3 ' ' ⎡ z3 z 2 ⎤
h3 ''
h3 ''
⎛1 1⎞
= f (η)⎢ − ⎥ = f (η) ⎜ − ⎟ = − f (η)
2!
2 ⎦0 2
12
⎝3 2⎠
⎣3
Como h = b – a vem:
(b − a) 3 ' '
h3 ''
ET = −
f (η) = − f (η),
12
12
a <η< b
ou
(b − a)3
h3
ET ≤
M2 = M2 ,
12
12
M2 = max f ' ' (x )
a≤x≤b
Acetato 7- Diferenciação e Integração Numérica
EXEMPLO:
Calcular o seguinte integral, pela regra dos trapézios, e determinar uma
estimativa para o majorante do erro cometido. Calcular o integral
analiticamente e o erro absoluto cometido.
I=
3.6
1
dx
x
3.0
∫
Acetato 8- Diferenciação e Integração Numérica
FÓRMULA COMPOSTA DA REGRA
DOS
TRAPÉZIOS:
Uma forma para melhorar o resultado obtido utilizando a regra dos trapézios é
dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos [xi, xi+1] de amplitude
h=
b-a
n
e a cada subintervalo aplicar a regra dos trapézios.
GRAFICAMENTE:
ANALITICAMENTE:
I ≅
OU
I ≅
I ≅
h
h
h
.(y 0 + y1 ) + (y1 + y 2 ) + ... + (y n −1 + y n )
2
2
2
(b - a)
.(y 0 + 2y1 + 2y 2 + ... + 2y n -1 + y n )
2n
h
.(y 0 + 2y1 + 2y 2 + ... + 2y n -1 + y n )
2
Acetato 9- Diferenciação e Integração Numérica
Fórmula dos
Trapézios Composta
ERRO DE TRUNCATURA:
O erro total cometido é a soma dos erros cometidos na aplicação da
b−a
).
fórmula dos trapézios a cada um dos subintervalos (h =
n
h3 ''
h3
ET = ∑ −
f (η i ) = −
12
12
i =1
n
n
∑ f ' ' (ηi ),
i =1
η i ∈ ]x i-1 , x i [
Pelo teorema do valor médio para somas finitas,
n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ f ' ' (ηi ) = ∑ 1 ⋅ f ' ' (ηi ) = f ' ' (η ) ⋅ ∑ 1 = n ⋅ f ' ' (η ),
Assim,
ET = −
h3
⋅ n ⋅ f ' ' (η ) ,
12
η ∈ ]a, b[
η ∈ ]a, b[
(b − a) 3 ' '
(b − a) 2 ' '
ET = −
f (η) =
h f (η),
2
12
12.n
η ∈ ]a, b[
ou
ET ≤
(b − a) 3
(b − a) 2
M
=
h M2,
2
12
12.n 2
M 2 = max f ' ' (x )
a ≤ x ≤b
EXEMPLO:
Calcular o integral utilizando a regra dos trapézios composta considerando
seis subintervalos. Determinar uma estimativa para o majorante do erro
cometido e o erro absoluto cometido.
I=
3.6
1
dx
x
3.0
∫
Acetato 10- Diferenciação e Integração Numérica
6.2.2 PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON
ANALITICAMENTE:
Para a obtenção desta fórmula é utilizado o polinómio de Gregory-Newton
de 2º grau:
1
P2 (x) = y + ∆ y 0 . z +
0
∆2y
2
0 .z.(z − 1)
Assim,
b
b
a
a
I = ∫ f(x) dx ≅ ∫ p 2 (x) dx
Para se aproximar a função f(x) por um polinómio do 2º grau, são
necessários 3 pontos: x0, x1 e x2, igualmente espaçados.
Efectuando uma mudança no intervalo de integração, isto é, passando de
[a,b] para [x0, x2], tem-se:
b
x2
x2
1
∫ p 2 (x) dx = ∫ p 2 (x)dx = ∫ ( y 0 + ∆ y 0 .z +
x
x
a
Como z =
0
∆ 2 y0
0
x − x0
⇔ x = z.h + x 0
h
2
.z.(z − 1) )dx
⇒ dx = h.dz
e,
x = x0 = a ⇒ z =
x0 − x0
⇔ z=0
h
x = x2 = b ⇒ z =
x2 − x0
2h
⇔ z=
=2
h
h
Acetato 11- Diferenciação e Integração Numérica
temos que
⎡
⎤
∆2 y
1
0 .z.( z − 1) ⎥ h.dz
I ≅ ∫ ⎢ y 0 + ∆ y 0 .z +
2
0⎢
⎥
⎣
⎦
2
Integrando, obtém-se:
1
I ≅ h (2 y 0 + 2∆1 y0 + ∆ 2 y 0 )
3
Sabe-se que:
∆y 0 = y1 − y0
∆2 y 0 = ∆y1 − ∆y0 = ( y 2 − y1 ) − ( y1 − y0 ) = y 2 − 2 y1 + y0
Logo,
1
⎤
⎡
I ≅ h ⎢2y 0 + 2(y1 − y 0 ) + (y 2 − 2y1 + y 0 )⎥
3
⎦
⎣
I ≅
Primeira Regra de Simpson
ou
Regra do 1/3
h
(y 0 + 4y1 + y 2 )
3
GRAFICAMENTE:
Y=f(x)
f(x1)
f(x0)
f(x2)
x0=a
x1
h
x2=b
h
Acetato 12- Diferenciação e Integração Numérica
A primeira regra de Simpson utiliza a área sob uma parábola para
aproximar a área sob a curva em dois intervalos adjacentes.
ERRO DE TRUNCATURA:
Tal como para a regra dos trapézios, para se determinar o erro cometido ao
utilizar a primeira regra de Simpson, basta integrar o erro de truncatura da
aproximação polinomial ( e ter em conta que h =
ET = −
(b − a ) 5 (4 )
h 5 (4 )
=
−
f (η),
f
(
η
)
90
2 5.90
b−a
).
2
a <η<b
ou
h5
(b − a) 5
M4,
M4 =
ET ≤
90
2880
M 4 = max f (4) (x )
a ≤x ≤b
NOTA:
Era de esperar que tal como a regra dos trapézios é exacta para polinómios
de grau 1, a regra de Simpson fosse exacta para polinómios de grau 2 ou
menor.
Pela fórmula do erro, a 1ª regra de Simpson fornece valores exactos não só
para o integral de polinómios de grau 2, mas também, para polinómios de
grau 3 (derivada de 4ª ordem é nula).
Acetato 13- Diferenciação e Integração Numérica
FÓRMULA COMPOSTA DA PRIMEIRA REGRA
DE
SIMPSON:
ANALITICAMENTE:
Para obter a fórmula composta deve dividir-se o intervalo de integração
[a,b] em n subintervalos iguais de amplitude h e a cada par de subintervalos
aplicar a primeira regra de Simpson.
Nota: Como a regra de Simpson simples é aplicada a pares de
subintervalos, o número de subintervalos tem que ser par e cada
subintervalo tem amplitude h =
b−a
.
n
Obtém-se então:
I≅
h
h
h
( y 0 + 4 y1 + y 2 ) + ( y 2 + 4 y 3 + y 4 ) + ... + ( y n −2 + 4 y n −1 + y n )
3
3
3
I≅
h
( y 0 + 4 y1 + 2 y 2 + 4 y 3 + 2 y 4 + . .. + 2 y n −2 + 4 y n −1 + y n )
3
- Primeira Regra de Simpson Composta
ERRO DE TRUNCATURA:
O erro total cometido pela primeira regra de Simpson composta é a soma
dos erros cometidos na aplicação da regra de Simpson simples a cada par
de subintervalos.
(b − a) 5 ( 4 )
(b − a) 4 ( 4 )
(
)
ET = −
f
η
=
−
h .f (η),
180
180.n 4
η ∈ ]a, b[
ou
(b − a) 4
(b − a)5
M4 =
h .M4 ,
ET ≤
4
180
180.n
M4 = max f (4)(x)
a≤x≤b
Acetato 14- Diferenciação e Integração Numérica
EXEMPLO:
1
Calcular o valor de Π = 4 ∫
dx
2
01 + x
utilizando a primeira regra de Simpson
em 4 subintervalos.
Acetato 15- Diferenciação e Integração Numérica
6.2.3 SEGUNDA REGRA DE SIMPSON
Para a obtenção desta fórmula é utilizado o polinómio de Gregory-Newton
de 3º grau:
1
P3 (x) = y 0 + ∆ y 0 .z +
∆ 2y0
2
.z.(z − 1) +
∆3y0
6
.z.(z − 1).(z − 2 )
Assim,
b
b
a
a
I = ∫ f(x) dx ≅ ∫ p 3 (x) dx
Para se aproximar a função f(x) por um polinómio do 3º grau (n=3), são
necessários 4 pontos: a=x0, x1, x2 e x3=b, igualmente espaçados (h=
b−a
).
3
Integrando, obtem-se:
I ≅
3h
( y + 3 y1 + 3y 2 + y3 )
8 0
Segunda Regra de Simpson
ou
Regra dos 3/8
ERRO DE TRUNCATURA:
Para se determinar o erro cometido ao utilizar a segunda regra de Simpson,
basta integrar o erro de truncatura da aproximação polinomial ( e ter em
conta que h =
b−a
).
3
(b − a ) ( 4 )
3h 5 (4 )
ET = −
⋅ f (η) = −
⋅ f (η),
80
6480
5
η ∈ ]a, b[
ou
(b − a )
3h5
ET ≤
⋅ M4 =
⋅ M4 ,
80
6480
5
M4 = max f (4)(x)
a≤x≤b
Acetato 16- Diferenciação e Integração Numérica
FÓRMULA COMPOSTA DA SEGUNDA REGRA
DE
SIMPSON:
ANALITICAMENTE:
Para obter a fórmula composta deve dividir-se o intervalo de integração
[a,b] em n subintervalos iguais de amplitude h e a cada conjunto de três
subintervalos aplicar a segunda regra de Simpson.
Nota: Como a regra de Simpson é aplicada a conjuntos de três
subintervalos, o número total de subintervalos pode ser ímpar ou par.
Obtém-se então:
I≅
3h
3h
( y 0 + 3 y1 + 3 y 2 + y 3 ) +
( y 3 + 3 y 4 + 3 y 5 + y 6 ) + ...
8
8
3h
... +
( y n − 3 + 3 y n − 2 + 3 y n −1 + y n )
8
I≅
-
3h
( y 0 + 3y1 + 3y 2 + 2 y 3 + 3y 4 + . .. + 2 y n − 3 + 3y n − 2 + 3y n −1 + y n )
8
Segunda Regra de Simpson Composta
EXEMPLO:
4
(
)
Calcular o integral ∫ ln x 3 + e x + 1 dx aplicando a 2ª regra de Simpson
1
com 3 e 9 subintervalos.
Acetato 17- Diferenciação e Integração Numérica
Acetato 18- Diferenciação e Integração Numérica
Acetato 19- Diferenciação e Integração Numérica
Acetato 20- Diferenciação e Integração Numérica
Acetato 21- Diferenciação e Integração Numérica