Introdução Existem situações na vida prática em que ocorrem

Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Introdução
Existem situações na vida prática em que
ocorrem problemas que envolvem uma situação em
que a posição de um corpo é de equilíbrio; uma vez
deslocado dessa posição, ele sofre a atuação de uma
força restauradora, que o obriga a uma posição de vai
e vem em torno da posição de equilíbrio.
Exemplos dessas situações são:
 O pêndulo: uma massa suspensa por uma
corda. Na posição de equilíbrio, a massa fica na
posição vertical do ponto de suspensão e quando
deslocada desta posição, ela retorna a ela oscilando de
um lado para outro de forma regular e repetitiva.
 Uma massa conectada a uma mola.
Nesse caso, a massa, presa à mola, uma vez deslocada
da posição de equilíbrio (quando a mola está relaxada)
ela retorna a essa posição num movimento repetitivo.
 Os pistões de um motor a gasolina.
 As cordas de um instrumento musical.
 O movimento das moléculas de um
sólido. Movimentam-se em torno de sua posição de
equilíbrio na rede cristalina do sólido.
 As vibrações das moléculas de água
causadas pelas microondas num forno de microondas,
rompendo as ligações de hidrogênio nas moléculas,
causando o aquecimento da substância.
 A batida do coração humano.
 Circuitos elétricos: Num circuito elétrico
no qual há uma corrente elétrica alternada, podemos
descrevê-lo em termos de voltagens, correntes e
cargas elétricas que oscilam com o tempo.
Figura 1 – Exemplos de sistemas oscilantes
e vibratórios.
(a) Pêndulo de um relógio.
(b) Movimento dos pistões num motor de
automóvel.
(d) Funcionamento de um amortecedor e
mola da suspensão de um carro.
1
(e) Movimento de átomos e de moléculas
numa rede cristalina de uma substância.
(f) Sistemas oscilantes e massa-mola.
(c) Movimento da suspensão de um carro.
Assim, os estudos de movimentos
vibratórios e oscilantes servem de base para muitos
campos da Física.
Quando há a inclusão de forças dissipativas
nesse estudo, chamaremos de força de amortecimento,
importante para descrever o funcionamento da
suspensão de um automóvel.
Também quando há a necessidade de se
acoplar uma força periódica externa ao sistema, para
mantê-lo forçado, onde situações da chamada
ressonância aparecerão, de importante aplicação em
diferentes setores da física.
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Oscilações livres: O movimento Harmônico
simples - MHS
Quando submetemos um corpo a forças de tração,
compressão ou torção, ele sofre deformação.
Cessando a aplicação, o corpo pode ou não
retornar à sua forma original, retomando as suas
dimensões ou formas iniciais ou permanecer
deformado.
A propriedade que determina como um corpo
retorna às suas condições iniciais depois da aplicação
da força é denominada de elasticidade.
Tracionando-se ou comprimindo-se certa mola
helicoidal, esta irá se deformar em relação à seu
comprimento inicial L0, de uma deformação x e
apresentando-se um comprimento final L.
L L0 x (t )
Figura 1 - Variação do comprimento de uma
mola em função da deformação x(t).
A intensidade da força aplicada na mola é
proporcional à deformação observada x(t), dentro de
um certo limite elástico. Essa propriedade é traduzida
pela equação:
F
k x
Conhecida como Lei de Hooke.
A constante de proporcionalidade k é
chamada de constante elástica da mola e sua unidade
no sistema internacional é o N/m (Newton por metro).
O gráfico de F versus x é uma reta que passa
pela origem, com inclinação k.
No caso de um bloco de massa m suspenso
por uma mola, quando em equilíbrio, a força peso P é
igual à força elástica –kx, a uma deformação que
chamaremos de :
P k
Se houver uma pequena deformação xp da
mola em torno dessa posição de equilíbrio:
L L0
A nova deformação da mola oscilará entre um
máximo e um mínimo desse valor:
x t
L L0
Ou seja,
x t
xp
xp
A segunda lei de Newton ficará:
d 2x
m
k x P k
dt 2
d 2x
m
k x
dt 2
d 2x k
x 0
dt 2 m
2
Situação similar ocorrerá quando tivermos
um bloco conectado à mola na posição horizontal,
desprezando o atrito entre o solo e o bloco.
Observa-se que, uma vez abandonado o
bloco de massa m a partir de uma amplitude xm, a
aceleração será máxima para a esquerda, a velocidade
nula. Quando passar pela posição de equilíbrio,
situada em x = 0, sua velocidade será máxima para a
esquerda e aceleração nula. Ao chegar em –xm, o
bloco comprimiu o máximo a mola, possuirá
velocidade 0 e aceleração máxima para a direita. Ao
passar novamente na posição de equilíbrio em x = 0,
sua velocidade será máxima para a direita e sua
aceleração nula. Assim o movimento se repete num
período T, com uma freqüência f e se relacionando
por:
1
T
f
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Figura 2 – Variação da posição, velocidade
e aceleração num MHS.
3
 Período: Intervalo de tempo de uma
oscilação ou um ciclo.
 Unidade: Segundo (s).
 Freqüência: Número de oscilações por
unidade de tempo: f n
t
 Unidade: Hertz: 1 Hz= 1/s
Rotações por minuto: 1rpm =(1/60)Hz
A dimensão de k é de 1/s2 e esse termo
m
aparece na equação de movimento do MHS:
d 2x k
x 0
dt 2 m
Para resolvermos essa equação, utilizamos a
teoria das equações diferenciais. Assim, podemos ter
como solução:
x t
xm cos
Observamos que para x(t) ser solução da equação
diferencial que representa o movimento do MHS,
deve satisfazê-la.
Assim, precisamos encontrar as derivadas
primeira e segunda de x(t). Escolhendo:
x t
d
x t
dt
d2
x t
dt 2
xm sen
sen
2
xm
t
cos
t
ou
d
x t
dt 2
Ou
x t
xm
t
2
t
t
Aqui:
 Fase: , : Constante que depende das
condições iniciais do problema.
 Unidade: Radiano: rad.
 Freqüência angular
: Constante que
dependerá da constante elástica da mola e da massa do
oscilador.
xm cos

v t


x t
Assim:
d 2x k
k
2
x 0
x
x 0
dt 2 m
m
2
k
2
f
m
T
Observe que:
Posição do oscilador:
x t

2
xm cos
t
 Unidade: metro (m).
 xm: máxima amplitude.
Velocidade instantânea:
dx
dt
v t
xm
sen
t
Velocidade máxima:
vm
xm
 Unidade: metro por segundo: (m/s).
aceleração instantânea:
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a(t )
dv
dt

d 2x
dt 2
a(t )
2
xm
Resolvendo o sistema, acharemos:
cos
t
xm
Aceleração máxima:
2
am
xm
am
2
v0
2
0
x
vm
(Amplitude máxima)

Unidade: metro por segundo ao
quadrado: (m/s2).
v0
x0
arctg
(Constante de fase)
Se aplicarmos as condições iniciais na
equação:
x t
xm sen
4
t
Teremos:
v t
a t
dx
dt
2
d x
dt 2
v t
xm
a t
cos
2
xm
xm sen
t
sen
x0
xm cos
v0
Resolvendo o sistema, acharemos:
xm
2
0
x
v0
2
(Amplitude máxima)
arctg
x0
v0
(Constante de fase)

 Condições iniciais:
As condições iniciais do problema de oscilação
são fundamentais para se conhecer a solução do
problema. São dadas por:
 Posição inicial:
x t 0

x0
Velocidade inicial:
v t
0
v0
Assim, se aplicarmos as condições iniciais na
equação:
x t
xm cos
t
Teremos:
xm cos
xm sen
x0
v0
Gráficos (t, x(t)); (t, v(t)) e (t, a(t))
t
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
Oscilador Harmônico
circular uniforme:
e
Movimento
Figura 3 – Relação entre movimento circular
uniforme e MHS.
Podemos associar o Movimento Harmônico
Simples ao movimento de uma partícula de massa m
sobre uma circunferência com velocidade constante
(em módulo). Observe que a projeção da posição x da
partícula sobre o eixo x é a posição x(t) do MHS e:
t
x t
xm cos
y t
xm sen
5
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Figura 4 – Relação entre as energias no MHS,
energias em função do tempo e da posição.

A Energia no Movimento Harmônico
Simples
Conforme ocorre o movimento Harmônico
Simples, há uma transformação constante da energia
potencial elástica da mola (U) em energia cinética da
massa (K). Lembrando que:
U
k x2
2
K
m v2
2
6
A energia mecânica (E) é dada por:
k x2 m v2
2
2
Se substituirmos: x t
xm cos
E U K
ev t
E
xm
E
sen
k xm cos
t
t
2
t
m
xm
sen
2
2
k
m
Teremos:
Lembrando que:
E
k xm 2
ou E
2
m
k
m
2
xm 2
2
2
t
2
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
Ts
2
Períodos
k1 k2 mA
; Tp
k1k2
2
mA
k1 k2
Pêndulo simples

Associação de molas
Pode-se encontrar as molas associadas da
seguinte maneira:


Série (a).
Paralelo (b).
Pêndulo simples é um instrumento ou uma
montagem que consiste em um objeto oscilando em
torno de um ponto fixo. O braço executa movimentos
alternados em torno da posição central, chamada
posição de equilíbrio. É muito utilizado em estudos da
força peso e do movimento oscilatório.
A descoberta da periodicidade do movimento
pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de
um pêndulo simples envolve basicamente uma
grandeza chamada período (simbolizada por T): é o
intervalo de tempo que o objeto leva para percorrer
toda a trajetória (ou seja, retornar a sua posição
original de lançamento, uma vez que o movimento
pendular é periódico).
Figura 5 – Parâmetros necessários para medir a
gravidade g utilizando um pêndulo simples de massa
m:
ângulo inicial de lançamento, (t): ângulo num
instante t; l: comprimento do pêndulo.
Figura 5 – Associação de molas em série (a)
e paralelo (b).
(a)
(b)
l
(t)
Pcos
h
s
Psen
x1
x x1 x2
F
k
1
ks
F
k1
1
k1
F
k2
1
1

k2
kn
x2
k k1 k2
kp
k1 k2  kn
7
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F
ma
Psen
m
2
m
d l
mgsen
dt 2
d 2s
mgsen
dt 2
d2
l 2
gsen
dt
d2
g
sen
2
dt
l
d2
g
sen
0
2
dt
l
3
sen
 0,1
3!
sen
g
l
t
0
d2
dt 2
cos
2
1 2
mv
2
Ep
(para os pontos
Como:
h l cos

l cos
0
e
= 0°)
ds
dt
v
e
0
=
mgh
d (l )
dt
d
dt
l
8
Substituindo, teremos:
g
l
0
2
1
d
m l
2
dt
1 2 d
ml
2
dt
0
d
dt
l
g
cos
mgl cos
cos
g
cos
l
2
g
cos
l
2
(t )
mgl cos
2
0
2
2
d
dt
g
l
2
Ec
t
2
T
T
Discussão - Pêndulo simples: Caso de qualquer
ângulo inicial
Analisando com a conservação da energia
mecânica:
Em
5
5!
d2
dt 2
Apêndice
cos
cos
g
cos
l
0
0
{1}
0
cos
0
d
Se invertermos a relação {1}, teremos:
dt
d
1
2
1
2
t
l
g
l
g
1
cos
cos
1
cos
0
d
cos
0
O período será dado, portanto, por:
4
2
T
l
g
0
T
4
t
1
cos
0
d
cos
0
Como
cos
T
4
2
l
g
1 cos2
2
2
cos
1
0
2 sen2
2
1
2
0
0
sen2
2
1
0
2
1
1
1
2
sen
2
2
1
2
d
1
1
2
sen
2
0
2
sen2
2
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4
2
T
T
l
4
g
l
g
0
1
1
sen 2
2
0
0
0
1
sen 2
sen 2
0
2
2
d
sen 2
0
2
1
2
d
sen 20 cos d
0
0
2
2
T
2
13
sen4
24
0
2
l
K k
g
4
T
T
T
T
T
4
4
sen 2
l
g
l
g
l
g
l
4
g
4
k
1
2
4
K (k )
sen 2
0
2
0
2
K sen
sen 2
cos d
cos 2
0
sen 2
l
g
0
2

0
2
0
9
2
9k 2
64
25k 3
256
0
2
2
1
1
sen2
2
1225k 4

16384
2
0
2
13
sen4
24
0
0
0
0
0
sen 2
cos d
cos 2
1
sen
1 sen2
0
2
sen 20
cos d
cos 2
1
0
sen 2 cos
1
d
cos 2
0
1
d
1 sen2
0
0
2
d
1 sen 2
0
2
0
2
sen 2
d
1 sen2
0
2
K k
0
0
2
sen2
d
1 k 2 sen2
2
sen2
0
2
0
2
d
1 sen2
0
2
sen2
135
sen6
246
0
2
d
F( , )
1 sen 2 sen 2
0
Como:
K k
2
A expansão em série para a integral elíptica de
primeira espécie K(z) fica:
2
1
l
4
g
4
k6 
135
sen6
246
0
sen2
0
T
2
13 5
2 4 6
k4
2
0
0
2
Abramowitz & Stegun – Handbook of
Mathematical functions – 9a Ed..17, pg. 589.
Substituindo, teremos:
l
4
g
13
2 4
k2
1
sen2
2
1
0
T
sen 2
. Assim, quando
sen 20
arcs e n
2
1
2
2
K sen
Observe que:
0
2
sen 20
cos d
cos 2
d
1
2
1
2
1 k 2 sen2
Série:
K k
cos 2 d
d
F( 2 , k)
0
2
Fazendo a mudança de variável:
sen 2 sen 20 sen
K k
F( , k)
2
K (k )
0
2

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Pêndulo físico
Exemplos
Pêndulo físico é chamado de pêndulo real,
pois não tem uma distribuição uniforme de massa.
Para pequenas amplitudes, o cálculo do
período é :
T
2
1.
Imagine que você está numa
embarcação que oscila na água para cima e para
baixo. O deslocamento vertical y da embarcação é:
I
m g h
, onde:
 I: momento de inércia,
 m: massa do pêndulo,
 g: é o valor da aceleração da gravidade e
 h: é a distância do ponto de pivô onde o
pêndulo está fixo até seu centro de massa.
Se o ponto de apoio O (de pivô) estiver em
seu centro de massa C, não haverá oscilação.
y
t
2s
1, 2m cos
6
(a) Determinar a amplitude, a freqüência
angular, a constante de fase, a freqüência e o período
do movimento.
(b) Qual a posição da embarcação no instante
t = 1 s?
(c) Determinar a velocidade e a aceleração
iniciais da embarcação.
(d) Determinar a posição, a velocidade e a
aceleração iniciais da embarcação.

Solução:
(a)
y
1, 2m cos
2
ym cos
6
1 rad
;
2 s
ym = 1.2m;
T
t
2s
T
4
6
t
rad
s
(b)
y t 1
y t 1
y t 1
(c)
vy
ay
dy
dt
dv
dt
1
2s 6
1, 2m cos 1.024
1, 2m cos
1.2m cos 1.024
t
2
t
0.3cos
2
0.6sen
0.624m
6
6
(d)
y t
0
1, 2m cos
0
2s
6
0.6 sen
0
2s
6
0.3 cos
0
2s
6
y0 1.04m
vy t
0
v y0
0.3 ms
ay t
0
ay0
0.260 sm2
2. Um corpo de 0.8 kg está preso a uma
certa mola de constante elástica k = 400 N/m.
Calcular a freqüência e o período do movimento do
corpo quando for ligeiramente deslocado da posição
de equilíbrio.
10
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
k
m
400
0.8
2
T
1
T
f
T
f
0.28s
xm
x
x t
0.25
8
0.042
arctg
v0
x0
0rad
v0
x0
2
x t
(a)
2
0.0506m
5 cos 9.90 t cm
Solução:
dx
dt
v
d
5 cos 9.90 t
dt
xm sen
t
v t
vm
xm
vm 9.9 0.05 495 cms
0.66rad
(b)
(b)
xm cos
x t
5.06 cos 8 t 0.66 cm
t
4. Um corpo de 2kg está preso a uma mola.
A constante de força da mola é de k = 196 N/m. O
corpo, inicialmente, está a 5 cm de distância da
posição de equilíbrio e é solto no instante t = 0.
(a) Calcular a freqüência angular , a
freqüência f e o período T do movimento.
(b) Dar a equação de x em função do tempo t.
sen
t
1
t
t
2
T
k
m
2
a
dv
dt
a t
(d) t = 0s.
196
2
T
9.90 rad
s
0.633s
,
2
2 9.90
(c)
am
Solução:
3 5
, 
2 2 2
t
d
dt
xm sen
2
am
(a)
11
5 cos 9.90 t cm

x t

0.05m
5. Seja um corpo preso a uma mola com o
movimento descrito pela equação:
(Amplitude máxima)
x0 = 4 cm =0.04m
v0 = -25 cm/s = 0.25 m/s
= 8 rad/s
xm
0.05
2
(a) Qual a velocidade máxima do corpo?
(b) Em que instante o corpo tem esta
velocidade máxima?
(c) Qual a aceleração máxima do corpo?
(d) Em que instante o corpo tem essa
aceleração máxima?
Solução:
(a)
xm
arctg
v0
1.58Hz
0
9.90
2
3.56Hz
2
0
f
(b) x0 = 5 cm =0.05m
v0 = 0 m/s
= 9.90 rad/s
22.36 rads
3.
Um corpo oscila com freqüência
angular de 8 rad/s. No instante t = 0s, o corpo está na
posição x0 = 4 cm, com a velocidade inicial v0=-25
cm/s.
(a) Determinar a amplitude do movimento.
(b) Dar x em função do tempo.

1
T
f
Solução:
2
xm cos
2
xm
9.9 0.05 490 cm
s2
t
t
0.159s
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6. Um corpo preso a uma mola, de massa
3kg, oscila com amplitude 4 cm e período 2s.
(a) Qual a energia mecânica total do sistema?
(b) Que velocidade máxima tem o corpo?
(c) Em que posição x1 a velocidade é metade
da velocidade máxima?

(a)
T
T
7. Um corpo de 3 kg, pendurado numa certa
mola, provoca o esticamento de 16 cm. O corpo é
deslocado ligeiramente dessa posição de equilíbrio e
solto para que oscile preso à mola.
(a) Determinar a freqüência do movimento.
(b) Determinar a freqüência se o corpo de 3 kg
for substituído por um de 6 kg.
Solução:

2
m g
m
k
2
k
Solução:
(a)
4
f
m
T2
2
k
4
k
2
(b) E
m vm 2
2
(c) E
K U
k xm
E
2
29.6 0.042
E
2
E 2.37 10 2 J
2 E
vm
0.126 ms
m
2
m v k x2
2
2
E
m
vmax 2
2
2
f
(b) f
2
k x2
2
x = 3.46 cm.
k
m g
y0
184 Nm
2
3
22
29.6 Nm
k y0
8.
vmax.
1
2
Calcular
1
2
k
m2
k
m1
1.25 Hz
0.884 Hz
no exemplo anterior e determinar
 Resposta
= 3.14 rad/s; vmax=0.126 m/s.
9. Um corpo de 2 kg e massa oscila preso a
uma mola de k = 40 N/m. Sua velocidade é 25 cm/s
quando está na posição de equilíbrio.
(a) Qual a energia total do sistema oscilante?
(b) Qual a amplitude do movimento?
 Resposta
(a) 0.0625J.
(b) 5.59 cm.
10.
Um corpo de 4 kg, pendurado numa
mola, provoca o esticamento de 16 cm. O corpo é
deslocado ligeiramente dessa posição de equilíbrio e
solto para que oscile preso à mola.
(a) Determine a freqüência do movimento.
(b) Determine a freqüência se o corpo for
substituído por outro de 8 kg.
11. Uma plataforma oscila com freqüência de
4 Hz e amplitude 7 cm, presa a uma mola vertical.
Uma pequena conta é pousada na plataforma no exato
momento em que ela se encontra na posição mais
baixa. Admita que a conta seja leve de forma que não
altere a oscilação.
(a) A que distância da posição de equilíbrio
da plataforma sobre a mola a conta perde contato com
a plataforma?
(b) Qual a velocidade da conta no instante
em que abandona a plataforma?
12
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 Resposta
(a) 1.55cm.
(b) 1.72 m/s.

(a)
12.
O corpo de 3 kg do exemplo
anterior estica 16 cm a mola quando pendurado na
vertical e em equilíbrio. A mola é então alongada
outros 5 cm em relação à posição de equilíbrio e o
sistema é solto para oscilar livremente. Calcular a
energia total e a energia potencial da mola quando o
corpo está na posição de deslocamento máximo.

E = 0.23 J.
1.70 J.
Resposta
13.
Calcular o período de oscilação de
um pêndulo simples com 1 m de comprimento.

T = 2.01 s.
Resposta
14. Um
pêndulo
simples
com
o
comprimento de 1 m está num vagão que se desloca
com aceleração a0 = 3m/s2. Calcular a aceleração g´ e
o período T.
(b)
T
T
15. Um relógio de pêndulo é calibrado para
manter o período exato de oscilação com um ângulo
= 100. Se a amplitude das oscilações diminuir e ficar
muito pequena, o relógio irá adiantar ou atrasar? Qual
o valor do atraso ou do adiantamento em um dia?
 Resposta
Adianta. 2.74 min por dia.
16.
Uma barra homogênea de massa M
e comprimento L está suspensa por uma das
extremidades.
(a) Calcular o período da oscilação quando
os deslocamentos angulares forem pequenos.
(b) Calcular o período de oscilação se o
ponto de suspensão P estiver à distância x do centro
de massa.
2
2 l
3 g
2
1 2
l x2
12
x g
17.
Qual o período de oscilação, com
deslocamentos angulares pequenos, de uma barra de
um metro suspensa por uma de suas extremidades?

T = 1.64 s.
Resposta
18. Mostrar que, quando x = l/6, o período é
igual ao da oscilação quando x = l/2.
19.
Determinar o valor de x, no
exemplo 16, para o qual o período é um mínimo.

x
 Resposta
g´= 10.3 m/s2 e T = 1.96s.
Resposta
Resposta
l
12
13
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Beer Johnston – Capítulo 19
19.1 Um ponto material desloca-se em
movimento harmônico simples com aceleração
máxima de 3,00 m/s2 e sua máxima velocidade, 150
mm/s. Determine a amplitude e a freqüência do
movimento.
19.2 Determine a máxima velocidade e a
máxima aceleração do um ponto material que se
move em movimento harmônico simples com
amplitude de 150 mm e período de 0.90s.
19.3 O cursor está preso à mola ilustrada na
figura e pode deslizar sem atrito na barra horizontal.
Se o cursor for afastado 0.102 m de sua posição de
equilíbrio e liberado, determinar o período, a
velocidade máxima e a aceleração máxima do
movimento resultante. A massa vale 2.27 kg e a
constante da mola, 525 N/m.
A
19.4 Um cursor de 1,36 kg está preso a uma
mola de constante 700 N/m e poda deslizar sem atrito
ao longo de uma haste horizontal. O cursor
inicialmente em repouso receba um golpe, adquirindo
uma velocidade de 1.27 m/s. Determine a amplitude e
a máxima aceleração do cursor durante o movimento
subseqüente.
19.5 Um motor de velocidade variável está
rigidamente preso à viga BC. O motor está
ligeiramente desbalanceado e faz a viga vibrar com
freqüência angular igual à velocidade do motor.
Quando a velocidade do motor é menor que
450 rpm ou mais que 900 rpm, observa-se que um
pequeno objeto colocado em A permanece em contato
com a viga. Para velocidades entra 450 e 900 rpm o
objeto "dança" e realmente perde o contato com a
barra. Determine a amplitude do movimento de A
quando a velocidade do motor é:
(a) 450 rpm, (b) 900 rpm.
A
19-6. Coloca-se um pacote B sobra uma
mesa oscilante, como indica a figura. A mesa se
move horizontalmente em movimento harmônico
simples com freqüência de 3 Hz. Sabendo que o
coeficiente de atrito estático pacote-mesa é = 0.40,
determine a máxima amplitude do pacote para que ele
não escorregue da mesma.
19.7 O cursor de 3.00 kg repousa sobre,
mas não está preso a, a mola Ilustrada. O cursor é
pressionado 0.050 m e liberado. Se o movimento que
se segue é harmônico, determine
(a) o valor máximo permissível da
constante k da mola
(b) a posição, a velocidade e a aceleração
do cursor 0.15 s após ele ter sido solto.
14
19.8 Um cursor de 4.00 kg está preso a uma
mola de constante k = 800N/m como ilustrado. Se a
ele é dado um deslocamento de 40 mm para baixo de
sua posição de equilíbrio, determine
(a) o tempo necessário para o cursor
mover-se 60 mm para cima e
(b) a sua aceleração correspondentes.
19.9 Um cursor de 1.36 kg está ligado a
uma mola da constante k = 876 N/m como ilustrado.
Se deslocarmos o cursor 63.5 mm para baixo da sua
posição de equilíbrio, determine
(a) o tempo gasto pelo cursor para ele se
mover 50.8 mm para cima
(b) suas correspondentes velocidade e
aceleração.
19.10 No Problema 19.9, determine a
posição, a velocidade e a aceleração do cursor, 0.20s
após sua liberação.
19.11 e 19.12 Sustenta-se um bloco por
meio de molas, como indicam as figuras. Se
movermos o bloco verticalmente para baixo de sua
posição de equilíbrio e então o soltarmos, determine:
(a) o período e a freqüência do movimento
e
(b) a velocidade e a aceleração máxima
atingidas pelo bloco para uma amplitude de 0,0318 m.
2.63 kN/m
1.75 kN/m
2.63 kN/m
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
19.13 e 19.14 O bloco mostrado na figura
foi deslocado verticalmente para cima da posição de
equilíbrio, e, então, liberado. Determine
(a) o período e a freqüência do movimento
adquirido pelo bloco e
(b) a velocidade e a aceleração máximas
para um movimento com amplitude de 25 mm.
constante da mola C vale 100N/m,
massa m da bandeja.
determinar a
19.19 Um cursor de massa m desliza
sem atrito numa barra horizontal e está presa
uma mola AB de constante k.
(a) Se o comprimento da mola não
deformada é exatamente ic mostre que o cursor
não executa um movimento harmónico simples
mesmo quando as osc são de pequena amplitude,
(b) Se o comprimento da mola não
deformada é menor que /, mós;
o movimento é harmónico simples para pequenas
amplitudes.
19.15 O período de vibração do sistema
indicado na figura é de 0.40s. Com a remoção do
cilindro B, o período se torna igual a 0.30 s.
Determine:
(a) a massa do cilindro
(b) a constante elástica da mola.
19.16 O período de vibração do sistema
indicado na figura é 1.5º s. Se substituirmos o cilindro
B por outro de peso igual a 17.8 N, o período passará
a ser de 1.6 8. Determinar
(a) a massa do cilindro A e
(b) a constante da mola.
19.17 Uma bandeja de massa m, presa a três
molas tem o período de vibração igual a 0.50s.
Colocando-se um bloco de 1.50 kg sobre a bandeja, o
período se altera para 0.60 s. Sabendo que a amplitude
das vibrações é pequena, determine a massa m da
bandeja.
19.18 O período de vibração do sistema
bandeja-molas é 0.75s. Removendo-se a mola central
C, o período se altera para 0.90 s. Sabendo-se que a
19.20 A barra AB esta presa d uma
articulação A e a duas molas, cada uma de constante
elástica k. Quando h = 0,60 m, d = 0.25 m e m =
25kg, determine o valor de k para que o período de
pequenas oscilações seja
(a) 1.0 s.
(b) infinito.
Despreze o peso da barra e suponha que
cada mola pode atuar tanto na tração como na
compressão.
19.21 Se d = 0.40m, h = 0.60m e cada mola
tem uma constante elástica k = 700 N/m, determine a
massa m para a qual o período de oscilações pequenas
é
(a) 0.50s
(b) infinito.
15
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
19.22 Denotando por est a deflexão estática
de uma viga sob uma determinada carga, mostre que a
freqüência de vibração da carga é:
1
2
f
g
est
19.23 Desenvolvendo o integrando de:
T
4
l
g
0
0
1
sen 2
0
2
sen 2
d
2
Numa série de potências pares de sen e integrando,
mostre que o período de um pêndulo simples de
comprimento l pode ser dado aproximadamente pela
fórmula:
T
Onde
m
2
l
1
1
sen2 m
g
4
2
é a amplitude das oscilações.
19.24 Utilizando a fórmula dada anterior,
determine a amplitude m para a qual o período de um
pêndulo simples é 1% maior que o período do mesmo
pêndulo para pequenas oscilações.
19.25 Utilizando os dados da tabela 19.1,
determine o período de um pêndulo simples de
750mm de comprimento
(a) para pequenas oscilações,
(b) para oscilações de amplitude m = 600 e
(c) para oscilações de amplitude m = 900.
19.26 Utilizando a tabela de integrais
elípticas, determine o período de um pêndulo simples
de comprimento l = 750 mm se a amplitude das
oscilações é de m = 500.
16
Notas de aula – Capítulo 1 – Física II – Oscilações Simples – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Utilizando o programa Interactive Physics
(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do
arquivo osh.ip
Atividade
1a Parte:
Fazer as simulações indicadas na tabela a
seguir, seguindo o procedimento:
i
1
2
3
4
5
6
7
k
(N/m)
50
50
100
100
500
10000
m
(kg)
1
1
2
2
5
10
v0
(m/s)
0
0,50
0
1,00
0
0,50
L
(m)
1,75
1,75
1,75
1,50
1,80
1,80
x0
(m)
T
(s)
f
(Hz)
0
(rad/s)
xm
(m)
(0)
vm
(m/s)
am
(m/s2)
17
Trabalho PARTE 2 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Procedimento para simulações:
1. Escolha o botão do controle da constante
elástica k da mola e coloque o valor indicado na
simulação.
2. Escolha o botão do controle da massa do
bloco e coloque o valor indicado na simulação.
3. Clique duas vezes no bloco e altere o valor
da posição inicial x0 e da velocidade inicial v0 de
acordo com a simulação i.
4. Clique duas vezes com o botão esquerdo do
mouse sobre a mola e confira os valores de L e L0 da
mola.
5. Faça a simulação e observe os gráficos x(t),
v(t) e a(t).
6. Confira os valores indicados como mostra a
tabela que você completou em sala de aula.
7. Faça as simulações usando o programa
graphdpr, acessando oscilações mecânicas, e construa
os gráficos, para cada simulação:
x(t) versus t.
v(t) versus t.
a(t) versus t.
Ec(t) versus t.
Ep(t) versus t.
EM(t) versus t.
Faça o download em:
www.claudio.sartori.nom.br
8. Confira os dados calculados em classe com a
execução do programa graphdpr.
Formulário – Oscilador Harmônico

Posição x(t):
x(t) xmsen( 0t
)
Ou
x(t) xm cos( 0t

Velocidade v(t):
dx
dt
v(t )

Aceleração a(t):
dv
dt
a(t )

Freqüência angular:
0

k
m
Freqüência:
f

Período:
0
2
2
T
)
1
f
0

Máxima amplitude xm:
2
0
xm
x
v0
2
0
(se

x(t) xmsen( 0t
))
Fase :
arctg
(se
v0
x0
x(t) xmsen( 0t
))
2a Parte:
Utilizando o programa Interactive Physics
(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do
arquivo osh2.ip e osh3.ip.
Trabalho PARTE 2 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Problemas
1. Para cada caso:
(a) Encontre a freqüência angular
Encontre o período T e a freqüência f.
Complete a tabela.
Caso
i
1
2
3
ke
(N/m)
m
(kg)
0,75
0,75
0,75
v0
(m/s)
0
0
0
0
(rad/s)
x0
(m)
0,25
0,25
0,25
T
(s)
0
natural.
f
(Hz)
k
m
(b) O valor da amplitude de deformação para
cada valor da tabela dada:
0
m
xm
2
1
0
(b) As equações x(t), v(t) e a(t) para cada caso,
onde x0 = 0.25 m e v0 = 0m/s.
Dados:
k = 50N/m; m = 0,75 kg
xm
(m)
(rad/s)
0.2 0
0.4 0
0.6 0
0.8 0
1.2 0
1.8 0
2.0 0
4.0 0
(c) Faça um gráfico de
xm
versus
m
0
(d) Faça os gráficos de x(t), v(t) e a(t) usando
x0=0.25m e v0=0 para cada do item (c).
3.
2.
Dado o sistema da figura:
Dado o pêndulo simples com
0
= 20.
(a) Faça o cálculo do período para:
l = 0,2 m e l = 0,3 m.
(b) Encontre a freqüência angular para os valores
do comprimento do pendulo acima.
(c) Ache a função s(t) sabendo que em t = 0 v0=0.
Dados:
k = 300N/m; m = 0,75 kg e Fm = 50 N.
(a) O valor da freqüência de ressonância:
MA - N1- Mecânica Aplicada – Oscilações Forçadas, Amortecidas e amortecidas forçadas
1
Procedimento para simulações:
9. Escolha o botão do controle da constante elástica k
da mola e coloque o valor indicado na simulação.
10. Escolha o botão do controle da massa do bloco e
coloque o valor indicado na simulação.
11. Clique duas vezes no bloco e altere o valor da
posição inicial x0 e da velocidade inicial v0 de acordo com a
simulação i.
12. Clique duas vezes com o botão esquerdo do mouse
sobre a mola e confira os valores de L e L0 da mola.
13. Faça a simulação e observe os gráficos x(t), v(t) e
a(t).
14. Confira os valores indicados como mostra a tabela
que você completou em sala de aula.
15. Faça as simulações usando o programa graphdpr,
acessando oscilações mecânicas, e construa os gráficos,
para cada simulação:
x(t) versus t.
v(t) versus t.
a(t) versus t.
Ec(t) versus t.
Ep(t) versus t.
EM(t) versus t.
Faça o download em:
www.claudio.sartori.nom.br
16. Confira os dados calculados em classe com a
execução do programa graphdpr.
17. Em oscilações livres forçadas há a possibilidade de
construir os gráficos com:
Fm
m
2



2
Máxima amplitude xm:
m
xm
2
1
0
xm sen t
x(t) xH (t) xP (t)
x(t) Asen( 0t) B cos( 0t) xmsen t

Período:
0

Posição x(t):
Velocidade v(t):
v(t )
Freqüência:
T
xH (t) Asen( 0t) B cos( 0t)

k
m
f
r
x P (t )
Freqüência angular:
0
Formulário – Oscilador Harmônico e
forçado

dv
dt
a(t )
dx
dt
Aceleração a(t):
1
1
f
0
2