A Biblioteca Virtual do Estudante Brasileiro

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Potências e raízes
N
Para pensar
um determinado jogo de fichas, os valo-
res dessas fichas são os seguintes:
l
l
l
l
1 ficha vermelha vale 5 azuis;
1 ficha azul vale 5 brancas;
1 ficha branca vale 5 pretas;
1 ficha preta vale 5 verdes.
Responda às perguntas, dando o resultado em forma de potência:
a) Uma ficha vermelha pode ser trocada por quantas fichas brancas?
b) E por quantas fichas pretas?
c) E por quantas fichas verdes?
Nossa aula
Potenciação
Na Aula 4 do Volume 1, adotamos cubos para aprender a agrupar e fazer
contagens de um modo mais simples. Você se lembra das nossas figuras? Veja:
l
l
l
Quantos cubos há em:
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uma barra?
uma placa?
um bloco?
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Para responder a essas perguntas, efetuamos as seguintes multiplicações:
1 barra =
10 cubinhos
1 placa =
10 · 10 = 100 cubinhos
1 bloco =
10 · 10 · 10 = 1.000 cubinhos
Esse tipo de multiplicação, em que os fatores são todos iguais, chama-se
potenciação, e pode ser indicada da seguinte maneira:
potenciação
{
10 · 10 = 10²
2 vezes
{
10 · 10 · 10 = 10³
3 vezes
l
O número que é multiplicado várias vezes por ele mesmo é chamado de
base (no exemplo acima, é o número 10).
l
O número que indica quantas vezes a base está sendo multiplicada é o
expoente (no exemplo acima, são os números 2 e 3).
l
O resultado da potenciação é chamado de potência
potência.
Por exemplo:
1) 4³ = 4 · 4 · 4 = 64, que se lê:
4 elevado à 3ª potência ou
4 à terceira ou ainda 4 ao cubo
2) 5² = 5 · 5 = 25, que se lê:
5 elevado à 2ª potência ou
5 à segunda ou ainda 5 ao quadrado
3) 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, que se lê:
2 elevado à 5ª potência ou
2 à quinta
Observação
Os únicos casos de potenciação que têm nomes especiais são o de
expoente 2 (que se lê ao quadrado
quadrado) e o de expoente 3 (que se lê ao cubo
cubo).
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1. A base é igual a 1 e o expoente é qualquer número diferente de zero:
a potência é sempre igual a 1.
Por exemplo:
15 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1
2. O expoente é igual a 1 e a base é qualquer número:
a potência é sempre igual à base.
Por exemplo:
31 = 3
3. A base é zero e o expoente é qualquer número diferente de zero:
a potência é sempre igual a zero.
Por exemplo:
0³ = 0 · 0 · 0 = 0
4. A base é 10 e o expoente é qualquer número diferente de zero:
a potência é um número que começa com 1 e tem um número de zeros
igual ao expoente.
{
Por exemplo: 10² = 10 · 10 = 100
2 zeros
105 = 100.000
{
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Casos especiais da potenciação
5 zeros
5. A base é um número qualquer diferente de zero e o expoente é zero:
a potência, por convenção, é sempre igual a 1.
Observe:
34 = 81
¸
3
¸
3
¸
3
¸
3
3³ = 27
3² = 9
31 = 3
0
3 =1
Radiciação
A U L A
Vejamos agora a operação inversa da potenciação, a radiciação
radiciação.
Considere a pergunta: qual é o número que elevado ao quadrado dá 81?
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9 . 9 = 81.
9² = 81 e 81 = 9 , que se lê: a raiz quadrada de 81 é 99.
Você sabe que
Então:
l
l
l
o sinal
é o radical
radical;
81 é o radicando
radicando;
9 é a raiz quadrada de 81.
Organizamos uma tabela de quadrados para facilitar a determinação da raiz
quadrada. Veja:
NÚMERO
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10...
QUADRADO
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100 ...
Veja que, na 2ª linha (a dos quadrados) não aparecem todos os números. Os
números que não aparecem não são quadrados e, por isso, não possuem raiz
quadrada natural. Por exemplo: 2 não tem raiz quadrada natural.
Vejamos agora a inversa do cubo (3ª potência).
Qual é o número que elevado ao cubo dá 27?
Vejamos uma tabela de cubos:
NÚMERO
0
1
2
3
4
5
6
CUBO
0
1
8
27
64
125
216
7 ...
343 ...
Assim, podemos responder à pergunta:
33 = 27 e
l
l
3
27 = 3 que se lê: a raiz cúbica de 27 é 33.
a raiz cúbica é a inversa do cubo;
o sinal 3 é o radical e o 3 é o índice
índice.
Assim como no quadrado, podemos observar que nem todo número natural
possui raiz cúbica natural. Por exemplo: 3 9 não tem raiz cúbica natural.
Curiosidades
1. De onde surgiu a expressão ao quadrado para expressar um número
elevado à 2ª potência? Por exemplo 3².
Os nove pontos formam um quadrado de lado
com 3 pontos.
Por isso, dizemos que 9 é o quadrado de 3.
2. De onde surgiu a expressão ao cubo para expressar um número
elevado à 3ª potência? Por exemplo 2³.
Na figura, estão marcados 8 pontos que formam um
cubo de lado com 2 pontos.
Por isso, dizemos que 8 é o cubo de 2.
Exercícios
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Exercício 1
Escreva e calcule:
a) treze ao quadrado;
b) quatro ao cubo.
Exercício 2 *
Com 25 pontos é possível formar um quadrado, assim:
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
o quadrado de 5
Se for possível, forme um quadrado desse tipo com:
a) 9 pontos
b) 10 pontos
c) 16 pontos
Exercício 3
Calcule:
a) 81
b) 120
c) 80
d) 014
e) 1010
b)
c) 1
d) 100
e)
c) 3 1.000
d)
e) 3 0
Exercício 4
Calcule:
a) 49
64
36
Exercício 5
Calcule:
a) 3 8
b) 3 1
3
64
(*) O Exercício 2 foi extraído do livro Matemática na medida certa - 5ª série
série, de
Jakubo e Lellis, Editora Scipione, São Paulo.