Cálculo Diferencial e Integral I - Turma J

Cálculo Diferencial e Integral I - Turma J
25 de Junho de 2015
Questão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Calcule as integrais abaixo:
Z 1
(x3 − 2x2 + x − 2)dx
(a) (10 points)
0
Solution:
x4
x3 x2
−2 +
− 2x
4
3
2
Z
(b) (10 points)
1
=
0
1 2 1
3 − 8 + 6 − 24
−23
− + −2=
=
4 3 2
12
12
xex dx
Solution: Tem que fazer por partes com u = x e dv = ex dx. Daí, du = dx e v = ex ,
e então
Z
Z
Z
Z
x
x
xe dx = udv = uv − vdu = xe − ex dx = xex − ex + C
Z
(c) (10 points)
x2 (2x3 − 3)7 dx
Solution: Tem que fazer por substituição, com u = 2x3 −3, de modo que du = 6x2 dx.
Então
Z
Z
Z
1
(2x3 − 3)8
1 u8
2
3
7
2 7 du
7
=
+
C
=
+ C.
x (2x − 3) dx = x u
u
du
=
6x2
6
6 8
48
Z
(d) (10 points)
ln xdx
Solution: Por partes, com u = ln x e dv = dx. Daí, du = x1 dx e v = x. Então
Z
Z
Z
Z
Z
1
ln xdx = udv = uv − vdu = x ln x − x dx = x ln x − 1dx = x ln x − x + C.
x
Questão 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Calcule as integrais abaixo, usando a substituição indicada. Não esqueça de mudar os
intervalos.
Z π
3 tan x
(a) (15 points)
dx, com u = cos(x).
3
0 sec x
Solution: Com u = cos x, temos du = − sin xdx. Quando x = 0, u = cos 0 = 1.
Quando x = π3 , u = cos( π3 ) = 12 . Daí,
π
3
Z
0
Z π
3
sin x cos3 x
cos2 x sin xdx
dx =
=
cos
x
1
0
0
0
1
Z 1
3
3
2
1 1
1 1
u 2
7
2
3
=
u (−du) = − = −
−1 =−
−1 =
3 1
3 2
3 8
24
1
tan x
dx =
sec3 x
Z
(b) (15 points)
1
e
Z
π
3
sin x
cos x
1 dx
cos3 x
π
3
Z
cos( π2 ln x)
dx, com u =
x
π
2
ln x.
Solution: Com u = π2 ln x, temos du =
x = 1, u = π2 ln 1 = 0. Quando x = e, u =
Z
1
e
π
dx, de modo
2x
π
ln
e = π2 . Daí,
2
que dx =
2x
du.
π
Quando
π
2
Z π
cos u 2x
2 2
cos udu
du =
x π
π 0
0
π
2
2
2
π
2
= sin u = (sin − sin 0) = .
π
π
2
π
cos( π2 ln x)
dx =
x
Z
0
Questão 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Encontre a área limitada pelas curvas y = x2 − 2x e y = x2 − 4x + 6, e pelo eixo y.
Solution: Primeiro vamos calcular a intersecção das curvas.
x2 − 2x = x2 − 4x + 6
⇒
x = 3.
Como também somos limitados pelo eixo y, então devemos integrar de 0 a 3.
Para saber quem está em cima, podemos desenhar as curvas, ou calcular em algum valor,
tipo no x = 0. Assim, descobrimos que a segunda curva está por cima.
A área é
Z
3
2
2
Z
3
[x − 4x + 6 − (x − 2x)]dx =
A=
0
0
3
(6 − 2x)dx = (6x − x ) = 18 − 9 = 9.
2
0
Questão 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Um lago evapora 12t − t2 litros por mês, onde t está em meses. Supondo essa evaporação
contínua, responda:
(a) (10 points) Qual a quantidade total de água evaporada num ano?
Solution: A quantidade é a integral
12
Z 12
t3 2
2
2
(12t − t )dt = 6t −
= 12 (6 − 4) = 144 × 2 = 288
3
0
0
Page 2
A quantidade evaporada é 288 litros.
(b) (10 points) Supondo que o lago enche 5 litros por mês devido à chuva, qual o volume do
lago 6 meses depois do instante inicial, sabendo que o volume inicial é de 1000 litros, e
que a única coisa mudando o volume do lago é a chuva e a evaporação.
Solution: A variação agora é 5 − 12t + t2 , que é o acrescido pela chuva por mês e o
evaporado por mês. Então,
6
Z 6
t3 2
2
Vf = V0 +
(5 − 12t + t )dx = 1000 + 5t − 6t +
3 0
0
= 1000 + 30 − 62 (6 − 2) = 1030 − 36 × 4 = 1030 − 144 = 886.
Questão 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
15
Uma planta é transplantada e cresce numa taxa de
centímetros por dia. Sabendo que
(x + 1)2
sua altura depois de 2 dias é 1 metro, determine sua altura 4 dias depois, 14 dias depois,
e no dia que foi transplantada.
Solution: A variação de altura do dia 2 ao dia d é
d
Z d
15
15 15
15
15
dx = −
+
=5−
cm
=−
2
(x + 1) 2
d+1
3
d+1
2 (x + 1)
Note que se d for menor que 2 então a variação é negativa, mas isso não é um problema,
15
15
pois faz sentido físico. A equação de altura é h(d) = h(2) + 5 − d+1
= 105 − d+1
cm, então
h(4) = 105 − 3 = 102cm, h(14) = 105 − 1 = 104cm, h(0) = 105 − 15 = 90cm.
Page 3
Derivadas
•
d n
(x ) = nxn−1
dx
•
d
(sin x) = cos x
dx
•
d x
(e ) = ex
dx
•
d
(cos x) = − sin x
dx
•
1
d
(ln x) =
dx
x
•
d
1
(arctan x) =
dx
1 + x2
Integrais
Z
xn+1
+ C, n 6= −1
• xn dx =
n+1
Z
• ex dx = ex + C
Z
•
Z
1
dx = ln |x| + C
x
Z
1
dx = arctan x + C
1 + x2
•
Z
•
cos xdx = sin x + C
sin xdx = − cos x + C
•
Regras de derivação
• Regra do produto
d
[f (x)g(x)] = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
dx
• Regra do quociente
d f (x)
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
=
dx g(x)
g(x)2
• Regra da cadeia
d
[f (g(x))] = f 0 (g(x))g 0 (x)
dx
Regras e técnicas de integração
• Regra da substituição
Z
b
0
Z
g(b)
f (g(x))g (x)dx =
a
f (u)du
g(a)
• Integral por partes
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx
Page 4
Z
ou
Z
udv = uv −
vdu